§5.1 拉普拉斯变换的定义、收敛域

0
10 页
t < 0(β 为实数） t >0
反因果函数 的收敛域
e −( s −β )t 0 解： b 2 ( s ) = ∫ e β t e − st dt = F −∞ − ( s − β ) −∞ 1 = [1 − lim e −(σ − β )t ⋅ e − jωt ] t → −∞ − (s − β ) =
X
第
§ 5.1 拉普拉斯变换 主要内容
从傅里叶变换到拉普拉斯变换 拉氏变换的收敛 一些常用函数的拉氏变换
5 页
X
第
一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换 1．拉普拉斯正变换
e ) 信号 f (t ), 乘以衰减因子 −σ t (σ为任意实数 后容易满足 , 绝对可积条件依傅氏变换定义:
6 页
F (ω) = F f (t ) ⋅ e 1
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换 然后对拉氏正 本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 傅氏变换引出拉氏变换， 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。 性质进行讨论 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。 本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 重点在于 域分析。 域分析。 注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。 注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。 对比
1 ，σ < β − （ s − β ） ， σ = β 不定 无界 ， Re[ s ] = σ
σ β
> β
X
第
为双边函数， 例5.1-3 设f (t)为双边函数，求其双边拉氏变换 为双边函数
双边函数的 收敛域
11 页
eβ t t < 0 f (t) = f1(t) + f2 (t) = αt e t >0
第 1 页
第五章 连续系统的s域分析
X
第 2 页
•以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它 以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于： 为基础的频域分析方法的优点在于 但也有不足之处， 给出的结果有着清楚的物理意义 ，但也有不足之处， 傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有 傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号， 狄利克雷条件的信号 些信号是不满足绝对可积条件的， 些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析 受到限制； 受到限制； •另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的 另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的 无穷积分求解困难。 无穷积分求解困难。 1 ∞ f (t ) = F(ω)ejω t dω = F −1[ f (t )] 2π ∫−∞
X
第
例5.1-1 设因果信号 f1 (t)，求其拉氏变换 ，
0 f1(t) = e ε (t) = αt e
αt
9 页
t <0 t > 0 (α 为实数）
− st
因果函数 的收敛域
∞ 0
解： F b 1 ( s ) =
∫
∞
0
e e
αt
e − ( s −α )t dt = − (s − α )
Re[s] > 0
e
↔
s + jβ
, Re[s] > 0
X
t 4． ．
n
ε (t)
∞ n −st 0
n! L t = n+1 s
n
∞ 1 −st ∞ −st = t ⋅ e 0 − ∫0 e d t −s
[ ]
第 15 页
L t = ∫ t ⋅ e dt
n
[ ]
t n −st ∞ n ∞ n−1 −st e = + ∫ t e dt −s 0 s 0
t→∞ t →∞
t2
(σ > α)
4.e 等信号比指数函数增 长快，找不到收敛坐标， 为非指数阶信号，无法进行拉氏变换。
X
第 14 页
三．一些常用函数的拉氏变换
1.阶跃函数 ε (t ) 1.阶跃函数 L[u(t) ] = ∫
−αt
∞
0
1 −st ∞ 1 e 1⋅ e d t = = Re[ s] > 0 0 s −s
则
dt
X
2．拉氏逆变换
F(σ + jω) = ∫ f (t ) e
∞ −∞
