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402拉普拉斯变换的定义、收敛域46347教学案例

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第四章拉普拉斯变换1

第四章拉普拉斯变换1
41引言42拉普拉斯变换的定义收敛域43拉普拉斯变换的基本性质44拉普拉斯逆变换45用拉普拉斯变换法分析电路s域的元件模型46系统函数hs47系统函数的零极点分布决定时域特性48系统函数的零极点分布决定频域特性410全通网络和最小相移函数的零极点分布411线性系统的稳定性41傅里叶级数和傅里叶变换
第4章 拉普拉斯变换、连续系统的
(a)令 0, L[u(t)] 1 ,即u(t) 1
s
s
15
et 1
s
(b) 单边正弦信号 sin 0t u(t)
L[sin t] L[ 1 (e jt ejt )]
2j
1[ 1 1 ]
2 j s j s j
s2 2
即sin
t
s2
2
16
et 1
s
(c)单边余弦信号
costu(t)
(3) f (t)u(t t0 ) tu(t t0 )
(4) f (t t0 )u(t t0 ) (t t0 )u(t t0 ) 的拉氏变换。
解：信号(1)和(2)t 0 时的波形相同， f (t t0)
所以它们的拉氏变换也相同，即
L[t t0 ] L[(t t0 )u(t)] L[tu(t)] L[t0u(t)]
(0 )
f
(0 )
dt 2
若f(t)为有始函数，则
f (t) f (t)u(t)
L[ df (t)u(t)] sF (s)
dt
25
例
设
f1(t) etu(t),
1 f2 (t) et
t0 t 0
试求 f1'(t) 和 f2 '(t) 的拉氏变换。 1 f1(t)
解：f1(t), f2(t)的波形如图所示。

第二章拉普拉斯变换PPT学习教案

第二章拉普拉斯变换PPT学习教案

其拉氏变换 为
L[t n ] t ne stdt 0
L[t n ] n！ s n1
单位斜坡函数及 单位加速度函数
分别是幂函t n (数n 当1)
n=0 n=1及 、
n=2时的特例 。
第14页/共47页
注:欧拉公式
ejt cost j sint
第15页/共47页
第二节 拉普拉斯变换的性质
r(t) cos t (t≥0)
其拉氏变换为
L[cost] costestdt 0 1 (e jt e jt )est d t 20 s s2 2
第13页/共47页
(八) 幂函数
幂函数（Power Function）的数学表达式为
r(t) t n (t≥0, n> -1且为整数) 单位阶跃函数 、
即
f (t) Me kt (M和k为实常数)
第3页/共47页
如果复变函数F (s是) 时间函数 f的(t拉) 氏变换，则 f (t) 称为F (s的) 拉氏逆变换，或拉氏反变换。记为 ：
f (t) L1[F (s)]
第4页/共47页
二、典型时间函数的拉氏变换
常用的时间函数有： 单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加 速度函数、指数函数、正弦函数、余弦函数、以及幂函数等 。
象函数(Image Function) 原函数(Original Function )
第2页/共47页
一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是：
(1)在t<0时 ，
f (t) 0
(2)在t≥0的任一有限区间内， f是(t分) 段连续的；
(3)当t→﹢∞时， f (t) 的增长速度不超过某一指数函数，
（3）分配律 f1(t) [ f2 (t) f3 (t)] f1(t) f2 (t) f1(t) f3 (t)

《拉氏变换详解》课件

《拉氏变换详解》课件

积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用

第13章拉普拉斯变换

第13章拉普拉斯变换

一.线性
F (S) 0 f (t )estdt
若L[ f1(t )] F1(S ) , L[ f2(t )] F2(S )
则L[af1(t) bf2(t)] aF1(S) bF2 (S)
证
： 0
[af1
(
t
)
bf
2
(
t
)]e
st
dt
0
af1(t
)e
st
dt
0
bf2
(t
)e
st
dt
F (S) F1(S )
F1(S )
F2 (S ) [S ( j)][S ( j)]
k1
k2
S j S j
k1,k2也是一对共轭复根
设k1 k k2 k
f (t ) ( k e ej ( j)t k e je( j)t )(t )
k et [e j(t ) e j(t ) ] (t ) 2 k et cos(t ) (t)
则：L[
f
(t
)]
1
1 eST
F1 ( S )
1 S
( 1
1 e ST
/
2
)
2.频域平移性质 设：L[ f (t )] F (S )
L[et f (t)] F (S )
0
e t
f
(t )est dt
0
e( s )t
f
(t )dt
F(S )
F (S ) L[et f (t)]
例1：L[tet (t)]
3S2 S(S2
4S 2S
5 求f 3)
(0 )
lim
s
3S2 4S 5 (S2 2S 3)

