图像的二维离散傅立叶变换

二维离散傅里叶变换计算过程傅里叶变换是信号处理中非常重要的数学工具，可以将一个时域信号转换为频域表示。

而二维离散傅里叶变换（2D DFT）则是将二维离散信号转换为二维频域表示。

本文将介绍二维离散傅里叶变换的计算过程。

1. 二维离散傅里叶变换的定义二维离散傅里叶变换是将一个二维离散信号（图像）转换为二维频域表示的数学变换。

假设有一个大小为M×N的二维离散信号f(x, y)，其中x和y分别表示信号的行和列，那么二维离散傅里叶变换的定义可以表示为：F(u, v) = ΣΣf(x, y) * exp(-j2π(ux/M + vy/N))其中F(u, v)表示变换后的频域信号，u和v分别表示频域的行和列，j表示虚数单位，M和N分别表示信号的行数和列数。

2. 二维离散傅里叶变换的计算过程二维离散傅里叶变换的计算过程可以分为两个步骤：首先进行行变换，然后进行列变换。

2.1 行变换对于给定的二维离散信号f(x, y)，我们首先对每一行进行变换。

对于第i行，我们可以将其看作一个一维离散信号，然后对其进行一维离散傅里叶变换。

假设第i行的变换结果为F(i, v)，其中v 表示频域的列，那么F(i, v)的计算公式为：F(i, v) = Σf(i, y) * exp(-j2πvy/N)其中y表示该行的列索引。

2.2 列变换在完成行变换后，我们继续对每一列进行变换。

对于每一列，我们可以将其看作一个一维离散信号，然后对其进行一维离散傅里叶变换。

假设第j列的变换结果为F(u, j)，其中u表示频域的行，那么F(u, j)的计算公式为：F(u, j) = ΣF(i, j) * exp(-j2πiu/M)其中i表示该列的行索引。

3. 二维离散傅里叶变换的计算复杂度二维离散傅里叶变换的计算复杂度较高，为O(MN(M+N))。

其中M和N分别表示信号的行数和列数。

由于计算复杂度较高，通常会采用快速傅里叶变换（FFT）算法来加速计算过程。

图像傅立叶变换（二维傅立叶变换fourier, 二维DFT, 2d-fft）的原理和物理意义图像傅立叶变换图像的傅立叶变换，原始图像由N行N列构成，N必须是基2的，把这个N*N个包含图像的点称为实部，另外还需要N*N个点称为虚部，因为FFT是基于复数的，如下图所示：计算图像傅立叶变换的过程很简单：首先对每一行做一维FFT，然后对每一列做一维FFT。

具体来说，先对第0行的N个点做FFT（实部有值，虚部为0），将FFT输出的实部放回原来第0行的实部，FFT输出的虚部放回第0行的虚部，这样计算完全部行之后，图像的实部和虚部包含的是中间数据，然后用相同的办法进行列方向上的FFT变换，这样N*N的图像经过FFT得到一个N*N的频谱。

下面展示了一副图像的二维FFT变换：频域中可以包含负值，图像中灰色表示0，黑色表示负值，白色表示正值。

可以看到4个角上的黑色更黑，白色更白，表示其幅度更大，其实4个角上的系数表示的是图像的低频组成部分，而中心则是图像的高频组成部分。

除此以外，FFT的系数显得杂乱无章，基本看不出什么。

将上述直角坐标转换为极坐标的形式，稍微比较容易理解一点，幅度中4个角上白色的区域表示幅度较大，而相位中高频和低频基本看不出什么区别来。

上述以一种不同的方法展示了图像频谱，它将低频部分平移到了频谱的中心。

这个其实很好理解，因为经2D-FFT的信号是离散图像，其2D-FFT的输出就是周期信号，也就是将前面一张图周期性平铺，取了一张以低频为中心的图。

将原点放在中心有很多好处，比如更加直观更符合周期性的原理，但在这节中还是以未平移之前的图来解释。

行N/2和列N/2将频域分成四块。

对实部和幅度来说，右上角和左下角成镜像关系，左上角和右下角也是镜像关系；对虚部和相位来说，也是类似的，只是符号要取反，这种对称性和1维傅立叶变换是类似的，你可以往前看看。

