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学而思三年级数学寒假1-6讲课程讲义第1讲角的认识模块2：角度计算例3：(1)若∠A和∠B的和为150°，且∠A是∠B的4倍，那么∠A=.(2)若∠A+∠B+∠C=160°，其中∠C是直角，那么∠B=.例4：如图所示，已知∠1的度数是∠2度数的2倍，求∠1、∠2、∠3、∠4分别是多少度？练一练如图所示，已知∠3=30°，求∠2、∠1、∠4分别是多少度？312312作业2：10点整的时候，钟面上时针与分针所成的角是度。
作业3：已知∠1=35°，求∠1的补角是度，余角是是度。
作业4：(1)若∠A+∠B+∠C=120°，其中∠A=28°，∠C=60°，那么∠B=°。
第2讲四则运算模块1：加减法巧算例1：计算(1)63+294+37+54+6(2)261-43+83-157+39==(3)19+199+1999+19999(4)81+85+78+87+79 ==模块2：乘法的巧算例2：计算(1)33×15÷5(2)1800÷25÷4==(3)125×(8÷10)(4)(36×21)÷(6×7)==练一练(1)36×25(2)32×125==(3)25÷(10÷8)(4)37000÷125÷8==计算:(1)34×36;78×72(2)13×17;31×39 (3)43×63;87×27(4)25×25;56×56模块3：提取公因数例4：计算:(1)67×66+67×35-67(2)80×15+15×22-30 (3)33×34+34×35+68×66(4)12×38+12×34+24×14(1)76×25-50+25×26(2)60×29+60×33+40×62作业1：(1)736+49+264+24+11(2)653-249-151作业2：(1)240÷100×5(2)2800÷(25×7)作业3：35×20+70+35×7867×46+54×33+34×54第3讲数列中的秘密模块1：求通项与项数例1：(1)等差数列3，7，11，15，……,第26项是。
1初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版生活水平提高了满分晋级阶梯漫画释义5找规律、程序运算 和定义新运算代数式3级 找规律、程序运算 和定义新运算代数式2级整体思想求值代数式1级整式的概念及加减运算2初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版题型切片（六个） 对应题目题型目标 数列的规律 例1；练习1 数表的规律 例2；练习2 图形的规律 例3；练习3 算式的规律 例4；练习4 程序运算例5、例6：练习5 定义新运算 例7；练习6找规律解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：⑴一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系.⑵一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n 之间的关系. ⑶图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n 之间的关系.⑷图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数.⑸数形结合的规律：观察前n 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.常见的数列规律：⑴ 1，3，5，7，9，… ，21n -（n 为正整数）． ⑵ 2，4，6，8，10，…，2n （n 为正整数）． ⑶ 2，4，8，16，32，…，2n （n 为正整数）． ⑷ 2，5，10，17，26，…，21n +（n 为正整数）． ⑸0, 3, 8, 15， 24，…，21n - （n 为正整数）． ⑹ 2， 6， 12， 20，…， (1)n n +（n 为正整数）． ⑺x -，x +，x -，x +，x -，x +，…，(1)n x -（n 为正整数）．⑻x +，x -，x +，x -，x +，x -，…，1(1)n x +-（n 为正整数）． ⑼特殊数列：①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.②三角形数：1,3,6,10,15,21，…，(1)2n n +.【例1】 ⑴ 观察下列一组数：12，34，56，78，…，它们是按一定规律排列的．那么这一组数 的第k 个数是 ．（k 为正整数）数列的规律思路导航题型切片3初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版⑵瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612，2521，3632，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门．请你按这种规律写出第八个数据是 ．⑶找规律，并按规律填上第五个数:357924816--，，，， ，第n 个数为： . （n 为正整数）⑷有一列数12-，25，310-，417，…，那么第7个数是 ．第n 个数为 . （n 为正整数）（5）一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个式子是 .（n 为正整数）【解析】 ⑴ 212k k -； （2） 10096， ⑶1132-，21(1)2n n n +-；⑷ 750-，2(1)1nn n -+ ；（5）207b a -，31(1)n n nb a --．【例2】 ⑴将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，若用有序数对(),m n 表示第m 行，从左到右第n 个数，如()4,3表示分数112.那么()9,2表示的分数是 . 1112211136311114121241111152030205（2） 正整数按图的规律排列. 请写出第20行第21列的数字: ．数表的规律4初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版⑶按一定的规律排列成的数表如图所示.①当“X”型框中间数字为15时，框中五个数的和为 .当“X”型框中间数字为-57时，框中五个数的和为 .②如果设“X”型框中间的数为a ，请用含a 的代数式表示“X”型框中五个数的和； ③若将“X”型框上下左右移动，所框住的五个数之和能等于－285吗？若能，请求出这-13 -5 7 -9 11 -13 15 -17 19 -21 23 -25 27 -29 31 -33 35 -37 39 -41 43 -45 47 -49 51 -53 55 -57 59 -61 63 -65 67 -69 71 ………………【解析】 ⑴172⑵ 420；观察可得规律： 第一行第二列的数：212=⨯；第二行第三列的数：623=⨯； 第三行第四列的数：1234=⨯； ……第n 行第1n +列的数：(1)n n +故可得第20行第21列的数为：2021420⨯=.（3）①-45，171 ②-3a ③不能，中间数字应该为95，但是95却在最后一列第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 第一列第二列 第三列 第四列 第五列 1 2 5 10 17 ... 4 3 6 11 18 ... 9 8 7 12 19 ... 16 15 14 13 20 (25)232221………5初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版【例3】 ⑴ 下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由 个基础图形组成，……，第n （n 是正整数）个 图案由 个基础图形组成．⑵观察下列图形：它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有个★，第n 个图形有 个★.⑶ 图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2，再分别连接图2中间小三角形三边的中点，得到图3．图3图2图1① 图2有 个三角形；图3有 个三角形；② 按上面的方法继续下去，第n 个图形中有多少个三角形？⑷如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．【解析】 ⑴ 10，31n +； ⑵；28,3n+1；⑶ ①5，9．② 43n -． ⑷(2)n n +或22n n +或2(1)1n +-；算式的规律图形的规律第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形6初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版【例4】 观察下列等式：①23a a +=；②65a a +=；③127a a+=；④209a a +=…；则根据此规律第6个等式为 ，第n 个等式为 ．【解析】 1342=+aa ； 122+=++n a n n a .一般的以计算机程序为背景的新型求值题，解这类题的关键是弄清计算机程序与数学表达式之间的关系．【例5】 ⑴ 如下图，输入23x =-，则输出值y 是 ．y=-x +4(x >1)y=x +4(x ≤1)输出 y输入 x⑵ 如下图所示是计算机程序计算，若开始输入1x =-，则最后输出的结果是 .YES NO输出结果<-5计算1+x -2x 2输入x 的值⑶ 如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第1次输出的结果为24， 第2次输出的结果为12，……，第2013次输出的结果为 ．x +3x 2x 为奇数x 为偶数输出输入x⑷ 按下面的程序计算，若开始输入的值x 为正整数，最后输出的结果为853，试求出满足条件的x 的所有值.程序运算思路导航7初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版>800输出结果是否将值赋给x ，再次运算计算4x +1的值输入x【解析】 ⑴5-；此程序为选择式，因91x =-≤，故4945y x =+=-+=-.⑵ 9-；经过第一次程序运算得2-，因为25->-，需要返回循环；经第二次运算得9-，因为95-<-，此程序结束，故输出结果为9-. ⑶ 6．（提示：利用循环，多进行几次运算．）⑷ 由题意：()85314213>0-÷=，()2131453>0-÷=，()531413>0-÷=，()13143>0-÷=，()1314>02-÷=∴只有213，53，13，3符合题意．（也可用方程思想理解：∵ x 为正整数， ∴ 415x +≥. 当41853x +=时，213x =. 当41213x +=时，53x =. 当4153x +=时，13x =. 当4113x +=时，3x =.综上所述，213x =或53x =或13x =或3x =）.【例6】 阅读右面的框图并回答下列问题： （1）若A 为785，则E=_____________；（2）按框图流程，取不同的三位数A ，所得E 的值都相同吗？如果相同，请说明理由；如果不同，请求出E 的所有可能的值；（3）将框图中的第一步变为“任意写一个个位数字不为0的三位数A ，它的百位数字减去个位数字所得的差大于．．2．”