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第三章形式理论3.1希耳伯特（Hilbert ）空间在上两章中，我们已经看到了简单量子体系的一些有趣的特性。
其中有些是特定势能的“偶然”特点（例如：谐振子能级间隔的均匀分布），但是另外一些是普遍的，给它们一个彻底的一劳永逸的证明是十分必要的（例如：不确定原理和定态正交性）。
本章的目的是在一个更有力的形式上重新讨论我们的理论。
从重新讨论的角度来讲，本章没有很多完全是新的内容，其基本思想是对我们已在特定情况中的发现做更清晰的了解。
波函数和算符是量子理论的两块基石。
体系的状态用波函数表示，可观察量用算符表示。
数学上讲，波函数满足抽象矢量的定义条件，算符作为线性变换作用于矢量之上。
因此，量子力学的自然语言是线性代数。
1但是我估计它并非是一个你可以很快熟悉的形式。
在N 维空间中，可以简单地用对应于N 个正交归一基矢的分量，{}n a ，的一个N 行列矩阵表示一个矢量α，即：12.N a aa α⎛⎫ ⎪ ⎪→= ⎪ ⎪⎝⎭a [3.1]两个矢量的内积（三维空间标量积的推广）αβ是一个复数，***1122.N N a b a b a b αβ=++ [3.2]线性变换T 用矩阵（相应指定的基矢）表示，通过普通的矩阵乘法规则作用于矢量上（得到新的矢量）：11112121222212.N N N N NN N a t t t t t t a T t t t a βα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b Ta [3.3] 但是在量子力学中我们遇到的“矢量”是函数（绝大多数情况下），它们存在于无穷维空间中，对于它们，用N 行列矩阵/矩阵的方法有点笨拙，以及在有限维下有很好行为的矩阵乘法可能存在问题。
（其理由是，尽管3.2式的有限求和总是存在的，而对于无限求和或积分可能不收敛，在这种情况下内积将不存在，那么涉及到内积的任何论述都有疑问。
）因此，即使对大多数的术语和符号比较熟悉，仍要十分谨慎。
所有x 的函数的集合构成了一个矢量空间，但对于我们的目的来说它太大了。
量子力学3第三章力学量算符§3.1 算符及其运算规则§3.2 厄米算符及其性质§3.3 连续谱本征函数的归一化§3.4 力学量算符随时间演化§3.5 守恒量与对称性§3.6 全同粒子体系§3.1 算符及其运算规则一、算符的基本运算规则二、算符的函数三、对易关系和对易子四、厄米算符和幺正算符五、量子力学向经典力学的过渡六、角动量算符一、算符的基本运算规则一、算符的基本运算规则量子力学第二公设—算符公设1）线性算符：A ( c1ψ 1 + c 2ψ 2 ) = c1 A ψ 1 + c 2 A ψ 2二、算符的函数二、算符的函数例子一般地，算符的函数可以表为? ? f ( A) = ∑ cn A nn2）单位算符：I?ψ = ψ3）算符之和：( A + B )ψ = A ψ + B ψ ?? ? ? 4）算符之积： ( A B )ψ = A ( B ψ )一个常用的公式：eA = ∑∞ n=0An n!其它的例子例题：若G为算符，t为参数，证明：Gt e = Ge Gt ?t算符之积满足结合律，但不满足交换律（不对易）。
5）算符之逆： A A ?1 = A ?1 A = I?三、对易关系与对易子三、对易关系与对易子对易子的定义： [ A, B ] = A B ? B A例：坐标与动量的对易关系。
解：考虑x p xψ = ? ih x ? p x xψ = ? ih ? ψ ?x对易关系的几个恒等式： [ A, B ] = ?[ B , A ][ A, B + C ] = [ A, B ] + [ A, C ] [ A, BC ] = B[ A, C ] + [ A, B ]C [ AB , C ] = A[ B , C ] + [ A, C ] B [ A, [ B , C ]] + [ B , [C , A ]] + [C , [ A, B ]] = 0(Jacobi恒等式)( xψ ) = ? ih ψ ? ih x ψ ?x ?xx p xψ ? p x x ψ = ih ψ ? [ x , p x ] = ih这样，对任意波函数，均有所以类似可证： [ y , p y ] = ih但[ z , p z ] = ih[ x , p y ] = [ x , p z ] = [ y , p x ] = ...... = 0 ? [ xα , p β ] = ih δ αβ综合式四、厄米算符和幺正算符四、厄米算符和幺正算符进一步的例算1、计算对易子： [ f ( x ), p x ] = ?2、设λ是一个小量，算符 A 之逆 A ?1 存在，求证：~ ? ? 1）算符的转置：∫ ψ * A ? d τ = ∫ ? A ψ * d τ~ ? ? 即(ψ , A ? ) = (? * , A ψ * )注意算符乘积的转置用法 ?* ? * * 2）算符的复共轭：A ψ = ( A ψ )+ ? 3）算符的厄米共轭：(ψ , A ? ) = ( A ψ , ? ) ~ ? ? ? ? 由 ( A ψ , ? ) = (? , A ψ ) * = (? * , A *ψ * ) = (ψ , A *? )~ ? ? 可得 A + = A *( A ? λ B ) ?1 = A ?1 + λ A ?1 B A ?1 + λ 2 A ?1 B A ?1 B A ?1 + ...3、算符A与B不对易，但它们的对易子C与B对易，求证：[ A, B n ] = nCB n ?1 , [ A, f ( B )] = C f ' ( B ), [ A, e B ] = Ce B 算符乘积的厄米共轭4）厄米算符：若算符A满足 A + = A ，则A称为厄米算符。
第三章一维定态问题第三章 目 录§3.1一般性质 (3)（1）定理1：一维运动的分立能级（束缚态），一般是不简并的 (3)（2）不同的分立能级的波函数是正交的。
(4)（3）振荡定理 (5)（4）在无穷大位势处的边条件 (5)§3.2阶梯位势 (6)§3.3位垒穿透 (9)（1） E<V 0 (9)（2） 0V E > (11)（3）结果讨论 (11)§3.4方位阱穿透 (11)§3.5一维无限深方位阱 (12)（1）能量本征值和本征函数 (12)（2）结果讨论 .................................. 13 §3.6宇称，一维有限深方势阱，双 δ位势 .. (14)（1）宇称 (14)（2）有限对称方位阱 (15)（3） 求粒子在双δ位阱中运动 (18)§3.7束缚能级与反射振幅极点的关系 (21)（1） 半壁δ位阱的散射 (21)（2）有限深方位阱 (23)§3.8 一维谐振子的代数解法 (23)（1）能量本征值 (24)（2） 能量本征函数 (26)（3）讨论和结论 (28)§3.9 相干态 (30)（1） 湮灭算符 aˆ 的本征态 .................... 30 （2） 相干态的性质 .. (31)第三章 一维定态问题现将所学得的原理和方程应用于最简单的问题：一维、不显含时间的位势，即一维定态问题。
当 )r (V )t ,r (V =则薛定谔方程 )t ,r ()p ˆ,r (H ˆ)t ,r (ti ψ=ψ∂∂ 有特解 /iEt E E e )r (u )t ,r (-=ϕ而 )r (u E 满足 )r (Eu )r (u )p ˆ,r (HˆE E = 事实上，当)r (V 有一定性质时，如)Z (V )y (V )x (V )r (V ++=或)r (V )r (V =时，三维问题可化为一维问题处理，所以一维问题是解决三维问题的基础。