为简单起见，先考虑4*4的像素，右边是其灰度值，对这些灰度值进行2维fft变换。

【数字图像处理】傅⾥叶变换在图像处理中的应⽤1.理解⼆维傅⾥叶变换的定义1.1⼆维傅⾥叶变换1.2⼆维离散傅⾥叶变换1.3⽤FFT计算⼆维离散傅⾥叶变换1.3图像傅⾥叶变换的物理意义2.⼆维傅⾥叶变换有哪些性质？2.1⼆维离散傅⾥叶变换的性质2.2⼆维离散傅⾥叶变换图像性质3.任给⼀幅图像，对其进⾏⼆维傅⾥叶变换和逆变换4.附录 94.1matlab代码4.2参考⽂献⽬录1.理解⼆维傅⾥叶变换的定义1.1⼆维傅⾥叶变换⼆维Fourier变换:逆变换：1.2⼆维离散傅⾥叶变换⼀个图像尺⼨为M×N的函数的离散傅⾥叶变换由以下等式给出：其中和。

其中变量u和v⽤于确定它们的频率，频域系统是由所张成的坐标系，其中和⽤做（频率）变量。

空间域是由f(x,y)所张成的坐标系。

可以得到频谱系统在频谱图四⾓处沿和⽅向的频谱分量均为0。

离散傅⾥叶逆变换由下式给出：令R和I分别表⽰F的实部和需部，则傅⾥叶频谱，相位⾓，功率谱（幅度）定义如下：1.3⽤FFT计算⼆维离散傅⾥叶变换⼆维离散傅⾥叶变换的定义为：⼆维离散傅⾥叶变换可通过两次⼀维离散傅⾥叶变换来实现:1）作⼀维N点DFT（对每个m做⼀次，共M次）2）作M点的DFT（对每个k做⼀次，共N次）这两次离散傅⾥叶变换都可以⽤快速算法求得,若M和N都是2的幂,则可使⽤基⼆FFT算法,所需要乘法次数为⽽直接计算⼆维离散傅⾥叶变换所需的乘法次数为（M+N）MN，当M和N⽐较⼤时⽤⽤FFT运算，可节约很多运算量。

1.3图像傅⾥叶变换的物理意义图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平⾯空间上的梯度。

如：⼤⾯积的沙漠在图像中是⼀⽚灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；⽽对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是⼀⽚灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较⾼。

傅⾥叶变换在实际中有⾮常明显的物理意义，设f是⼀个能量有限的模拟信号，则其傅⾥叶变换就表⽰f的频谱。

从纯粹的数学意义上看，傅⾥叶变换是将⼀个函数转换为⼀系列周期函数来处理的。

二维傅里叶变换分离实现二维傅里叶变换（2D Fourier Transform）是信号处理中重要的工具之一，它能够将时域信号转换为频域信号，从而方便进行一系列的分析和处理。

