离散傅里叶变换及快速傅里叶变换

一、实验目的1、掌握FFT 算法和卷积运算的基本原理；2、掌握用C 语言编写DSP 程序的方法；3、了解利用FFT 算法在数字信号处理中的应用。

二、实验设备 1. 一台装有CCS 软件的计算机； 2. DSP 实验箱的TMS320C5410主控板； 3. DSP 硬件仿真器。

三、实验原理 （一）快速傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域变换到频域的变换形式，是信号处理的重要分析工具。

离散傅里叶变换（DFT ）是傅里叶变换在离散系统中的表示形式。

但是DFT 的计算量非常大， FFT 就是DFT 的一种快速算法, FFT 将DFT 的N 2步运算减少至 ( N/2 )log 2N 步。

离散信号x(n)的傅里叶变换可以表示为∑=-=10][)(N N nk N W n x k X ， Nj N e W /2π-=式中的W N 称为蝶形因子，利用它的对称性和周期性可以减少运算量。

一般而言，FFT 算法分为时间抽取（DIT ）和频率抽取（DIF ）两大类。

两者的区别是蝶形因子出现的位置不同，前者中蝶形因子出现在输入端，后者中出现在输出端。

本实验以时间抽取方法为例。

时间抽取FFT 是将N 点输入序列x(n) 按照偶数项和奇数项分解为偶序列和奇序列。

偶序列为：x(0), x(2), x(4),…, x(N-2)；奇序列为：x(1), x(3), x(5),…, x(N-1)。

这样x(n) 的N 点DFT 可写成：()()∑++∑=-=+-=12/0)12(12/02122)(N n kn NN n nkNW n x Wn x k X考虑到W N 的性质，即2/)2//(22/)2(2][N N j N j N W e e W ===--ππ因此有：()()∑++∑=-=-=12/02/12/02/122)(N n nkN k NN n nkN W n x WWn x k X或者写成：()()12()kN X k X k W X k =+由于X 1(k) 与X 2(k) 的周期为N/2，并且利用W N 的对称性和周期性，即：k N N k N W W -=+2/可得：()()12(/2)kN X k N X k W X k +=-对X 1(k) 与X 2(k)继续以同样的方式分解下去，就可以使一个N 点的DFT 最终用一组2点的DFT 来计算。

基于Matlab的DFT及FFT频谱分析基于Matlab的DFT及FFT频谱分析一、引言频谱分析是信号处理中的重要任务之一，它可以揭示信号的频率特性和能量分布。

离散傅里叶变换（DFT）及快速傅里叶变换（FFT）是常用的频谱分析工具，广泛应用于许多领域。

本文将介绍通过Matlab进行DFT及FFT频谱分析的方法和步骤，并以实例详细说明。

二、DFT及FFT原理DFT是一种将时域信号转换为频域信号的离散变换方法。

它将信号分解成若干个正弦和余弦函数的叠加，得到频率和幅度信息。

FFT是一种高效的计算DFT的算法，它利用信号的对称性和周期性，将计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)。

FFT通过将信号分解成不同长度的子序列，递归地进行计算，最终得到频谱信息。

三、Matlab中的DFT及FFT函数在Matlab中，DFT及FFT可以通过内置函数进行计算。

其中，DFT使用函数fft，FFT使用函数fftshift。

fft函数可直接计算信号的频谱，fftshift函数对频谱进行频移操作，将低频移到频谱中心。

四、Matlab中DFT及FFT频谱分析步骤1. 读取信号数据首先，将待分析的信号数据读入到Matlab中。

可以使用内置函数load读取文本文件中的数据，或通过自定义函数生成模拟信号数据。

2. 时域分析通过plot函数将信号数据在时域进行绘制，以观察信号的波形。

可以设置合适的坐标轴范围和标签，使图像更加清晰。

3. 信号预处理针对不同的信号特点，可以进行预处理操作，例如去除直流分量、滤波等。

这些操作可提高信号的频谱分析效果。

4. 计算DFT/FFT使用fft函数计算信号数据的DFT/FFT，并得到频谱。

将信号数据作为输入参数，设置采样频率和点数，计算得到频谱数据。

5. 频域分析通过plot函数将频谱数据在频域进行绘制，观察信号的频率特性。

可以设置合适的坐标轴范围和标签，使图像更加清晰。

6. 结果解读根据频谱图像，分析信号的频率成分、幅度分布和峰值位置。

离散傅里叶变换和快速傅里叶变换的区别离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）和快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）都是数字信号处理中常用的算法，用于将时域信号转换为频域信号。

