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第三章离散傅里叶变换DFT: Discrete Fourier Transform第三章学习目标z理解傅里叶变换的几种形式z掌握离散傅里叶变换(DFT)及性质，圆周移位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间的关系z掌握频域抽样理论z掌握DFT的应用引言DFT要解决两个问题：一是频谱的离散化；二是算法的快速计算(FFT)。
这两个问题都是为了使计算机能够实时处理信号。
Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换可以得出一般的规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓；一个域的连续必定对应另一个域的非周期。
−jwndw e jwn 时域离散、非周期频域连续、周期z 时域周期化→频域离散化z 时域离散化→频域周期化离散连续周期性非周期性引言Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换离散时间、离散频率—周期序列的傅里叶级数由DTFT到DFS离散时间、离散频率的傅立叶级数（DFS）由上述分析可知，对DTFT，要想在频域上离散化，那么在时域上必须作周期延拓。
对长度为M的有限长序列x(n)，以N为周期延拓（N≥M）。
注意：周期序列的离散傅里叶级数（DFS）只对有限长序列作周期延拓或周期序列成立。
……四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(Ω=2π/T)离散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω=2π/T)在进行DFS 分析时，时域、频域序列都是无限长的周期序列周期序列实际上只有有限个序列值有意义长度为N 的有限长序列可以看成周期为N 的周期序列的一个周期（主值序列）借助DFS 变换对，取时域、频域的主值序列可以得到一个新的变换—DFT ，即有限长序列的离散傅里叶变换3.1 离散傅里叶变换（DFT ）的定义及物理意义——有限长序列的离散频域表示x(n)的N 点DFT 是¾x(n)的z 变换在单位圆上的N 点等间隔抽样；¾x(n)的DTFT 在区间[0，2π）上的N 点等间隔抽样。
第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。
与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。
本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。
3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。
若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。
[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。
即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。
第3章 离散傅立叶变换3.1 离散傅里叶变换的定义 3.1.1 DFT 的定义设()x n 是一个长度为M 的有限长序列， 则定义()x n 的N 点离散傅里叶变换为10()[()](), k=0, 1, , N-1 N knN n X k DFT x n x n W -===∑()X k 的离散傅里叶逆变换为101()[()](), k=0, 1, , N-1 N kn N n X k DFT x n X n W N --===∑2jk k NNW eπ=，称为旋转因子，N 称为DFT 变换区间的长度，N ≥M例 4()()x n R n =，求()x n 的8点和16点DFT设变换区间N=8， 则2738838()()sin()2,0,1,,7sin()8jkn kn n N j k X k x n Wek ek k ππππ-==-====⋅⋅⋅∑∑ 设变换区间N=16， 则273880038()()sin()4,0,1,,15sin()16jkn kn n N j k X k x n Wek ek k ππππ-==-====⋅⋅⋅∑∑ 3.1.2 DFT 和Z 变换的关系设序列()x n 的长度为N ， 其Z 变换和DFT 分别为：110()[()]()()[()]()0k N-1N nn N knNn X z ZT x n x n z X k DFT x n x n W --=-=====≤≤∑∑比较上面二式可得关系式22()(),0k N-1()(),0k N-1jk Nz ej k NX k X z X k X e πωπω===≤≤=≤≤物理含义：可以将()X k 看成是对()j X e ω的采样。
3.1.3DFT 的隐含周期性1()010()()()()()()N k mN nNn N knN n X k mN x n W x n W X k x n mN x n -+=-=+===+=∑∑ 对于非周期序列，可以通过周期延拓得到，过程为~()()m x n x n mN ∞=-∞=+∑~()()()N x n x n R n =⋅常取主值区间为研究对象：~()(())N x n x n = 例：有限长序列及其周期延拓3.2 离散傅里叶变换的基本性质 线性卷积与循环卷积关系 线性卷积：12112111211111111111111[0][0][1][0][1][1][2][0][1][1][0][0]0[2][1][0]0[1][2][3][0]0[1][2][1][0]0x x x x x x M x M x x L x M x x x x x x M x M x M x x M x M x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢-⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎢⎥⎢---⎢⎥⎢⎢⎥⎢--⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ 1111111111111111111111111[0]000[2][1][1][1][0]000[1][2][1][2][0]0000[1][0][0]0[2][1][0]0[1][2][3][4]0[1][2][3][0]x x M x M x x x x M x x M x M x x M x x x x x x M x M x M x M x M x M x M x --⎡⎢-⎢⎢⎢--⎢⎢-⎢⎢⎢-------⎣222[0][1]0000[1]x x x L ⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎦⎣⎦１、线性性质121212()()()()max[,]DFTax n bx n aX k bX k N N N +−−−→+=1N 和2N 分别为序列的延拓周期。