在信号处理领域，这种技术被广泛应用于图像处理、声音处理、通信等各种领域。

要实现二维傅里叶变换的分离，需要以下几个步骤：1.读取图像：首先需要读取待处理的图像，并将其转换为灰度图像。

灰度图像是一个二维函数的离散表示，其中像素的灰度值代表了该像素点的亮度信息。

2.傅里叶变换：将灰度图像进行傅里叶变换，可以得到图像中各个频率的特征分量。

傅里叶变换可以通过快速傅里叶变换（FFT）算法来实现，该算法能够高效地计算离散傅里叶变换。

3.频域分析：对傅里叶变换得到的频域图像进行分析，可以得到图像中各个频率的特征分量。

这些特征分量可以表示为幅度和相位信息，幅度表示该频率的强度，相位表示该频率的相对位置。

4.分离处理：根据需要分离和处理特定的频率成分。

可以选择保留几个频率成分，或者将几个频率成分剔除，或者对几个频率成分进行增强等处理。

5.逆傅里叶变换：将处理后的频域图像进行逆傅里叶变换，得到经过处理后的图像。

逆傅里叶变换也可以通过FFT算法来实现。

下面给出一个简单的Python代码，实现了二维傅里叶变换的分离处理。

该代码使用了Python的NumPy库和OpenCV库。

```pythonimport cv2import numpy as np#读取图像并转换为灰度图像image = cv2.imread("image.jpg")gray_image = cv2.cvtColor(image, cv2.COLOR_BGR2GRAY) #傅里叶变换（快速傅里叶变换）fft_image = np.fft.fftshift(np.fft.fft2(gray_image)) #频域分析magnitude_spectrum = 20 * np.log(np.abs(fft_image))#分离处理（保留部分频率成分）rows, cols = gray_image.shapecrow, ccol = int(rows / 2), int(cols / 2)mask = np.zeros((rows, cols), np.uint8)mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1fft_image *= mask#逆傅里叶变换（快速逆傅里叶变换）ifft_image = np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(fft_image)) ifft_image = np.abs(ifft_image) # 取绝对值#显示结果cv2.imshow("Original Image", gray_image)cv2.imshow("Magnitude Spectrum", magnitude_spectrum)cv2.imshow("Processed Image", ifft_image.astype(np.uint8))cv2.waitKey(0)cv2.destroyAllWindows```在这个例子中，我们首先读取并转换图像为灰度图像。

二维傅里叶变换公式推导傅里叶变换是一种将一个函数在时域中展开为复指数的系列，然后用这些复指数展开函数在频域中的变换的方法。

二维傅里叶变换（2DFourier Transform）则是对于二维函数的变换。

在进行二维傅里叶变换时，我们可以采用分解的方法，将二维变换分解为两个一维变换的组合。

首先，我们来推导二维傅里叶变换的公式。

设一个二维函数f(x,y)在时域中的坐标为(x,y)，在频域中的坐标为(u,v)。

其二维傅里叶变换公式为：F(u,v) = ∬ f(x,y) e^(-j2π(ux+vy)) dx dy其中，F(u,v)是f(x,y)在频域中的变换结果。

为了推导该公式，我们从离散二维傅里叶变换公式出发，逐步推导得出连续的二维傅里叶变换公式。

首先，我们考虑一个二维离散函数f(m,n)，其中(m,n)代表在时域中的坐标。

假设其离散域大小为(M,N)。

根据离散傅里叶变换的定义，我们可以得到二维离散傅里叶变换的公式：F(u,v) = ∑[∑f(m,n) e^(-j2π(mu/M + nv/N))] e^(j2π(um/M + vn/N))其中，F(u,v)是f(m,n)在频域中的变换结果，(u,v)是频域中的坐标。

接下来，我们将离散域大小分别取趋于无穷大，即(M,N→∞)。

