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42拉普拉斯变换的定义、收敛域

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拉普拉斯变换

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换定义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数 ,其中，S=σ+jω是复参变量，称为复频率。

左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。

以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。

如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt 其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。

z变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。

作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。

拉普拉斯变换是将时域信号变换到“复频域”，与傅里叶变换的“频域”有所区别。

FT[f(t)]=从负无穷到正无穷对[f(t)exp(-jwt)]积分 ,LT[f(t)]=从零到正无穷对[f(t)exp(-st)]积分 ,(由于实际应用，通常只做单边拉普拉斯变换，即积分从零开始) .具体地，在傅里叶积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt显然是为一纯虚数；而在拉普拉斯变换中，所乘因子为exp(-st)，其中s为一复数：s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减因子，这样就能将许多无法作Fourier变换的函数（比如exp(at),a>0）做域变换。

拉普拉斯变换主要用于电路分析，作为解微分方程的强有力工具（将微积分运算转化为乘除运算）。

但随着CAD的兴起，这一作用已不怎么受重视了，但关于其收敛域的分析（零极点图）依然常用。

Fourier 变换则随着FFT算法（快速傅立叶变换）的发展已经成为最重要的数学工具应用于数字信号处理领域。

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换

1 - e-s F (s) s
Re(s) -
2)展缩特性（time scaling） f (t ) L F ( s ) Re( s ) s 0 若 1 s L F ( ) a 0, Re( s ) as 0 则有 f (at ) a a
L[ f (t )] - f (at)e-st dt 0
拉普拉斯变换 (the Laplace Transform)
1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
傅里叶分析具有清晰的物理意义，但某些信号的傅里 叶变换不存在 (t<0,无意义的函数)。引入拉普拉斯变换， 从而也可以对这些信号进行分析。拉普拉斯变换实质 是将信号f(t)乘以衰减因子e-s t的傅里叶分析。
- st
L[ f1 (t ) f 2 (t )]
0

0
(

0
f1 ( ) f 2 (t - )d )e dt
f1 ( )(
0
f 2 (t - )e -st dt) d
- s
0
f1 ( ) F2 ( s)e
d F1 ( s) F2 ( s)
- skT
F1 ( s ) F1 ( s) 1 - e - sT
Re(s) 0
例：求如图所示周期方波的Laplace变换。
f(t) 1 0 t
1
2
3 4 Ü Ú ½ ¨Å Å Ö Æ ·² Ð º
5
1 - e-s L[u (t ) - u (t - 1)] s 1 - e- s 1 1 F ( s) -2 s -s s 1- e s(1 e )
2
-
-
例： L[u (t )] 1 / s

(完整版)拉普拉斯变换

(完整版)拉普拉斯变换

t
Re(s) 0
4)卷积特性（convolution）
若 则有
f1 (t) L F1 (s) f 2 (t) L F2 (s)
Re( s) s 1 Re( s) s 2
f1 (t) f 2 (t) L F1 (s)F2 (s) Re( s) max( s 1,s 2 )
L[ f1(t) f2 (t)] 0
F
(
s)
1 s2
e - s 1
Re(s) -
例：单边周期信号的Laplace变换。 f(t)
单边周期信号的定义：
f(t)=f(t+nT); t0, n=0,1,2,...
0 T 2T 3T
t
定义：f1
(t)
f 0
(t
)
0t T 其它
单边周期信号
f (t)
k 0
f1(t - kT)u(t - kT)
L[ f (t)]
k 0
e-skT F1(s)
F1(s) 1- e-sT
Re(s) 0
例：求如图所示周期方波的Laplace变换。
f(t) 1
01
2345 周期方波信号
L[u(t) - u(t -1)] 1- e-s s
F(s) 1- e-s s
1 1- e-2s
1 s(1 e-s )
若
f (t) L F (s) Re( s) s 0
则有 f (at) L 1 F ( s ) aa
a 0, Re( s) as 0
L[ f (t)]
0-
f (at)e-st dt
1 a 0-
f
-st
(t)e a dt
1
F(

拉普拉斯变换(推荐完整)

拉普拉斯变换(推荐完整)

f
-st
(t)e a dt

1
F(
s
)
aa
收敛域：
Re(s/a) s0 Re(s) as0
3)时移特性（Time Shifting）
若 f (t) L F (s) Re( s) s 0
则有 f (t - t0 )u(t - t0 ) L e-st0 F (s) t0 0, Re(s) s 0
例：求信号f
(t)

sin 0
t
0 t 其它

的Laplace变换。
f (t) sin(t)u(t) sin(t - )u(t - )
F
(
s)