1 f (t ) = F(s) es td s 2π j ∫σ −j∞
−(σ +jω ) t
σ +j ∞
第 7 页
dt = F(s) = ∫ f (t ) e−s t dt
∞ −∞
对于f (t ) e−σ t 是F(σ + jω )的傅里叶逆变换 1 ∞ −σ t f (t ) e = F(σ + jω ) ejω tdω 2π ∫−∞ σt 两边同乘以e 1 ∞ f (t ) = F(σ + jω ) e(σ +jω )t dω 2π ∫−∞ 其中: s = σ + jω ; 若σ取常数， d s = jd ω 取常数， 则
n[ ][ ] Nhomakorabea[ ]
1 ∞ t de −st = − s ∫0
n! 所以 L t = n+1 s
n
[ ]
LL
X
−st
∞ 0−
2.指数函数 2.指数函数
L[e ε (t)] = ∫ e−αt e−st dt =
1 s +α
Re[ s] > −α
3.单位冲激信号 3.单位冲激信号
∞
L[δ (t )] = ∫ δ (t ) ⋅ e−std t = 1
∞ 0
1 eαt ε (t) ↔ s −α
Re[ s] > α
全s 域平 面收敛
Re[s] > −∞
L[δ (t − t0 )] = ∫ δ (t − t0 ) ⋅ e−std t = e−st0 δ ′(t) ↔ s Re[ s] > −∞ 0 利用阶跃函数的积 4. L t n = n! 分求 sn+1 5. jβ t 1 1 − jβ t
[ ]
e (t) ↔
s − jβ
,
记作: f (t ) ↔ F(s) f (t )称为原函数， (s)称为象函数。 称为原函数， 称为象函数。 F
考虑到实际信号都是有起因信号： 起因信号：
, 采用0−系统 相应的单边拉氏变换为
F(s) = L[ f (t )] = ∞ f (t ) e−s td t ∫0− 1 σ +j ∞ −1 f (t ) = L [ f (t )] = F(s) es td s σ 2π j ∫ −j∞
n ∞ n−1 −st = ∫ t e dt s 0 n n−1 n 所以 L t = L t s n=1
[ ]
∞
[ ]
L[t] = ∫ t ⋅ e d t
−st 0
1 1 −st ∞ 1 e = 2 = − − s −s s 0 t ε (t ) n=2 2 2 1 2 2 L t = L[t ] = ⋅ 2 = 3 s s s s n=3 3 2 3 2 6 3 Lt = Lt = ⋅ 3 = 4 s s s s
X
第 3 页
拉氏变换 拉氏变换
•优点： 优点： 优点 求解比较简单， 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行 变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。 变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。 •缺点： 缺点： 缺点 物理概念不如傅氏变换那样清楚。 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
X
第 4 页
X
第
二．拉氏变换的收敛域
收敛域： 存在的s区域称为收敛域 收敛域：使F(s)存在的 区域称为收敛域。 存在的 区域称为收敛域。 实际上就是拉氏变换存在的条件：因果函数f（ ） 实际上就是拉氏变换存在的条件：因果函数 （t）满足 1. 在有限区间 〈t〈b可积，即为有限值。 在有限区间a〈 〈 可积 即为有限值。 可积，
解： Fb ( s) = Fb1 ( s ) + Fb 2 ( s ) 其收敛域为 α < Re[ s ] < β ， 当β > α 时 ， (t )的相函数在该收敛 f 域内存在， β ≤ α ， b1 ( s )与Fb 2 ( s ) 若 F 没有共同的收敛域，因而Fb ( s )不存 在。
σ α β
积分限： ω 积分限：对 : ∫ ⇒ 对s : ∫
−∞ ∞
σ +j ∞
σ −j ∞
所以
X
第 8 页
3．拉氏变换对
F(s) = L[ f (t )] = ∞ f (t ) e−s t d t ∫−∞ 1 σ + j∞ −1 f (t ) = L [ f (t )] = F(s) es t d s σ 2π j ∫ − j∞ 正变换 逆变换
lim f (t ) e−σ t = 0 2. t→∞
12 页
(σ >σ0 )
jω
收敛轴 收敛区 收敛坐标 σ0
O
σ
X
第
例题及说明
称 1.满足lim f (t ) e−σ t = 0(σ > σ0 )的信号成为指数阶信号 ；
t→∞
13 页
2.limt e
t →∞
n −σ t
=0
(σ > 0)
3.limeα t e−σ t = 0
α
1 [1 s −α 1 s −α = 不定 无界 = − lim e − ( σ
t→ ∞ −α )t
σ
⋅e−
jω t
]
， Re[ s ] = σ > α ， σ = α ，σ < α