此时，二维离散傅里叶变换将变为连续的傅里叶变换。

在进行极限过程时，我们可以将sum项中的求和符号变为积分符号，得到：F(u,v) = ∫[∫f(x,y) e^(-j2π(mu + nv))] e^(j2π(ux + vy)) dxdy接下来，我们对积分域进行变换，将频域坐标(u,v)进行替换。

我们设新的自变量为(λ,η)，其中：λ = ux + vyη = -mx + ny则有：u=(λy-ηv)/(x²+y²)v=(λx+ηu)/(x²+y²)对于这个变换，我们可以写出雅可比行列式：∂(u,v)/∂(x,y)，=1/(x²+y²)根据多元积分的换元法则，我们有：F(u,v) = ∬[f(x,y) e^(-j2π(λx + ηy))] e^(j2π(λy - ηv)) / (x² + y²) dx dy对上式的积分域进行变换，将(λ,η)替换为(u,v)，我们得到：F(u,v) = ∬[f(x,y) e^(-j2π(ux + vy))] dx dy即为二维傅里叶变换的公式。

实验一图像的二维离散傅立叶变换一、实验目的掌握图像的二维离散傅立叶变换以及性质二、实验要求1) 建立输入图像,在6464的黑色图像矩阵的中心建立1616的白色矩形图像点阵,形成图像文件。

对输入图像进行二维傅立叶变换,将原始图像及变换图像(三维、中心化)都显示于屏幕上。

2) 调整输入图像中白色矩形的位置,再进行变换,将原始图像及变换图像(三维、中心化)都显示于屏幕上,比较变换结果。

3) 调整输入图像中白色矩形的尺寸(4040,44),再进行变换,将原始图像及变换图像(三维、中心化)都显示于屏幕上,比较变换结果。

三、 实验仪器设备及软件HP D538、MATLAB四、 实验原理在二维情况下,定义 f(x,y)的傅立叶变换Ｆ(u,v) :2()2()(,)(,)(,)(,)j ux vy j ux vy F u v f x y e dxdy f x y F u v e dudv ππ∞∞-+-∞-∞∞∞+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰它表明了空间频率成分与二维图像信号之间的相互关系对于我们要处理的实际二维图像,其傅氏变换一般就是在频率域上有界的,亦即有用成分总就是落在一定的频率域范围之内上述的频率域性质的依据在于:一就是图像中景物的复杂性具有一定的限度,其中大部分内容就是变化不大的区域完全像“雪花”点似的图像没有任何实际意义。

二就是人眼对空间复杂性(频率)的分辨率以及显示器的分辨能力都就是具有一定限度。

若实变量函数f(x)就是绝对可积的,即:且F(u)就是可积的,则傅立叶变换对一定存在。

(){}()()[](){}()()[]du ux j u F x f u F dx ux j x f u F ππ2exp 2exp ⎰⎰∞∞-∞∞-==-==1-F xf F如果f(x)考虑为实函数,它的傅立叶变换通常就是复数形式,即:()()()u jI u R u F +=也可表为:()()()u j e u F u F φ=若二变量函数f(x,y) 就是绝对可积的,即:且F(u,v)就是可积的,则傅立叶变换对一定存在。

图像处理与傅里叶变换1背景傅里叶变换是一个非常复杂的理论，我们在图像处理中集中关注于其傅里叶离散变换离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform) 。

1.1离散傅立叶变换图象是由灰度（RGB ）组成的二维离散数据矩阵，则对它进行傅立叶变换是离散的傅立叶变换。

对图像数据f(x,y)（x=0,1,… ,Ｍ-1； y=0,1,… ,N-1）。