虽然它们都是傅里叶变换的变种，但它们之间有很大的区别。

DFT是一种直接计算傅里叶变换的方法，它将N个时域采样点转换为N个频域采样点。

DFT的计算复杂度为O(N^2)，因此对于大规模的信号处理任务来说，计算时间会非常长。

而FFT是一种基于分治思想的算法，它将DFT的计算复杂度降低到O(NlogN)，因此计算速度非常快，特别适合于大规模信号处理任务。

DFT和FFT的计算方式也有所不同。

DFT的计算公式为：X[k] = sum(x[n] * exp(-j*2*pi*k*n/N))其中，x[n]表示时域采样点，X[k]表示频域采样点，N表示采样点数，k和n分别表示频域和时域的索引。

这个公式需要进行N^2次复数乘法和加法运算，因此计算复杂度很高。

FFT的计算方式则是将DFT的计算过程分解为多个子问题，然后递归地求解这些子问题。

具体来说，FFT将N个采样点分为两个子序列，分别进行DFT计算，然后将它们合并起来得到整个序列的DFT结果。

这个过程可以递归地进行下去，直到只剩下一个采样点为止。

由于FFT采用了分治思想，它的计算复杂度为O(NlogN)，比DFT快得多。

DFT和FFT的应用场景也有所不同。

由于DFT的计算复杂度较高，因此它适合于小规模的信号处理任务，例如音频信号的处理。

而FFT则适合于大规模的信号处理任务，例如图像处理和视频处理。

此外，FFT还可以用于信号压缩、滤波和频域分析等领域。

离散傅里叶变换和快速傅里叶变换虽然都是傅里叶变换的变种，但它们之间有很大的区别。

DFT是一种直接计算傅里叶变换的方法，计算复杂度较高，适合于小规模的信号处理任务；而FFT是一种基于分治思想的算法，计算速度非常快，适合于大规模的信号处理任务。

一、离散傅里叶变换1.离散傅里叶变换的特点离散傅里叶变换（DFT），是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。

在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。

即使对无限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。

在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。

DFT将空域变换到频域，很容易了解到图像的各空间频域的成分。

DFT的应用十分广泛，如：图像的特征提取、空间频率域滤波、图像恢复和纹理分析等。

2.离散傅里叶变换的性质1）线性性质2）比例性质3）可分离性4）平移性质5）图像中心化6）周期性7）共轭对称性8）旋转不变性9）卷积定理10）平均值二、离散余弦变换1.离散余弦变换简介为了快速有效地对图像进行处理和分析，常通过正交变换将图像变换到频域，利用频域的特有性质进行处理。

传统的正交变换多是复变换，运算量大，不易实时处理。

随着数字图像处理技术的发展，出现了以离散余弦变换（DCT）为代表的一大类正弦型实变换，均具有快速算法。

目前DCT变换在数据压缩，图像分析，信号的稀疏表示等方面有着广泛的应用。

由于其变换矩阵的基向量很近似于托普利兹（Toeplitz ）矩阵的特征向量，而托普利兹矩阵又体现了人类语言及图像信号的相关特性，因此常被认为是对语音和图像信号的最佳变换。

对给定长度为N 的输入序列f(x)，它的DCT 变换定义为:⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=∑-=102)12(cos )()(2)(N x N x x f u C N u F μπ式中：1,,1,0u -=N ，式中的)(u C 的满足：⎪⎩⎪⎨⎧==其它1021)(u u C在数字图像处理中，通常使用二维DCT 变换，正变换为:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯=∑∑-=-=10102)12(cos 2)12(cos ),()()(2),(N x N y N v y N u x y x f v C u C N v u F ππ 其逆变换IDCT 为:⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯=∑∑-=-=10102)12(cos 2)12(cos ),()()(2),(N u N v N v y N u x v u F v C u C N y x f ππ 式中：1,,1,0u -=N ，1,,1,0v -=N 。