1 s2
e - s 1
Re(s) -
例：单边周期信号的Laplace变换。 f(t)
单边周期信号的定义：
f(t)=f(t+nT); t0, n=0,1,2,...
拉普拉斯变换 (the Laplace Transform)
1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
傅里叶分析具有清晰的物理意义，但某些信号的傅里 叶变换不存在 (t<0,无意义的函数)。引入拉普拉斯变换， 从而也可以对这些信号进行分析。拉普拉斯变换实质 是将信号f(t)乘以衰减因子e-s t的傅里叶分析。
L[cos(w0t)u(t)]
s
s2

w
2 0
Re(s) 0
L[sin(w0t)u(t)]
w0
s2

w
2 0
Re(s) 0
单边拉普拉斯的基本性质 (properties of Laplace Transform)
1 ) 线性特性(linearity)

拉普拉斯变换公式总结..

拉普拉斯变换公式总结..

拉普拉斯变换公式总结拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析基本要求通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。

能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。

能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。

理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。

会判定系统的稳定性。

知识要点1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 ( 1) 定义单边拉普拉斯变换：正变换[f(t)] F(s) 0 f(t)e st dt 逆变换[F(s)] f(t) 21j j F (s)e st ds 双边拉普拉斯变换：正变换 F B(s) f (t)e st dt 逆变换f(t) 21j j F B(s)e ds ( 2) 定义域若时， l tim f (t)e0则 f (t)e在 0的全部范围内收敛，积分 0f (t)estdt 存在，即 f (t)的拉普拉斯变换 存在。

就是 f (t)的单边拉普拉斯变换的收敛 域。

0与函数 f (t )的性质有关。

2. 拉普拉斯变换的性质( 1) 线性性若 [ f 1(t)] F 1(S) , [ f 2(t)] F 2(S) , 1, 2为 常 数 时 ， 则 [ 1 f 1(t) 2 f 2(t)] 1F 1(s) 2F 2(s)( 2) 原函数微分 若 [ f (t)] F (s)则 [df(t)] sF(s) f (0 )dt式中 f (r)(0 )是 r 阶导数 dr f r(t)在 0 时刻的取值。

dt( 3) 原函数积分 若 [ f (t)] F (s) ， 则 [ tf(t)dt]F(s) f( 1)(0 )式 中 ssf ( 1) (0 )f (t)dt( 4) 延时性若 [ f (t)] F (s)，则 [ f (t t 0)u(t t 0)] est 0F (s)(5) s 域平移若 [ f (t)] F (s)，则 [ f (t)e at] F(s a)( 6) 尺度变换d n f (t)] dt n ]s nF(s) n1 nr1sr0(r)(0 )若 [ f (t)] F (s)，则 [f(at)] 1F(s)(a 0)aa(7) 初值定理 lim f (t) f (0 ) lim sF(s)t o s( 8) 终值定理 lim f(t) lim sF(s) ts( 9) 卷积定理若 [ f 1(t)] F 1(s)， [ f 2(t)] F 2(s) ，则有 [ f 1(t) f 2(t)] F 1(s)F 2(s)1 1 j[ f 1(t)f 2(t)] 2 j [F 1(s) F 2(s)]=2 j jF 1(p)F 2(s p)dp3. 拉普拉斯逆变换( 1) 部分分式展开法 首先应用 海维赛展开定理将 F (s) 展开成部分分 式，然后将各部分分式逐项进行逆变换， 最后叠 加起来即得到原函数 f (t)。

(完整)拉普拉斯变换公式总结,推荐文档

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[
f1 (t )
f2 (t)]
1 2
j
[F1(s)
F2 (s)]
=
1 2
j
j
j F1( p)F2 (s p)dp
3. 拉普拉斯逆变换 （1） 部分分式展开法
首先应用 海维赛展开定理将 F (s) 展开成部分分式，然后将各部分分式逐项进行逆变换，
最后叠加起来即得到原函数 f (t) 。
（2）留数法
1
1s s2
1 es 1 es
2
本文例 4-3下载后请自行对内容图4-2编（c） 辑修改删除，
应用微分性质求图 4-3（a）中 f1t , f2 (t), f3t 的象函数下面说明应用微分性质应注意的
问题，图 4-3（b）f1t , f2 t, f3t是的导数f1t , f2t , f3t 的波形。
1 t estd t 2 2 t estd t
0
1
1
t 1 est 1 1 estd t 2 1 estd t 2 t estd t
s
0
s 0
0
1
1 es s
1 s2
es
1 s2
2 e2s s
2 es s
2 e2s s
1 s2
es
1 s2
1 es
2
方法二：利用线性叠加和时移性质求解 由于
F
(s) 则 [ df (t)] dt
sF (s)
f (0 )
[
d
nf dt
(t)
n
]
sn
F
(s)
n1 r0
s n r 1
f
(r
)
(0
)
式中

