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《两条直线的位置关系》ppt课件

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《两直线的位置关系》课件

《两直线的位置关系》课件

CHAPTER 04
两直线的关系应用
解析几何中的应用
解析几何的基本概念
01
解析几何是研究图形与坐标之间的关系，通过代数方法解决几
何问题。两直线的位置关系是解析几何中的基本问题。
直线的方程
02
在二维坐标系中，直线可以用一个或两个方程来表示。例如，
通过两点式、点斜式、截距式等可以求出直线的方程。
两直线的交点
两直线的斜率与截距
斜率的定义与计算
总结词
斜率是直线在平面上的一个重要属性，它表示直线相对于x轴 的倾斜程度。
详细描述
斜率是直线方程y=kx+b中k的值，它表示直线在y轴上的单 位长度内，x轴的变化量。如果k为正数，则直线向右上方倾 斜；如果k为负数，则直线向右下方倾斜。
截距的定义与计算
总结词
截距是直线与y轴和x轴相交的点，表示直线在坐标轴上的位置。
判断方法
斜率法
若两直线斜率相等且截距不等，则两 直线平行；若斜率不存在且截距相等 ，则两直线平行。
交点法
若两直线无公共点，则两直线平行或 重合；若两直线有且仅有一个公共点 ，则两直线相交；若两直线有无数个 公共点，则两直线重合。
平行与垂直的性质
平行性质
平行直线间的距离是固定的，且与两直线的方向向量或斜率有关。
03
两直线相交于一点，这个点是两直线的交点。求两直线的交点
可以通过联立两直线的方程来求解。
三角函数图象中的应用
01
三角函数的图象与性质
三角函数（如正弦、余弦、正切等）的图象是周期性的，这些图象在某
些部分表现出直线性。
02
三角函数与直线的交点
在三角函数的图象中，求直线与三角函数的交点可以通过将直线的方程

七年级数学下册-：两条直线的位置关系---课件-(15张PPT)

七年级数学下册-：两条直线的位置关系---课件-(15张PPT)

【例3】直线AB，CD相交于点O，已知∠AOC＝75°，OE把
∠BOD分成两部分，且∠BOE∶∠EOD＝2∶3，求∠AOE.
解：设∠BOE=2x，则∠EOD=3x，
∵∠AOC=75°
(已知)
∴∠BOD=∠AOC=75°，（对顶角相等）
∴2x+3x=75°,解得x=15°，
∴∠BOE=2x=30°，
∵∠AOE+∠BOD=180°（平角的定义）
∴∠AOE=180°－∠BOD=180°－30°=150°.（等式的基本性质）
【例4】如图，已知∠AOB=145°，∠AOC=∠BOD=90°． （1）写出与∠COD互余的角；
D
解:(1)∵∠AOC=∠BOD=90°， A
C
∠COD+∠AOD=90°，
∠COD+∠BOC=90°
∴与∠COD互余的角是∠AOD和∠BOC； O
B
【例4】如图，已知∠AOB=145°，∠AOC=∠BOD=90°． （2）求∠COD的度数；
D
解:(2)如图，
C A
∵∠AOB=145°，∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC
=145°-90°
O
B
=55°
∴∠COD=∠BOD-∠BOC
解：如图，
∵∠DOF＝50°，
（已知）
∴∠COE＝∠DOF＝50°.
（对顶角相等）
∵∠AOC＝65°
（已知）
∠BOE＋∠COE＋∠AOC＝180°，（平角的定义）
∴∠BOE＝180°－∠COE－∠AOC
＝180°－50°－65°
＝65°.
（等式的基本性质）
【例2】已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°,求这个角 的度数.

