直线与抛物线的位置关系。ppt课件

第 三 章 圆锥曲线的方程
3.3.3直线与抛物线的位置关系
学习目标
掌握抛物线的几何性质. 会判断直线与抛物线的位置关系.
准备好了吗？一起去探索吧！
抛物线的几何性质.
重点
难点
弦长公式的求解. 判断直线与抛物线的位置关系.
提问
探究一 抛物线的方程与性质
斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F， 且与抛物线相交于 A,B 两点，求线段 AB 的长？
在前面椭圆，双曲线的学习中，我们也遇到过类似的直线与椭圆、 双曲线相交的问题，回忆一下是如何解决的？ 对于这道题你有什么解题思路？
解答方法一
将直线与抛物线联立为方程组，求出两个交点 A,B， 然后利用两点间的距离公式求 AB 的长.
解法一：可求得直线的方程为 y x 1，
yx1
联立直线的方程与抛物线的方程 y2 4 x ，整理得 x2 6x 1 0 ，
∵ M (2，y0 ) 在直线上，∴ y0 2 ，
AB
1 k 2 x2 x1
5
42
4
4 22
2
15 .
探究二 直线和抛物线的位置关系
（1） 设直线 l : y kx b ，抛物线 y2 2 p（x p 0），
ykxb
直线与抛物线交点的个数等价于方程组 y2 2 px 解的组数， 也等价于方程 ky2 2 py 2bp 0解的个数
a.当 k 0 时，若 0 ，则直线和抛物线相交，有两个公共点； 若 =0 ，则直线和抛物线相切，有一个公共点； 若 0 ，则直线和抛物线相离，无公共点.
b. 当 k=0 时，直线y=b与抛物线 y2 2 p（x p 0）相交， 有一个公共点.特别的，当直线l的斜率不存在时， 设 l : x m ，则当 m 0 时，l与抛物线相交，有两个公共点. 则当 m 0 时，l与抛物线相切，有一个公共点. 则当 m 0 时，l与抛物线相离，无公共点.

y＝a＋1x－1， y2＝ax
有唯一一组实数解．
消去 y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，
整理得(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0.
①
(1)当 a＋1＝0，即 a＝－1 时，方程①是关于 x 的一元一 次方程，解得 x＝－1，这时，原方程组有唯一解yx＝＝－－11 .
(2)当 a＋1≠0，即 a≠－1 时， 方程①是关于 x 的一元二次方程． 令 Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0， 解得 a＝0 或 a＝－45.
当 a＝0 时，原方程组有唯一解yx＝＝01 ； 当 a＝－45时，原方程组有唯一解yx＝＝－－25 . 综上，实数 a 的取值集合是－1，－45，0 .
判断直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线的 方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨 论二次项系数是否为0.若该方程为二次方程，利用判别式 判断方程解的个数．
● 抛物线上一点与焦点F连线得到的线段叫做焦半径，过 焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．求抛物线的 焦半径和焦点弦长一般不用弦长公式，而是借助于抛物线 定义的功能，即把点点距转化为点线距解决．设抛物线上 任意一点P(x0，y0)，焦点弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则可根据抛物线的定义得出抛物线四种标准形式下的焦半 径及焦点弦长，公式如下：
焦点弦问题
●
已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求
弦所在的直线方程．
● 思路点拨： 弦所在直线经过焦点(1,0)，因为弦长为 36，所以可判断直线的斜率存在且不为0，只需求出直线的 斜率即可．
解析： ∵过焦点的弦长为 36， ∴弦所在直线的斜率存在且不为零． 故可设弦所在直线斜率为 k. 且与抛物线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点． ∵抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)， ∴直线的方程为 y＝k(x－1)． 由yy2＝＝k4xx－1， 整理得， k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0(k≠0)．

课堂总结
1、直线与抛物线的位置关系，注意一个公 共点的特殊情形.
2、判断直线与抛物线的位置关系时使用的 方法叫“代数方法”，并且这种方法可以应用 到“直线与圆锥曲线的位置关系”的判断中.
作业：赢在课堂P50迁移训练4 抛物线的限时训练（3）
笛卡尔，17世纪哲学家,数
学家,物理学家,法国人.
任何问题
数学问题
代数问题
笛
X
卡
尔
位置关系：相交一个交点
代 数 法
y x ( 2)解方程组 2 y x 得：x 2 x 0
我们到底有没有必要求出方程的 解呢？
x 0 x 1 得 或 或 b2 4ac14*1*0 1 0 y 0 y 1
位置关系：相交两个交点
对于“几何图形观察法”，其优点 在于可以根据图形的几何直观直接判断， 但由于手工作图会有一定的误差，这对 于我们判断结果必定会产生影响.
展1 当b为何值时,直线y= -2x+b与抛物线

x 2 2y
(1)相交,(2)相切,(3)相离?
解：由方程组{
y 2x b 消去 y ，并整理得 2 x 2y
x 2 4x 2b 0
Δ 42 4 (2b) 8(2 b) (1)当 0 即b>-2时，直线与抛物线相交 (2)当 0 即b=-2时，直线与抛物线相切
方法总结：
第一步：求出直线l的方程； 第二步：联立直线与抛物线的方程，消元得到 2 x y 关于 或 的方程 ay by c 0 ； 2 第三步：讨论 y 的系数a 与 0 的关系. 若 a 0 ，则得到一元一次方程； 若 a 0 ，则讨论判别式 的符号.
第四步：下结论

