3 离散傅里叶变换解析

离散序列的傅里叶变换离散序列的傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种将离散序列从时域转换到频域的数学工具。

它在信号处理、图像处理、通信等领域扮演着重要角色。

本文将介绍离散序列的傅里叶变换的基本概念、性质以及在实际应用中的一些例子。

一、离散序列的傅里叶变换的基本概念离散序列的傅里叶变换是将一个离散序列转换为一系列复数的运算。

它的定义公式为：X(k) = Σx(n)e^(-j2πkn/N)其中，X(k)为频域上的复数序列，表示原始序列在频率为k的分量上的幅度和相位信息；x(n)为时域上的离散序列，表示原始序列在时间点n上的取值；N为序列的长度；e为自然对数的底数，j为虚数单位。

二、离散序列的傅里叶变换的性质离散序列的傅里叶变换具有一些重要的性质，包括线性性、平移性、对称性等。

1. 线性性：对于离散序列x(n)和y(n)，以及任意常数a和b，有DFT(ax(n) + by(n)) = aDFT(x(n)) + bDFT(y(n))。

2. 平移性：如果将离散序列x(n)平移m个单位，则其傅里叶变换为X(k)e^(-j2πkm/N)。

3. 对称性：如果离散序列x(n)是实数序列且长度为N，则其傅里叶变换满足X(k) = X(N-k)。

三、离散序列的傅里叶变换的应用举例离散序列的傅里叶变换在实际应用中有着广泛的应用。

以下是几个常见的例子：1. 信号处理：在音乐、语音、图像等信号处理领域，离散序列的傅里叶变换可以用来分析信号的频谱特性，包括频率成分、能量分布等。

通过傅里叶变换，我们可以将时域上的信号转换为频域上的信号，从而更好地理解信号的特征。

2. 图像处理：在图像处理中，离散序列的傅里叶变换可以用来进行图像的滤波、增强、压缩等操作。

通过将图像转换到频域上，我们可以对不同频率分量进行处理，从而实现对图像的各种操作。

3. 通信系统：在通信系统中，离散序列的傅里叶变换可以用来实现信号的调制、解调、滤波等功能。

第三章离散傅里叶变换DFT: Discrete Fourier Transform第三章学习目标z理解傅里叶变换的几种形式z掌握离散傅里叶变换(DFT)及性质，圆周移位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间的关系z掌握频域抽样理论z掌握DFT的应用引言DFT要解决两个问题：一是频谱的离散化；二是算法的快速计算(FFT)。

这两个问题都是为了使计算机能够实时处理信号。

Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换可以得出一般的规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓；一个域的连续必定对应另一个域的非周期。

−jwndw e jwn 时域离散、非周期频域连续、周期z 时域周期化→频域离散化z 时域离散化→频域周期化离散连续周期性非周期性引言Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换离散时间、离散频率—周期序列的傅里叶级数由DTFT到DFS离散时间、离散频率的傅立叶级数（DFS）由上述分析可知，对DTFT，要想在频域上离散化，那么在时域上必须作周期延拓。

对长度为M的有限长序列x(n)，以N为周期延拓（N≥M）。

注意：周期序列的离散傅里叶级数（DFS）只对有限长序列作周期延拓或周期序列成立。

……四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(Ω=2π/T)离散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω=2π/T)在进行DFS 分析时，时域、频域序列都是无限长的周期序列周期序列实际上只有有限个序列值有意义长度为N 的有限长序列可以看成周期为N 的周期序列的一个周期（主值序列）借助DFS 变换对，取时域、频域的主值序列可以得到一个新的变换—DFT ，即有限长序列的离散傅里叶变换3.1 离散傅里叶变换（DFT ）的定义及物理意义——有限长序列的离散频域表示x(n)的N 点DFT 是¾x(n)的z 变换在单位圆上的N 点等间隔抽样；¾x(n)的DTFT 在区间[0，2π）上的N 点等间隔抽样。

第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。

与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。

本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。

3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。

若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。

[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。

即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。

三维离散傅里叶变换原理
三维离散傅里叶变换（3D DFT）是指对一个三维离散信号进行傅里叶变换的操作。

其原理可以概括如下：
1. 三维离散信号表示：将一个三维离散信号表示为一个由
N1×N2×N3个离散点组成的立方体，其中每个点上的数值表示信号在该点上的强度。

2. 三维频域表示：将三维信号的离散傅里叶变换表示为一个由N1×N2×N3个复数值组成的立方体，其中每个复数值表示信号在该频率下的振幅和相位。

3. 变换计算：根据定义，三维离散傅里叶变换可以通过对三维信号进行三次一维离散傅里叶变换（1D DFT）来计算。

即首先对信号在第一维进行1D DFT，然后对得到的结果在第二维进行1D DFT，最后对结果在第三维进行1D DFT。

这样就得到了三维频域表示。

4. 频率范围：三维离散傅里叶变换的频率范围由N1、N2和
N3决定，通常频率范围为[-N1/2, N1/2-1] × [-N2/2, N2/2-1] × [-N3/2, N3/2-1]。

