量子力学常用积分公式

量子力学中常用的级数和积分摘要：（1）研究背景和目的：在量子力学这门课程中涉及和应用到了许多的积分和级数,尤其是在复杂的计算过程中,为了更好的掌握和熟悉这些积分和级数，便于计算,总结和说明这些积分和级数非常有必要和意义.（2）方法：总结整理教材中涉及的积分和级数，并查阅参考资料,利用网络资源补充和完善这些常用的积分和级数。

（3）主要结果：总结归纳了量子力学中常用的积分和级数,并对其中的一些做了说明和解释。

（4）结论：本文总结了量子力学中常用的积分和级数做了一定的总结归纳,并对其中的一些做了详细的说明和扩充。

便于以后对这些积分和级数的学习和查阅。

关键词：量子力学,级数，积分.一，引言：(1）本领域研究背景的综述：量子力学中的积分和级数比较繁杂，对于这些级数和积分的系统全面的整理总结不多。

（2）为什么进行进一步的研究：在量子力学的学习过程中尤其是计算过程中会用到许多的积分和级数，这些积分和级数往往比较复杂和难于理解和掌握，给计算求解过程带来了许多的麻烦.但是查找起来并不方便。

因此为了系统和较全面的掌握和应用这些积分和级数，对它们进行总结和整理时十分有意义的.这将对量子力学的学习有一定的帮助.本文总结了量子力学中常用的积分和级数,并对其中的一些做了详细的说明。

(3)研究目的：便于读者查阅和学习量子中常用的二级分和级数.(4）本文开展的研究工作：整理教材中的典型积分和级数，查阅相关资料文献以及通过网络资源对其进行补充和完善.（5）本文的研究意义：便于读者查阅和学习量子力学中常用的积分和级数.二， 对常用积分和级数的总结整理1，泰勒级数(Taylor series ）是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒（SirBrook Taylor ）来命名的.在数学上，一个定义在开区间（a —r, a+r)上的无穷可微实变函数或复变函数f 的泰勒级数是如下的幂级数：()0()()!n n n f a x a n ∞=-∑这里，n ！ 表示n 的阶乘而()()n f a 表示函数f 在点a 处的n 阶导数。

量子电动力学中有效势的积分表示式
的物理意义
有效势的积分表示式物理意义在量子电动力学中尤其重要，它描述了由激子和现象参与的原子间相互作用过程，用积分表示比用微分方程显得更简单。

有效势积分表示式指的是在量子力学中，一个原子的态能量可以由另一个原子的运动和激子相互作用给出，即可以写成一个积分表示式：
U(r，R) = ∫V(r，r'，R）dr'
其中，——V(r，r'，R)是指原子位置动量P和极化度m的函数；r和R分别是指一个原子的电子位置和另一个原子的位置。

有效势的积分表示式的物理意义就是描述在原子间由激子和现象参与的相互作用过程，它可以用来研究原子间的相互作用力的特性，也就是电子的交流动力学。

由于原子间相互作用的结果是由电子的位置和动量，以及激发和现象两个动态效应叠加而产生的，因此有效势的积分表示式可以一次性地把这些动态效应有机地联系起来，从而使量子力学中的有效势成为一个极其重要的概念。

量子力学中的路径积分方法量子力学是研究微观世界中粒子行为的一门科学，而路径积分方法是量子力学中的一种重要计算方法。

本文将围绕路径积分方法展开讨论。

一、路径积分方法的基本概念路径积分方法是由物理学家费曼在20世纪50年代提出的一种求解量子力学问题的数学工具。

它的基本思想是将粒子在空间中的各种可能路径进行加权求和，从而得到系统的量子力学性质。

二、路径积分方法的数学表达在路径积分方法中，我们需要将系统的作用量写成粒子在空间中路径的积分形式。

具体而言，假设系统的作用量为S，那么路径积分可以表示为：\[Z=\int e^{iS/\hbar}Dq(t)\]其中，Z表示路径积分的结果，i表示虚数单位，hbar为普朗克常数的约化值，q(t)表示粒子在不同时间点的坐标，Dq(t)表示路径的积分测度。

三、路径积分方法的物理解释路径积分方法提供了一种统一的描述粒子运动的方式，它并没有规定粒子只能沿着经典轨迹运动，而是考虑了粒子同时在空间中所有可能的路径。

通过对所有路径的加权求和，路径积分方法给出了系统的量子力学性质，例如粒子的波函数演化、散射过程等。

四、路径积分方法的应用路径积分方法在量子力学的各个领域中都有广泛的应用。

在量子场论中，路径积分方法可以用来计算费曼图，从而得到粒子的散射振幅；在凝聚态物理中，路径积分方法可以用来研究凝聚态系统的性质，如电子、声子等的激发态；在统计物理学中，路径积分方法可以用来计算系统的配分函数、物理量的期望值等。

