4.1 拉普拉斯变换定义与收敛域09

0
第
4．tnu(t)
n st L t u ( t ) t e dt n 0
15 页
1 1 1 . 2 s s s
1 n st t e d( st ) s 0 t n st n n 1 st e t e dt 0 s s 0 n n 1 st t e dt s 0 n n n 1 t L t 所以 L s n1 1 0 1 L t L[t u (t )] L[u (t )] s s
主要内容
线性 原函数积分 s域平移 初值 卷积 对s域积分 原函数微分 延时（时域平移） 尺度变换 终值 对s域微分
第
17 页
第
一．线性
若 则 L f1 ( t ) F1 ( s ), L f 2 ( t ) F2 ( s ), K 1 , K 2为常数， LK 1 f1 ( t ) K 2 f 2 ( t ) K 1 F1 ( s ) K 2 F2 ( s )
VL (s) L sI L (s) iL (0 ) sL I L (s) LiL (0 )
I L s

Ls
Li L 0
V L s
电感元件的s模型

三．原函数的积分
F (s) f L f ( τ ) d τ 若L f (t ) F ( s)，则 s
第
拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别：
FT: 时域函数f(t) 变量 t 频域函数 F ( j ) 变量
10 页
都是实数） （变量 t、
LT: 时域函数f(t)
变量 t t（实数）
复频域函数 F ( s)

LT[sin(
t)]
s2
2
LT[cos(t)]
s2
s
2
12
4 1 求下列各函数的拉氏变换
(2) sin t 2cost
LT[sin
t
2cos t]
1 s2 1
2s s2 1
2s s2
1 1
(10) cos2 (t)
cos2 (t) 1 [cos(2t) 1] 2
F(s)
1 2
LT[cos(2t)]
st
ds
2j j
s j d 1 ds
j
2
对于不满足绝对可积条件的f (t), 即: lim f (t) t
则其傅里叶变换不存在. [ f (t)为因果信号]
寻找一衰减函数 et 使得 : lim f (t)et 0 t
则其傅里叶变换 : f (t)ete jtdt 存在. 0
s
j
F() FT[ f (t)]
F(s) LT[ f (t)]
f (t)e jt dt
0
f (t)estdt
0
3
单边拉普拉斯变换对
F (s) LT [ f (t)] f (t)estdt 0
象函数
f (t) LT 1[F (s)] 1
j
F
(s)e
st
ds
2j j
f (t) f (t)u(t)
0
0
LT[ (t)] 1
9
P2504 3 求下列函数的拉氏变换, 注意阶跃函数
的跳变时间.
(1) etu(t 2) (3) e(t2)u(t)
(1) LT[etu(t 2)] etu(t 2)est dt etest dt

拉普拉斯变换定义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数 ,其中，S=σ+jω是复参变量，称为复频率。

左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。

以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。

如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt 其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。

z变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。

作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。

拉普拉斯变换是将时域信号变换到“复频域”，与傅里叶变换的“频域”有所区别。

FT[f(t)]=从负无穷到正无穷对[f(t)exp(-jwt)]积分 ,LT[f(t)]=从零到正无穷对[f(t)exp(-st)]积分 ,(由于实际应用，通常只做单边拉普拉斯变换，即积分从零开始) .具体地，在傅里叶积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt显然是为一纯虚数；而在拉普拉斯变换中，所乘因子为exp(-st)，其中s为一复数：s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减因子，这样就能将许多无法作Fourier变换的函数（比如exp(at),a>0）做域变换。

拉普拉斯变换主要用于电路分析，作为解微分方程的强有力工具（将微积分运算转化为乘除运算）。

但随着CAD的兴起，这一作用已不怎么受重视了，但关于其收敛域的分析（零极点图）依然常用。

Fourier 变换则随着FFT算法（快速傅立叶变换）的发展已经成为最重要的数学工具应用于数字信号处理领域。

我们来考察

T1
x(t ) e
0 t
dt
s j 处，拉氏变换收敛的情况。
0
( 0 ) 0
e

( 0 ) t
为减函数。
减函数


T1
x(t ) e dt
( 0 )T1
t

T1
T1
x(t ) e
0 t ( 0 ) t
9.1拉普拉斯变换的导出
本小节我们通过复指数信号激励LTI系统的 分析，导出拉普拉斯正变换，并且分析拉 普拉斯变换的收敛问题。 复指数信号通过LTI系统时，利用卷积积分， 可以得到：
y(t ) h( )e


s ( t )
d
e
st



h( )e d e
s
st
将零点和极点在s平面上标记出来而形成的图称为零极点图 (Pole-zero plots)。
Im
× -2
× -1
0 1
Re
例题9.3的零极点图和收敛域
例题9.4 求信号
的拉普拉斯变换 解：
16 t 1 2t x(t ) (t ) e u (t ) e u (t ) 3 3
(t ) 1
s j
X ( s) e
0