，其余的步骤不变，请猜想E 的值是否为定值？并对你猜想的结论加以证明． 【解析】 ⑴E =1089； ⑵ E 的值都相同．理由如下：设A =100a+10b +c 且a －c =2，则B =100c +10b + a ．∴C =A －B =(100a +10b +c )－(100c +10b + a )=99a －99c =99(a －c )=99×2=198． ∴D =891．∴E =C +D =198+891=1089． (3) E =1089．8初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版证法1：设A =100a +10b +c 且a －c >2，则B =100c +10b + a ．∴C =A －B =(100a +10b +c )－(100c +10b + a )=100(a －c )+(c －a )=100(a －c －1)+10×9+(10+c －a ) ． ∴D =100(10+c －a ) +10×9+ (a －c －1) ．∴E =C +D =[100(a －c －1)+10×9+(10+c －a )]+[ 100(10+c －a ) +10×9+ (a －c －1)]=1089．定义新运算⑴基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算.⑵注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序. ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用.【例7】 ⑴现定义两种新运算∆∇、，对于任意两个整数a 、b ，都有：1a b a b ∆=+-， 1b a b a ∇=-.试求：(∆∆∇(34)21)的值.⑵ 用“×”定义新运算：对于任意a b ，，都有a ×b 2a b =-． 例如，4×27479=-=，那么5×3= ； 当m 为有理数时，m ×（1-×2）= ．⑶ 对于正整数a ，b ，c ，d ，规定a b ad bc c d=-，若1134bd <<，则b d += ．⑷ 定义：a 是不为1的有理数，我们把11a -称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是()11112=--．已知113a =-， ① 2a 是1a 的差倒数，则2a = ； ② 3a 是2a 的差倒数，则3a = ；③ 4a 是3a 的差倒数，则4a = ，…，依此类推，则2009a = ．【解析】 ⑴ 6；⑵ 22，21m +；⑶由题意得42bd -=，故2bd =，又b d ，为正整数，所以3b d +=.定义新运算思路导航9初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版⑷ ①34；② 4；③ 13-；34. 【点评】 一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题．【选讲题】【例8】 （1）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ，，，．请你按图中箭头所指方向（即A B C D C B A B →→→→→→→C →→…的方式）从A 开始数连续的正整数1234，，，，…，当数到12时，对应的字母是_______；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C 第21n +次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是 （用含n 的代数式表示）．【解析】 B ，603，63n + . （2）数1234,,,,a a a a 满足下列条件：10a =，211a a =-+ ,322a a =-+,433a a =-+,则2013a 的值为 .【解析】 1006(3)如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去：⑴ 填表：⑵ 如果剪了100次，共剪出多少个小正方形？ ⑶ 如果剪n 次，共剪出多少个小正方形？【解析】 ⑴ 如表．剪的次数1 23 4 5 正方形个数 47101316⑵ 如果剪了100次，共剪出11003301+⨯=个小正方形； ⑶ 如果剪n 次，共剪出13n +个小正方形.剪的次数1 2 3 4 5 正方形个数 4 710 初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版训练1. 下面是一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，……，第2002个数应该是（ ）A ．20022B ．200221-C ．20012D ．以上答案均不对【解析】 C.训练2. 根据右图所示的程序计算变量y 的值，若输入自变量x 的值为32，则输出的结果是 ．（汇文中学期中） 【解析】 72-.训练3. 读一读：式子“12345100++++++”表示1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“12345100++++++”表示为1001n n =∑，这里“∑”是求和符号．例如：1357999++++++，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为50121n n =-∑（）； 又如333333333312345678910+++++++++可表示为1031n n =∑．通过对以上材料的阅读，请解答下列问题．⑴ 246810100++++++（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ． ⑵ 计算5211n n =-=∑（） ．（填写最后的计算结果）（北大附中期中）【解析】 ⑴ 5012n n =∑；⑵ 50,52222221(1(11(21(31(41(5150n n=-=-----=∑))+)+)+)+)训练4. 在某种特制的计算器有一个按键★★★，它代表运算2a b a b++-．例如：输入顺序 1，★★★，2-，ENTER=屏幕显示()1***2-2上述操作即是求()()12122+-+--的值，运算结果为2．回答下面的问题：y=-x -2(1<x ≤2)y=x 2(-1≤x ≤1)y=x -2(-2≤x <-1)输出y 的值输入x 的值11初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版⑴ 小明的输入顺序为5-，★★★，7，ENTER=，运算结果是 ．⑵ 小杰的输入顺序为100101，★★★，165-，ENTER=，★★★，1101-，ENTER=，★★★，6665-，ENTER=，★★★，101100，ENTER=，运算结果是 ．⑶ 若在20112012-，20102011-，20092010-，……，12-，0，12，……，20092010，20102011这些数中，任意选取两个作为a 、b 的值，进行★★★运算，则所有的运算结果中最大的值是 ．（一零一期中）【解析】 ⑴ 7⑵6665⑶ 2011201212 初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版数列的规律【练习1】 ⑴ 观察一列有规律的数：4，8，16，32，…，它的第2007个数是（ ）A ．20072B ．200721-C ．20082D ．20062⑵ 观察下列单项式，2x ，25x -，341017x x -，，……根据你发现的规律写出第5个式子是 ，第8个式子是 ，第n 个式子是 ．（n 为正整数）【解析】 ⑴ C ． ⑵ 582665x x -， ，12(1)(1)n n n x +-+.数表的规律【练习2】 下面是由自然数排成的数表，分为A ，B ，C 三列，按这个规律，1999在第 列。
第3讲数列的小伙伴们满分晋级数列3级等差数列深入数列2级数列的小伙伴们数列1级与数列的第一次亲密接触知识切片<教师备案>本讲内容分成两部分：3．1等比数列的基本量；3．2等比数列的性质初步．本讲内容较少，可以与上一讲进行一个时间上的均衡．本讲思路是：先从直观上认识等比数列，通过一些具体的数列感受等比数列并学习等比中项，之后再学习等比数列的通项公式，熟悉通项公式以及正确计算等比数列的项数．再学习等比数列的求和公式，以及一些简单的性质．希望把概念分开讲解，分别配例题．国际象棋的故事在暑期指数函数已经讲过了，此处就尽量不用了，由汉诺塔引入．等比数列引入汉诺塔在印度，有这么一个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，印度教的主神大梵天在创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在其中一根柱子上从下到上地放着由大到小的64片黄金圆盘，这就是所谓的汉诺塔（如下图）．不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些圆盘：一次只移动一片．．．．．．．，不管在哪根柱子上，小．圆盘．．必在大．．．圆盘．．上面．．．当所有的金盘都从梵天放好的那根柱子上移到另外一根上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽．故汉诺塔问题又被称为“世界末日问题．”汉诺塔初始模型64636221CB A ∙∙∙∙∙∙要把圆盘移动到另外一根柱子上，至少需要移动多少次呢？设有n 个圆盘，要从A 移动到C ，至少需要移动的次数为n a ．易知12n =，时，1213a a ==，，3n =的时候，可以考虑先将上面两个小的移到B 上，要23a =次，再将最大的那个移到C 上，要1次，最后将B 上的两个移到C 上，要23a =次，总共要2217a +=次．对于一般的n ，我们可以类似考虑（如下图）：先将上面1n -个圆盘移到B 上，要1n a -次；然后将最大的那个盘子移到C 上，要1次移动；最后再将B 上的那1n -个圆盘移到C 上，要1n a -次．这种方法需要的次数为111121n n n a a a ---++=+．n －11n∙∙∙∙∙∙ABC22CBA∙∙∙∙∙∙n1n －1①②3.1等比数列基本量计算n∙∙∙∙∙∙ABC12③下面简单说明一下，至少要移动的次数121n n a a -=+．只需要考虑最大的那个圆盘移动到C 上的时候，此时，比较小的1n -个圆盘必定是图②中的摆放方式，这1n -个圆盘从A 到B 要1n a -次，然后这1n -个盘子移到C 又要1n a -次，因此总共至少要121n a -+次才行． 综上可得到数列{}n a 的递推公式121n n a a -=+，则 232121231212212221222121n n n n n n n a a a a a -----=+=++=+++==++++=- （也可变形为()1121n n a a -+=+，于是()()()2112112121212n n n n n a a a a ---+=+=+==+=．）假设一秒钟能移动一次，那完成目标需要的时间就是6421-秒，大概是5845亿年，地球是远撑不到那个时候的．当然，我们不是要探讨地球什么时候毁灭，而是要研究像231222，，，，这样的数列，比如怎么求和，类似于这样的数列就是等比数列．考点1：等比数列的概念1．文字定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母(0)q q ≠表示．