五、路径积分方法的优缺点路径积分方法作为一种计算框架，具有许多优点。

首先，它提供了一种直观的图像，可以更好地理解粒子运动的物理过程；其次，路径积分方法对于处理耦合系统和非平衡态问题非常有效；此外，路径积分方法还可以应用于量子力学的其他领域，如量子引力等。

然而，路径积分方法也存在一些限制，例如计算复杂度较高、泛函积分的定义需要额外的数学处理等。

六、结语路径积分方法是量子力学中的一种重要计算方法，它通过对所有可能路径进行加权求和，揭示了量子力学的微观本质。

量子力学常用积分公式(1) dx e x an e x a dx e x axn ax n ax n ⎰⎰--=11)0(>n (2) )cos sin (sin 22bx b bx a b a e bxdx e axax-+=⎰(3) =⎰axdx e axcos )sin cos (22bx b bx a ba e ax++(4) ax x a ax aaxdx x cos 1sin 1sin 2-=⎰(5) =⎰axdx x sin 2axa xaax a x cos )2(sin 2222-+(6) axa x ax a axdx x sin cos 1cos 2+=⎰(7)ax a a x ax ax axdx x sin )2(cos 2cos 3222-+=⎰ ())ln(2222c ax x a ac c ax x ++++0>a (8)⎰=+dx c ax 2(a<0))arcsin(222x c a ac c ax x --++(正偶数)⎰20sin πxdx n 2!!!)!1(πn n -=n (9)=(正奇数)⎰20cos πxdx n !!!)!1(n n -=n()2π0>a (10)⎰∞=0sin dx xax()2π-0<a (11))()1!+∞-=⎰n n ax a n dx x e 0,>=a n 正整数(12)adx eax π2102=⎰∞-(13)121022!)!12(2++∞--=⎰n n ax n a n dx e x π(14)1122!2+∞-+=⎰n ax n a n dx e x (15)2sin 022adx x ax π⎰∞=(16)()⎰∞-+=222)(2sin b a abbxdx xe ax 0>a()⎰∞-+-=022222)(cos b a b a bxdx xeax0>a 第二章：函数与波动方程[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能] 2221)(x m x V ω=(解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld 的量子化条件式:⎰=nhpdq在量子化条件中,令为振子动量, 为振子坐标,设总能量E⋅=x m p x q =则 22222x m m P E ω+=)2(222x m E m p ω-=代入公式得:nhdx x m E m =-⎰)2(222ω量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅的四倍,要决定振幅,注意在A 或OA a B 点动能为0,,(1)改写为:2221a m E ω=(2)nh dx x a m aa=-⎰-222ω积分得:nham =πω2遍乘得πω21ωπω n h E ==2[乙法]也是利用量子化条件,大积分变量用时间而不用位移,按题意振动角频率为,直接t x ω写出位移,用的项表示:x t ta x q ωsin ==求微分: (4)tdt a dx dq ωωcos ==求积分: (5)t ma x m p ωωcos ==⋅将(4)(5)代量子化条件:nh tdt ma pdq T==⎰⎰0222cos ωωT 是振动周期,T=,求出积分,得ωπ2nh a m =πω2ωπωn n h E ==2正整数3,2,1=n #[2]用量子化条件,求限制在箱内运动的粒子的能量,箱的长宽高分别为.,,c b a(解)三维问题,有三个独立量子化条件,可设想粒子有三个分运动,每一分运动是自由运动.设粒子与器壁作弹性碰撞,则每碰一次时,与此壁正交方向的分动量变号(如),其余分动量不变,设想粒子从某一分运动完ppxx-→成一个周期,此周期中动量与位移同时变号,量子化条件:(1)pp nq p xax xx xadx h d 22===⎰⎰ (2)pp n q pyby y yybdy h d 220===⎰⎰(3)pp n q p zcz z z z c dz h d 220===⎰⎰都是常数,总动量平方总能量是:pp p zyx,,222z y x p p p p ++=)(2122222z y x p p p mm p E ++===]2(2(2[(21222ch b h a h m n n n zy x ++=])()([(82222cb a m h n n n z y x ++但正整数.3,2,1,,=n n n z y x #[3] 平面转子的转动惯量为,求能量允许值.I (解)解释题意:平面转子是个转动体,它的位置由一坐标（例如转角）决定,它的运动是一种ϕ刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学,转子的角动量,但是角速度,能量是Iω⋅=ϕω221ωI =E 利用量子化条件,将理解成为角动量,理解成转角,一个周期内的运动理解成旋转一周,p q ϕ则有(1)nh d pdq =I =I =⎰⎰ωπϕωπ220(1)说明是量子化的ω(2)(……..)(2)I=I =n nh πω23,2,1=n (3)代入能量公式,得能量量子化公式:(3)I=I I =I =2(2212222 n n E ω#[4]有一带电荷质量的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.e m(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是,线速度r 是,用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是:v (1)rmv c Bev 2=又利用量子化条件,令电荷角动量 转角=p =q ϕ(2)nh mrv mrvd pdq ===⎰⎰πϕπ220即(3)nh mrv =由(1)(2)求得电荷动能=mcn Be mv 2212 =再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能=,是电荷的旋转频率, ,代c B r ev c c *****2π==场强线圈面积电流场强磁矩v rvv π2=入前式得运动电荷的磁势能=(符号是正的)mcnBe 2 点电荷的总能量=动能+磁势能=E= ( )mcnBe 2 3,2,1=n #[5]对高速运动的粒子(静质量)的能量和动量由下式给出:m(1)2221c vmc E -=(2)2221c v mv p -=试根据哈密顿量(3)2242p c c m E H +==及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组:,本题中,,因而pqiiH∂∂=⋅v qi=⋅p pi=(4)224222242pc c m pc p c c m pv +=+∂∂=从前式解出(用表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式.p v 其次求粒子速度和它的物质波的群速度间的关系.运用德氏的假设: 于(3)式v vGk p =右方, 又用于(3)式左方,遍除:ω =E h )(22242k k c c m ωω=+=按照波包理论，波包群速度是角频率丢波数的一阶导数：vG22242k c c m kv G +∂∂==22422222422p c c m pc k c c m kc +=+最后一式按照（4）式等于粒子速度，因而。