则其离散傅立叶变换定义可表示为：式中，u=0,1,…, M-1;v= 0,1,…, N-1 其逆变换为式中，x=0,1,…, M-1;y= 0,1,…, N-1在图象处理中，一般总是选择方形数据，即Ｍ＝Ｎ影像f(x,y)的振幅谱或傅立叶频谱： 相位谱：能量谱（功率谱） )1(2exp ),(1),(101∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=M x N y N vy M uxi y x f MNv u F π)2(2exp ),(1),(101∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=M u N v N vy M uxi v u F MNy x f π),(),(),(22v u I v u R v u F +=[]),(/),(),(v u R v u I arctg v u =ϕ),(),(),(),(222v u I v u R v u F v u E +==1.2快速傅里叶变化可分离性的优点是二维的傅立叶变换或逆变换由两个连续的一维傅立叶变换变换来实现，对于一个影像f(x,y)，可以先沿着其每一列求一维傅立叶变换，再对其每一行再求一维变换正变化逆变换由于二维的傅立叶变换具有可分离性，故只讨论一维快速傅立叶变换。

正变换 逆变换由于计算机进行运算的时间主要取决于所用的乘法的次数。

按照上式进行一维离散由空间域向频率域傅立叶变换时，对于N 个F∑∑∑∑-=-=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=110101)(2exp ),(1)(2exp ),(1)(2exp ),(1),(N v N u N u N v N vy i v u F NN ux i v u F N N vy ux i v u F NNy x f πππ∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=12exp )(1)(N x N ux i x f Nu F π∑∑∑∑-=-=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=11101)(2exp ),(1)(2exp ),(1)(2exp ),(1),(N y N x N x N y N vy i y x f NN ux i y x f NN vy ux i y x f NNv u F πππ∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12exp )(1)(N u N ux i u F Nx f π（u)值，中的每一个都要进行N 次运算，运算时间与N 2成正比。

二维dft变换编程1.引言1.1 概述概述部分的内容引言部分将介绍二维DFT变换的基本概念和其在图像处理中的重要性。

随着数字图像处理的广泛应用，对图像进行频谱分析已经变得不可或缺。

二维快速傅里叶变换（DFT）是一种常用的技术，用于将图像从空域转换到频域，并可用于各种图像处理任务，例如滤波、图像增强和图像压缩等。

在数字图像中，图像的像素被组织成一个二维矩阵，其中每个元素代表图像的亮度或颜色信息。

通过对这个二维矩阵进行二维DFT变换，我们可以将图像的信息从空间域转换到频率域。

频率域表示了图像中各种频率成分的存在和强度，因此可以通过分析频域图像来获取有关原始图像的信息。

二维DFT变换的应用广泛。

在图像滤波方面，通过在频率域对图像进行滤波，可以实现各种滤波效果，例如去除噪声、增强轮廓和边缘检测等。

此外，二维DFT变换还可以用于图像增强，通过调整频域图像的幅度谱和相位谱，可以改善图像的质量和视觉效果。

另外，二维DFT变换在图像压缩和数据压缩领域也有重要作用，通过把图像信息从空域转换到频域并利用频域的特性，可以实现对图像的高效压缩和储存。

本文将详细介绍二维DFT变换的原理和应用。

首先，我们将解释二维DFT变换的基本原理，包括其数学定义和计算方法。

然后，我们将探讨二维DFT变换在图像处理中的应用，包括滤波、增强和压缩等方面。

最后，我们将对本文进行总结，并展望未来关于二维DFT变换的研究方向。

本文旨在为读者提供关于二维DFT变换的全面概述，并希望能够帮助读者理解和应用二维DFT变换在图像处理中的重要性和实际意义。

通过掌握二维DFT变换的原理和应用，读者将能够更好地使用和开发基于频域的图像处理算法，从而提高图像处理的效果和质量。

1.2 文章结构文章结构部分应该包括以下内容：文章结构部分旨在介绍本文的组织结构和主要内容。

本文将按照以下顺序来进行叙述。

首先，引言部分将概述本文的目标和重要性，并简要介绍文章的结构。

接着，正文部分将详细讨论二维DFT变换的原理和应用。

图像的⼆维傅⾥叶变换频谱图特点研究⼀、先放⼀些相关的结论：1、傅⾥叶变换的幅值称为傅⾥叶谱或频谱。