高中数学北师大版必修2《第2章11.3两条直线的位置关系》课件

高中数学北师大版必修2《第2章11.3两条直线的位置关系》课件

A．平行
B．重合
C．相交但不垂直
D．垂直
7
D [设 l1，l2 的斜率分别为 k1，k2，则由题意得，k1k2＝－1，故 l1 与 l2 垂直．选 D.]
8
2．过点 A(m,1)，B(－1，m)的直线与过点 P(1,2)，Q(－5,0)的直 线垂直，则 m＝________.
－2 [由题意得，直线 AB 的斜率存在且 kAB·kPQ＝－1. 即－m1－－1m×－0－5－21＝－1，解得 m＝－2.]
21
过点 Ax0，y0且与直线 Ax＋By＋C＝0 平行或垂直的直线方程的 求法有两种方法：
1先求斜率斜率存在时，再用点斜式求直线方程. 2与 Ax＋By＋C＝0 平行或垂直的直线方程设为 Ax＋By＋m＝0 或 Bx－Ay＋m＝0，再利用所求直线过点 Ax0，y0求出 m，便可得到 直线方程.
22
数学北师大版 高中数学
1.3
两条直线的 位置关系
学习目标
核心素养
1.能根据斜率判定两条直线平 行或垂直．(重点) 2.能根据直线平行或垂直求直 线方程．(重点)
1.通过利用直线的斜率和截距判断 两直线 平行或垂直提升数学抽象素 养. 2.根据直线平行或垂直求直线方程 提升数学运算素养.
2
两条直线的位置关系
37
[解] (1)设所求直线方程为 2x＋3y＋C1＝0，则由题意得 2×1＋ 3×(－4)＋C1＝0，解得 C1＝10，
所以所求直线方程为 2x＋3y＋10＝0. (2)设所求直线方程为 3x＋2y＋C2＝0， 由题意得 3×1＋2×(－4)＋C2＝0，解得 C2＝5， 所以所求直线方程为 3x＋2y＋5＝0.
17
利用平行、垂直关系求直线方程 【例 2】 已知点 A(2,2)和直线 l：3x＋4y－20＝0. 求：(1)过点 A 和直线 l 平行的直线方程； (2)过点 A 和直线 l 垂直的直线方程．

高一数学：1.3两条直线的位置关系 课件 (北师大必修2)

高一数学：1.3两条直线的位置关系 课件 (北师大必修2)
16 k 1或k 3
2 2 6 16 k 4, , ,1, 3 3 3
2 斜率存在时两直线垂直．
y
y
y
l2
l1 2
O
l2 1
x
l1
l1 1
x
O
l2 2
x
1
结论3： 如果两直线的斜率为k1, k2,那么,这两条直线垂直
k1·k2= -1
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的， 缺少这个前提，结论并不成立．
一般地，我们把与直线Ax+By+C=0垂直 的直线方程表示为Bx-Ay+D=0 ，其中D待 定（垂直直线系）
同样可证明与
直线可表示为
例5.求通过下列各点且与已知直线垂直 的直线方程：
（1）（－1，3），y=2x-3
（2）（1，2），2x+y-10=0
练习 已知直线(a 2) x (1 a ) y 3 0
1 斜率存在时两直线平行．
y
l1 l2
1
O
2
x
结论1: 如果直线L1,L2的斜率为k1,k2 那么 L1∥L2 k1=k2 且b1 b2
l1与l2重合 k1 k2且b1 b2
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才 成立的，缺少这个前提，结论并不成立． 特殊情况下的两直线平行:
同样可证明与直线y=kx+b平行的 直线可表示为y= kx+ b1
例2.求通过下列各点且与已知 直线平行的直线方程。
1 (1)( 1,2), y x 1 2
(2)(1,4),2 x 3 y 5 0
1 若直线 x 2ay 1和 2 x 2ay 1 平行，则 a =

两条直线的位置关系ppt

两条直线的位置关系ppt
两条直线的位置关系
目录 CONTENT
• 两条直线平行 • 两条直线相交 • 两条直线重合 • 两条直线的斜率关系
01
两条直线平行
定义
01
两条直线平行是指它们在同一平 面内，且不相交。
02
平行线是直线间的一种位置关系 ，而不是指两条直线的方向或斜 率相同。
判定方法
同位角相等
同旁内角互补
如果两条直线被第三条直线所截，且 同位角相等，则这两条直线平行。
在平面几何中，两条重合的直线可以视为一条直线的两种不 同表达方式，它们具有相同的长度和方向。
04
两条直线的斜率关系
斜率相等
总结词
当两条直线的斜率相等时，它们是平 行的。
详细描述
在平面坐标系中，如果两条直线的斜率 相等，那么这两条直线将平行不相交。 例如，直线$y = x$和直线$y = x + 1$ 的斜率都为1，因此它们是平行的。
详细描述
在平面坐标系中，如果一条直线垂直于x轴 ，那么它的斜率不存在。这是因为垂直于x 轴的直线的y坐标是常数，而x坐标可以取任 意值，所以斜率无法定义。例如，直线$x = 1$就是一条垂直于x轴的直线，其斜率不存 在。
感谢您的观看
THANKS
图像法
在平面直角坐标系中，我们可以直接观察两条直线的图像， 找到它们的交点。这种方法需要一定的几何直觉和观察力。
性质
唯一性
两条相交的直线在平面内 只有一个交点。
不平行性
两条相交的直线不会平行， 因为平行线在平面内没有 交点。
对称性
如果两条直线关于某一直 线对称，那么这两条直线 一定相交于该对称轴上的 一点。
两条直线相交
定义
01