目次第二章：波函数与波动方程………………1——25 第三章：一维定态问题……………………26——80 第四章：力学量用符表达…………………80——168 第五章：对称性与守衡定律………………168——199 第六章：中心力场…………………………200——272 第七章：粒子在电磁场中的运动…………273——289 第八章：自旋………………………………290——340 * * * * * 参考用书1．曾谨言编著：量子力学上册 科学。

1981 2．周世勋编：量子力学教程 人教。

19793．L ．I ．席夫著，李淑娴，陈崇光译：量子力学 人教。

19824．D ．特哈尔编，王正清，刘弘度译：量子力学习题集 人教。

1981 5．列维奇著，李平译：量子力学教程习题集 高教。

1958 6．原岛鲜著：初等量子力学（日文） 裳华房。

19727．N.F.Mott.I.N.Sneddon:Wave Mechanics and its Applications 西联影印。

1948 8．L.Pauling.E.B.Wilson:Introduction to Quantum- Mechanics(有中译本：陈洪生译。

科学) 19519. A.S.Davydov: Quantum Mechanics Pergamon Press 1965 10. SIEGFRIED.Fluegge:Practical Quantum- Mechanics（英译本） Springer Verlag 197311. A.Messian:Quantum Mechanics V ol I.North.Holland Pubs 1961 ndau,E.Lifshitz:Quantum-Mechanics1958 量子力学常用积分公式 (1)dx e x an e x a dx e x axn ax n ax n ∫∫−−=11 )0(>n (2) )cos sin (sin 22bx b bx a ba e bxdx e axax−+=∫ (3) =∫axdx e axcos )sin cos (22bx b bx a ba e ax++ (4)ax x a ax a axdx x cos 1sin 1sin 2−=∫(5) =∫axdx x sin 2ax a xaax a x cos )2(sin 2222−+(6)ax a xax aaxdx x sin cos 1cos 2+=∫ (7) ax aa x ax a x axdx x sin )2(cos 2cos 3222−+=∫))ln(2222c ax x a ac c ax x ++++ (0>a ) (8)∫=+dx c ax 2)arcsin(222x c a ac c ax x −−++ (a<0) ∫20sin πxdx n2!!!)!1(πn n − (=n 正偶数)(9) =∫20cos πxdx n!!!)!1(n n − (=n 正奇数) 2π(0>a )(10)∫∞=0sin dx xax2π− (0<a )(11))1!+∞−=∫n n ax an dx x e (0,>=a n 正整数) (12)adx e ax π2102=∫∞− (13) 121022!)!12(2++∞−−=∫n n ax n an dx e x π(14)1122!2+∞−+=∫n ax n an dx e x (15)2sin 022adx xax π∫∞= (16)∫∞−+=222)(2sin b a abbxdx xe ax (0>a )∫∞−+−=022222)(cos b a b a bxdx xeax(0>a )第一章量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。