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换
1
s2 a2 t cos at 【例3.5】(P77例5) 求 L s( s2 a2 )2
1
1 【例3.6】(P77例6) 求 L1 ( s1)( s2)( s 3)
1 1 1 1 t 1 2t 1 3t 1 6 15 10 L s 1 s 2 s 3 e e e 6 15 10

f ( x, y)dx I ( y)
a
b
( 2.1) : F ( s)

0
f (t ) e st dt 就是一个含参量的积分.
(2) 拉氏变换实际是实函数f (t)的集合到复函数F(s) 的集合的一种对应关系 L : f (t ) F (s)
集合A f(t) 集合B F(s)
L
m! (2) L [ t ] m1 s
m
(m N )
(Re( s) 0)
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Proof :
(m 1)


0
et t m dt
0
u t m , v et t met
m et t m1dt
0

m ( m)
由(2.3)可推出下面的(2.4)式:
L [ f ( n ) (t )] s n F (s) s n1 f (0) s n2 f (0)
s f ( n2) (0) f ( n1) (0) (Re(s) 0)
(2.4)
利用(2.4) 式
s (答案: 2 2 ) 【例2.1】求L[coskt] (P61例1) s k m ](m=1,2…) (P 例2) (答案: m ! ) 【例2.2】求L[t 61 s m 1

第十五章 拉普拉斯变换

第十五章 拉普拉斯变换

£[1] 1 , ( p 0) p
例2 求指数函数f (t) eat , (t 0, a为常数)的拉氏变换.
解 由式(27 1)知 £[eat ] eate ptdt e dt ( pa)t
0
0
同上例,这个积分在p a时收敛于 1 ,即 pa
£[eat ] 1 , ( p a) pa
解 £[sin t] sin te ptdt.] 0 用分部积分法可得sin te pt的一个原函数为 1 e pt ( p sin t p2 2
cost),因此有
£[sin t]
p2
1
2
e
pt
(
p
sin
t
cos
t
)
0
p2 2
,(p
0)
用同样方法可求得 £[cost] p , ( p 0) p2 2
显然,对任何 0,有
(t)dt
0
(t)dt
(t)dt (t)dt
0
1 dt 1
0
于是, 按 (t)函数的定义以及广泛意义积分运算与求极限运算
的可交换次序性,得
0
(t)dt
lim
0
(t)dt
lim
0
(t)dt 1
此积分的物理意义为:在t 0时刻出现宽度无限小,幅度无限
pa
pa
故£[shat] a , ( p | a |);类似的有, £[chat] p , ( p | a |)
p2 a2
p2 a2
性质2(位移性质) 设£[ f (t)] F( p),则有 £[eat f (t)] F( p a)
证明 由式(27-1)知
£[eat f (t)] eat f (t)e ptdt

拉普拉斯变换的定义

§ 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域主要内容从傅里叶变换到拉普拉斯变换 拉氏变换的收敛一些常用函数的拉氏变换一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换 1．拉普拉斯正变换[]t e et f t j td )(ωσ-+∞∞--⋅⎰te tf t j d )()(ωσ+-+∞∞-⋅=⎰则2．拉氏逆变换3．拉氏变换对:,)( ),( 依傅氏变换定义绝对可积条件后容易满足为任意实数乘以衰减因子信号σσt e t f -()[]=⋅=-tet f F F σω)(1)(ωσj F +=称为复频率。