高中数学课件-第2讲 两条直线的位置关系

高中数学课件-第2讲 两条直线的位置关系

点 (x，y)
关于点、线 (a，b) x＝a y＝x x＋y＝k x－y＝k
对称点 (2a－x，2b－y)
(2a－x，y) (y，x)
(k－y，k－x) (k＋y，x－k)
9
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
夯基诊断
1.思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)当直线 l1 和 l2 斜率都存在时，一定有 k1＝k2⇒l1∥l2.( × ) (2)点 P(x0，y0)到直线 y＝kx＋b 的距离为|kx10＋＋kb2|.( × ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( √ ) (4) 直 线 外 一 点 与 直 线 上 一 点 的 距 离 的 最 小 值 就 是 点 到 直 线 的 距 离.( √ )
因为 l1∥l2，所以由两条平行直线间的距离公式得 d＝|－8－2（2＋－3120）| ＝2 1313.
答案：2
13 13
02
突破核心命题
14
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
考 点 一 两条直线的平行与垂直
例1 (1)(2024·合肥质检)若l1：3x－my－1＝0与l2：3(m＋2)x－3y＋1 ＝0是两条不同的直线，则“m＝1”是“l1∥l2”的( C )
(2)已知直线l过点(0，3)，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是 ________.
由题意，设直线l的方程为x－y＋a＝0， 又过点(0，3)，则0－3＋a＝0，得a＝3， 故直线l的方程为x－y＋3＝0. 答案：x－y＋3＝0
12
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
(3)两条平行直线l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之间的距离为 ________.

2.1.3 两条直线的位置关系 课件(北师大必修2)

2.1.3 两条直线的位置关系 课件(北师大必修2)

[错因]
两直线垂直⇔k1k2＝－1的前提条件是k1、k2均
存在且不为零，本题出错的原因正是忽视了前提条件，这
类问题的解决方式应分斜率存在和不存在两种情况讨论． [正解] ∵A、B两点纵坐标不等，
∴AB与x轴不平行． ∵AB⊥CD，∴CD与x轴不垂直，－m≠3，m≠－3.
①当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，
3．若两条直线垂直，它们斜率之积一定为－1吗？ 提示：不一定．两条直线垂直，只有在斜率都存在 时，斜率之积才为－1.若其中一条直线斜率为0，而
另一条直线斜率不存在，两直线垂直，但斜率之积
不是－1.
[研一题]
[例1] 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平
行或垂直．
(1)直线l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，直线l2经过C(3，－2)， D(8，－7)； (2)直线l1平行于y轴，直线l2经过P(0，－2)，Q(0，5)； (3)直线l1经过E(0,1)，F(－2，－1)，直线l2经过G(3，4)，
(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程．
[自主解答] (1)法一：利用直线方程的点斜式求解． 3 由 l：3x＋4y－20＝0，得 kl＝－ . 4 设过点 A 且平行于 l 的直线为 l1， 3 则 kl1＝kl＝－ ， 4 3 所以 l1 的方程为 y－2＝－ (x－2)， 4 即 3x＋4y－14＝0.
H(2,3)；
(4)直线l1：5x＋3y＝6，直线l2：3x－5y＝5； (5)直线l1：x＝3，直线l2：y＝1.
5－1 4 [自主解答] (1)直线 l1 的斜率 k1＝ ＝－ ， 5 －3－2 －7－－2 直线 l2 的斜率 k2＝ ＝－1， 8－3 显然 k1≠k2，直线 l1 与 l2 不平行； ∵k1·1≠－1，∴l1 与 l2 不垂直． k (2)直线 l2 的斜率不存在，就是 y 轴，所以直线 l1 与 l2 平行；