2．符号定义：数列{}n a 中，若1n n aq a +=（q 为常数，0q ≠），则称{}n a 为等比数列．<教师备案>对于等比数列定义的详细理解：① 由于等比数列每一项都可作为分母，故每一项均不为0，因此q 也不为0．② “从第二项起”是因为首项没有“前一项”．③ 1n naa +均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还要注意公比是每一项与前一项之比，防止前后次序颠倒．④ 如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列．这时可以说此数列从第2项起或第3项起是一个等比数列． ⑤ 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n 无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列不是等比数列．⑥ 常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列．若常数列是各项都为0的数列，它就不是等比数列．当常数列各项不为0时，是等比数列．知识点睛【例1】 等比数列的认识下列数列是等比数列吗?如果是，求出公比，如果不是说明理由．①1010，，，，；②2222，，，，；③1248--，，，，；④39183672，，，，， 【追问】等比数列是不是一定是单调的？【解析】 ①④不是等比数列，②③是等比数列．①的项中有0，④此数列从第2项起是一个等比数列．②1q =，③2q =-．【追问】主要是希望学生通过一些等比数列的例子探索一下等比数列的单调性，不涉及等比数列的通项公式．1q =时，等比数列是常数列，不单调性；0q <时，等比数列一定是正负交替的，这时数列一定不单调，如1248--，，，，； 1q >，10a >时数列单调增加，如1248，，，，； 1q >，10a <时，数列单调递减，如1248----，，，，； 01q <<，10a >时，数列单调递减，如11124，，，；01q <<，10a <时，数列单调递增，如11241---，，，．考点2：等比数列的通项公式已知等比数列{}n a ，首项为1a ，公比为q ，第n 项为n a ，通项公式：11n n a a q -=．11n n a a q -=<教师备案>等比数列通项公式的推导：可以直接迭代，根据等比数列定义有2211221n n n n n a a q a q a q a q ----=⋅=⋅==⋅=⋅．也可以用叠乘法进行推导： 根据等比数列的定义，可以得到21a q a =，32a q a =，43aq a =，…，1n n a q a -=．把以上1n -个等式左右两边分相乘得13241231n n n a aa aq q q q a a a a --⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅个，经典精讲知识点睛第n 项首项 项数减1即11n na q a -=，11n n a a q -=．【例2】 等比数列的基本量与通项公式⑴已知数列{}n a 的通项公式为23n n a =⋅，则首项1a =_____，公比q =_____．⑵等比数列48239，，，的第4项4a =_______，第20项20a =___________．⑶等比数列1113242，，，，的第5项为________，项数n =_____．⑷已知等比数列{}n a 中，33a =，10384a =，则该数列的通项n a =___________．【解析】 ⑴16a =，3q =．⑵191622273⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，；19420422821622233393273q a a ⎛⎫÷===⨯==⋅ ⎪⎝⎭，，，． ⑶48，；22-到52共8项，或是写出通项公式131224n n n a --=⋅=知83232-=．54a =．⑷332n -⋅；根据题意得：21913384a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得到1342a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴1332324n n n a --=⋅=⋅．<教师备案>等比数列的求和中一个关键的问题是正确确定数列的项数，等比数列的公比的幂次成等差数列，故等比数列的项数求法用到等差数列的项数求法，这里的挑战五分钟是为了熟悉项数的求法，避免错误．题目数量较少，用不到五分钟．【挑战五分钟】⑴等比数列12551125，，，，的项数为______．⑵等比数列333327，，，，的项数为_______．⑶等比数列11111248256--，，，，，的项数为______． ⑷等比数列1116442---，，，，的项数为______．⑸等比数列1111136122432n⨯，，，，，的项数为______．⑹等比数列473103333n +，，，，的项数为_______． ⑺等比数列4128322n +，，，，的项数为_______． ⑻等比数列31333n ，，，，的项数为______． 【解析】 ⑴6；⑵6；⑶9；⑷9；⑸01111323232n⨯⨯⨯，，，，共1n +项； ⑹3(3)103(2)10310333n ⨯-+⨯-++，，，，共有(3)14n n --+=+项； ⑺201211221222n ⨯+⨯+⨯+，，，，共21n +项．经典精讲⑻11202223333n -，，，，，共有22n +项．已知数列{}n a 是等比数列，28a =，432a =，则公比q =_______．【解析】 2±；由等比数列的通项公式18a q ⋅=，3132a q ⋅=，∴24q =，2q =±．【点评】如果目测的话，很可能会认为公比是2，漏掉2-．考点3 ：等比数列的求和公式等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，有前n 项和公式：1111(1)111n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩，，1q =时，1n S na =；1q ≠时，11(1)11n n n a a qa q S q q--==--<教师备案>等比数列前n 项和公式的推导：（一般用得多的是前面的求和公式）法一：由等比数列的定义知2132121n n n n a a q a a q a a q a a q ---====，，，，， 将这n 个等式的两边分别相加得：23121()n n a a a a a a q -+++=+++，即1()n n n S a S a q -=-，整理得111(1)n n n S q a a q a a q -=-=-， 当1q ≠时，1(1)(2)1n n a q S n q-=-≥，显然此式对1n =也成立； 当1q =时，1n S na =．法二：错位相减法（会在春季同步的求和中再次遇到） 211111n n S a a q a q a q -=++++，将上式两边同乘以q 得：231111n n qS a q a q a q a q =++++，知识点睛{}n a 是常数列{}n a 非常数列 首项项数两式相减得：11(1)n n q S a a q -=-，以下讨论同法一．<教师备案>注意等比数列的求和公式对1q =的情况需要单独讨论！当1q ≠时，将前n 项和公式整理成1(1)1n n a q S q -=-111na a q q -=-11111n a a q q q q=-≠--，，即等比数列的前n 项和公式一定有n n S c cq =-的形式，给出等比数列的前n 项和公式可以快速看出公比q ，且n q 前面的系数与常数项互为相反数，由此可以快速解决例4⑷⑸． 例：等比数列{}n a 的前n 项和3n n S r =+，则3q =，1r =-；等比数列{}n a 的前n 项和13n n S r +=+，则3q =，整理一下得33n n S r =⋅+，故3r =-； 等比数列{}n a 的前n 项和213n n S r +=+，则39n n S r =⋅+，有9q =，且3r =-．这个结论可以这么理解：12n n n a S S n -=-，≥；这样的式子无法算出1a ，故1a 常常出问题，见易错门诊；要想1a 不成问题，希望110a S S =-成立，故希望00S =，即得n n S c cq =-．【铺垫】⑴（2010东城一模文11）设{}n a 是等比数列，若141,8a a ==，则q = ，数列{}n a 的前6项的和6S = ．⑵ 已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和记为n S ，132a q ==，，则6S =_______． ⑶ 等比数列4816512，，，，的和为_______．【解析】 ⑴ 2,63；3412a a q q =⇒=；661(12)6312S ⨯-==-．⑵ 189；()6631218912S -==-； ⑶ 1020；此等比数列的公比为2，可直接用公式1451221020112n n a a q S q --⨯===--； 也可算出项数为8，得84(12)102012n S -==-．【例3】 等比数列的前n 项和⑴等比数列11148256，，，的和为_______．⑵设4710310()22222n f n +=+++++（n ∈N ），则()f n 等于（ ）A ．()2817n -B ．()12817n +-C ．()32817n +-D ．()42817n +-⑶已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和记为n S ，若12a =，公比3q =，则使得26n S =的项数n =________． ⑷已知等比数列{}n a 的前n 项和为112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则1a =______，n a =_______．⑸已知等比数列{}n a 的前n 项和为1136n n S x -=⋅-，则x 的值为（ ）A ．13B ．13-C ．12D ．12-经典精讲⑹（目标班专用）已知等比数列{}n a 中，332a =，392S =，求首项1a 和公比q ． 【解析】 ⑴127256； ⑵ D ；473102222n +，，，，构成以2为首项，8为公比的等比数列，且共有4n +项，故442(18)2()(81)187n n f n ++-==--．⑶ 3；由等比数列的前n 项和公式1(1)2(13)26113n n n a q S q -⨯-===--，3n =． ⑷12n -；1112a S ==-，12q =，故1111222n n na -⎛⎫=-⋅=-⎪⎝⎭． ⑸ C ；解法一：当0n =时，00S =，即1036x -=，12x =∴解法二：1136n n S x -=⋅-∵，116a x =-∴，22a x =，36a x =，由中项公式得2213a a a =，即21466x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得12x =或0x =（舍），∴12x =解法三：()1111111n n n a q a a S q q q q -==⋅----，由定义形式可知，136x =．12x =．⑹ 31231229333222S a a a a a q q=++=⇒+==+化简得2210q q --=，解得12q =-或1q =；又1232a q =，得1312a q ==，或16a =，12q =-．