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机械制图教程第10讲-直线的投影来这里学习机械技术前沿！课题：1、直线上点的投影2、两直线的相对位置3、直角投影定理课堂类型：讲授教学目的：1、讲解直线上点的投影特性2、讲解两直线各种相对位置（平行、相交、交叉）的投影特点3、讲解用直角投影定理教学要求：1、理解并掌握直线投影的定比性的解题方法2、会根据两直线的投影判断它们的相对位置，并熟练掌握两直线平行、相交的作图问题3、理解并掌握直角投影定理的特点和解题思路教学重点：1、两直线各种相对位置（平行、相交、交叉）的投影特点2、直角投影定理教学难点：利用直角投影定理图解空间几何问题教具：自制的三投影面体系模型教学方法：例题辅助讲解教学过程：一、复习旧课1、三种位置直线（包括七种类型）的投影特性。
尤其注意：实长和倾角的判断。
2、用直角三角形法求一般位置直线的实长及其对各投影面倾角的方法和步骤。
二、引入新课题上次课我们学习了三种位置直线的投影特性，本次课我们继续学习空间直线的其他投影特性。
三、教学内容（一）直线上点的投影1、直线上点的投影点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，反之，若一个点的各个投影都在直线的同面投影上，则该点必定在直线上。
举例：如图2－27所示直线AB上有一点C，则C点的三面投影c、c′、c″ 必定分别在该直线AB的同面投影ab、a′ b′、a″b″ 上。
图2－27 直线上点的投影2、直线投影的定比性直线上的点分割线段之比等于其投影之比，这称为直线投影的定比性。
在图2－27中，点C在线段AB上，它把线段AB分成AC 和CB两段。
根据直线投影的定比性，AC：CB = ac：cb = a′ c′：c′ b′ = a″c″：c″b″ 。
3、讲解例题（例2－6）如图2－28（a），已知侧平线AB的两投影和直线上K点的正面投影k′，求K点的水平投影k 。
（a）题目（b）解法1 （c）解法2图2—28 求直线上点的投影（二）两直线的相对位置两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种情况。
点、直线、平面之间的位置关系知识回顾1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．空间两条直线的位置关系（1）空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行、异面．（2）异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．（3）异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．3. 线面、面面的位置关系1．一条直线a和一个平面α有且仅有a⊂α，a∩α＝A或a∥α三种位置关系．(用符号语言表示)2．两平面α与β有且仅有α∥β或α∩β＝l两种位置关系(用符号语言表示)．题型讲解题型一概念例1、下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 M，宽是20 M；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案：A例2、若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作()A．M∈b∈β B．M∈b⊂βC．M⊂b⊂β D．M⊂b∈β答案：B例3、如图所示正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BED1F和平面ABCD的交线．解析：如图所示，在平面ADD1A1内延长D1F与DA，交于一点P，则P∈平面BED1F，∵DA⊂平面ABCD，∴P∈平面ABCD，∴P是平面ABCD与平面BED1F的一个公共点，又B是两平面的一个公共点，∴PB为两平面的交线.例4、空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A．空间四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形答案：B题型二异面直线例5、已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．答案：(1)60°(2)45°解析连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．易知∠C′BC＝45°．例6、一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为________．答案：①③解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．题型三线面关系例7、已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是()A．相交 B．平行C．异面 D．平行或异面答案：D例8、三个互不重合的平面把空间分成6部分时，它们的交线有()A ．1条B ．2条C ．3条D ．1条或2条 答案：D例9、平面α∥β，且a ⊂α，下列四个结论： ①a 和β内的所有直线平行； ②a 和β内的无数条直线平行； ③a 和β内的任何直线都不平行； ④a 和β无公共点． 其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C跟踪训练1. 文字语言叙述“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是( )A ．⎭⎪⎬⎪⎫A ⊂αA ⊂a ⇒A ⊂α B ．⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂αA ∈a ⇒A ∈α C ．⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ⊂a ⇒A ∈α D ．⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ∈a ⇒A ⊂α 答案：B2. 若直线a 、b 与直线l 相交且所成的角相等，则a 、b 的位置关系是( ) A ．异面 B ．平行C ．相交D ．三种关系都有可能答案：D3．如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD)B ．MN ≤12(AC ＋BD)C ．MN ＝12(AC ＋BD)D ．MN<12(AC ＋BD)答案：D4．正方体AC 1中，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1和AA 1DD 1的中心，则EF 和CD 所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．90° 答案：B5．已知a 是一条直线，过a 作平面β，使β∥平面α，这样的β( ) A ．只能作一个 B ．至少有一个 C ．不存在 D ．至多有一个答案：D6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面BA 1C 1和平面ACD 1的交线与棱CC 1的位置关系是________，截面BA 1C 1和直线AC 的位置关系是________．答案：平行 平行 解析：如图所示，。
平面中的直线和点的位置关系直线和点是几何学中最基本的两个要素，其位置关系的确定对于几何学的研究至关重要。
在平面几何中，我们可以通过不同的方法来描述直线和点之间的位置关系。
本文将介绍常见的几何关系以及如何通过方程来表示它们。
一、直线与点的相对位置1. 直线上的点：当一个点在直线上时，我们可以说该点在直线上。
我们可以通过直线的方程来确定点是否在直线上。
例如，对于直线的一般方程Ax + By + C = 0，如果点（x，y）满足这个方程，那么该点就在直线上。
2. 直线上方的点和直线下方的点：如果给定一条直线L和点P，我们可以通过求解直线和点的距离来确定点P相对于直线L的位置。
具体来说，如果点P到直线L的距离为正数，那么点P在直线L的上方；如果点P到直线L的距离为负数，那么点P在直线L的下方。
3. 直线左侧的点和直线右侧的点：对于直线的一般方程Ax + By +C = 0，我们可以通过将x和y的值代入方程中来确定点相对于直线的位置。
如果代入后方程的值为正数，那么点在直线的左侧；如果为负数，那么点在直线的右侧。
二、直线与点的特殊位置关系1. 直线上的两点：如果两个点在同一条直线上，我们可以说这两个点共线。
共线的条件可以通过计算斜率来判断，如果两个点的斜率相等，那么它们在同一条直线上。
2. 直线与点的交点：当一条直线与一个点相交时，我们可以称该点为直线的交点。
交点的位置可以通过求解直线和点的方程组来确定。
如果方程组有解，则点是直线的交点；如果方程组无解，则点不在直线上。
三、直线和点的进一步研究除了以上所述的基本关系之外，几何学中还涉及到直线和点的更复杂的位置关系，如直线的平行、垂直关系以及点到直线的距离等。
这些关系在实际问题求解中具有重要的应用价值。
总结：几何学中，平面中直线和点的位置关系是基础且重要的研究内容。
通过方程和几何方法，我们可以准确地描述直线与点之间的位置关系。
这些位置关系对于几何学的研究以及实际问题的求解具有重要的意义。