两条直线的位置关系ppt课件

两条直线的位置关系ppt课件
判定： 若∠1+∠2=90 ° ，则∠1与∠2互为余角. 性质： 若∠1与∠2互为余角， 则∠1+∠2=90 ° .
理论说明对顶角性质：
A
D
因为直线AB,CD相交于点O（已知）
O
所以∠AOD＋∠AOC＝180°（补角的意义）
C
B
∠AOD＋∠BOD＝180°（补角的意义）
所以∠AOC＝∠BOD（同角的补角相等）
－40°＝140°（等量代换）
例二：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC. 已知∠BOE=65°,求∠AOD、∠AOC的度数.
解：因为OE平分∠BOC，
A
所以∠BOE=∠COE＝65°
得∠BOC＝130°.
C
O
因为直线AB、CD相交于点O， 所以∠BOC与∠AOD是对顶角，
所以∠AOD＝∠BOC＝130°.
余角、补角的识别及性质总结
一、余角的识别：
两角的和为90度，则两角互为余角. 特别说明：余角只与数量有关，与位置无关 判定：若∠1+∠2=900，则∠1与∠2互为余角. 性质：若∠1与∠2互为余角，则∠1+∠2=900.
二、补角的识别： 两角的和为180度，则两角互为补角. 特别说明：补角只与数量有关，与位置无关.
请将图简化成几何图，并抽
象成数学问题： ON 与 DC 交于点 O ，∠ DON =∠ CON
=90°， 且∠1=∠2.
问:1）图中有哪些角互为补角？有哪些角互为余角？ 2）有哪些角相等？为什么？
归纳总结: 同角或等角的补角相等，同角或等角的余角 相等.
例题讲解：
例一：如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝40°， 求∠BOD、∠AOD、∠BOC的度数。

北师大版数学七年级下册第二章1两条直线的位置关系(共76张PPT)

北师大版数学七年级下册第二章1两条直线的位置关系(共76张PPT)

图2-1-5 注意 (1)垂线是直线,垂线段特指一条线段,点到直线的距离是指垂线段 的长度. (2)求点到直线的距离时,要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段,然后 计算或度量垂线段的长度,在实际问题中要应用其“最近性”解决问题.
1 两条直线的位置关系
例4 在图2-1-6所示的各图中,分别过点P作AB的垂线.
点拨 除了互补的两个角和为180°外,由平角的定义也可以得到和为180°.
1 两条直线的位置关系
栏目索引
题型二 垂线性质在生活中的应用
例2 如图2-1-9所示,平原上有A,B,C,D四个村庄,为解决当地缺水问题,政 府准备投资修建一个蓄水池.
图2-1-9 (1)不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池H的位置,使它到四个村庄距离之 和最小; (2)计划把河水引入蓄水池H中,怎样开渠使水渠最短?并说明理由.
1 两条直线的位置关系
栏目索引
知识点三 余角和补角 1.如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角. 2.如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角. 3.余角、补角的性质:同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等. 注意 (1)互余、互补都是指两个角之间的关系.当∠1+∠2+∠3=90°时,不 能说∠1、∠2、∠3互余;当∠1+∠2+∠3=180°时,也不能说∠1、∠2、 ∠3互补.(2)互余的两个角都是锐角,而互补的两个角可能是一个锐角一个 钝角,也可能都是直角.(3)互余和互补都是反映两个角的数量关系,而不是 位置关系.
栏目索引
②必须强调“平面内”,否则,在空间里,经过一点与已知直线垂直的直线 有无数条. (2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,简称:垂线段 最短.