【点评】⑹一般来说，对于23S S ，我们没必要用求和公式去求，这样也省去讨论1q =的麻烦．<教师备案>已知n S 求n a 时，不管是等差数列还是等比数列，或者其它数列，都要注意1a 单独讨论．对第1题，因为00S ≠，故数列{}n a 是从第2项开始才是等比数列．等比数列的求和中，注意1q =与1q ≠时，公式是大不相同的，需要分别讨论．1．已知数列{}n a 的前n 项和3n n S =，求通项n a ． 【解析】 当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，1113323n n n n n n a S S ---=-=-=⨯． 故131232n n n a n -=⎧=⎨⨯⎩，，≥2．求21n S a a a =++++（其中a 为常数）． 【解析】 当0a =时，1S =；当1a =时，1S n =+；当1a ≠时，111n a S a +-=-．111111n n a S a a a++=⎧⎪=⎨-≠⎪-⎩∴<教师备案> 例4介绍较为复杂的等比数列基本量的计算，在同步班中等比数列的基本量只做课前回顾，不再展开，例4⑵的【追问】会在春季同步时作为性质展开，此处可作为一个思考的问题．【例4】 等比数列的基本量综合⑴数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则数列2{}na 的前n 项和为（ ） A ．()221n - B ．21(21)3n - C ．41n - D ．1(41)3n -⑵（2012年丰台区高三一模数学理10）已知等比数列{}n a 的首项为1，若12342a a a ，，成等差数列，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为______．【追问1】已知数列{}n a 为等比数列，公比为q （1q ≠），则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}2n a ，{}(0)n n a a >，{}lg (0)n n a a >，{}2na 中哪些是等比数列？是等比数列的，公比为多少？【追问2】已知数列{}n a ，{}n b 都为等比数列，公比分别为12q q ，，则数列{}n n a b +，{}n n a b ，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是否为等比数列？是等比数列的，公比为多少？ 如果12q q =，数列{}n n a b +是否为等比数列？⑶设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k 等于（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 ⑷（目标班专用）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ．若12n n n S S S ++，，成等差数列，则q 的值为_____．【解析】 ⑴ D ；由21n n S =-知，12n n a -=．故214n na -=，数列2{}n a 是公比为4，首项为1的等比数列， 故它的前n 项和为141(41)143n n-=--．⑵ 3116；设数列{}n a 的公比为q ，则21344a a a =+，即244q q =+，解得2q =，所以()1*112n n n a -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，前5项的和为51131211612⎛⎫- ⎪⎝⎭=-．追问1：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}2n a ，{}(0)nna a>都为等比数列，公比分别为21q q q，，；{}lg (0)n n a a >不是等比数列，是等差数列，公差为lg q ；{}2na 既不是等比数列，也不是等比数列．追问2：数列{}n n a b ，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，公比分别为1122qq q q ，；数列{}n n a b +在12q q ≠时一定不是等比数列；在12q q =时，可能不是等比数列，但如果数列{}n n a b +中各项都非零的话，一定是等比数列，公比为1q ．如：22n n n n a b ==-，不是等比数列． ⑶ B ；212k k a a a =，即[][]2111(1)(21)a k d a a k d +-=+-．由19a d =得：22(8)9(28)k d d k d +=+，由0d ≠得：2(8)18(4)k k +=+，即2280k k --=，故4k =或2k =-（负值舍去）． ⑷ 2-；解法一：由题意知122n n n S S S ++=+，∴12n n n n S S S S ++-=-，即112n n n a a a +++-=+，∴122n n a a ++-=，∴212n n aa ++=-解法二：由题意知122n n n S S S ++=+；①若1q =，有1112(1)(2)na n a n a =+++，因为10a ≠，故有223n n =+，这不可能； ②若1q ≠，则有12111(1)(1)(1)2111n n n a q a q a q q q q++---⋅=+---，由0q ≠可化简得：220q q +-=，解得2q =-或1q =（舍去）．<教师备案>和等差数列类似，等比数列的题目只要知道1a 和q 后，都可以通过这两个基本量的各种运算来求解．同样的如果总是生搬基本公式的话，计算量会很大，准确率会降低，因此我们还需要学习一些省时省事的小技巧，即等比数列的一些简单性质．当然也不能舍本逐末，等比数列的基本量的基础运算还是最重要的，性质只是辅助．基本概念明白透彻了，性质也会更容易理解．学习等比数列的性质，可以和等差数列的性质对照引入．考点4：等比数列的性质3.2等比数列性质初步1．等比中项：三个数x ，G ，y 组成等比数列，G 叫做x ，y 的等比中项．如果G 是x 和y 的等比中项，则2G xy =．2．等比数列{}n a 的主要性质：⑴若{}n a 是等比数列，则n m n m a a q -=⋅．⑵若{}n a 是等比数列，m ，n ，p ，t *∈N ，当m n p t +=+时，m n p t a a a a ⋅=⋅， 特别地：当2m n p +=时，2m n p a a a ⋅=．当m n t +=+时，m n p t a a a a ⋅=⋅，特别地：当2m n p +=时，2m n p a a a ⋅=．⑶若{}n a 是等比数列，则下标成等差数列的子列构成等比数列．n a ，n m a +，2n m a +，为等比数列，公比为m q ．<教师备案>这一讲对等比数列的性质只学习它常用的几条，其它性质我们还会在春季同步班重点学习．对性质的简单证明如下：⑴1111n m n m n m n m a a q a q q a q ----=⋅=⋅⋅=⋅． ⑵当m n p t +=+时，m n a a ⋅1111m n a q a q --=⋅⋅⋅211m n a a q +-=⋅⋅211p t a a q +-=⋅⋅1111p t a q a q --=⋅⋅⋅p t a a =⋅．特别地：当2m n p +=时，2m n p p p a a a a a ⋅=⋅=． ⑶11n n a a q-=⋅，11n m n m a a q+-+=⋅，2121n m n m a a a+-+=⋅，1111n m m n m n n a a q q a a q+-+-⋅==⋅， 212111n m m n m n m n m a a q q a a q+-++-+⋅==⋅，n a ，n m a +，2n m a +，，为等比数列，公比为m q ．<教师备案>①性质1是说明求通项时，可以从任意项开始求，比如已知482a q ==，，求10a 时，可以常规求出1a ，再由通项公式算；也可以直接用10469104822a a q -=⋅=⨯=来求解． ②在使用中，常常将性质⑶和⑵同时使用，比如在等比数列{}n a 中，44a =，求26a a ⋅．可以先利用性质⑶说明246a a a ，，成等比数列，然后利用性质⑵说明22264416a a a ⋅===，也可以直接使用性质⑵．③由等比数列的性质⑶知一个等比数列隔项取一定是等比数列，这时新的等比数列的公比为20q >，不注意这个有时可能会出错，见易错门诊．知识点睛项数和相等对应项的积相等项数是等差中项 对应项是等比中项【铺垫】⑴各项均为正数的等比数列{}n a 中，23a =，1027a =，则6a =_____．⑵在各项均为负数的等比数列{}n a 中，116a =-，54a =-，则q =_____，3a =______， 9a =______．【解析】 ⑴9；262106819a a a a ==⇒=±，负值舍去； ⑵2812--，，； 451a a q =得：45114a q a ==，故212q =，从而22q =±；又此数列各项均为负数，故22q =； 21533648a a a a ==⇒=±，故38a =-；251991a a a a =⇒=-．【例5】 等比数列的性质⑴①m 是2323-+，的等比中项()0m >，则m = ； ②39a ，，为等比数列，则a = ．⑵等比数列{}n a 的各项为正，公比q 满足24q =，则3445a a a a ++的值为（ ） A ．14 B ．2 C ．12± D ．12⑶在等比数列{}n a 中， 若110a a ，是方程23260x x --=的两根，则47a a ⋅= ．⑷（2012年海淀区高三一模数学理）在等比数列{}n a 中，14358a a a a ==，，则7a =（ ） A ．116 B ．18C ．14D ．12 ⑸在等比数列{}n a 中，515205a a ==，，则20a =_______．⑹（目标班专用）在等比数列{}n a 的前n 项中，1a 最小，且12166128n n a a a a -+==，，前n 项和126n S =，则n =______，q =_______．【解析】 ⑴ ①1；()()223231m =-⋅+=，∵0m >，∴1m =．②33±；22733a a ==±，． ⑵D ；()34344534112a a a a a a q a a q ++===++．⑶2-；根据性质2得471102a a a a ⋅=⋅=-．⑷B ；由435a a a =得24354a a a a ==，又40a ≠，因此2417411a a a a ===，，247118a a a ==． ⑸52±；根据性质2得210515100a a a =⋅=，∴1010a =±．由性质3知下标成等差数列的子列也构成等比数列，即5101520a a a a ，，，构成等比数列． 经典精讲公比151051102a q a ===±±，∴201552a a q ==±． ⑹（目标班专用）62，；由题意可知1166128n n a a a a +==，．∴1264n a a ==，． 126412611n n a a q q S q q --===--，解得2q =．∴111222n n n n a a q --==⋅=，即264n =，故6n =．【例6】等比数列的性质应用设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，已知34a =，639S S =，则{}n a 的通项n a = ．