目次第二章：波函数与波动方程………………1——25 第三章：一维定态问题……………………26——80 第四章：力学量用符表达…………………80——168 第五章：对称性与守衡定律………………168——199 第六章：中心力场…………………………200——272 第七章：粒子在电磁场中的运动…………273——289 第八章：自旋………………………………290——340 * * * * * 参考用书1．曾谨言编著：量子力学上册 科学。

1981 2．周世勋编：量子力学教程 人教。

19793．L ．I ．席夫著，李淑娴，陈崇光译：量子力学 人教。

19824．D ．特哈尔编，王正清，刘弘度译：量子力学习题集 人教。

1981 5．列维奇著，李平译：量子力学教程习题集 高教。

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19727．N.F.Mott.I.N.Sneddon:Wave Mechanics and its Applications 西联影印。

1948 8．L.Pauling.E.B.Wilson:Introduction to Quantum- Mechanics(有中译本：陈洪生译。

科学) 19519. A.S.Davydov: Quantum Mechanics Pergamon Press 1965 10. SIEGFRIED.Fluegge:Practical Quantum- Mechanics（英译本） Springer Verlag 197311. A.Messian:Quantum Mechanics V ol I.North.Holland Pubs 1961 ndau,E.Lifshitz:Quantum-Mechanics1958 量子力学常用积分公式 (1)dx e x an e x a dx e x axn ax n ax n ∫∫−−=11 )0(>n (2) )cos sin (sin 22bx b bx a ba e bxdx e axax−+=∫ (3) =∫axdx e axcos )sin cos (22bx b bx a ba e ax++ (4)ax x a ax a axdx x cos 1sin 1sin 2−=∫(5) =∫axdx x sin 2ax a xaax a x cos )2(sin 2222−+(6)ax a xax aaxdx x sin cos 1cos 2+=∫ (7) ax aa x ax a x axdx x sin )2(cos 2cos 3222−+=∫))ln(2222c ax x a ac c ax x ++++ (0>a ) (8)∫=+dx c ax 2)arcsin(222x c a ac c ax x −−++ (a<0) ∫20sin πxdx n2!!!)!1(πn n − (=n 正偶数)(9) =∫20cos πxdx n!!!)!1(n n − (=n 正奇数) 2π(0>a )(10)∫∞=0sin dx xax2π− (0<a )(11))1!+∞−=∫n n ax an dx x e (0,>=a n 正整数) (12)adx e ax π2102=∫∞− (13) 121022!)!12(2++∞−−=∫n n ax n an dx e x π(14)1122!2+∞−+=∫n ax n an dx e x (15)2sin 022adx xax π∫∞= (16)∫∞−+=222)(2sin b a abbxdx xe ax (0>a )∫∞−+−=022222)(cos b a b a bxdx xeax(0>a )第一章量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。

量子力学常用积分公式类型Ⅰ Г函数及其变化形式(1) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞--∞-∞-∞-∞---⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=Γ==Γ==Γ==Γ==Γ=⇒>Γ=0021000231)21(1)1(1)2(2)3(6)4()0)((παααdx x e dx e xdx e dx x e dx x e dx x e x xx x x x(2) ⎰∞-+Γ=)21(212ββdx x e x证明：在⎰∞-->Γ=01)0)((αααdx x e x 中令ｘ＝ｙ2即得。