如何理解拉普拉斯变换

如何理解拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是数学中的一个重要工具，可以用来转换微分方程为代数方程，简化计算。

拉普拉斯变换将一个时域函数f(t)转换为复频域函数F(s)，其中s是复变量。

拉普拉斯变换的定义式为：
F(s)=∫[0,∞)e^(-st)f(t)dt
其中，e^(-st)是一个指数函数，用来加权每个时刻t的值。

拉普拉斯变换的收敛条件是f(t)是一个因果、有界、连续函数，且在某个有限的时间段内f(t)的绝对值不超过一个指数函数。

如果满足这些条件，就可以利用拉普拉斯变换求解微分方程和积分方程，求解信号的时域和频域响应，并进行系统分析和设计等。

在实际应用中，拉普拉斯变换有很多重要的性质，如线性性、时移性、频移性、微分性、积分性、卷积性、初值定理和终值定理等。

这些性质可以用来简化计算，提高效率，并且方便实际应用。

此外，拉普拉斯变换还有一些重要的应用，如控制系统分析与设计、信号处理、通信系统、电路分析等。

由于拉普拉斯变换是一种非常重要的数学工具，因此掌握拉普拉斯变换的理论和应用非常重要，对于工程、科学和技术领域的研究和实际应用有着重要的意义。

- 1 -。

拉普拉斯变换的定义

§ 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域主要内容从傅里叶变换到拉普拉斯变换 拉氏变换的收敛一些常用函数的拉氏变换一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换 1．拉普拉斯正变换[]t e et f t j td )(ωσ-+∞∞--⋅⎰te tf t j d )()(ωσ+-+∞∞-⋅=⎰则2．拉氏逆变换3．拉氏变换对:,)( ),( 依傅氏变换定义绝对可积条件后容易满足为任意实数乘以衰减因子信号σσt e t f -()[]=⋅=-tet f F F σω)(1)(ωσj F +=称为复频率。

具有频率的量纲令 , , :s j =+ωσ()()⎰∞∞--=t e t f s F t s d ()()()()()⎰⎰∞∞--∞∞-+-===+te tf s F t e t f j F t s t j d d ωσωσ()() 的傅里叶逆变换是对于ωσσj F e t f t +-()()⎰∞∞--+=ωωσπωσd 21tj t e j F e t f t e σ 以两边同乘()()()ωωσπωσd 21⎰∞∞-++=t j e j F t f ωσωσd d ; :j s j s =+=则取常数，若其中⎰⎰∞∞-∞+∞-⇒j j s σσω::对积分限：对()()⎰∞+∞-=∴j j t s s e s F j t f σσπd 21()()[]()()()[]()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⎰⎰∞+∞--∞∞--j j t s t s s e s F j t f L t f t e t f t f L s F σσπ逆变换正变换 d 21 d 1()()te tf F t j d 0ωω-∞⎰=∴二．拉氏变换的收敛收敛域：使F (s )存在的s 的区域称为收敛域。

记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件；例题及说明6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。

4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域


二．拉氏变换的收敛
从以上讨论可知，当信号f (t)乘以收敛因子e-σt后，就有 从以上讨论可知，当信号f (t)乘以收敛因子e 乘以收敛因子 可能满足绝对可积的条件。然而，是否一定满足，还要看f 可能满足绝对可积的条件。然而，是否一定满足，还要看f (t)的性质与 值的相对关系而定。也就是说， (t)的性质与 σ 值的相对关系而定。也就是说，对于某一 函数f (t)， 值上都能使式(4.1 (4.1函数f (t)，通常并不是在所有的 σ 值上都能使式(4.1-5) 的积分收敛， 值而言， 的积分收敛，即并不是对所有的 σ 值而言，函数 f )都存在拉普拉斯变换 都存在拉普拉斯变换， 值的一定范围内， ( t )都存在拉普拉斯变换，而只是在 σ 值的一定范围内， )才存在拉普拉斯变换 才存在拉普拉斯变换。 在收敛域内， f ( t )才存在拉普拉斯变换。 在收敛域内，函数的拉普 拉斯变换存在，在收敛域外，函数的拉普拉斯变换不存在。 拉斯变换存在，在收敛域外，函数的拉普拉斯变换不存在。
积分限： ω 积分限：对 : ∫ ⇒ 对s : ∫ σ − j∞ −∞ 1 σ + j∞ F(s)es t d s ∴ f (t ) = 2π j ∫σ − j∞
∞
σ + j∞
F(s) = L[ f (t )] = ∞ f (t )e−s t d t 正变换 ∫0 1 σ + j∞ −1 F(s)es t d s 逆变换 f (t ) = L [ f (t )] = σ 2π j ∫ − j∞
n ∞ n−1 −st = ∫ t e dt s 0 n n−1 n ∴L t = L t s n=1
[ ]
Hale Waihona Puke [ ]−st[ ]