【解析】 12n -∵63=9S S ，∴()1234561239a a a a a a a a a +++++=++．∴()4561238a a a a a a ++=++，即()3331231238a q a q a q a a a ++=++ ∴()()31231238q a a a a a a ++=++，∵()2123110a a a a q q ++=++≠（210q q ++>）， ∴38q =，2q =∴∵34a =，∴33342n n n a a q --==⋅231222n n --=⋅=．<教师备案>讲完这题可以接着讲后面的易错题．那道题中12a a +可能等于零，容易被忽视直接消去．【备选】在等比数列{}n a 中，423a =，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2n n ab =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【解析】 由等比数列的性质得 235449a a a ⋅==，所以35a a ，是方程2204099x x -+=的两个根．由公比大于1解得35229a a ==，，∴25393a q q a ===，．312229981a a q ===，15123n n n a a q --==⋅，3log 52nn a b n ∴==-，()21194222n n n S n n n -=-+=-．1．已知数列{}n a 是等比数列，11a =-，59a =-，则3a =______，9a =______．【解析】 381--，；21539a a a ==33a ⇒=±，但22310a a q q ==-<，故33a =-；2195981a a a a =⇒=-．222m k m k m k m k a a a a a a --=⇒=±2．设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知32a =，42=5S S ，则{}n a 的通项n a = ． 求等比中项符号要验证【解析】()22n n a -=--或12(1)n n a -=-．425S S =，即()1234125a a a a a a +++=+，而由等比数列的性质有：()23412a a q a a +=+．∴()()21212125a a q a a a a ++⨯+=+，即()()21240a a q +-= 当120a a +=时，110a a q +=，∴1q =-，()()31332121n n n n a a q ---==-=-．当120a a +≠时，240q -=，2q =±，又因1q <，所以2q =-．所以33n n a a q -=()()32=222n n ---=--．【演练1】 在等比数列{}n a 中，25864a a ==，，则公比q 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8【解析】 A ；【演练2】 设{}n a 是公比为正数的等比数列，若15116a a ==，，则数列{}n a 前7项的和为（ ）A ．63B ．64C ．127D ．128【解析】 C ．【演练3】 若43a a ，，为等差数列的连续三项，则0129a a a a +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．1023B ．1025C ．1062D ．2047 【解析】 A ；由题意知832a a a =+⇒=．于是10012912102312a a a a -+++⋅⋅⋅+==-．【演练4】 ⑴等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，333S a =．则公比q = ．⑵设等比数列{}n a 的公比为12q =，前n 项和为n S ，则44S a = ．【解析】 ⑴112-，；212313a a a a q ++=⋅，∵10a ≠，∴2213q q q ++=，即2210q q --=，解得12q =-或1q =；⑵15；()23231433411115a q q q S q q q a a q q ++++++===．【演练5】 在等比数列{}n a 中，若39a a ，是方程231190x x -+=的两根，则6a 的值是_____． 【解析】3± 实战演练【演练6】 在等比数列{}n a 中，⑴ 若12321a a a ++=，123216a a a =，求n a ； ⑵ 若3518a a ⋅=，4872a a ⋅=，求公比q ．【解析】 ⑴ ∵2132a a a ⋅=，∴31232216a a a a ⋅⋅==， 解得26a =，代入已知可得13131536a a a a +=⎧⎨⋅=⎩，，解方程得13312a a =⎧⎨=⎩，，或13123.a a =⎧⎨=⎩，当13a =时，2q =；当112a =时，12q =．故132n n a -=⋅或11122n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭．⑵ 由3518a a ⋅=，得241118a q a q ⋅=，即26118a q ⋅= ①，又由4872a a ⋅=，得371172a q a q ⋅=，即210172a q ⋅= ②． ②÷①得 44q =，∴2q =±．【点评】 ⑴ 在求得13a =，312a =或112a =，33a =后，由于260a =>，因此，公比q 一定大于0．⑵ 在等比数列中，奇数项和偶数项分别同号（无论公比q 大于0或小于0），因此，在求出44q = 后，q 的值应为2±．此外，上题还可以直接将两式相除得44q =，从而求出q ．1．等比数列{}n a ，首项1a ，公比为q ，则通项公式为n a =___________． 2．等比数列{}n a 的公比为q ，首项1a ，则前n 项和公式为n S =_____________． 3．等比数列{}n a ，若2p q m +=，则p q a a ⋅___2m a （填<、>、=）概念要点回顾分牛的传说古代的印度，有一位老人，他在弥留之际，把三个儿子叫到床前，对他们说：“我就要去见真主了，辛苦了一辈子，没有其它珍贵遗产留给你们，只有19头牛，你们自己去分吧，老大分总数的1/2，老二分总数的1/4，老三分总数的1/5．”话音甫落，老人就咽了气．按照印度的教规，牛被视为神灵，不准宰杀，只能整头的分，而先人的遗嘱必须无条件遵从．那么，这19头牛怎样分呢？这道题着实难坏了兄弟三人．他们请教了许多有才学的人，人们总是摇头，表示爱莫能助．三兄弟急得走投无路，却无计可施……结局大家估计也听过：有一天，一位老农牵着一头牛路过，看到兄弟三人愁眉苦脸，便动问原由．老农听后思索了片刻说：“这件事好办，我把自己的一头牛借给你们，这样总共就有了20头牛，老大可分得10头，老二可分得5头，老三可分得4头，你们三人分去了19头牛，剩下的一头再还给我！”真是妙极了！一个曾使多少人费尽心机无法解决的大难题竟这样干脆利落的解决了，不用说，这件事也被当作佳话而广为流传．这种分法到底对不对呢？我们来算一下，按老人的遗嘱，老大应该分得192头，老二分得194头，老三分得195头，注意到1111924520++=，所以分一次后没分完，还剩下牛的数量的120即1920头．老人的遗愿显然应该分完，因此老大应该继续分得这1920头的一半，老二、老三分得的比例为14和15，悲剧的是这次仍然不会分完，还剩1920头的120没分完，所以这个过程需要继续下去……统计下来，老大应该分得的牛的数量为231111111191919192202202202⎛⎫⎛⎫⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这是一个无穷递减等比数列的求和．我们知道等比数列的求和公式：21111111111191201919191910112202202202220120nn n n S -⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-当n 趋于无穷大时，极限1lim 020n n →+∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时10n S =，这就是老大应分得的牛的数量！同样的方法可得到老二、老三分得的牛的数量为5和4．这说明老农的分法没有错，是不是很奇妙！！（附：无穷递缩等比数列（1q <，10a ≠）的求和公式：23111111aa a q a q a q q++++=-）。
1初一秋季·第3讲·尖子班·教师版饕餮盛宴实数7级 实数初步实数6级 绝对值实数5级 有理数综合运算满分晋级阶梯漫画释义3绝对值2初一秋季·第3讲·尖子班·教师版题型切片（5个）对应题目 题型目标 aa的化简例1；练习1 无条件的绝对值的化简例2；练习2 零点分段法例3；练习3 用绝对值的几何意义求两点间的距离例4；练习4 用绝对值的几何意义求代数式的最值 例5，例6；练习51．绝对值：在数轴上，一个数a 所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作a ． 2．绝对值的性质：⑴ 绝对值的非负性，可以用下式表示：0a ≥，这是绝对值非常重要的性质； ⑵ (0)(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ 0 ；⑶ 若a a =，则0a ≥；若a a =-，则0a ≤； ⑷ 若a b =，则a b =或a b =-； ⑸ a a =- . ⑹当0a >时，1a aa a==； 当0a <时，1a aa a==-．（主要考察分类讨论）【例1】 ⑴若a b ，均为非零的有理数，求a ba b-的值. ⑵若a b c ，，均为非零的有理数，求a b ca b c++的值. 【解析】 ⑴①当a b ，都是正数时，原式=0a ba b=-. ②当a b ，一个是正数，一个是负数时，原式=2±.∴原式的值为202-、、.⑵①当a b c ，，都是正数时，原式3a b ca b c=++=. ②当a b c ，，都是负数时，原式3=-.③当a b c ，，有两个正数一个负数时，原式1=. ④当a b c ，，有两个负数一个正数时，原式1=-.aa的化简3初一秋季·第3讲·尖子班·教师版∴原式的值为3113--、、、.针对例1进行拓展1.已知a b c abcx a b c abc=+++，且a b c ，，都不等于0，求x 的所有可能值【解析】 4或0或4-2.已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abca b c abc +++的值. 【解析】 因为a b c ，，是非零有理数，且0a b c ++=，若a b c ，，中有一正二负，不妨设000a b c ><<，，，则原式()()11110a b c abc a b c abc =+++=+-+-+=--. 若a b c ，，中有二正一负，同理原式=0 综上，原式=03. 若a b c ，，均为非零的有理数，求a b c d a b c d+++的值.【解析】 420±±、、.老师可以继续下去，给学生们总结一下到n 的规律.【例2】 化简下列各式⑴1x -; ⑵3x -. 【解析】 ⑴当x ≥1时，则11x x -=-；当1x <时，则11x x -=-+，∴()()111=11x x x x x ⎧-⎪-⎨-+<⎪⎩≥.