(3) 2)21(2102π=Γ=⎰∞-dx e x证明：πθπ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞∞-+-∞∞-∞∞--∞∞--drd r e dxdy edy edx er y x y x 020)(2222222022ππ=⇒=⇒⎰⎰∞-∞-dx e dx ex x(4)⎰∞∞---=ABBxAxe Adx e 4/22π证明：AB AB ABA B eAdyeeA dx edx ey x A BxAx 42422422221)(π===⎰⎰⎰∞∞--∞∞-∞∞-++---(5) 10!+∞-=⎰n n ax a n dx x e (0,>=a n 正整数)(6) a dx e ax π2102=⎰∞- (7) 121022!)!12(2++∞--=⎰n n ax n a n dx e x π(8) 1122!2+∞-+=⎰n ax n a n dx e x 类型Ⅱ 含有三角函数和指数函数的积分(9) ⎰+-=22ax axp a )px cos p px sin a (e pxdx sin e (10) ⎰++=22ax axp a )px sin p px cos a (e pxdx cos e 证明：222222)cos sin ()sin cos ()sin )(cos ()sin (cos p a px p px a e ip a px p px a e p a px i px ip a e ip a e dx edx px i px eax ax ax ipx ax ipxax ax+-+++=++-=+==+⎰⎰++(11) ax x a ax aaxdx x cos 1sin 1sin 2-=⎰ (12) =⎰axdx x sin 2ax ax a ax a x cos )2(sin 2222-+ (13) ax a x ax a axdx x sin cos 1cos 2+=⎰(14) ax a a x ax a x axdx x sin )2(cos 2cos 3222-+=⎰)(15) ⎰⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--++>++++=+)0(),arcsin(22)0(),ln(222222a x c a a c c ax x a c ax x a ac c ax x dx c ax (16) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==⎰⎰正奇数），（正偶数）n n n n n n xdx xdx n n !!!)!1((,2!!!)!1(cos sin 2020πππ(17) ⎪⎩⎪⎨⎧<->=⎰∞)0(,2)0(,2sin 0a a dx x ax ππ(18) 2sin 022adx x ax π⎰∞= (19) ⎰∞-+=222)(2sin b a abbxdx xe ax (0>a ) (20) ⎰∞-+-=022222)(cos b a b a bxdx xeax(0>a )类型Ⅲ 一类含有指数函数的积分(21) 645.161112121020≈===-∑∑⎰⎰∞=∞=∞-∞πk k yx k dy ye k dx e x (22) 404.2121113102302≈==-∑∑⎰⎰∞=∞=∞-∞k k yx k dy e y k dx e x (23) 15161141410343π===-∑∑⎰⎰∞=∞=∞-∞k k yx k dy e y k dx e x （利用901414π=∑∞=k k 可证96)12(1404π=+∑∞=k k ）(24) 612.22121112/3102/12/302/1⨯===-∑∑⎰⎰∞=∞=∞-∞ππk k yx kdy e yk dx e x(25) 341.1431431112/5102/32/502/3⨯===-∑∑⎰⎰∞=∞=∞-∞ππk k yx kdy e yk dx e x (26) 121)1(1)1(12121121π=-=-=+∑∑⎰⎰∞=-∞=∞--∞k k k yk x kdy yekdx e x。

量子力学常用计算公式1. 哈密顿算符（Hamiltonian Operator）哈密顿算符在量子力学中用于描述系统的总能量。

它的一般形式为：H = K + V其中，K表示动能算符，V表示势能算符。

2. 薛定谔方程（Schrödinger Equation）薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了量子系统的时间演化。

其一维形式为：iℏ∂ψ/∂t = -ℏ^2/(2m) ∂^2ψ/∂x^2 + Vψ其中，i表示虚数单位，ℏ为约化普朗克常数，m为粒子的质量，ψ为波函数，V为势能。

3. 波函数归一化（Normalization of Wavefunction)波函数必须满足归一化条件，即在整个空间积分后等于1。

对一维情况而言，归一化条件表示为：∫|ψ|^2 dx = 14. 物理量期望值（Expectation Value of Physical Quantity)物理量的期望值表示在量子态中对该物理量进行测量得到的平均值。

对一个可观测量A而言，其期望值定义为：<E[A]> = ∫ψ*Aψ dx其中，A表示物理量算符，ψ为波函数，*表示复共轭。

5. 不确定度原理（Uncertainty Principle)不确定度原理描述了同时测量一对共轭物理量（如位置和动量）的限制。

其数学表达为：ΔxΔp >= ℏ/2其中，Δx表示位置测量精度，Δp表示动量测量精度，ℏ为约化普朗克常数。

6. 一维势阱（One-dimensional Potential Well)一维势阱是一个常见的量子力学模型，用于探讨粒子在势能为零或有限的区域内的行为。

在无穷深势阱中，粒子的波函数为定态波函数，表示为：ψ_n(x) = sqrt(2/L) * sin(nπx/L)其中，L表示势阱的长度，n为正整数。

7. 自旋（Spin)自旋是粒子的固有属性，在量子力学中用于描述粒子的角动量。

自旋算符的本征态表示自旋的量子态，常用的自旋算符包括Sx、Sy和Sz。