2、F(u)的零值位置与“盒状”函数的宽度W成反⽐。

3、卷积定理：空间域两个函数的卷积的傅⾥叶变换等于两个函数的傅⾥叶变换在频率域中的乘积。

f(t)*h(t) <=> H(u)F(u)4、采样定理：如果以超过函数最⾼频率的两倍的取样率来获得样本，连续的带限函数可以完全地从它的样本集来恢复。

5、严重的混淆甚⾄会产⽣完全的误解效果。

6、变化最慢的频率分量(u=v=0)与图像的平均灰度成正⽐。

直流项决定图像的平均灰度。

7、零平均表⽰存在负灰度，此时图像不是原图像的真实描述，因为所有负灰度为显⽰⽬的的都被修剪过。

8、对⾼通滤波器加⼀个⼩常数不会影响尖锐性，但是它的确能防⽌直流项的消除，并保留⾊调。

9、在频谱图中,中⼼部分（uv坐标系中点(0,0)附近）表⽰原图像中的低频部分。

10、如果原始图像具有⼗分明显的规律,例如将⼀个简单图样有规律的平移并填满整个图形,那么其频谱⼀般表现为坐标原点周围的⼀圈亮点。

11、将⼀张灰度图像反相，其频谱的“样式”不变。

（个⼈理解：反相只是将⿊⽩颠倒，但并不改变灰度变化处的对⽐度）12、如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是⽐较柔和的（因为各点与邻域差异都不⼤，梯度相对较⼩）；反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像⼀定是尖锐的、边界分明且边界两边像素差异较⼤的。

13、⾼频分量解释信号的突变部分，⽽低频分量决定信号的整体形象。

所⽤的傅⾥叶变换的分析⼯具是Halcon，代码如下：read_image (Image, 'C:/Users/xiahui/Desktop/1.jpg')fft_image (Image, ImageFFT)⼆、不同图像的频谱图分析左边是原图，右边是经傅⾥叶变换之后的频谱图。

1、全⿊图——频谱图也全⿊（图像的分辨率是240*240）2、灰⾊图——频谱图中央有个单像素的⽩⾊的⼩正⽅形，坐标是（120,120），值是（30480,0）3、全⽩图——频谱图中央有个单像素的⽩⾊的⼩正⽅形，坐标是（120,120），值是（61200,0）4、在图中画⼀个圆——频谱图呈同⼼圆状，最中央（坐标120，120）的值为（3852.64,0），其他地⽅的值有正有负，趋势是越靠近中央值的绝对值越⼤。

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图像的二维傅里叶变换和频谱一、实验目的通过本实验使学生掌握使用mATLAb进行二维傅里叶变换的方法，加深对二维傅里叶变换的理解和图像频谱的理解。

二、实验原理本实验是基于数字图像处理课程中的二维傅里叶变换理论来设计的。

本实验的准备知识：第四章频域图像增强中的一维傅里叶变换和二维傅里叶变换，频域图像增强的步骤，频域滤波器。

实验用到的基本函数：一维傅里叶变换函数：fft,一维傅里叶反变换函数：ifft频谱搬移函数：fftshift二维傅里叶变换函数：fft2二维傅里叶反变换函数：ifft2绘图函数：imshow，mesh【说明，如对上述函数的使用方法有疑问，请先用help命令查询。

建议先用help命令查询器应用方法，再做具体实验内容。

】例：计算图像f的频谱并显示F=fft2(f);s=abs(F);%求幅度imshow(s,[])；%显示图像幅度频谱Fc=fftshift(F);%将图像频谱原点移动到中心显示imshow(abs(Fc));三、实验内容（一）一维傅里叶变换的实现和分析1、生成一个一维向量，x＝[12345678];计算该向量的傅里叶变换，并由傅里叶变换求反变换，验证结果。

2在时间域中将x乘以(-1)n，计算其傅里叶变换，实现傅里叶变换的平移性质使用fftshift函数，实现频谱的平移。

（二）二维傅里叶变换的实现和分析产生如图所示图象f1(x,y)（64×64大小，中间亮条宽16，高40，居中，暗处=0，亮处=255），用mATLAb中的fft2函数求其傅里叶变换，要求：1、同屏显示原图f1和FFT(f1)的幅度谱图；2、若令f2(x,y)=（-1）x+yf1(x,y)，重复过程1，比较二者幅度谱的异同，简述理由；3、若将f2(x,y)顺时针旋转90度得到f3(x,y)，试显示FFT(f3)的幅度谱，并与FFT(f2)的幅度谱进行比较。