⑵当3x ≥时，则33x x -=-；当3x <时，则33x x -=-，∴()()333=33x x x x x ⎧-⎪-⎨-<⎪⎩≥.【例3】 阅读下列材料并解决相关问题：我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下三种情况：·⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+.零点分段法无条件的绝对值化简4初一秋季·第3讲·尖子班·教师版⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=. ⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-.综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥.通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：. ⑴分别求出2x +和4x -的零点值； ⑵化简代数式24x x ++-.【解析】⑴分别令20x +=和40x -=，分别求得2x =-和4x =，所以2x +和4x -的零点值分别为2x =-和4x =⑵当2x <-时，原式()()242422x x x x x =-+--=---+=-+；当24x -<≤时，原式()246x x =+--=；当4x ≥时，原式2422x x x =++-=-. 所以综上讨论，原式()()()222624224x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥.针对例3进行拓展1.求12m m m +-+-的值．【解析】先找零点，0m =，10m -=，20m -=，解得0m =，1，2．依这三个零点将数轴分为四段：0m <，01m ≤<，12m ≤<，2m ≥． 当0m <时，原式()()1233m m m m =-----=-+； 当01m ≤<时，原式()()123m m m m =----=-+； 当12m ≤<时，原式()()121m m m m =+---=+； 当2m ≥时，原式()()1233m m m m +-+-=-．2.化简：121x x --++.【解析】先找零点.10x -=，1x =．10x +=，1x =-．120x --=，12x -=，12x -=或12x -=-，可得3x =或者1x =-；综上所得零点有1，-1，3 ，依次零点可以将数轴分成四段．⑴ 3x ≥，10x ->，120x --≥，10x +>，12122x x x --++=-； ⑵ 13x <≤，10x -≥，120x --<，10x +>，1214x x --++=； ⑶ 11x -<≤，10x -<，120x --<，10x +≥，12122x x x --++=+； ⑷ 1x <-，10x -<，120x --<，10x +<，12122x x x --++=--．5初一秋季·第3讲·尖子班·教师版a b -表示数轴上数a 与数b 两点之间的距离. 且a b b a -=-.【例4】 ⑴ m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．① x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；x 0x -② 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ；③ 3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=，则x = ．④ 2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=，则x = ．⑤ 当1x =-时，则22x x -++= ．⑵ 如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别 为p ，q ，r ，s ．若10p r -=，12p s -=，9q s -=， 则q r -= ．⑶ 不相等的有理数,,a b c 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，如果a b b c a c -+-=-，那么点A ，B ，C 在数轴上的位置关系是（ ）A ．点A 在点B ，C 之间 B ．点B 在点A ，C 之间 C ．点C 在点A ，B 之间D ．以上三种情况均有可能【解析】 ⑴ ①x ，原点；=；② 1；③x ，3，2或4；④x ，2-，0或4-；⑤4；⑵ 7；⑶ B. 【点评】此题是对绝对值几何意义的考察．【例5】 利用绝对值的几何意义完成下题：已知2x =，利用绝对值的几何意义可得2x =±；若21x +=，利用绝对值的几何意义可得1x =-或3-．已知125x x -++=，利用绝对值在数轴上的几何意义得x = ． 利用绝对值的几何意义求12x x -++的最小值 ．52x x ++-的最小值为 ． 214x x x ++-+-的最小值 ． 7326x x x x ++++-+-的最小值 ． 归纳： 若1221n a a a +<<<，当x 时，1221n x a x a x a +-+-++-取得最 小值． 若122n a a a <<<，当x 满足 时，122n x a x a x a -+-++-取得最小值．【解析】 2x =或3x =-；3；7； 6；18；1n x a +=；1n n a x a +≤≤． 用绝对值的几何意义求代数式的最值用绝对值的几何意义求两点间的距离sr q p6初一秋季·第3讲·尖子班·教师版【点评】 若1221n a a a +<<<，当1n x a +=时，1221n x a x a x a +-+-++-取得最小值．若122n a a a <<<，当x 满足1n n a x a +≤≤时，122n x a x a x a -+-++-取得最小值．【例6】 如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 到城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G 正好是AF 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？城市G【解析】 因为村庄G 是AF 的中点，所以村庄G 到城市的距离为12千米，即村庄G 在村庄B C、之间，7个村庄依次排列为A B G C D E F 、、、、、、．设活动中心到城市的距离为x 千米，各村到活动中心的距离之和为y 千米，则：4101215171920y x x x x x x x =-+-+-+-+-+-+-因为4101215171920<<<<<<，所以当15x =时y 有最小值，所以活动中心应当建在C 处．【选讲题】【例7】 有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示：若11m a b b a c c =+------，则1000m = ．【解析】 由图可知，01b a c <<<<，∴()a b a b +=-+，11b b -=-，a c c a -=-，11c c -=-10001000(11)1000(2)2000m a b b c a c =⨯---+-+-+=⨯-=-.【例8】 ①化简：124x x x -+++-②求15y x x =--+的最大值和最小值． 【解析】 ①当4x >时，则12433x x x x -+++-=-当14x <≤时，则1245x x x x -+++-=+ 当21x -<≤时，则1247x x x x -+++-=-+ 当2x -≤时，则12433x x x x -+++-=-+ ②法一：根据几何意义可以得答案；法二：找到零点5-，1，可以分为以下三段进行讨论：当5x -≤时，15156y x x x x =--+=-++=； 当51x -<<时，151524y x x x x x =--+=---=--； 当1x ≥时，15156y x x x x =--+=---=-； 综上所得最小值为6-，最大值为6．c ba初一秋季·第3讲·尖子班·教师版78初一秋季·第3讲·尖子班·教师版训练1. 若a 、b 互为相反数，b 、c 互为倒数，并且m 的立方等于它本身．⑴ 试求223a bbc ++的值；⑵ 若1a >，且0m <，12322S a b b m b =----+．试求()()()42222a S a S a S -+---的值．⑶ 若0m ≠，试讨论：x 为有理数时，x m x m +--是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，并写出解答过程；若不存在，也请你说明理由． （八一中学期中）【解析】 ⑴ 1⑵ 1a > 1b <- ∵0m <， ∴1m =-∴1232(1)()2S a b b b =-++++=522a +∴原式=105a S -=5105(2)2a a -+=252-⑶ ∵0m ≠ ∴1m =或者1m =-当1m =时，||||x m x m +--=|1||1|x x +--最大值为2； 当1m =-时，|||||1||1|x m x m x x +--=--+最大值为2 ∴当x 为有理数时，||||x m x m +--的最大值为2训练2. a b c ，，为非零有理数，且0a b c ++=，则a b b c c a a bb cc a++的值等于多少？【解析】 由0a b c ++=可知,,a b c 里存在两正一负或者一正两负；a b b c c a b c aa b c a bb cc aa b b c c a++=⋅+⋅+⋅ 若两正一负，那么1111b c aa b c a b b c c a⋅+⋅+⋅=--=-； 若一正两负，那么1111b c aa b c a b b c c a⋅+⋅+⋅=--=-．9初一秋季·第3讲·尖子班·教师版综上所得1a b b c c a a bb cc a++=-．训练3. 如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 到城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G 正好是AF 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？【解析】 因为村庄G 是AF 的中点，所以村庄G 到城市的距离为12千米，即村庄G 在村庄B C、之间，7个村庄依次排列为A B G C D E F 、、、、、、．设活动中心到城市的距离为x 千米，各村到活动中心的距离之和为y 千米，则：4101215171920y x x x x x x x =-+-+-+-+-+-+-因为4101215171920<<<<<<，所以当15x =时y 有最小值，所以活动中心应当建在C 处．训练4. 有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数1x ，只显示不运算，接着再输入整数2x 后则显示12x x -的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是12-=1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．