5. 逆变换：根据傅里叶变换的性质，可以通过计算三维频域表示的逆变换（3D IDFT）来恢复原始的三维信号。

总之，三维离散傅里叶变换是一种将三维离散信号从时域转换到频域的变换方法，用于分析和处理三维信号。

第三章离散时间信号的傅里叶变换课程：数字信号处理目录第三章离散时间信号的傅里叶变换 (3)教学目标 (3)3.1引言 (3)3.2傅里叶级数CFS (4)3.2.1傅里叶级数CFS定义 (4)3.2.2傅里叶级数CFS性质 (6)3.3傅里叶变换CFT (7)3.3.1傅里叶变换CFT定义 (7)3.3.2傅里叶变换CFT的性质 (8)3.4离散时间信号傅里叶变换DTFT (9)3.4.1离散时间信号傅里叶变换DTFT定义 (9)3.4.2离散时间信号傅里叶变换的性质 (10)3.5周期序列的离散傅里叶级数(DFS) (14)3.5.1周期序列的离散傅里叶级数的定义 (14)3.5.2周期序列的离散傅里叶级数的性质 (18)3.6离散傅里叶变换(DFT) (20)3.6.1离散傅里叶变换(DFT) (20)3.6.2离散傅里叶变换的性质 (23)3.7CFS、CFT、DTFT、DFS和DFT的区别与联系 (25)3.8用DFT计算模拟信号的傅里叶分析 (28)3.9实验 (30)本章小结 (32)习题 (33)参考文献： (36)第三章离散时间信号的傅里叶变换教学目标本章讲解由时域到频域的傅里叶变换，频域观察信号有助于进一步揭示系统的本质，对于某些系统可以极大的简化其设计和分析过程。

通过本章的学习，要理解连续时间信号的傅里叶级数和傅里叶变换的和离散时间信号基本概念、性质和应用；了解一些典型信号的傅里叶变换；理解连续时间信号的傅里叶级数(CFS)、连续时间信号的傅里叶变换(CFT)、离散时间傅里叶变换(DTFT)、离散时间傅里叶级数(DTFS)和离散傅里叶变换(DFT)它们相互间的区别与联系；掌握傅里叶变换的参数选择，以及这些参数对傅里叶变换性能的影响；了解信号处理中其它算法（卷积、相关等）可以通过离散傅里叶变换(DFT)来实现。

3.1引言一束白光透过三棱镜，可以分解为不同颜色的光，这些光再通过三棱镜，就会得到白光。

信号处理中的离散傅里叶变换原理信号处理是一种应用广泛的技术，它包括了一系列的算法和方法，用于处理和分析数字信号。

其中，离散傅里叶变换（DFT）是一种重要的数学工具，它可以将时域信号转换为频域信号，并且在数字信号处理、图像处理、音频处理等领域中被广泛使用。

一、傅里叶变换的基本概念首先，我们需要了解傅里叶变换的基本概念。

傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学方法。

在傅里叶变换中，一个连续信号可以分解为若干个正弦波的叠加，每个正弦波有特定的振幅、频率和相位。

在时域中，信号可以表示为一个函数 f(t)，其中 t 表示时间。

而在频域中，信号可以表示为一个函数F(ω)，其中ω 表示角频率。

傅里叶变换的基本公式为：F(ω) = ∫f(t)e^(−jωt)dt其中，j 表示虚数单位。

二、离散傅里叶变换在实际应用中，我们需要对数字信号进行处理。

由于数字信号是以离散时间表示的，因此需要使用离散傅里叶变换（DFT）来处理这些信号。

离散傅里叶变换的公式为：X(k) = Σ_n=0^(N−1)x(n)e^(−j2πnk/N)其中，x(n) 表示时域信号，X(k) 表示频域信号，N 表示信号的长度，k 表示频域中的采样点。

三、离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换具有许多重要的性质，这些性质使得它在数字信号处理中得到广泛应用。

1. 线性性：离散傅里叶变换是线性的，即对于任意的常数 a 和b，有 DFT(ax(n) + by(n)) = aDFT(x(n)) + bDFT(y(n))。

2. 对称性：离散傅里叶变换具有对称性，即 DFT(x(n)) = DFT(x(N−n))。

3. 周期性：离散傅里叶变换具有周期性，即 DFT(x(n + N)) = DFT(x(n))。

4. 卷积定理：离散傅里叶变换具有卷积定理，即 DFT(x(n) * y(n)) = DFT(x(n)) × DFT(y(n))。

5. 解析性：离散傅里叶变换可以用于解析信号，即可以通过将信号从时域转换到频域来分析信号的特征。