第五章离散傅里叶变换及其快速算法 1离散傅里叶变换(DFT)的推导(1) 时域抽样：目的：解决信号的离散化问题。

效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。

⑵时域截断： 原因：工程上无法处理时间无限信号。

方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。

结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。

(3)时域周期延拓：目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。

方法：周期延拓中的搬移通过与 、：(t _nT s )的卷积来实现。

表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。

结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。

经抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。

过程见图抽样后0 fJif-用于截断原函数J L<Z 用于抽样i4LJI Ji WWtin1 f=1 ----------> --------------t-------------- ►fVtt截断后有卷积波纹i------------- ►t0 I------------------ rfJL 」L延拓后7角ii t飞7Vtfft \ \ t \ f定义DFT用于延拓「ITf处理后信号的连续时间傅里叶变换:I'U N *|nT sr 0 N图1 DFT 推导过程示意图〜 oo "N 4l ~(f)=£ IS h(nTs)ek =^O「j2 飞n/Nn=0-kf o )(i) l~(f)是离散函数，仅在离散频率点f二kf o k—处存在冲激，强度为a k,其T o NT s余各点为0。

〜N N 1(ii) H(f)是周期函数，周期为Nf o == 工，每个周期内有N个不同的幅值。

T o NT s T s(iii) 时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒数。

2 DFT及IDFT的定义DFT定义：设hnT s是连续函数h(t)的N个抽样值n=0,1,…,N J，这N个点的宽度为N 的DFT 为：DFT N h(nT s)]=^ h(nT s)e」2邢/N =H —— J (k =0,1,…，N _1)7 l NT s 丿IDFT定义：设H 上是连续频率函数H(f)的N个抽样值k =0,1，…，N J，这N个点(NT s 丿的宽度为N的IDFT为：DFT N1 H k丄7 H L e」2「nk/N厶nTs , (k =0,1,…，N —1)|L Ns N k 卫NT se^Rk/N称为N点DFT的变换核函数，e j2 flk/N称为N点IDFT的变换核函数。

单片机傅里叶变换傅里叶变换是一种信号处理技术，可以将一个信号分解成不同频率的成分。

在电子领域中，傅里叶变换被广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等方面。

而在单片机领域，傅里叶变换同样扮演着重要的角色。

在单片机中，傅里叶变换通常用于频谱分析和滤波器设计。

频谱分析是指将一个时域信号转换为频域表示，通过分析信号的频谱特性来获得有关信号的信息。

而滤波器设计则是通过傅里叶变换来设计和实现不同类型的滤波器，用于信号的去噪、滤波等处理。

单片机中的傅里叶变换主要基于离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）算法。

离散傅里叶变换是指对离散信号进行傅里叶变换，而快速傅里叶变换则是一种高效的算法，可以快速计算离散傅里叶变换。

在单片机中实现傅里叶变换需要借助数学库或专门的傅里叶变换库。

这些库通常提供了相应的函数和接口，方便开发者进行傅里叶变换相关的操作。

通过调用这些函数和接口，开发者可以方便地进行信号的频谱分析、滤波器设计等操作。

在实际应用中，单片机傅里叶变换可以用于音频信号处理、图像处理等方面。

例如，在音频信号处理中，可以通过傅里叶变换将音频信号转换为频谱图，进而实现音频的均衡器、音量控制等功能。

在图像处理中，可以通过傅里叶变换实现图像的频域滤波、去噪等操作。

需要注意的是，单片机傅里叶变换的计算量较大，对单片机的计算能力和存储空间有一定要求。

因此，在实际应用中，需要根据具体需求选择合适的单片机型号和算法，以充分利用单片机的资源和能力。

除了频谱分析和滤波器设计，单片机傅里叶变换还可以应用于其他领域。

例如，在无线通信系统中，可以通过傅里叶变换实现信号的调制、解调等操作。

在传感器网络中，可以通过傅里叶变换处理传感器采集到的数据，提取有用的信息。

总结起来，单片机傅里叶变换是一种重要的信号处理技术，广泛应用于单片机领域。

通过傅里叶变换，可以实现信号的频谱分析、滤波器设计等功能，进而提高信号处理和系统设计的效果。

在实际应用中，我们需要根据具体需求选择合适的算法和单片机型号，以实现高效、稳定的信号处理。

用Fourier 变换来表示序列和线性时不变系统的频域特征，但是频谱()ωj e X 是ω的连续函书，用计算机处理和分析频谱是不方便的。

那么就需要像时序信号那样，通过采集把连续信号变为离散信号，也对连续频谱采样而得到离散频谱，然后用数字电路或计算机进行处理和分析。

有限长序列在应用中有重要的作用，通过它可以导出另一种Fourier 变换表达式，即离散傅里叶变换(DFT)，此为解决频谱离散化的有效方法，同时DFT 的高效算法——快速傅里叶变换FFT 。