⑴若小明依次输入3,4,5，则最后输出的结果是_______； ⑵若小明将1到2011这2011个整数随意地一个一个的输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为m ，则m 的最大值为_______；⑶若小明将1到n （n ≥3）这n 个正整数随意地一个一个的输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为m . 探究m 的最小值和最大值. （海淀期末）【解析】 ⑴4；⑵2010；⑶对于任意两个正整数1x ，2x ，21x x -一定不超过1x 和2x 中较大的一个，对于任意三个正整数1x ，2x ，３x ，123x x x --一定不超过1x ,2x 和３x 中最大的一个，以此类推，设小明输入的n个数的顺序为，，，n x x x 21则，||||||||321n x x x x m ----= m 一定不超过，，，n x x x 21中的最大数，所以0m n ≤≤，易知m 与12n +++的奇偶性相同；1，2，3可以通过这种方式得到0：3210--=； 任意四个连续的正整数可以通过这种方式得到0： |||(1)|(3)|(2)|0a a a a -+-+-+=①；下面根据前面分析的奇偶性进行构造，其中k 为非负整数，连续四个正整数结合指的是按①式结构计算. 当4n k =时，12n +++为偶数，则m 为偶数，连续四个正整数结合可得到0，则最小值为0，前三个结合得到0，接下来连续四个结合得到0，仅剩下n ，则最大值为n ； 当41n k =+时，12n +++为奇数，则m 为奇数，除1外，连续四个正整数结合得到0，则最小值为1，从1开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下n ，则最大值为n ；10 初一秋季·第3讲·尖子班·教师版当42n k =+时，12n +++为奇数，则m 为奇数，从1开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下n 和1n -，则最小值为1，从2开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下1和n ，最大值为1n -； 当43n k =+时，12n +++为偶数，则m 为偶数，前三个结合得到0，接下来连续四个正整数结合得到0，则最小值为0，从3开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下1，2和n ，则最大值为1n -.初一秋季·第3讲·尖子班·教师版a a 的化简 【练习1】 若a 、b 、c 都不为0，求c a b a b c ++的值． 【解析】 3±或1±． 无条件的绝对值的化简 【练习2】 化简：23x -. 【解析】 当23x ≥时，则2332x x -=-； 当23x <时，则2323x x -=-， 零点分段法【练习3】 化简：212x x ---.【解析】 由题意可知：零点为122x x ==，. 当12x <时，原式1x =--. 当122x <≤时，原式33x =-. 当2x ≥时，原式1x =+用绝对值的几何意义求两点间的距离【练习4】 （1）阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示的数是a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，特别地，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，则0AB OB b a b ==-=-；当A 、B 两点都不在原点时：如图2，点A 、B 都在原点的右边，AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-；如图3，点A 、B 都在原点的左边，()AB OB OA b a b a a b a b =-=-=---=-=-.如图4，点A 、B 在原点的两边，AB OA OB a b a b a b =+=+=-=-。
例 1 在＋、－、×、÷、（）中，挑出合适的符号，填入下面的数字之间，使等式成立。
9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 19 8 7 6 5 4 3 2 1 = 19 8 7 6 5 4 3 2 1 = 19 8 7 6 5 4 3 2 1 = 1例2在八个8之间的适当地方，填上运算符号＋、－、×、÷，使等式成立。
8 8 8 8 8 8 8 8 =10004例3在下列等式中，填上＋、－、×、÷、（），分别填出八个不同的等式，使结果成立。
（1）4 4 4 4 = 0（2）4 4 4 4 = 1（3）4 4 4 4 = 2（4）4 4 4 4 = 3（5）4 4 4 4 = 4练一练在五个4之间，填上适当的运算符号＋、－、×、÷和（），使得下面的等式成立。
4 4 4 4 4 = 85例4在每两个数字之间填上运算符号，使等式成立8 2 4 6 = 4 2练一练在下式的每两数中间填上四则运算符号，使等式成立：8 2 3 = 3 38 2 3 = 3 36本讲作业1.在下面题中填上适当的运算符号和括号，使等式成立。
1 2 3 4 5 = 202.在下式的相邻两数之间填上四则运算符号，使等式成立。
9 2 3 = 3 33.从＋、－、×、÷、（）中，挑选出合适的符号，填入下列等式合适的地方，使等式成立。
5 5 5 5 5 = 44.从＋、－、×、÷、（）中，挑选出合适的符号，填入下列等式合适的地方，使等式成立。
9 9 9 9 9 9 = 1009 9 9 9 9 9 = 1005.用2、3、5、6四个数字，在它们之间填上＋、－、×、÷、（），使得结果等于24（每个数字只能用一次）。
复习作业1、三堆糖果共有105颗，其中第一堆糖果的数量是第二堆的3倍，而第三堆的数量又比第二堆的2倍少3颗，第三堆糖果有多少颗？2、一群蚂蚁搬家，原存一堆食物，第一天运出总数的一半少12克，第二天运出剩下的一半少12克，结果窝里还剩下43克，问蚂蚁家原有食物多少克？3、某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为48人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？例1（1）看图先写出分数，再写出小数。
一年级课次主题1巧算加减法2图形的计数3我会排一排4单数与双数5智趣推理6生活中的数学7付钱的方法8有趣的数字谜9有趣的数阵图10摸彩球11钟表数学(2)12间隔之谜13趣题巧解14感受对称之美15期末测评二年级1巧算加减法2几何计数问题进阶3有趣的周期问题4和差问题5移多补少应用题6推理综合7重叠问题8巧求周长9数阵图10猜猜他几岁11逆向思考12等式加减法13数学广角14经典数学游戏15期末测评三年级课次主题1巧填算符2小数的认识3平行四边形与梯形4年龄问题5带余除法初步6简单统计7点线排布8等差数列初步9页码问题10标数法11图形计数12简易方程13简易方程的应用14路程速度与时间15期末测试主要内容1.利用凑整的方法进行连续几个加数相加的计算；2.对于加减混合的计算，利用带符号搬家进行凑整计算；学习掌握加减法巧算的两个核心基本点：凑整和“抱”符号搬家。
根据所学巧算的方法来进行图形的计数，灵活掌握有规律图形计数方法。
这节课重在向学生渗透简单的排列、组合的数学思想方法，初步培养学生有顺序、全面地思考问题的意识。
认识单数与双数及加减特性，会用单双数思想解决一些实际的生活问题。
通过创设情景，让学生经历对生活中某些现象推理、判断的过程，学会用排序、画表等多种方法进行推理判断。
分析常见的应用题，进一步学习“比多比少”的应用题及简单的重叠问题，灵活运用画图法分析、解应用题。
1.让学生会计算所付人民币的总钱数；2.会根据自己手中人民币的数量来付钱，学习列表法和枚举法。
通过对不同的符号、汉字或字母组成的竖式数字谜的接触，让学生根据竖式的结构特点，寻求突破口、找出“关键位置”来计算未知的数字。
1.通过一些简单的填数字游戏，让学生初步感知数阵，让学生用自己喜欢的方法来巧填数字，培养思维能力；2.引导学生去发现数阵的简单规律以及填数阵的基本方法，通过找数阵中的关键数来找到解决问题的钥匙，在今后的学习中，能把这种方法灵活应用到生活中去。
四年级寒假提高班第3讲作业从日历谈起作业1观察如下某月日历：日一二三四五六123456789101112131415161718192021222324252627282930（1）请在日历中圈出一个横行上相邻的三个日期，使三数之和为42．（2）请在日历中圈出一个竖列上相邻的三个日期，使三数之和为42．【答案】（1）13、14、15；（2）7、14、21【分析】日历数表规律是7天一循环，相邻两个自然数之间差1；同一列相邻两数之差为7；（1）等差数列中项公式，中间项是¸=，横行上是13、14、15这三42314个日期；（2）同问题（1），竖列是7、14、21．作业2从1开始的连续自然数按规则排列如下，能否用如图所示的“X”划掉五个数，使这五个数的和等于240？123456789 101112131415161718 192021222324252627 282930313233343536【答案】能【分析】240548¸=，即中心数为48；每行9个数，48953¸= ，即48在第6行第3列，故能划掉．作业3从1开始的自然数按如图所示的规则排列，并用一个平行四边形框出四个数，能否使这四个数的和等于214．若能办到，请写出平行四边形框内的最小数；若不能办到，说明理由．123456789 101112131415161718 192021222324252627 282930313233343536【答案】可以，最小为48【分析】最小数为平行四边形左上角的数，若设它为x ，则另三个数可表示为x +1，x +10，x +11，若这四个数和为214，即(1)(10)(11)214x x x x ++++++=，即422214x +=，解得48x =，48953¸= ，在第6行第3列，故可以办到．作业4如图，将从9开始的连续自然数按规律填入数表中，请问：（1）135应该排在第几行第几列？（2）第25行第3列的数是多少？9 10 11 12 13 1415 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26…… ……【答案】（1）第22行第1列；（2）155【分析】（1）(1358)6211-¸= ，所以135在第22行第1列；（2）82463155+´+=．作业5如图，从10开始的连续自然数是按某种规律排列的，请问：（1）312在第几行，第几列？（2）第15行第1列的数是多少？1011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041【答案】（1）第76行第1列；（2）66【分析】（1）2行为1组，一组有8个数，1~9没有写入数表，故(3129)8377-¸= ，即312是第38组的第7个数，应为38276´=行1列；（2）第15行第1列的数在第8组的第一个，观察得知，每组的第一个数构成了以10为首项，以8为公差的等差数列，所以第15行第1列的数为：108766+´=．复习巩固作业1计算：3.7257.442.6 3.72 3.72´+´+【答案】 375.72【分析】原式3.72(57.442.61)3.72101375.72=´++=´=作业2右图中，水平、竖直方向上相邻两个格点的距离为1，那么阴影部分的面积是___________．【答案】27【分析】+¸-=．20162127作业3一列火车通过592米长的桥需31秒钟，以同样的速度穿过319米长的山洞需18秒钟．