( a ) t jt
e
dt
a0
Re{s} a
时收敛。
e
0

( s a ) t
1 dt sa
拉普拉斯变换的解析式是一个无穷积分，这个无穷积分是存在收
敛性问题的。上面的例题也告诉我们，对于某些

其他数值计算方法简介
数值逆变换方法
介绍基于数值计算的拉普拉斯逆 变换方法，如直接数值积分法、
离散化方法等。
优缺点分析
比较各种数值计算方法的优缺点， 如计算精度、计算速度、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用范围 等。
应用场景
根据实际需求，选择适合的数值计 算方法进行拉普拉斯逆变换求解， 并给出具体应用场景和实例。
04 拉普拉斯变换在信号处理 中的应用举例
频移性质
时域函数的频移对 应频域函数的相移 和幅度变化。
积分性质
时域函数的积分对 应频域函数的除法 运算。
拉普拉斯变换与傅里叶变换关系
01
02
03
04
拉普拉斯变换是傅里叶变换的 推广，可以处理不收敛的信号
。
傅里叶变换是拉普拉斯变换在 虚轴上的特例，即s=jω时的拉
普拉斯变换。
拉普拉斯变换提供了更广泛的 信号分析工具，适用于更复杂
信号与系统教学课件第九章拉普拉 斯变换
目录
• 拉普拉斯变换基本概念 • 拉普拉斯变换在信号与系统中的应用 • 拉普拉斯逆变换及计算方法 • 拉普拉斯变换在信号处理中的应用举
例
目录
• 拉普拉斯变换在控制系统稳定性分析 中的应用
• 总结回顾与拓展延伸
01 拉普拉斯变换基本概念
拉普拉斯变换定义
拉普拉斯变换是一种线性积分变 换，用于将时间域函数转换为复
上升时间与峰值时间
上升时间是指系统响应从某一低电平上升到高电平所需的时间，峰值时间是指系统响应达到最大值所需的时 间。上升时间和峰值时间是评价系统快速性的重要指标之一。
超调量与调节时间
超调量是指系统响应在达到稳态值之前出现的最大偏离量，调节时间是指系统响应从瞬态过程进入稳态过程 所需的时间。超调量和调节时间是评价系统准确性和稳定性的重要参数。

拉普拉斯变换 1、基本定义： ⎰∞∞--=dt e t x s X st )()(2、收敛域：（1）右边信号：−→−=<0)(0t x t t 时，极点右侧 （2）左边信号：−→−=>0)(0t x t t 时，极点左侧（3）双边信号：占有整个时间域的信号−→−带状区域 （4）时限信号：有限长信号，只在某一个时间区间不等于0，在其他所有时间内全为0−→−整个s 区域（意味着变换式中没有极点）4、拉式变换的主要性质：)()()()()()(11s X t x s X t x s X t x LLL−→←−→←−→← ROC: 21R R R5、用拉普拉斯变换分析与表征LTI 系统一个LTI 系统输入和输出的拉普拉斯变换是通过乘以系统单位冲激响应的拉普拉斯变换联系起来的，即)()()(s X s H s Y =当ωj s =时，)(s H 就是这个LTI 系统的频率响应；在拉普拉斯变换范畴内，一般称)(s H 为系统函数或转移函数（1）因果性（2）稳定性6、由线性常系数微分方程表征的LTI 系统 见504P7、系统函数的代数属性与方框图表示两系统级联：单位冲激响应 )()()(21t h t h t h *=→)()()(21s H s H s H=两系统并联：单位冲激响应 )()()()()()(2121s H s H s H t h t h t h +=→+=两LTI 系统的反馈互联：)()(1)()()()(211s H s H s H s H s X s Y +==−→−+)(t x )(t y8、单边拉式变换：重要价值在于求解非零状态下的系统响应⎪⎩⎪⎨⎧==⎰⎰+-∞-ωσωσπj j st st ds e s X t x dte t x s X )(21)()()(0 收敛域：要么在极点的右半平面，要么是整个s 平面（1）单边拉普拉斯变换性质（2）利用单边拉普拉斯变换求解微分方程 见518P。