第三章拉普拉斯变换


f (0+ ) = f0 (0+ ) = limsF (s) 0
s→∞
下面证明上式的 正确性 设对于F(s)长除后有
F(s) = Kmsm + Km−1sm−1 +⋯+ K0 + F (s) 0
式中F0(s)是真分式.对上式取逆变换
f (t) = Kmδ (t) + Km−1δ
m
m−1
(t) +⋯+ K0δ (t) + f0 (t)
第三章 拉普拉斯变换
§3.1 拉普拉斯变换
一 拉普拉斯变换的定义及收敛域 ①定义 双边拉普拉斯变换对
∞ F(s) = ∫ f (t)e−st dt −∞ σ + j∞ 1 F(s)est ds f (t) = 2 j ∫ − j∞ π σ
其中， = σ + jω 称为复频率，s平面为复平面。 s
−a < Re(s) < a
由上式可以看出，X(s)没有零点，在 s=a 和 s=-a 处 有两个极点，如下图
-a
a
如果 a<0， 1）式和（2）式的收敛域不重叠，没有公共的 （ 收敛域，因此，x(t)的拉氏变换不存在。
§3.2 拉氏变换的基本性质
• 线性
a1 f1(t) + a2 f2 (t) ⇒ a1F (s) + a2F2 (s) 1
• 尺寸变换 • 时间平移 • 频率平移
f (t)es0t ⇒ F(s − s0 )
1 f (at) ⇒ F(s / a) a
f (t − t0 )u(t − t0 ) ⇒ F(s)e−st0
• 时域微分
df (t)/ dt ⇒ sF(s) − f (0− )
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f (t) e t
f (t) e t ej td t
f (t) e( j )td t F ( j )
令 : j s , 具有频率的量纲, 称为复频率。
则
Fs f tes t dt
2．拉氏逆变换
第 4
页
F j f te j t dt Fs f tes t dt
L t t0
0
t t0
estd t est0
第
4．tn u(t)
9 页
L tn tn estd t 0
1 s
t
est
0
0
e
std
t
tn s
est
0
n s
t n1 estd t
0
1 s
1 s
est
0
1 s2
n t n1 estd t
s0
所以 L tn n L tn1 s
t
0
f
t es td t
f t L1 f t
1
σ j
F
s
estd s
2π j σ j
二．拉氏变换的收敛
第 6
页
收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。
记为：ROC(region of convergence)
实际上就是拉氏变换存在的条件；
lim f (t) eσ t 0
t
jω 收敛轴
6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。
三．一些常用函数的拉氏变换
第 8
页
1.阶跃函数
L u(t)
1
estd t
1 est 1
0
s 0 s
2.指数函数
L eα t eα testd t
eα st
1
0
αs αs
3.单位冲激信号
0
σ α
L
t
0
t
estd
t
1
全s域平面收敛
§ 4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域
主要内容
第 2
页
从傅里叶变换到拉普拉斯变换 拉氏变换的收敛 一些常用函数的拉氏变换
一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换
第 3
页
1．拉普拉斯正变换
信号 f (t), 乘以衰减因子e t (为任意实数)后容易满足
绝对可积条件, 依傅氏变换定义:
F1
F
对于f te t 是F j 的傅里叶逆变换
f te t 1 F j ej td
2π 两边同乘以e t
f t 1 F j e j t d
2π
其中: s j ; 若取常数，则d s jd
积分限：对 :
对s :
j
j
所以
f t 1
j
F
s
estd s
2π j j
n2
L t 2
2 s
Lt
2 s
1 s2
2 s3
n3
n1
Lt t estd t 0
L t 3 3 L t 2 3 2 6 s s s3 s4
1 t de st
s 0
所以
L tn
n! sn1
σ σ0
收敛区
收敛坐标
σ0 O
σ
例题及说明
第 7
页
1.满足lim t
f
(t) e
t
0σ
σ0 的信号成为指数阶信号；
2.有界的非周期信号的拉氏变换一定存在；
3. lim tne t 0 0 t
4. lime te t 0 α t
5.et2 等信号比指数函数增长快，找不到收敛坐标， 为非指数阶信号，无法进行拉氏变换。
第
3．拉氏变换对
5
页
F s
L
f
t
f
t e s
td
t
f
t
L1
f
t
1
σ j
F
s
estd s
2π j σ j
正变换 逆变换
记作: f t Fs f t称为原函数，Fs称为象函数。
考虑到实际信号都是有起因信号：
所以
Fω
f
t
ejω td t
0
采用0系统, 相应的单边拉氏变换为
F s
L f