[二级结论] 1. P 为抛物线 y2＝2px 上任意一点，∠PFx＝θ，则 PF＝1－cpos θ. 2．抛物线 y2＝2px 中，斜率为 k 的弦的中点轨迹为 y＝pk.
[双基夯实]
1.[教材习题改编]过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y2＝4x 仅有
一个公共点，这样的直线有( C )
A．1 条
[跟踪训练] 如图，已知抛物线 C1：y＝14x2，圆 C2：x2＋(y－1)2＝1，过点 P(t,0)(t＞0)作不过原点 O 的直线 PA，PB 分别与抛物线 C1 和圆 C2 相切，A，B 为切点．
(1)求点 A，B 的坐标； (2)求△PAB 的面积．
解：(1)由题意，知直线 PA 的斜率存在，故可设直线 PA 的方程
焦点弦的性质，相交弦中点的性质，需要熟练掌握 (1)过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2， y2)两点，如果 x1＋x2＝6，则|PQ|＝( B ) A．9 B．8 C．7 D．9 解析：抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝ －1.根据抛物线定义，可得|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝ x1＋x2＋2＝8.故选 B.
故y20＝－x20t＋1， x0t－y0＝0，
解得xy00＝ ＝112＋＋2tt2tt22， ，
2x2－5x＋2＝0， ∴AB 的中点到准线的距离为 x1＋2 x2＋1＝94.
题型重点研讨
考点 1 直线与抛物线的位置关系 (师生共研)
[典题 1] 已知 A(8,0)，B，C 两点分别在 y 轴上和 x 轴上运动， 并且满足A→B·B→P＝0，B→C＝C→P，
(1)求动点 P 的轨迹方程； (2)是否存在过点 A 的直线 l 与动点 P 的轨迹交于 M，N 两点， 且满足Q→M·Q→N＝97，其中 Q(－1,0)，若存在，求出直线 l 的方程； 若不存在，请说明理由．

用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程______的问
题．
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
直线与抛物线的位置关系 已知抛物线 C：y2＝－2x，过点 P(1,1)的直线 l 斜率为 k，当 k 取何值时，l 与 C 有且只有一个公共点，有两个 公共点，无公共点？ [分析] 直线与抛物线公共点的个数，就是直线方程与抛 物线方程联立方程组解的个数，由判别式可讨论之．
综上知，k<1－2
3或
1＋ k> 2
3时，l 与 C 无公共点；
k＝1±2 3或 k＝0 时，l 与 C 只有一个公共点；
1－ 2
3 <k<0
或
1＋ 0<k< 2
3时，l 与 C 有两个公共点．
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
弦长问题 顶点在原点，焦点在 x 轴上的抛物线，截直线 2x － y ＋ 1 ＝ 0 所 得 弦 长 为 15 ， 则 抛 物 线 方 程 为 ________ __________________． [答案] y2＝12x或y2＝－4x
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
[解析] 直线 l：y－1＝k(x－1)，将 x＝－y22代入整理得， ky2＋2y＋2k－2＝0．
(1)k＝0 时，把 y＝1 代入 y2＝－2x 得，x＝－12，直线 l 与
抛物线 C 只有一个公共点(－12，1)． (2)k≠0 时，Δ＝4－4k(2k－2)＝－8k2＋8k＋4．
解得 a＝12，或 a＝－4，∴所求抛物线方程为 y2＝12x，或

题型三 弦长问题
例 3 已知顶点在原点，焦点在 x 轴上的抛物线被直线
y＝2x＋1 截得的弦长为 15，求抛物线的方程．
解析：设抛物线的方程为 y2＝2px，则
y2＝2px， y＝2x＋1，
消去 y 得：4x2－(2p－4)x＋1＝0，
∴x1＋x2＝p－2 2，x1x2＝14.
∴|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|
直线与抛物线的位置关系
设直线l: y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直 线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程：ax2＋bx＋ c＝0.
(1)若 a≠0，当Δ__>__0时，直线与抛物线相交，有
两个交点；
当Δ_＝___ 0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ_<___0时，直线与抛物线相离，无公共点．
∵P1P2 的中点为(4,1)，∴6k＝2，∴k＝3，
∴所求直线方程为 y－1＝3(x－4)，
即 3x－y－11＝0.
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，
∴|P1P2|＝
1
1＋k2
（y1＋y2）2－4y1y2＝
3 .
点评：处理中点问题的基本方法是点差法和联立方程的方
∵P1，P2 在抛物线上， ∴y21＝6x1，y22＝6x2. 两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)． ∵y1＋y2＝2，∴k＝yx11－－yx22＝y1＋6 y2＝3，
∴直线的方程为 y－1＝3(x－4)． 即 3x－y－11＝0.
由yy2＝＝36xx－，11， 得 y2－2y－22＝0，
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，
∴|P1P2|＝ 1＋19 22－
（－22） ＝2 3230.

