2.2.3两条直线的位置关系基础过关练题组一两条直线的相交、平行与重合1.下列说法中,正确的个数为( )①若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行;②若两条直线平行,则这两条直线的斜率相等;③若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线相交;④若两条直线的斜率都不存在,则这两条直线平行.A.1B.2C.3D.42.(2019湖南岳阳一中高二月考)若直线l1,l2在x轴上的截距都是m,在y轴上的截距都是n,则l1,l2的位置关系是( )A.平行B.重合C.平行或重合D.相交或重合3.直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点坐标为( )A.(-4,-3)B.(4,3)C.(-4,3)D.(3,4)4.(2020河北正定一中高二月考)已知两条直线y=ax-2和3x-(a+2)y+1=0互相平行,则a等于( )A.1或-3B.-1或3C.1或3D.-1或-35.(2019湖北天门高二期中)已知直线l1经过点A(m,1),B(-3,4),直线l2经过点C(1,m),D(-1,m+1),当直线l1与l2平行时,实数m的值为( )A.3B.-1C.-3D.16.(2020江苏宿迁高二月考)直线(2m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过的定点坐标是.7.若直线l与直线3x-2y=6平行,且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,则直线l的方程为.8.已知直线l1:ax+2y+6=0,l2:x+(a-1)y+a2-1=0,求满足下列条件的a的取值范围.(1)l1与l2相交;(2)l1∥l2;(3)l1与l2重合.题组二两条直线的垂直9.(2019山东济南高二月考)与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )x+4 B.y=2x+4A.y=12x+4C.y=-2x+4D.y=-1210.(2020河南平顶山高一期末)下列四组直线中,互相垂直的一组是( )A.2x+y-1=0与2x-y-1=0B.2x+y-1=0与x-2y+1=0C.x+2y-1=0与x-y-1=0D.x+y=0与x+y-3=011.已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是( )A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=512.(2020辽宁沈阳高二期末)已知直线4x+my-6=0与直线5x-(m-1)y+8=0垂直,则实数m的值为( )A.-4或5B.-4C.5D.4或-513.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.以A为直角顶点的直角三角形D.以B为直角顶点的直角三角形14.(2020湖南娄底高二联考)过点P(3,0)且与直线x-2y+3=0垂直的直线的方程为.题组三两条直线的位置关系的应用15.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点D的坐标为( )A.(3,4)B.(1,3)C.(3,1)D.(3,8)16.已知直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-4k+m=0的两根,若l1⊥l2,则m= ;若l1∥l2,则m= .17.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2+2√2),B(0,2-2√2),C(4,2),则△ABC是.(填△ABC的形状)能力提升练题组两直线位置关系的应用1.(2019湖南长沙高二月考,)若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+ky=0相交于一点,则k=( )A.-2B.-12C.2 D.122.(2020山东东营一中高二期末,)已知两点A(2,0),B(3,4),直线l过点B,且交y轴于点C(0,y),O是坐标原点,若O,A,B,C四点共圆,则y的值是( )A.19B.194C.5D.43.(2019山西临汾一中高二期中,)设集合A={(x,y)|y-3x-1=2,x,y∈R},B={(x,y)|4x+ay-16=0,x,y∈R},若A∩B=⌀,则实数a的值为( ) A.4 B.-2C.4或-2D.-4或24.(多选)(2020河南郑州一中高二月考,)若直线l 1的倾斜角为α,且l1⊥l2,则直线l2的倾斜角可能为( )A.90°-αB.90°+αC.|90°-α|D.180°-α5.(多选)(2020河北沧州高二期中,)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3),若点A的坐标为(0,4),则点B的坐标可能是( )A.(2,0)B.(0,2)C.(4,6)D.(6,4)6.(2020河北保定高二期末,)已知过原点O的一条直线与函数y=log 8x的图像交于A,B两点,分别过点A,B作y轴的平行线与函数y=log2x的图像交于C,D两点.(1)证明:点O,C,D在同一条直线上;(2)当直线BC平行于x轴时,求点A的坐标.7.(2020湖南长沙雅礼中学高一月考,)已知四边形ABCD的顶点A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),求四边形ABCD为直角梯形时,m和n的值.8.(2020江西南昌高二期末,)已知直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l 上,将直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行或重合,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),试求m的值.答案全解全析基础过关练1.A 若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行或重合,所以①不正确;若两条直线都垂直于x 轴,则这两条直线的斜率都不存在,所以②不正确;若两条直线的斜率都不存在,则这两条直线平行或重合,所以④不正确;显然③正确.故选A.2.D 当mn≠0时,l 1,l 2重合;当m=n=0时,l 1,l 2可能相交,也可能重合.