周期序列一个周期为N 的周期序列~x ，对于所有的n ，应该满足：()()为整数k kN n x x +=~~周期序列的周期N ，一般使用最小周期作为周期。

与连续时间周期函数相比，周期序列由于n 及N 均为整数，周期序列中应用最广泛的序列是：kn Njkn NeWπ2-=（2-1）ImRe1上图就是周期序列nN W （N=8），从n=0开始到8取完周期内的所有值。

令k = 1时，nN W 就是一个周期序列。

当n 从0依次加1到N-1时，序列nN W 取完周期内的所有值，这些值可以看成是Z 平面上以原点为圆心的单位圆被N 等分的交点的的坐标值。

k 为其他数值时，knN W 的最小周期也许不是N ，但是N 一定是knN W 的周期。

knN W 的性质很明显：周期性：knN W =nN k NW )(-=)(N n k NW -对称性：kn N W -=()*kn N W =nk N NW )(-=)(n N k NW -正交性：()()∑-=⎩⎨⎧==10n 0,N k knNr rN n N W其他为整数 或者 ()()∑-=⎩⎨⎧==1n 0,N n kn Nr rN k N W其他为整数 一个周期为N 的周期序列()n x ~，在n=∞-到n=+∞的范围内仅有N 个序列值是独立的其中一个周期内的N 个序列值足以表征整个序列的特征。

而对于长度为N 的有限长序列，只讨论n=0到N-1之间的N 个序列值，其余皆为0。

快速傅里叶变换FFT的C语言算法彻底研究LED音乐频谱显示的核心算法就是快速傅里叶变换，FFT的理解和编程还是比较难的，特地撰写此文分享一下研究成果。

一、彻底理解傅里叶变换快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform)是离散傅里叶变换的一种快速算法，简称FFT，通过FFT可以将一个信号从时域变换到频域。

模拟信号经过A/D转换变为数字信号的过程称为采样。

为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的2倍，这称之为采样定理。

假设采样频率为fs，采样点数为N，那么FFT结果就是一个N点的复数，每一个点就对应着一个频率点，某一点n(n 从1开始)表示的频率为：fn=(n-1)*fs/N。

举例说明：用1kHz的采样频率采样128点，则FFT结果的128个数据即对应的频率点分别是0，1k/128，2k/128，3k/128，…，127k/128 Hz。

这个频率点的幅值为：该点复数的模值除以N/2（n=1时是直流分量，其幅值是该点的模值除以N）。

二、傅里叶变换的C语言编程1、对于快速傅里叶变换FFT，第一个要解决的问题就是码位倒序。

假设一个N 点的输入序列，那么它的序号二进制数位数就是t=log2N.码位倒序要解决两个问题：①将t位二进制数倒序；②将倒序后的两个存储单元进行交换。

如果输入序列的自然顺序号i用二进制数表示，例如若最大序号为15，即用4位就可表示n3n2n1n0，则其倒序后j对应的二进制数就是n0n1n2n3，那么怎样才能实现倒序呢？利用C语言的移位功能！程序如下，我不多说，看不懂者智商一定在180以下！复数类型定义及其运算#define N 64 //64点#define log2N 6 //log2N=6/*复数类型*/typedef struct{float real;float img;}complex;complex xdata x[N]; //输入序列/*复数加法*/complex add(complex a,complex b){complex c;c.real=a.real+b.real;c.img=a.img+b.img;return c;}/*复数减法*/complex sub(complex a,complex b){complex c;c.real=a.real-b.real;c.img=a.img-b.img;return c;}/*复数乘法*/complex mul(complex a,complex b){complex c;c.real=a.real*b.real - a.img*b.img;c.img=a.real*b.img + a.img*b.real;return c;}/***码位倒序函数***/void Reverse(void){unsigned int i,j,k;unsigned int t;complex temp;//临时交换变量for(i=0;i<N;i++)//从第0个序号到第N-1个序号{k=i;//当前第i个序号j=0;//存储倒序后的序号，先初始化为0for(t=0;t<log2N;t++)//共移位t次，其中log2N是事先宏定义算好的{j<<=1;j|=(k&1);//j左移一位然后加上k的最低位k>>=1;//k右移一位，次低位变为最低位}if(j>i)//如果倒序后大于原序数，就将两个存储单元进行交换（判断j>i是为了防止重复交换）{temp=x[i];x[i]=x[j];x[j]=temp;}}}2、第二个要解决的问题就是蝶形运算①第1级（第1列）每个蝶形的两节点“距离”为1，第2级每个蝶形的两节点“距离”为2，第3级每个蝶形的两节点“距离”为4，第4级每个蝶形的两节点“距离”为8。