t
Re(s) 0
4)卷积特性（convolution）
若 则有
f1 (t) L F1 (s) f 2 (t) L F2 (s)
Re( s) s 1 Re( s) s 2
f1 (t) f 2 (t) L F1 (s)F2 (s) Re( s) max( s 1,s 2 )
L[ f1(t) f2 (t)] 0
F
(
s)
1 s2
e - s 1
Re(s) -
例：单边周期信号的Laplace变换。 f(t)
单边周期信号的定义：
f(t)=f(t+nT); t0, n=0,1,2,...
0 T 2T 3T
t
定义：f1
(t)
f 0
(t
)
0t T 其它
单边周期信号
f (t)
k 0
f1(t - kT)u(t - kT)
L[ f (t)]
k 0
e-skT F1(s)
F1(s) 1- e-sT
Re(s) 0
例：求如图所示周期方波的Laplace变换。
f(t) 1
01
2345 周期方波信号
L[u(t) - u(t -1)] 1- e-s s
F(s) 1- e-s s
1 1- e-2s
1 s(1 e-s )
若
f (t) L F (s) Re( s) s 0
则有 f (at) L 1 F ( s ) aa
a 0, Re( s) as 0
L[ f (t)]
0-
f (at)e-st dt
1 a 0-
f
-st
(t)e a dt
1
F(

17
若 x(t ) 是右边信号,即 T 则有
t , 0 在ROC内，
绝对可积，即：
x(t )e
0t

T

T
x(t )e
0t
dt
若1
0 ，则
e


dt

T
x(t )e 1t dt
x(t )e e
( 1 0 )T 2 Re[ s] 1 此时 x(t ) 是双边信号。
26
27
作业5月8日
• 9.2 • 9.3 • 9.21（b）（h）
28
§9.3 拉氏反变换
The Inverse Laplace Transform
一. 定义： 由 X (s) x(t )e st dt

例2.反因果信号： x(t ) e at u(t )
X ( s ) e e dt e
at st
0
0
( s a )t
1 dt , Re[s] a sa
8
由以上例子，可以看出: 1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非 任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上的任 何复数都能使拉氏变换收敛。 2.拉氏变换积分收敛的那些复数 S 的集合，称为拉
础可以用几何求值的方法从零极点图求得 X ( j ) 的特性。这在定性分析系统频率特性时有很大
用处。
34
作两个矢量 s 和 a ，则 1
矢量
X (s1 )
1.单零点情况： X ( s) s a 零点s a , 要求出 s s1 时的 X (s1 )，可以
X (s1 ) (s1 a)

设
其中， 为 的从零处开始取值的第一个周期， 使用第一个周期函数依次向右平移并相加，则组 成单边周期函数： 利用时移性有：
例： 试求图中不同的时移对应变换 解：观察图形的时移关系，有如下对
x1 (t )
应变换：
0
t
x2 (t )
x1 (t ) ktu (t ) x2 (t ) k (t t0 )u(t ) x3 (t ) ktu(t t0 ) x4 (t ) k (t t0 )u(t t0 )
1 , 解: 由于 u (t ) s
L
0 sin 0tu (t ) 2 s 0 2 1 s L e 根据时移性质有： u (t 1) s
L
再根据频移性质有：
e
t
0 sin 0tu (t ) ( s ) 2 0 2
L
1 ( s 1) e u (t 1) e s 1
4.1 拉普拉斯变换
4.1.1 拉普拉斯变换定义
f (t)=eatu(t) a>0 的傅里叶变换？ 将f (t)乘以衰减因子e-t，得： 不存在!
令
若 ，则有
推广到一般情况：
（s= +j）
定义：
求傅里叶逆变换
拉普拉斯正变换 原函数
拉普拉斯逆变换 原函数
拉普拉斯变换符号表示及物理含义：
频域卷积
初值定理 终值定理
拉氏变换性质
1.线性
2.时移性
(1) 右移性 即指平移项右移，否则，依据单边变换定义，就 会把横轴左边部分截去，就不满足时移性了。因此，
时移性质准确是指右移性。
例如：求下面各式的单边拉普拉斯变换
解：前两项的单边变换相同，只需把三角函数按 三角公式展开，再利用基本变换求解，最后一项

