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数学分析第十二章广义积分与含参变量积分第一，广义积分的概念和性质。
在数学分析中，我们通常通过定积分来求解曲线下面的面积。
然而，如果被积函数在有限区间上发散或无定义，就无法使用定积分。
这时，我们就需要用到广义积分。
广义积分可以看作是一些特殊函数的面积，其被积函数在有限区间上可能发散或无定义，但在无穷区间上是收敛的。
广义积分的概念可以统一定积分与不定积分的特点，并在此基础上建立一些重要的性质。
第二，广义积分的判定和应用。
对于广义积分的求解，我们需要先进行判定，即判断广义积分是否存在。
常用的判定方法有比较判定法、绝对收敛判定法、积分判别法等。
这些方法可以帮助我们准确地判断广义积分的存在性，并进一步应用于实际问题的求解。
广义积分在实际问题中的应用非常广泛，比如物理学、工程学等领域都需要用到广义积分的计算。
第三，含参变量积分的概念和性质。
含参变量积分是将被积函数中的参数视为独立变量进行积分。
含参变量积分可以看作是广义积分的一种特殊情况，其被积函数中的参数在一定范围内变化。
含参变量积分的性质与普通的定积分类似，可以满足线性性质、积分换序等性质。
同时，由于含参变量积分中的参数是变化的，所以可以应用于优化问题的求解，帮助我们找到最优解。
第四，含参变量积分的应用。
含参变量积分在实际中的应用非常广泛。
比如，在经济学中，我们可以用含参变量积分来求解收益函数或成本函数的最优解，从而确定最优生产方案。
在物理学中，我们可以用含参变量积分来求解一个变量随时间变化的过程，如物体的运动方程。
在金融学中，我们可以用含参变量积分来计算一些金融衍生品的价格，如期权的定价。
这些都是含参变量积分在实际问题中的应用。
综上所述，数学分析第十二章的广义积分与含参变量积分的概念、性质以及应用都非常重要。
通过对广义积分与含参变量积分的学习与理解，我们能够更好地理解数学中的积分概念，并应用于实际问题的求解。
数学分析第十二章提供了一种更加灵活且广泛的积分方法，对我们的数学思维与解决问题的能力都有很大的提升作用。
一类含参变量的广义积分的计算
一类含参变量的广义积分是指在定义域D上，函数
f(x,y)有n个参数θ1, θ2, …, θn，需要计算其积分表达式：
∫f(x,y)dxdy
这里，x, y是定义域D上的变量，而θ1, θ2, … , θn是参数。
一般来说，在计算积分的时候，我们都是仅仅考虑定义域D上的变量，而不考虑参数θ1, θ2, …,
θn。
但是，对于一类含参变量的广义积分，就必须考虑这些参数，因为它们也是影响函数f(x,y)的值的因素之一。
一类含参变量的广义积分的计算可以通过Monte Carlo方法进行计算。
Monte Carlo方法是一种基于概率统计学原理的方法，用于估计一类难以直接求解的复杂问
题。
该方法通过在定义域D上进行随机抽样，对函数f(x，y)进行拟合，从而估计函数f(x，y)的积分结果。
该方法的基本步骤如下：
1. 首先设定定义域D，即将要进行积分的范围，并根据函数f(x，y)的参数θ1, θ2, …, θn的取值范围，选取符合要求的参数值。
2. 根据定义域D的范围，抽取N个样本点（xi，yi），N为一个足够大的数字，以确保结果的精确度。
3. 计算函数f(x，y)在每个样本点（xi，yi）上的值fi，并计算所有样本点上函数f(x，y)的平均值。
4. 将函数f(x，y)的平均值乘以定义域D的面积，即可得出函数f(x，y)在定义域D上的积分结果。
以上就是一类含参变量的广义积分的计算的基本步骤。
Monte Carlo方法能够有效的解决一类含参变量的广义积分问题，而且该方法的计算效率很高，因此被广泛使用。
含参量广义积分
广义积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在某一区间无限分割后的极限求和。
在实际应用中，有时需要对含有参数的函数进行积分，这就是含参量广义积分。
含参量广义积分的形式为：
$int_{a}^{+infty}f(x,t)dx$
其中，$t$为参数，$f(x,t)$为含有参数$t$的函数。
含参量广义积分的求解需要满足收敛性条件，即当$x$趋于无穷时，积分值能够收敛于一个有限的实数。
如果不满足收敛性条件，那么含参量广义积分的积分值就不存在。
对于一些特殊的函数，含参量广义积分可以通过换元、分部积分等方法进行求解。
例如，当$f(x,t)$为$e^{-tx^2}$时，积分的结果可以表示为$t$的函数形式。
含参量广义积分在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。
例如，在统计物理中，可以通过对含参量广义积分的求解，得到粒子的分布函数。
在经济学中，含参量广义积分可以用来表示收益函数和成本函数。
总之，含参量广义积分是微积分中的一个重要概念，它在实际应用中具有广泛的应用价值。