得到一元一次方程 得到一元二次方程
直线与抛物 线相交(一 个交点)
计算判别式
1、判别式大于 0，相交(2 交点） 2、判别式等于 0，相切 3、判别式小于 0，相离
三、判断位置关系方法总结(方法二) 判断直线是否与抛物线的对称轴平行
平行
不平行
直线与抛物 线相交(一个 交点)
计算判别式 判别式大于 0，相交 判别式等于 0，相切 判别式小于 0，相离
1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
3.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点
(异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是_ _ __， 0 _____1，
x2 y2
4.过原点与双曲线 1 交于两点的直线斜率的
取值范围是
，4233

23，
直线与抛物线的位置关系
y
O
x
一、直线与抛物线位置关系种类
1、相离；2、相切；3、相交（一个交 点，两个交点）
y
O
x
与双曲线的情况一样
二、判断பைடு நூலகம்法探讨
1、直线与抛物线相离，无交点。
例：判断直线 y = x +2与
y
抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得
到一元二次方
当 k=0时，x= 1 ,y=1. 2
故直线 y=1 与抛物线只有一个交点 .
当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则
Δ4(1 k2)42k0 ,k1.
此时直线方程为
y
1
2
x 1.
2
1
综上所述，所求直线方程是 x=0 或 y=1 或 y x 1.
2
点评：本题用了分类讨论的方法.若先用数

题型二
中点弦问题
2．过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在
直线的方程． [解析] 方法一：(点差法)设以 Q 为中点的弦 AB 的端点坐标为 A(x1，
y1)，B(x2，y2)，则有 y21＝8x1，y22＝8x2， ∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)． 又 y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)， 即yx11－ －yx22＝4，∴kAB＝4. ∴AB 所在直线的方程为 y－1＝4(x－4)，即 4x－y－15＝0.
∴x1＋x2＝2k2k＋2 8，x1－x2＝－k82 k＝－k8. ∴y1－y2＝[k(x1－1)＋2]－[－k(x2－1)＋2] ＝k(x1＋x2)－2k＝k·2k2k＋2 8－2k＝8k. ∴kAB＝yx11－ －yx22＝－1. ∴直线 AB 的斜率为定值－1.
课堂检测•固双基
1．已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心
(2)由题意设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立yx＝2＝k2xy＋，1， 消去 y 化简得 x2－2kx－2＝0， ∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2. ∵|AB|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2＝ 1＋k2· 4k2＋8＝2 6， ∴k4＋3k2－4＝0， 又 k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
[解析] 据题意知，△PMF 为等边三角形时，|PF| ＝|PM|，所以 PM 垂直抛物线的准线，设 Pm42，m，则 M(－1，m)，则等边三角形边长为 1＋m42，
因为 F(1,0)，所以由|PM|＝|FM|，得 1＋m42＝ －1－12＋m2，解得 m2＝12，所以等边三角形边长为 4，其面积为 4 3.
所以 p＝2.

k
例2、过抛物线焦点作直线交抛物线y2 2 px( p 0)于 A，B两点，设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 求证 : y1 y2 p2 .
解：因为直线AB过定点F且不与x轴平 y
p
行,设直线AB的方程为 x my
y2 2 px
2
x
my
p 2
y2
2 p(my
1
k
1 2
.
①只有两个解
,
从而方程组 只有两个解 .这时,直线 l 与抛物线
有两个公共点 .
30 由 于是,当k
0,
即2k 2 1, 或
k k
1
2
1 0, 解得k 1,或k 时,方程 ①没有实数解
1 2. , 从而
方程组 没有解.这时,直线 l 与抛物线没有公共点 .
综上, 我们可得
变题1: 过抛物线y2 2 px( p 0)焦点O
F的直线， 交抛物线于点A(x1, y1)、
B(x2 , y2 ), 则有x1x2
p2 4
.
A
Fx B
例3.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
解法一:由已知得抛物线的焦点
y
为F(1,0),所以直线AB的方程为 A’
A
y=x-1
代入方程y2 4x,得( x 1)2 4x,
化简得x2 6x 1 0.

x1 x1
x2 x2
6 1
OF
x
B’ B
AB 2 (x1 x2 )2 4x1x2 8
所以，线段AB的长是8。
例3.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.