具有频率的量纲令 , , :s j =+ωσ()()⎰∞∞--=t e t f s F t s d ()()()()()⎰⎰∞∞--∞∞-+-===+te tf s F t e t f j F t s t j d d ωσωσ()() 的傅里叶逆变换是对于ωσσj F e t f t +-()()⎰∞∞--+=ωωσπωσd 21tj t e j F e t f t e σ 以两边同乘()()()ωωσπωσd 21⎰∞∞-++=t j e j F t f ωσωσd d ; :j s j s =+=则取常数，若其中⎰⎰∞∞-∞+∞-⇒j j s σσω::对积分限：对()()⎰∞+∞-=∴j j t s s e s F j t f σσπd 21()()[]()()()[]()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⎰⎰∞+∞--∞∞--j j t s t s s e s F j t f L t f t e t f t f L s F σσπ逆变换正变换 d 21 d 1()()te tf F t j d 0ωω-∞⎰=∴二．拉氏变换的收敛收敛域：使F (s )存在的s 的区域称为收敛域。

记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件；例题及说明6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。

拉普拉斯变换上课讲义


例9-7 求L[4u(t)－3e2t＋5t]。
解
L [ 4 u ( t ) 3 e 2 t 5 t ] 4 L [ u ( t ) 3 ] L [ e 2 t] 5 L [ t ]
4 3 5 s23s10 ss2s2 s2(s2)
例9-8 求L [sintcost＋δ(t)]。
解 L [stc in o t s(t) ]1L [s2 ti] n L [(t)]
由此得
L 0 tf(t)d t1 sL [f(t) ]1 sF (s)
2020/6/21
第9章 拉普拉斯变换
周忠荣 编
23
工程 数学
9.2 （续七）
说明 该性质中的定积分的上限和下限
必须是t和0。
该性质表明，函数f(t)积分后的拉氏变换 等于f(t)的像函数F(s)除以复参量s。
重复运用式(9-11)可以得到
L [af1(t)＋bf2(t)]＝aF1(s)＋bF2(s) (9-4) L －1[aF1(s)＋bF2(s)]＝af1(t)＋bf2(t) (9-5)
该性质表明，各函数线性组合的拉氏变 换等于各函数拉氏变换的线性组合。
2020/6/21
第9章 拉普拉斯变换
周忠荣 编
17
工程 数学
9.2 （续一）
确定的函数F(s) f(t Nhomakorabeaestdt 0
称为函数f(x)的拉普拉斯变换（简称拉氏
变换），记作L [f(t)]，即
2020/6/21
第9章 拉普拉斯变换
周忠荣 编
6
工程 数学
9.1.1 （续四）
L [f(t) ]F (s)f(t)estd t (9-1) 0
F(s)也称为f(t)的拉氏变换像函数，f(t)称

4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域

d LT[tf (t)] = − F(s) ds
dn n n LT[t f (t)] = (−1 ) n F(s) ds
17
4−1 求 列 函 的 氏 换 下 各 数 拉 变
(5) (1+2t)e
−t
LT [(1 + 2t )e − t ] = LT [e − t ] + 2 LT [te − t ] 1 d 1 = −2 ( ) s +1 ds s + 1 1 2 = + s + 1 ( s + 1) 2 s+3 = ( s + 1) 2
−1
8
2、当函数在t=0时刻出现跳变时，规定单 当函数在t=0时刻出现跳变时， t=0时刻出现跳变时 边拉氏变换定义式的积分下限从0 开始。 边拉氏变换定义式的积分下限从0-开始。
F ( s ) = ∫ f (t )e − st dt
0− ∞
0-系统
4、冲激函数
∞ 0
f (t) =δ(t)
− st ∞ − st 0−
15
d 若 [ f (t)] = F(s),则 [ f (t)] = sF(s) − f (0−) LT LT dt
d LT[ 2 f (t)] = s2F(s) −sf (0−) − f '(0−) dt
d 1 LT [δ (t )] = LT [ u (t )] = sLT [u (t )] − u (0 − ) = s ⋅ − 0 = 1 dt s
2
对于不满足绝对可积条件的f (t ), 即 : lim f (t ) ⇒ ∞
t →∞
则其傅里叶变换不存在. [ f (t )为因果信号]
寻找一衰减函数 e −σt 使得 : lim f (t )e −σt = 0