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第十讲含参变量的积分10 . 1 含参变量积分的基本概念含参量积分共分两类：一类是含参量的正常积分；一类是含参量的广义积分． 一、含参量的正常积分 1 ．定义设()y x f ,定义在平面区域[][]d c b a D ,,⨯=上的二元函数，对任意取定的[]b a x ,∈．()y x f ,关于 y 在[]d c ,上都可积，则称函数()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰为含参量二的正常积分．一般地，若 ()()(){}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=,|, ，也称()()()()[]b a x dy y x f x I x d x c ,,,∈=⎰为含参量x 的正常积分．同样可定义含参量 y 的积分为()()[]d c y dx y x f y J ba,,,∈=⎰或()()()()[]d c y dx y x f y J y b y a ,,,∈=⎰2 ．性质（以 I ( x ）为例叙述）( l ）连续性：若 ()y x f ,必在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,连续，即对[]b a x ,0∈∀，()()()()⎰=→000,lim 0x d x c x x dy y x f x I( 2 ）可积性：若()y x f ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,可积．且有()()()⎰⎰⎰⎰⎰==bab ad cbadcdx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,（若 D 为矩形区域， ·( 3 ）可微性：若 ()y x f ,的偏导数()y x f x ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,可导，则()x I 在 []b a ,可导，且()()()()()()()()()()x c x c x f x d x d x f dy y x f x I x d xc x''',,,-+=⎰·以上性质的证明见参考文献［ 1 ] ，这里从略，例10. l 求积分⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛10,ln 1ln sin a b dx xxx x ab 解法 1 （用对参量的微分法）：设()⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,ln 1ln sin a b dx x xx x b I ab ，()()()()()()()b I b b dx x x x x b x d x b dx x x b x b x b x d x dxx x b I b b b b b b b '221010121102101010111'11111ln sin |1ln cos 111ln cos 111ln cos 11|1ln sin 111ln sin 1ln sin +-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰++++所以()()()()()⎰++=++=⇒++=C b db b b I b b I 1arctan11111122'，令a b =，则 ()()()1arctan 1arctan0+-=⇒++==a C C a a I 所以原积分()()()1arctan 1arctan+-+==a b b I I 解法 2 : （交换积分顺序方法）因为xx x dy x ab bayln -=⎰，所以⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=10101ln sin 1ln sin b a y b a y dx x x dy dy x x dx I同解法()⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛1021111ln sin y dx x x y，所以有 ()()()⎰+-+=++=baa b dy y I 1arctan 1arctan1112注：在以上解题过程中，需要验证对参量积分求导和交换积分顺序的条件，为简洁省略了，但按要求是不能省的． 