2、循环移位性质序列的循环移位：设()x n 为有限长序列，长度为N ， 则()x n 的循环移位定义为()(())()N N y n x n m R n =+11112111121111211112[0][3][2][1][0][0][1][0][3][2][1][1][2][1][0][3][2][2][3][2][1][0][3][3]101112110111110001111x x x x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦322⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2. 时域循环移位定理设()x n 是长度为N 的有限长序列 (())()()DFTnkN N N x n m R n W X k -+−−−→110()[()](())()(())N knN N N n N knN N n Y k DFT y n x n m R n W x n m W -=-===+=+∑∑ 令'n m n +=，则有1()1()(())(())N mk n m N Nn m N m kn kn NN Nn mY k x n W W x n W -+'-'=-+'-'='='=∑∑3. 频域循环移位定理如果(())()()IDFT nlN N N X k l R k W x n +−−−→ 3.2.3 循环卷积定理1212()()()()IDFT x n x n X k X k ⊗−−−→1211201221()()()()(())()()[()]()()()()N N N m x n x n x n x m x n m R n X k DFT x n X k X k X k X k -==⊗=-==⋅=⋅∑12121()()()()x n x n X k X k N−−→⊗ 对称性：()()()()()()()()DFTDFTr e e r DFTDFTi o o i x n X k x n X k x n X k x n X k −−−→−−−→−−−→−−−→用途：1212()()()()()()()()()()DFT e o DFT DFTe o x n x n jx n X k X k X k x n X k x n X k =+−−−→=+−−−→−−−→3.3 频率域采样如果序列()x n 的长度为M ，只有当频域采样点数N M ≥时， 才有()[()]()N x n IDFT X k x n ==即可由频域采样()X k 恢复原序列()x n ，否则产生时域混叠现象。
这就是所谓的频域采样定理。
频域采样()X k 表示X(z)的内插公式和内插函数。
设序列()x n 的长度为M ， 在频域0~2π之间等间隔采样N 点，N M ≥，则有211()()()(),0,1,2,,11()()[()]()jk NN nn z eN kn Nk X z x n z X k X z k N x n X z X k X k WNπ--==--====⋅⋅⋅-==∑∑110011001101()[()]1()11()1N N kn nN n k N N kn n N k n kN NN N k k N X z X k W z N X k W z N W z X k NW z ---==----==-----===-=-∑∑∑∑∑ 111()1Nk k N z z N W zϕ----=-为内插函数。
10()()()N k k X z X k z ϕ-==∑()X k 表示()X z 的内插公式。
当j z e ω=，(2/)11()1j N k j k N e N e ωωπϕω----=- 1()()()N j k k X e X k ωϕω-==∑ 11()2021sin(/2)()()()()sin(/2)N N j j k N X e X k k eN N ωωπωϕωϕωω--==-=∑ 3.4 DFT 的应用举例3.4.1 用DFT 计算线性卷积将两个序列都补零延拓为121L N N ≥+-并进行循环卷积时，线性卷积和循环卷积相等121212()*()(())(())(())(())1L L x n x n x n x n L length x n length x n =⊗≥+-1212()*()[((()))((()))]N N x n x n IDFT DFT x n DFT x n =⋅长序列计算卷积设序列()h n 长度为N ，()x n 为无限长序列。
将()x n 均匀分段，每段长度取M ， 则()()()()()k i k M x n x n x n x n R n kM ∞===⋅-∑于是，()h n 与()x n 的线性卷积可表示为000()()()()()()()()k k k k k k k y n h n x n h n x n h n x n y n ∞=∞=∞==*=*=*=∑∑∑图示为：例 已知序列x [k ]=k +2,0≤k ≤12, h [k ]={1,2,1}试分别利用重叠相加和保留法计算线性卷积, 取L =5 。
重叠相加法x 1[k ]={2, 3, 4, 5, 6}，x 2[k ]={7, 8, 9, 10, 11}，x 3[k ]={12,13, 14} y 1[k ]={2, 7, 12, 16, 20, 17, 6}y 2[k ]={7,22, 32, 36, 40, 32, 11}y3[k ]={12, 37, 52, 41, 14}y [k ]={2, 7, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 41, 14} 重叠保留法x 1[k ]={0, 0, 2, 3, 4}，x 2[k ]={3, 4, 5, 6 ,7}，x 3[k ]={6 ,7 , 8, 9, 10}，x 4[k ]={9, 10 , 11, 12,13} x 5[k ]={12,13, 14, 0, 0}y 1[k ]= x 1[k ]⊗h [k ]= {11, 4, 2, 7, 12}，y 2[k ]= x 2[k ]⊗h [k ]= {23, 17, 16, 20, 24} y 3[k ]= x 3[k ]⊗h [k ]= {35, 29, 28, 32, 36}， y 4[k ]= x 4[k ]⊗h [k ]= {47, 41, 40, 44, 48} y 5[k ]= x 5[k ]⊗h [k ]= {12, 37, 52, 41, 14}y [k ]={2, 7, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 41, 14}3.4.2 用DFT 对信号进行谱分析设连续信号()a x t 的持续时间为p T ，最高频率为c f2()[()]()j ft a a a X FT x t x t e dt π∞--∞Ω==⎰对信号采样并保持，假设为零阶保持，有120()()N j fnTa a n X jf Tx nT eπ--==∑()a X jf 仍是f 的连续周期函数，对()X jf 在区间[0 s f ]上等间隔采样N 点， 采样间隔为F2Nπ，参数s f 、p T 、N 和F 满足如下关系式： 11s p pf F F T NT N NT T ====，， 210()()N j kn Na n X jkF T x nT eπ--==∑()(),()()a a X k X jkf x n x nT ==在用DFT 分析信号频谱特性时，在已知信号的最高频率c f (即谱分析范围时)， 为了避免在DFT 运算中发生频率混叠现象，要求采样速率s f 满足下式 2s c f f ≥ 谱分辨率ss f F N=，信号的观察时间p T 和N 可以按照下式进行选择 21c p f N T F F>≥，因此，s F N例：对实信号进行谱分析， 要求谱分辨率F ≤10 Hz ，信号最高频率 2.5c f kHz =，试确定最小记录时间min p T ，最大的采样间隔max T ，最少的采样点数min N 。