第四章 拉普拉斯变换4月30日

t 0− t −∞ −∞ 0−
( ) ∫ f (τ )dτ = f (0 )
0− −1 −∞
0−
−
为一常量
−1 ∞ t − − st 0− 0−
1 ∴ ∫ f (τ )dτ + ∫ f (τ )dτ ← ⎯→ f ( ) (0 ) + ∫ ⎡ ∫ f (τ )dτ ⎤e ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ s
t −∞ 0−
σ > −α
10、 ∑ δ ( t − nT ) ←⎯ →
n=0
∞
1 1 − e − sT
4.3 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性（叠加） 若 则
f1 ( t ) ←⎯ → F1 ( s ) ， f 2 ( t ) ←⎯ → F2 ( s ) ， K1 f1 ( t ) + K 2 f ( t ) ←⎯ → K1 F1 ( s ) + K 2 F2 ( s )
8、 e −α t sin (ωt ) u ( t ) ←⎯ →
→ e −α t cos (ωt ) u ( t ) ←⎯
ω 2 (s +α ) + ω2
s +α
σ > −α σ > −α
σ > σ1
2 (s +α ) + ω2
9、
1 n s1t 1 t e u ( t ) ←⎯ → n +1 n! ( s − s1 ) 1 n −α t 1 t e u ( t ) ←⎯ → n +1 n! (s +α )
f (0 + ) = lim sF (s )
s →∞
如果 f (t ) 在 t = 0 处有冲激函数及其导数，则 f (t ) 的拉普拉斯变换为 s 的多 项式与真分式 F1 (s ) 之和，即 F (s ) = k1 + k 2 s + L + F1 (s ) 。 此时初值定理应表示为： f (0 + ) = lim sF1 (s )
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Lt t00 t t0e sd tt e s0t
X
第
4．tnu(t)
10 页
Ltn tnesd t t 0
1stest 0 0s
tn1estdt
0
1s1sest 0s12
n tn1estdt s0
所以 Ltn nLtn1 s
F 1 F f( t) e t f(t)et ejtdt
f(t)e(j)tdt F(j)
令:js,具有频率 ,称 的为 量复 纲频率
则
Fsftestdt
X
第 4 页
X
第
3．拉氏变换对
5
页
Fs
L
f
t
f
tes
tdt
f t L1 f t
1
σj
F
s
es td s
n2
Lt2 2Lt2 12
s
s s2 s3
n3
n1
Lt testdt 0
Lt3 3 sL t 2 3 ss23s64
1
t
dest
s 0
所以
L tn
n! sn1
X
6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。
X
三．一些常用函数的拉氏变换
第 9
页
1.阶跃函数
Lu(t) 1esd t t 1 est 1
0
s 0 s
2.指数函数
Leαt eαtesd t t eα st
1
0
αs α s
3.单位冲激信号
0
σα
L t0 tesd t t1 全s域平面收敛
§ 4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域
主要内容
第 2
页
从傅里叶变换到拉普拉斯变换 拉氏变换的收敛 一些常用函数的拉氏变换
X
一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换
第 3
页
1．拉普拉斯正变换
信f号 (t)乘 , 以衰 e减 t(为 因 任 子 意 )后实 容数 易
绝对可 ,依 积傅 条氏 件变 : 换定义
2π j σj
正变换 逆变换
记 :ft 作 F sft称为原 F函 s称数 为， 象函
考 虑 到 实 际 信 号 都 是 有起 因 信 号 ：
所以
Fω
f
t
ejωtdt
0
采用0系统,相应的单边拉氏变换为
FsLft0 ftestdt
ftL1ft
1
σj
Fs
estds
2πj σj
X
4．说明
LT是FT的 推 广
F是 T L的 T 特 0例
第 6 页
FT 是 t实 与 实 的 关 系
LT是 实 t与 复 s的 关 系
X
二．拉氏变换的收敛
第 7
页
收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。
记为：ROC(region of convergence)
实际上就是拉氏变换存在的条件；
lif m (t)e σ t 0
t
σ σ 0
jω 收敛轴
收敛区
收敛坐标
σ0 O
σ
X
例题及说明
第 8
页
1.满足 lim f(t)et t
0σσ0的信号成为； 指数
2.有 界 的 非 周 期 信氏号变的换拉一 定 存 在 ；
3 .litm n e t0 0 t
4 .lie m te t 0 α t
5.et2 等 信 号 比 指 数长 函快 数， 增找 不 到 收 ，敛 坐 为 非 指 数 阶 信 号 进， 行无 拉法 氏 变 换 。