实验二 离散信号与系统的频谱分析一、实验目的1.掌握离散傅里叶变换（DFT ）及快速傅里叶变换（FFT ）的计算机实现方法。

2.检验序列DFT 的性质。

3.掌握利用DFT （FFT ）计算序列线性卷积的方法。

4.学习用DFT 对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差，以便在实际中正确应用DFT 。

5.了解采样频率对谱分析的影响。

6.了解利用FFT 进行语音信号分析的方法。

二、实验设备1.计算机2.Matlab 软件7.0以上版本。

三、实验内容1.对不同序列进行离散傅里叶变换并进行分析；DFT 共轭对称性质的应用（通过1次N 点FFT 计算2个N 点实序列的DFT ）。

2.线性卷积及循环卷积的关系，以及利用DFT （FFT ）进行线性卷积的方法。

3.比较计算序列的DFT 和FFT 的运算时间。

4.利用FFT 实现带噪信号检测。

5.利用FFT 计算信号频谱及功率谱。

6.扩展部分主要是关于离散系统采样频率、时域持续时间、谱分辨率等参数之间的关系，频谱的内插恢复，对语音信号进行简单分析。

四、实验原理1.序列的离散傅里叶变换及性质离散傅里叶变换的定义：10, )()]([)(102-≤≤==∑-=-N k en x n x DFT k X N n nk Nj π离散傅里叶变换的性质：（1）DFT 的共轭对称性。

若)()()(n x n x n x op ep +=，[])()(n x DFT k X =，则：)()]([k X n x DFT R ep =， )()]([k jX n x DFT I op =。

（2）实序列DFT 的性质。

若)(n x 为实序列，则其离散傅里叶变换)(k X 为共轭对称，即10),()(*-≤≤-=N k k N X k X 。

（3）实偶序列DFT 的性质。

若)(n x 为实偶序列，则其离散傅里叶变换)(k X 为实偶对称，即10),()(-≤≤-=N k k N X k X 。

戶幵,戈丿、弟实验报告课程名称：彳_____________ 指导老师 _____________ 成绩： ____________________实验名称：离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 实验类型: _________________ 同组学生姓名：一、实验目的和要求(必填) 二、实验内容和原理(必填) 三、主要仪器设备(必填) 四、操作方法和实验步骤 五、实验数据记录和处理 六、实验结果与分析(必填)七、讨论、心得一、实验目的和要求1. 掌握DFT 的原理和实现2.掌握FFT 的原理和实现，掌握用FFT 对连续信号和离散信号进行谱分析的方法。

二、实验内容和原理2.1 DTFT 和 DFTN 1如果x(n)为因果有限长序列,n=0,1,...,N-1，则x(n)的DTFT 表示为：X(e j ) x(n)en 0序列的N 点DFT 是DTFT 在［0,2 n 上的N 点等间隔采样，采样间隔为2 d N 。

通过DFT , 可以完成由一组有限个信号采样值x(n)直接计算得到一组有限个频谱采样值X(k)。

X(k)的幅度谱为X(k) v 'x R (k ) X |2(k ) , X R (k)和X i (k)分别为X(k)的实部和虚部。

X(k)的相位谱 为(k)列吩序列x(n)的离散事件傅里叶变换(DTFT )表示为:X(e j )x( n)ex(n)的离散傅里叶变换(DFT )表达式为:X(k)x(n)en 0j^nk N(k 0,1,…,N 1)IDFT )定义为 x(n)丄 N \(k)e j_Nnk (n 0,1，…，N 1)N n 02.2 FFT快速傅里叶变换(FFT )是DFT 的快速算法，它减少了 DFT 的运算量，使数字信号的处理速度大大提高。

三、主要仪器设备PC 一台，matlab 软件四、实验内容4.1第一题x(n)的离散时间 傅里叶变换(DTFT ) X(e j Q)并绘图。