故选D.3.C 由方程组{3x +2y +6=0,2x +5y -7=0得{x =-4,y =3,故选C. 4.A 因为直线y=ax-2的斜率存在且为a,所以a+2≠0,直线3x-(a+2)y+1=0可化为y=3a+2x+1a+2.因为两条直线平行,所以3a+2=a 且1a+2≠-2,解得a=1或a=-3.5.A 显然m≠-3,k AB =4-1-3-m =3-3-m,k CD =m+1-m -1-1=-12,由于l 1∥l 2,所以3-3-m=-12,解得m=3,满足题意. 6.答案 (2,3)解析 直线方程可化为m(2x-y-1)-(x+3y-11)=0.因为对任意m∈R,方程恒成立,所以{2x -y -1=0,x +3y -11=0,解得{x =2,y =3,故直线恒过定点(2,3).7.答案 15x-10y-6=0解析 由题意知直线l 的斜率k=32,设直线l 的方程为y=32x+b(b≠-3).令y=0,得x=-2b 3,所以-2b 3-b=1,解得b=-35,故直线l 的方程为y=32x-35,即15x-10y-6=0.8.解析 (1)因为l 1与l 2相交,所以a(a-1)≠2,所以a≠-1且a≠2. 故当a≠-1且a≠2时,l 1与l 2相交. (2)因为l 1∥l 2, 所以{a (a -1)-2=0,2(a 2-1)-6(a -1)≠0,解得a=-1.故当a=-1时,l 1∥l 2.(3)因为l 1与l 2重合, 所以{a (a -1)-2=0,2(a 2-1)-6(a -1)=0,解得a=2.故当a=2时,l 1与l 2重合.9.D 因为直线y=2x+1的斜率为2,所以与其垂直的直线的斜率是-12,故所求直线的斜截式方程为y=-12x+4.10.B 由两条直线垂直的条件易知B 选项中的两条直线互相垂直.11.B 线段AB 的中点坐标为(2,32),因为直线AB 的斜率k=1-23-1=-12,所以线段AB 的垂直平分线的斜率为2.由直线的点斜式方程,可得所求垂直平分线的方程为y-32=2(x-2),即4x-2y=5.12.A 依题意可得4×5-m(m-1)=0,即m 2-m-20=0,所以m=-4或m=5. 13.C 由已知得k AB =-1-12-(-1)=-23,k AC =4-11-(-1)=32,所以k AB ·k AC =-1,即AB⊥AC,故三角形ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形. 14.答案 2x+y-6=0解析 设所求直线方程为2x+y+c=0,由直线过点P(3,0)得2×3+0+c=0,解得c=-6,故所求直线方程为2x+y-6=0.15.A 设顶点D 的坐标为(m,n),由题意得AB∥DC,AD∥BC,则有k AB =k DC ,k AD =k BC ,所以{0-11-0=3-n 4-m,n -1m -0=3-04-1,解得{m =3,n =4.所以顶点D 的坐标为(3,4). 16.答案 -2;2解析 由一元二次方程根与系数的关系得k 1·k 2=m2,若l 1⊥l 2,则m2=-1,∴m=-2.当m=-2时,关于k 的方程2k 2-4k+m=0有两个实数根,∴m=-2满足题意. 若l 1∥l 2,则k 1=k 2,即关于k 的方程2k 2-4k+m=0有两个相等的实数根,∴Δ=(-4)2-4×2×m=0, ∴m=2.17.答案 直角三角形解析 由已知得,AB 边所在直线的斜率k AB =2-2√2-(2+2√2)0-2=2√边所在直线的斜率k CB =2-2√2-20-4=√22,AC 边所在直线的斜率k AC =2-(2+2√2)4-2=-√2,所以k CB ·k AC =-1,所以CB⊥AC,所以△ABC 是直角三角形.能力提升练1.B 由方程组{2x +3y +8=0,x -y -1=0解得{x =-1,y =-2.将(-1,-2)代入x+ky=0,得k=-12.2.B 由题易知AB⊥BC,所以k AB ·k BC =-1,即4-03-2×y -40-3=-1,解得y=194.3.C 集合A 表示直线y-3=2(x-1),即y=2x+1上的点,但除去点(1,3),集合B 表示直线4x+ay-16=0上的点,当A∩B=⌀时,直线y=2x+1与4x+ay-16=0平行或直线4x+ay-16=0过点(1,3),所以-4a =2或4+3a-16=0,解得a=-2或a=4.4.ABC (1)当α=0°时,l 2的倾斜角为90°(如图1);(2)当0°<α<90°时,l 2的倾斜角为90°+α(如图2);(3)当α=90°时,l 2的倾斜角为0°(如图3);(4)当90°<α<180°时,l 2的倾斜角为α-90°(如图4).故直线l 2的倾斜角可能为90°-α,90°+α ,|90°-α|,但不可能为180°-α.5.AC 设B 点坐标为(x,y),根据题意可得{k AC ·k BC =-1,|BC |=|AC |,即{3-43-0·3-y 3-x=-1,√(x -3)2+(y -3)2=√(0-3)2+(4-3)2,整理可得{x =2,y =0或{x =4,y =6,故B(2,0)或B(4,6).6.解析 (1)证明:设点A,B 的横坐标分别为x 1,x 2.由题意,知x 1>1,x 2>1,A(x 1,log 8x 1),B(x 2,log 8x 2),C(x 1,log 2x 1),D(x 2,log 2x 2),且log 8x 1x 1=log 8x 2x 2,又k OC =log 2x 1x 1=3log 8x 1x 1,k OD =log 2x 2x 2=3log 8x 2x 2,所以k OC =k OD ,即点O,C,D 在同一条直线上. (2)由(1)知B(x 2,log 8x 2),C(x 1,log 2x 1). 由直线BC 平行于x 轴,得log 2x 1=log 8x 2,所以x 2=x 13,将其代入log 8x 1x 1=log 8x 2x 2,得x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1,由x 1>1,知log 8x 1≠0,故x 13=3x 1,所以x 1=√3,于是A(√3,log 8√3). 7.解析 若四边形ABCD 是直角梯形, 则有2种情形,如图所示:①AB∥CD,AB⊥AD,此时A(2,-1).∴m=2,n=-1. ②AD∥BC,AD⊥AB,∴{k AD =k BC ,k AD ·k AB =-1,即{2-n2-m =2-(-1)4-5,2-n 2-m·-1-n 5-m=-1,解得{m =165,n =-85.综上,{m =2,n =-1或{m =165,n =-85.8.解析 如图,直线l 1的倾斜角为30°+30°=60°,∴直线l 1的斜率k 1=tan 60°=√3.∵l 1与l 2平行或重合, ∴l 2的斜率为√3.∵l 2是线段AB 的垂直平分线, ∴k AB =2-m+1m -1=3-m m -1=-√33,解得m=4+√3.。