例10.2 设()()()dz z f yz x y x F xyyx ⎰-=,，其中f 为可微函数，求()y x F xy,·解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()xy f y y x y x f y x xy f xy x xy f y y x xy f y x x y f y x xy xf F xy f y yx dz z f xy f xy x y dz z f y x f x x y xy f xy x y dz z f F xy xyyx xyyx xyy x x '2222'222222213213111-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-+⎪⎭⎫⎝⎛+=-+=-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=⎰⎰⎰二、含参量的广义积分含参量的广义积分包括两类：含参量的无穷积分和含参量的瑕积分 （一）含参量的无穷积分1 ．定义：设 ()y x f ,定义在[][)+∞⨯=,,c b a D 上，对每个取定的[]b a x ,∈，积分 ,()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,都收敛（也叫逐点收敛），它是一个定义在[]b a ,上的函数，称该积分为含参量x 的无穷积分 同样可以定义 ()()[]⎰+∞∈=ad c y dx y x f y J ,,,2 ．一致收敛若对c M >∃>∀,0ε，当 A > M 时，对一切[]b a x ,∈，恒有()()()εε<<-⎰⎰+∞AA cdy y x f dy y x f x I ,,或则称含参量积分在[]b a ,上一致收敛．注：非一致收敛定义：若00>∃ε，使得c M >∀，总存在M A >0，及存在[]b a x ,0∈，，使得()()()000000,,εε<<-⎰⎰+∞A A cdy y x f dy y x f x I 或3 ．一致收敛的柯西准则含参量积分（ l ）在[]b a ,上一致收敛⇔对 c M >∃>∀,0ε，当 M A A >>12时，对一切[]b a x ,∈，都有()ε<⎰21,A A dy y x f注：非一致收敛的柯西准则：含参量积分（ 1 ）在[]b a ,上非一致收敛c M >∀>∃⇔,00ε存在M A A >>12，及存在[]b a x ,0∈，使得()0021,ε<⎰A A dy y x f4.一致收敛判别法( I ) M 判别法：若()()()D y x y g y x f ∈∀≤,,,而()⎰+∞cdy y g 收敛，则()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛（同时也绝对收敛） .( 2 ）阿贝尔判别法： ①()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛； ② 对每一个[]b a x ,∈，()y x g ,关于y 单调，月关于x 一致有界，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛．( 3 ）狄利克雷判别法： ①()[]()c A b a x M dyy x f Ac>∀∈∀≤⎰,,,（即一致有一界）;② 对每一个[]()y x g b a x ,,,∈必关于 y 单调，且当 +∞→y 时()y x g ,对x 一致趋于零，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛 ·例 10 . 3 讨沦下列积分的一致收敛性： （1）()⎰∞++-122222dx y xx y 在()+∞∞-,；（2）[)⎰+∞-+∞∈0,0,sin y dx xxe xy 解： ( 1 ）因为()()()()+∞∞-∈∀≤+=++≤+-,112222222222222y xy x y xy x y xx y ，而积分 ⎰+∞121dx x 收敛，由M 发，()⎰∞++-122222dx yx x y 在()+∞∞-,一致收敛 ·( 2 )因为⎰+∞sin dx xx收敛，且与y 无关，故关于y 一致收敛，而xy e -对固定的y 关于x 在[)+∞,1上单调减，且1≤-xye ，对()()()+∞⨯+∞∈∀,0,0,y x ．由阿贝尔判别法知，积分⎰+∞-0sin dx xxe xy在()+∞∈,0y 上一致收敛． 5 ．分析性质( l ）连续性：若满足：① ()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上连续，即()()()dy y x f x I x I cx x ⎰+∞→==,lim 000·( 2 ）可积性：参量 []b a x ,∈若满足： ①()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可积，即()()()⎰⎰⎰⎰⎰+∞+∞==babaccb adx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,参量[)+∞∈,a x ，若满足：① ()y x f ,在 [)[)+∞⨯+∞=,,c a D 上连续； ②()[]()c