[
f1 (t )
f2 (t)]
1 2
j
[F1(s)
F2 (s)]
=
1 2
j
j
j F1( p)F2 (s p)dp
3. 拉普拉斯逆变换 （1） 部分分式展开法
首先应用 海维赛展开定理将 F (s) 展开成部分分式，然后将各部分分式逐项进行逆变换，
最后叠加起来即得到原函数 f (t) 。
（2）留数法
1
1s s2
1 es 1 es
2
本文例 4-3下载后请自行对内容图4-2编（c） 辑修改删除，
应用微分性质求图 4-3（a）中 f1t , f2 (t), f3t 的象函数下面说明应用微分性质应注意的
问题，图 4-3（b）f1t , f2 t, f3t是的导数f1t , f2t , f3t 的波形。
1 t estd t 2 2 t estd t
0
1
1
t 1 est 1 1 estd t 2 1 estd t 2 t estd t
s
0
s 0
0
1
1 es s
1 s2
es
1 s2
2 e2s s
2 es s
2 e2s s
1 s2
es
1 s2
1 es
2
方法二：利用线性叠加和时移性质求解 由于
F
(s) 则 [ df (t)] dt
sF (s)
f (0 )
[
d
nf dt
(t)
n
]
sn
F
(s)
n1 r0
s n r 1
f
(r
)
(0
)
式中

§ 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域主要内容从傅里叶变换到拉普拉斯变换 拉氏变换的收敛一些常用函数的拉氏变换一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换 1．拉普拉斯正变换[]t e et f t j td )(ωσ-+∞∞--⋅⎰te tf t j d )()(ωσ+-+∞∞-⋅=⎰则2．拉氏逆变换3．拉氏变换对:,)( ),( 依傅氏变换定义绝对可积条件后容易满足为任意实数乘以衰减因子信号σσt e t f -()[]=⋅=-tet f F F σω)(1)(ωσj F +=称为复频率。

具有频率的量纲令 , , :s j =+ωσ()()⎰∞∞--=t e t f s F t s d ()()()()()⎰⎰∞∞--∞∞-+-===+te tf s F t e t f j F t s t j d d ωσωσ()() 的傅里叶逆变换是对于ωσσj F e t f t +-()()⎰∞∞--+=ωωσπωσd 21tj t e j F e t f t e σ 以两边同乘()()()ωωσπωσd 21⎰∞∞-++=t j e j F t f ωσωσd d ; :j s j s =+=则取常数，若其中⎰⎰∞∞-∞+∞-⇒j j s σσω::对积分限：对()()⎰∞+∞-=∴j j t s s e s F j t f σσπd 21()()[]()()()[]()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⎰⎰∞+∞--∞∞--j j t s t s s e s F j t f L t f t e t f t f L s F σσπ逆变换正变换 d 21 d 1()()te tf F t j d 0ωω-∞⎰=∴二．拉氏变换的收敛收敛域：使F (s )存在的s 的区域称为收敛域。

记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件；例题及说明6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。

§ 4.1 拉普拉斯变换的定义 主要内容
从傅里叶变换到拉普拉斯变换 拉氏变换的收敛 一些常用函数的拉氏变换

一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1．拉普拉斯正变换
则
2．拉氏逆变换
3．拉氏变换对
二．拉氏变换的收敛
收敛域： 存在的s的区域称为收敛域 收敛域：使F(s)存在的 的区域称为收敛域。 存在的 的区域称为收敛域。 记为： 记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件； 实际上就是拉氏变换存在的条件；
三．常用函数的拉氏变换
1.阶跃函数
2.指数函数
3.单位冲激函数
全s域平面收敛 域平面收敛
4．tn ε (t ) ．
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换， 本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉 氏正变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。 氏正变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。 本章重点在于， 本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行 复频域分析。 复频域分析。 最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根 零极点概念， 最后介绍系统函数以及 零极点概念 据他们的分布研究系统特性，分析频率响应， 据他们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要 简略介绍系统稳定性问题。 简略介绍系统稳定性问题。 注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。 注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。
§4 连续系统的复频域分析
为了解决对不符合狄氏条件信号的分析， 为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，本章将 要讨论的拉氏变换法扩大了信号变换的范围。 要讨论的拉氏变换法扩大了信号变换的范围。 •优点在于： 优点在于： 优点在于 求解比较简单， 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换 初始条件被自动计入，因此应用更为普遍； 时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍； •缺点在于： 缺点在于： 缺点在于 物理概念不如傅氏变换那样清楚。 物理概念不如傅氏变换那样清楚。

拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种在信号与系统领域中广泛应用的数学工具。

它将一个时间域函数转换为一个复频域函数，从而可以方便地进行信号的分析和处理。

拉普拉斯变换不仅在电子工程、通信工程领域得到广泛应用，还在物理学、控制论、图像处理等领域有重要应用。

一、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义如下：对于给定函数f(t)，它的拉普拉斯变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫{0,∞} f(t)e^(-st)dt其中，s是复变量，表示变换域的频率。

f(t)是定义在非负实数轴上的函数。

拉普拉斯变换有一个重要的性质是可逆的，即给定F(s)，可以通过逆变换求得原函数f(t)。

二、拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换有一系列的性质，这些性质可以帮助我们简化计算或者分析信号的特性。

下面介绍几个常用的性质：1. 线性性质：对于任意常数a和b，以及两个函数f(t)和g(t)，有线性性质成立：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)其中，F(s)和G(s)分别是函数f(t)和g(t)的拉普拉斯变换。

2. 积分性质：对于函数f(t)的积分，有以下性质成立：L{∫{0,t} f(τ)dτ} = 1/(s)F(s)其中，F(s)是函数f(t)的拉普拉斯变换。

3. 正比例性质：如果一个函数f(t)等于另一个函数g(t)乘以常数a，那么它们的拉普拉斯变换也有类似的关系：L{ag(t)} = aG(s)其中，G(s)是函数g(t)的拉普拉斯变换。

三、拉普拉斯变换的应用1. 信号系统分析：拉普拉斯变换广泛应用于信号与系统的分析。

通过将差分方程或微分方程转换成拉普拉斯域，可以简化对系统的分析和建模。

根据拉普拉斯变换的性质，可以求解系统的频域响应、稳定性、传输函数等重要特性。

2. 控制系统设计：在控制论中，拉普拉斯变换是设计和分析控制系统的重要工具。

通过将系统的传递函数转换成拉普拉斯域，可以方便地调整系统的稳定性、响应速度、抗干扰能力等参数，并进行频域设计和系统优化。

0
f est0 es d
est0 F s
此性质表明：若波形延迟 t0 ，则它的拉普拉斯变换应乘以 est0 。
五、 s 域平移
若 f t F s
则 f t etu t F s
六、尺度变换
若 f t F s
则
f
at
1 a
F
s a
a0
七、初值定理
初值定理常用于由 F s 直接求 f 0 的值，而不必求出原函数 f t 。
1 s2
t
nu
t
n! s n 1
4、 es0tu t 1
s s0
（ s0 为复常数）
特别地
etu t 1
s
etu t 1
s
5、 e jtu t 1
s j
0
e jtu t 1
s j
0
6、
sin
t
u
t
s
2
2
0
6
cos
t
u
t
s
2
s
2
7、 t sin t u t
F s L eatu t
e at e st dt e ast
0
as
0
1 ， as
a
即 eatut 1 ， a
as
3、复指数函数 es0tut （ s0 为复常数）
F s L es0tu t
e s0t e st dt e ss0 t dt e ss0 t
综述几种情况： （1）凡是有始有终，能量有限的信号，收敛坐标落于 ，全部 s 平面都属 于收敛区。例如：单个脉冲信号。
（2）信号的幅度既不增长也不衰减而等于稳定值，或随时间 t ，tn 成比例增 长的信号，则其收敛坐标落于原点， s 平面右半平面属于收敛区。例如：正弦信 号， t ， tn 信号。

拉普拉斯变换公式总结拉普拉斯变换是一种傅里叶变换的扩展，广泛应用于信号处理和控制系统的分析。

它将时间域中的函数转换到复平面的变换域中，可以有效地处理复杂的微分和积分方程。

拉普拉斯变换有许多重要的性质和公式，下面将对其中的一些进行总结。

1.拉普拉斯变换定义F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt其中，s为复变量，t为时间，e为自然常数。