两条直线的位置关系ppt课件

两条直线的位置关系ppt课件
解:(1)d= +(−) =.
(2)直线 3x=5 的一般形式为 3x-5=0
|×(−)−|
d= + =.
6
二、探究提高
【例1】 (1)过点P(2,-1)且平行于直线x-2y+3=0的直线方
程为 (
)
A.2x-y-5=0 B.2x+y-3=0
C.x-2y-4=0 D.x+2y=0
【小结】 (1)与直线 Ax+By+C=0 平行的直线的方程可设
为:Ax+By+C1=0;
(2)与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线的方程可设为:Bx-Ay+C1=0.
8
【例3】 求经过直线l1:x+4y-8=0与直线l2:4x-y-15=0的
交点,且与直线y=3x+4平行的直线l的方程.
分析:通过解方程组可以求出两条直线交点的坐标,再根
6.求 x 轴上到直线 x-y+1=0 的距离等于 2 的点的坐标.
解:设 x 轴上点 A(m,0),
由题意得
|+|
+(−)
=2
解得 m=-5 或 3
∴点 A 的坐标为(-5,0)或(3,0).
13
7.已知三条直线2x+ay+8=0,3x+4y=10,2y-x=10相交于
一点,求a.
分析:求两平行线之间的距离可以求一条直线上一点到另一
条直线的距离;求三角形的面积关键在于求它的高,它的高可以
用点到直线的距离公式求顶点到对边的距离.
【解】 (1)方法 1:在直线 2x-3y+8=0 上取一点 A(-4,0),利用点
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l2 : y 3x；
(3)l1 : x 6；
l2 : x 8；
解: （1）设两直线的斜率分别是 k1 ，k2 ，在 y 轴上截距 分别是 b1 ，b2 ,则 k 3，b 2，k 3，b 5. 1 1 2 2 因为 k1 k1，b1 b2， 所以 l1 l2 . (2)设直线的斜率分别是 k ， k ，在 y 轴上截距分别 1 2
3x-8y+25=0,求l的方程。
小结：
(1) 当直线l1和直线l2有斜截式方程为
l1:y=k1x+b1 ，l2:y=k2x+b2时，
直线l1∥ l2的充要条件是k1=k2且b1 ≠ b2 (2) 当直线l1和直线l2的斜率都不存在时，
设l1:x=a1 ,l2:x=a2,
直线l1∥ l2的充要条件是a1≠ a2
∵过点M(2,-3)的直线平行与AB两点连线 ∴过点M(2,-3)的直线斜率也为-3/2 ∴所求直线的方程是 y +3=-3/2(x -3)
即
3 x +2 y =0
练习：
(1)求过点A(2,3)且平行于直线2x+3y-5=0 的直线方程。 (2)经过点P(8,m)和Q(m,3)的直线平行于
直线x-2y+11=0,求m的值。 (3)直线l在y轴上截距是-3，且平行于直线
8.3.1
两条直线平行
民勤职专数学组
平面内两条直线位置关系有哪些？
思考：平面内两直线的位置关系如何？
平行
y
相交
l2
y
重合
l1
y
l1 l2
x
l1 l2
o
o
x
o
x
两直线平行的条件是什么？
问1.两条不重合直线l1与l2的倾斜角相等， 这两条直线的位置l1 l2 x
l1
y
l2
o
x
l1 l2
y
o l1
x
o
l2
x
问2.两条直线l1与l2平行，
1)这两条直线的倾斜角大小有何关系？
2)这两条直线的纵截距相等吗？
3)斜率相等吗？
1)两直线平行倾斜角相等；
2)如果纵截距存在，则纵截距不相等；
3)两直线平行倾斜角不为900时，斜率相等， 为900时斜率不存在
问3.已知直线l1与l2的斜截式方程为 l1:y=k1x+b1l2:y=k2x+b2, 求证:直线l1∥ l2的充要条件是k1=k2且b1 ≠ b2 结论: (1) 当直线l1和直线l2有斜截式方程为 l1:y=k1x+b1 ，l2:y=k2x+b2时， 直线l1∥ l2的充要条件是k1=k2且b1 ≠ b2 (2) 当直线l1和直线l2的斜率都不存在时， 设l1:x=a1 ,l2:x=a2,
直线l1∥ l2的充要条件是a1≠ a2
例1.(1)已知直线方程l1：2x-4y+7=0, l2： x-2y+5=0 , 求证：l1∥ l2
练习 判断下列各对直线是否平行，并说明 理由：
(1)l1 : y 3x 2； l2 : y 3x 5；
(2)l1 : y 2 x 1；
是 b ，b ，则 k1 2，k2 3，b1 1 ，b2 0. 2 1
因为 k1 k2 ，所以 l1与l2 不平行. (3)由方程可知, l1 x 轴 l2 x 轴两直线在
x
轴上截距
不相等，所以 l1 l2 .
例2 求过点 A1, 2， 且平行于直线 2 x 3 y 5 0
的直线方程.
(2)求过点A（1，-4）且与直线2x+3y+5=0平
行的直线的方程
解：∵所求直线与已知直线平行
∴所求直线斜 率为－2/3 。 ∴所求直线的方程是y+4=-2/3(x-1) 即 2x+3y+10=0
(3) 经过点M(2,-3)且平行于A(1,2)B(-1,5) 两点连线的直线方程 解:AB两点的斜率为k=-3/2