d d c y dy y x f a>∀∈⎰+∞,,,和()[]()a b b a x dy y x f c>∀∈⎰+∞,,,都一致收敛；③ 积分()⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ,与()⎰⎰+∞+∞cadx y x f dx ,收敛；则()x I 在[]b a ,上收敛，且()()dx y x f dy dy y x f dx acca⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=,,( 3 ）可微性：若满足：①()y x f ,和()y x f x ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞收敛；③()[]b a x dy y x f cx ,,,∈⎰+∞一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可微，且()()[]b a x dy y x f x I cx ,,,'∈=⎰+∞注： ( 1 ）在定理的条件下，必可导出 ② 也是一致收敛的． ( 2 ）定理的条件都是充分而非必要的． 6 ．狄尼（ Dini ）定理若()y x f ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 连续且非负，则()()dy y x f x I c⎰+∞=,在[]b a ,上连续()x I 在[]b a ,上一致收敛．证明：充分性是显然的，下证必要性． （反证法）假设()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞不一致收敛，由定义，00>∃ε，对cM >∀总存在[]b a x M A ,,00∈∃>，使得()()0000,ε≥-⎰A cdy y x f x I ．特别地，取 M 大于c 的自然数n ·则分别存在 []b a x n A n n ,,∈> ，使得()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I · 注意到f 非负，可写作()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I ．由于{}[]b a x n ,⊂有界，记为{}(),...2,1=k x n ，则[]b a x x nk k ,lim 0∈=∞→，不妨设......21<<<<nk n n A A A ，再注意到 f 非负，因此有()()()()⎰⎰≥-≥-10,,n nkA cA cnk nk nk nk dy y x f x I dy y x f x I ε （*）由已知条件，对固定的1n A ，函数()()()⎰-=1,n A cdy y x f x I x F 在[]b a ,上连续，对（*）令∞→k 取极限得()()()00001,ε≥-=⎰dy y x f x I x F n A c．此与()x I 的定义（即逐点收敛）矛盾，即()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛 ·（二）含参量的瑕积分 1 ．定义设()y x f ,在区域[](]d c b a D ,,⨯=上有定义，对取定的[]c y b a x =∈,,为函数 f 的瑕点, 若积分()()[]⎰∈=dcb a x dy y x f x I ,,,收敛，它是一个定义在[]b a ,上的函数，称其为含参量x 的瑕积分．2 一致收敛对c d -<<∃>∀δδε0:,0，当δη<<0时，恒有()εη<⎰+c cdy y x f ,，对一切[]b a x ,∈成立，称()()dy y x f x I dc⎰=,在[]b a ,上一致收敛．3.M 判别法设 g ( y ）为定义在（ c , d ］上以 c y =瑕点的非负函数．且()()[]()b a x y g y x f ,,∈∀≤ ，而()dy y g d c⎰收敛，则()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰必一致收敛其余的可仿照含参量无穷积分的相关内容平行推得，当然也可以将它转化为无穷积分进 行讨论，这里不再赘述．。
第十八章 含参变量的广义积分1． 证明下列积分在指定的区间内一致收敛： (1) 220cos() (0)xy dy x a x y +∞≥>+⎰； (2) 20cos() ()1xy dy x y +∞-∞<<+∞+⎰； (3)1 ()x y y e dy a x b +∞-≤≤⎰； (4) 1cos (0,0)xy p y e dy p x y +∞->≥⎰； (5) 20sin (0)1p x dx p x+∞≥+⎰. 2． 讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性：(1)20 (0)x dx αα-<<+∞⎰； (2) 0xy xe dy +∞-⎰，（i ）[,] (0)x a b a ∈>，（ii ）[0,]x b ∈； (3) 2()x e dx α+∞---∞⎰，（i ）a b α<<，（ii ）α-∞<<+∞； (4) 22(1)0sin (0)x y e xdy x +∞-+<<+∞⎰.3． 设()f t 在0t >连续，0()t f t dt λ+∞⎰当,a b λλ==皆收敛，且a b <。