2.拉普拉斯变换的收敛条件要使拉普拉斯变换存在，函数f(t)必须满足一定的收敛条件。

常见的收敛条件为：函数f(t)是因果（即f(t)在t<0时为零）和指数增长边界条件（即函数f(t)e^(-αt)在t趋于正无穷时有界）。

3.常见的拉普拉斯变换公式3.1常函数的拉普拉斯变换：L[1]=1/s3.2单位阶跃函数的拉普拉斯变换：L[u(t)]=1/s3.3单位冲激函数的拉普拉斯变换：L[δ(t)]=13.4指数函数的拉普拉斯变换：L[e^(at)] = 1/(s-a)，其中a为常数3.5高斯函数的拉普拉斯变换：L[e^(-at^2)] = sqrt(π/a) × e^(s^2/4a)3.6正弦和余弦函数的拉普拉斯变换：L[sin(at)] = a/(s^2+a^2)L[cos(at)] = s/(s^2+a^2)3.7常见微分和积分公式的拉普拉斯变换：L[df(t)/dt] = sF(s) - f(0)L[∫[0,t]f(τ)dτ]=1/s×F(s)4.拉普拉斯反变换公式f(t) = L^(-1)[F(s)] = 1/(2πj) × ∫[-j∞,j∞] e^(st)F(s) ds5.拉普拉斯变换的性质5.1线性性：L[af(t) + bg(t)] = aF(s) + bG(s)，其中a、b为常数5.2微分性：L[df(t)/dt] = sF(s) - f(0)5.3积分性：L[∫[0,t]f(τ)dτ]=1/s×F(s)5.4积分定理：∫[0,∞) f(t) dt = F(0+)5.5初值定理：lim(s→∞) sF(s) = f(0+)5.6终值定理：lim(t→0+) f(t) = lim(s→0) sF(s)6.拉普拉斯变换在信号处理中的应用拉普拉斯变换在信号处理领域有广泛的应用。

x(t )e
−σ t
1 = F { X (σ + jω )} = 2π
−1
∫
∞
−∞
X (σ + jω )e jωt d ω
两边同乘以e 两边同乘以 σt
x(t )
即可从拉氏变换中恢复x(t)： 即可从拉氏变换中恢复 ：
1 = 2π
=
∫
∞
−∞
X (σ + jω )e(σ + jω ) t dω
σ + j∞
例
4 1 x(t ) = δ (t ) − e −t u (t ) + e 2t u (t ) 3 3
L{δ (t )} = ∫ δ (t )e − st dt = 1
−∞
∞
4 1 1 1 X (s) = 1 − + 3 s +1 3 s − 2 ( s − 1) 2 = , Re{s} > 2 ( s + 1)( s − 2)
性质4：如果x(t)是右边信号 是右边信号， 性质 ：如果 是右边信号，而且如果 Re{s} = σ 0 这条线位于ROC内，那么 Re{s} > σ 0 的全部 的全部s 这条线位于 内 值都一定在ROC内。 值都一定在 内
σ0
Im s平面 平面 Re
• 性质 ：如果 是左边信号，而且如果 性质5：如果x(t)是左边信号 是左边信号， • Re{s} = σ 0 这条线位于 这条线位于ROC内，那么 内 • Re{s} < σ 0 的全部s值都一定在 的全部 值都一定在ROC内。 值都一定在 内
Im
-1
x
1 2
x
Re
请问： 的傅立叶变换存在吗 的傅立叶变换存在吗? 请问：x(t)的傅立叶变换存在吗

F ( j ) f (t )e e
atat (a 0) ee (a 0)

（如指数信号
t jt

）都满足狄里赫利条件（信号
t) f f(t()
dt f (t )e


( j ) t
dt
根据傅里叶逆变换的定义，则
f (t )e
t
1 2



则可以对拉普拉斯拉斯变换做如下的理解:
X
第 9 页
则可以对拉普拉斯变换做如下的理解:
不是所有信号 问题的提出：不是所有信号
t) f f(t()
（如指数信号
F f (t ) F[ f (t )]
atat (a 0) ee (a 0)
）都满足狄里赫利条件（信号
t) f f(t()
具体推导如下：
t
则 f(t) 的单边拉普拉斯变换 F(s) 存在。使 F(s) 存在的 S 复平面上 s 的取值区域称为F(s)的收敛域。 举例：如何确定收敛域
X
第
举例：如何确定收敛域
18 页
X
第
Laplace变换的收敛域 单边拉普拉斯变换的收敛域与因果信号双边拉普拉斯变换的收
19 页
敛域相同，即单边拉普拉斯变换的收敛域为平行于 jω轴的一条
Fourier变换的局限性：
1）不是所有信号（如正指数信号）都满足狄里赫利条件 （信号 x(t) 必须绝对可积）而存在傅立叶变换。但是在 满足收敛条件下存在拉普拉斯拉斯变换；
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2）可以简化某些变换形式或者运算过程。 （如系统频域分析中的奇异信号）
X
第
引入Laplace变换的必要性
Laplace变换的优点：