求证：0()t f t dt λ+∞⎰关于λ在[,]a b 一致收敛.4． 讨论下列函数在指定区间上的连续性： (1) 220()x F x dy x y +∞=+⎰，(,)x ∈-∞+∞； (2) 20()1x y F x dy y+∞=+⎰，3x >； (3) 20sin ()()x xy F x dy y y ππ-=-⎰，(0,2)x ∈.5． 若(,)f x y 在[,][,)a b c ⨯+∞上连续，含参变量广义积分()(,)c I x f x y dy +∞=⎰在[,)a b 收敛，在x b =时发散，证明()I x 在[,)a b 不一致收敛.6． 含参变量的广义积分()(,)c I x f x y dy +∞=⎰在[,]a b 一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{}n A （其中1A c =），函数项级数 111(,)()n n A n A n n f x y dy u x +∞∞===∑∑⎰ 在[,]a b 上一致收敛.7． 用上题的结论证明含参变量广义积分()(,)c I x f x y dy +∞=⎰在[,]a b 的积分交换次序定理（定理19.12）和积分号下求导数定理（定理19.13）.8． 利用微分交换次序计算下列积分： (1) 210()()n n dx I a x a +∞+=+⎰ （n 为正整数，0a >）； (2) 0sin ax bx e e mxdx x--+∞-⎰（0,0a b >>）； (3) 20sin x xe bxdx α+∞-⎰(0α>). 9． 用对参数的积分法计算下列积分： (1) 220ax bx e e dx x --+∞-⎰（0,0a b >>）； (2) 0sin ax bxe e mxdx x --+∞-⎰（0,0a b >>）. 10． 利用2(1)2011y x e dy x+∞-+=+⎰计算拉普拉斯积分 20cos 1x L dx xα+∞=+⎰ 和120sin 1x x L dx x α+∞=+⎰. 11． 20(0)xy e dy x +∞-=>计算傅伦涅尔积分2001sin 2F x dx +∞+∞==⎰⎰ 和21001cos 2F x dx +∞+∞==⎰⎰. 12． 利用已知积分 0sin 2x dx x π+∞=⎰，202x e dx +∞-=⎰计算下列积分： (1) 420sin x dx x+∞⎰； (2) 02sin cos y yx dy yπ+∞⎰； (3)220x x e dx α+∞-⎰ (0)a >； (4) 2()0ax bx c e dx +∞-++⎰(0)a >； (5) 222()a x x e dx -++∞-∞⎰(0)a >. 13． 求下列积分： (1) 01cos t e tdt t+∞-⎰； (2) 220ln(1)1x dx x +∞++⎰. 14． 证明：(1) 10ln()xy dy ⎰在1[,]b b(1)b >上一致收敛； (2) 10y dx x ⎰在(,]b -∞ (1)b <上一致收敛. 15． 利用欧拉积分计算下列积分：(1) 10⎰；(2) ⎰；(3)⎰;(4)0a x ⎰ (0)a >； (5)6420sin cos x xdx π⎰； (6)401dx x +∞+⎰； (7)220n x x e dx +∞-⎰ （n 为正整数）；(8) 0π⎰； (9) 220sin n xdx π⎰ （n 为正整数）； (10) 1101ln n m x dx x -⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰ (n 为正整数).16． 将下列积分用欧拉积分表示，并求出积分的存在域： (1) 102m n x dx x-+∞+⎰；(2) 1⎰(3) 20tan n xdx π⎰； (4) 101ln p dx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰； (5) 0ln p x x e xdx α+∞-⎰(0)α>. 17． 证明： (1) 11()nx e dx n n +∞--∞=Γ⎰ (0)n >； (2) lim 1nx n e dx +∞--∞→+∞=⎰. 18． 证明：1110(,)(1)b a bx x B a b dx x α--++=+⎰； 10()sx s x e dx ααα+∞--Γ=⎰ (0)s >.。