则这列火车的速度是___________米/秒，全长是_______米．【答案】21；59【分析】速度为(592319)(3118)21-¸-=（米/秒），全长312159259´-=（米）．四年级寒假提高班第3讲练习册答案从日历谈起同步练习1．5B比A大8，C比A大16，D比A大A=---¸=，24，则有(5281624)41A是星期三，则第一个星期日是145+=号．2．20号观察日历得出，上下的数分别比生日那天少7，多7；左右的数分别比生日那天少1，多1；则可以得出中间的数为这四个数的平均数，得80420¸=．3．149、155、157、163十字框的四角的和是中心数的4倍．6244156¸=，1567=222¸××××××，满足条件，十字框的中心数只能在第2列至第6列，此时四个角的数分别是：149、155、157、163．4．（1）232、214；（2）不能；（3）不能显然，方框中心的数是9个数的平均值，即9个数的和为中心数的9倍；三个数中2008不是9的倍数，不能办到；20079223¸= ，即¸=，2238277 2007对应的中心数为223，而223位于第7列，可以办到，最小是2239214+=；-=，最大是2239232 20169224¸=，即2016¸=，224828对应的中心数为224，而224位于第8列，不能办到．5．71总和为框中间两数和的三倍，¸=，则中间两数的和是3993133133，差是7（由数表可知），所以较大的数是：()+¸=，验算1337270¸=××××××，说明70在第6列，70886成立，所以框里最大的数应该是71．6．（1）第45行第2列；（2）448（1）观察知两行为一个完整周期，有9个数，2009222¸=××××××．´+=，所以200在第45行，222145第2列；（2）第100行的最后一个数为：´=．所以第100行的第2列为：509450-=．4502448深化练习7．（1）5列，50，59，68，77；（2）能；（3）不能（1）2542127-¸=，¸=，(12727)250 50，59，68，77，50955¸=……．位于第5列．（2）9999111¸=，111是这个十字架的中间数，111位于第三列的位置，所以可以；（3）10011191¸=，91是这个“王”字的中间数，而91位于第一列的位置，无法作为中间数，所以不可以．8．F考虑到数表中的数呈S形排列，我们不妨把每两行分为一组，除去1，每组12个数，则按照组中数从小到大的顺序，它们所在的列分别为B、C、D、E、F、G、F、E、D、C、B、A．因此，我们只要考查5000是第几组中的第几个数就可以了，因为5000是除去1后的第4999个数，¸=××× ，即5000是第4999124167417组中的第7个数，所以，5000在F 下方．9．（1）第6行第10列；（2）94（1）最接近87的平方数是2981=，位于第9行第1列，则其下一个数82位于第1行第10列，87与82位于同一列，排在第6个，即87位于第6行第10列．（2）第10行左起第一个数是2=，10100--=．则第7列的数为100(71)94实战练习10． (1) 55(2)73（1）1234567891055+++++++++=．（2）字母a所在的行从左到右依次是：16、23、31、40、50 ，可以发现规律是：相邻两个数的差构成首项是7、公差是1的等差数列，所以a=++++++=．16(789101112)73阶段测试11．77原式=(15.43+24.57)+(55.96-8.96)-(4.33+5.6 7)404710=+-77=.12．19∵17N=；6L=，∴611711922LS N=+-=+-=.1不能。
春季班第一讲——我会数图形【知识点】：一、规则图形（肩并肩手拉手排成一排）线段角1. 分类数（恰含法）2. 公式法（开火车）基本线段数依次加到1.端点－1＝基本线段【例】数一数下图中一共有多少条线段？①②③④方法1：方法2：恰含1条：4条基本线段有4条，所以从4开始加恰含2条：①②、②③、③④3条4＋3＋2＋1＝10（条）恰含3条：①②③、②③④2条恰含4条：①②③④1条注：肩并肩手拉手的规则图形都能用公式总数：4＋3＋2＋1＝10（条）法，关键是找火车头（基本图形数）。
二、多层图形1. 多层三角形每层个数×层数＝总数【例】数一数图中有多少个三角形？每层个数：3＋2＋1＝6（个）层数：2层总数：6×2＝12（个）一共12个。
2. 多层长方形每层个数 × 层数 ＝ 总数（长边线段总数） × （宽边线段总数）＝ 总数【例】数一数下图中一共有多少个长方形？每层个数：3＋2＋1＝6 层数：2＋1＝3总数：6×3＝18（个） 一共18个。
三、不规则图形按方向分类（注意还有合起来的）分类数 按大小分类（标号法）（恰含法）按方向分类（分层数）【例】下图中有多少个三角形？①、②、③、④、⑤、⑥ 6个①②、③④、⑤⑥ 3个①②③、②③④、③④⑤、④⑤⑥、⑤⑥①、⑥①② 6个①②③④⑤⑥ 1个6＋3＋6＋1＝16（个） 一共16个。
【补充题】：1. 下面图中给出的五个点之间，每两个点之间画一条线段，一共可以画出多少条线段？（基础、提高、尖子）① ② ③ ④⑤ ⑥2. 数一数图中有多少个正方形？（提高、尖子）3. 数一数下图中一共有多少个三角形？（基础、提高）4. 数一数，图中共有个长方形，个三角形，条线段。
（尖子）【学习建议】：本讲讲的是数图形的方法，根据不同类型的图形有不同的巧妙方法，同学们要仔细辨认图形种类，像是规则图形和多层图形都是有巧妙方法的；如果是不规则图形，那么一定要注意分类，数的时候思路要清楚，这样才不会数错。
学而思2010年秋季二年级1-13讲知识点总结第一讲我会数图形1.规则图形计数（可以直接用公式计算的图形）（1）数线段（）条线段（2）数角（）个角（3）数三角形（）个三角形（4）数长方形（）个长方形方法总结：基本图形法（基本图形：在图中最小的图形，不能再被分割）1.先数基本图形有几个。
2.若基本图形有n个，则图中有n+（n-1）+（n-2）+（n-3）+ …+ 2+1个图形。
2.非规则图形计数（1）分层数当图形不是我们前面学过的基本图形，但通过观察可以发现里面包含有基本图形，并且是可以通过分层的方法来得到基本图形时，我们就用分层数的方法。
例：分层数：可以分为三层：1上层，2 下层，3上层+下层，每一层都是规则的图形每层各数：每层基本长方形有3个，所以3+2+1=6 （个）长方形总个数=每层个数×层数，所以6×3=18（个）练习数一数，图中有多少个三角形?(2)分类数当图形比较复杂的时候，我们应该观察能否将图形按某种规律进行分类来数。
例：数一数，下面图形中有多少个正方形？通过观察我们发现，正方形的大小不同，所以我们可以按照正方形的大小来进行分类可以分为：小正方形：一共有9个中正方形：一共有4个大正方形：一共有1个所以，图中有：9+4+1=14（个）正方形。
练习：1.数一数下列各图中有多少个正方形2.数一数下图中有多少个长方形第二讲一笔画游戏1. 什么是一笔画（1）笔不离纸（2）不重复（3）走遍所有路线2. 奇点和偶点(1) 从一个点引出的线是奇数条，这个点叫奇点有5条线和他相连，5是奇数，所以这个点是奇点。
(2) 从一个点引出的线是偶数条，这个点叫偶点有6条线和他相连，6是偶数，所以这个点是偶点。
3. 判断一笔画判定：有0或2个奇点的连通图可以一笔画。
0个奇点：可以任意从一个点进，还会从这点出。
2个奇点：必须从一个奇点进，从另一个奇点出。
练习1.下面图形可以一笔画出吗？2.下图是一个公园的平面图，要使游客走遍每条路而不重复，出入口应分别设在（）点与（）点。
目录第一讲加减法的巧算（一） (2)第二讲加减法的巧算（二） (7)第三讲乘法的巧算 (12)第四讲配对求和 (16)第五讲找简单的数列规律 (17)第六讲图形的排列规律 (19)第七讲数图形 (23)第八讲分类枚举 (26)能力测试（一） (26)第九讲填符号组算式 (28)第十讲填数游戏 (31)第十一讲算式谜（一） (35)第十二讲算式谜（二） (37)第十三讲火柴棒游戏（一） (39)第十四讲火柴棒游戏（二） (40)第十五讲从数量的变化中找规律 (45)第十六讲数阵中的规律 (45)第17讲时间与日期……………第18讲推理……………能力测试（二） (63)第19讲循环………………第20讲最大和最小…………………………第21讲最短路线…………………………第22讲图形的分与合…………………第23讲格点与面积……………………第24讲一笔画………………………阶段测试（三）……………………第25讲移多补少与求平均数………………第26讲上楼梯与植树………………第27讲简单的倍数问题……………………第28讲年龄问题……………………………第29讲鸡兔同笼问题……………………第30讲盈亏问题…………………第32讲周长的计算……………………第33讲等量代换……………………第34讲一题多解……………………能力测试（四）………………………………第一讲加减法的巧算森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。
选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。
台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。
由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。
观众的情绪也影响着两位分数统计者。
只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。
等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。
小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗？”小白兔说：“比如2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分98，去掉最低分87，剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成90+‘零头数’，不足90的表示成90－‘零头数’。
学而思教材目录一年级寒假班：第一讲：突破加减竖式第二讲：巧填算符初步第三讲：剪拼图形第四讲：图文代换第五讲：巧移物体第六讲：左右脑开发3（逻辑推理）第七讲：期末测评二年级寒假班：第一讲：认识倍第二讲：带余除法初步第三讲：有趣的自然数串第四讲：分割图像第五讲：枚举法的妙用第六讲：鸡兔同笼初步第七讲：期末测评三年级寒假班：第一讲：角度初识第二讲：速算与巧算之四则运算第三讲：字母表示数第四讲：和差倍第五讲：倒退与图示第六讲：方阵第七讲：期末测评三年级春季班：第一讲：巧填算符第二讲：小数的认识第三讲：平行四边形与梯形第四讲：年龄问题第五讲：带余除法初步第六讲：简单统计第七讲：图形计数初步第八讲：组合中的点线关系第九讲：等差数列初步第十讲：页码问题第十一讲：标数法第十二讲：简易方程第十三讲：简易方程应用第十四讲：路程速度与时间第十五讲：期末测评四年级暑假班：第一讲：简单抽屉原理第二讲：奇数和偶数第三讲：二次相遇问题第四讲：应用题：假设法和还原法（鸡兔同笼，还原问题，方阵综合应用）第五讲：应用题：图示法和对应法（年龄，盈亏，平均数综合）第六讲：图形计数进阶第七讲：余数和周期第八讲：四边形中的基本图形第九讲：体育比赛中的数学第十讲：期末测评四年级秋季班：第一讲：定义新运算第二讲：体育比赛中的数学问题第三讲：图形计数进阶第四讲：多位数计算第五讲：等积变型第六讲：一半模型第七讲：最值问题初步第八讲：数阵图初步—从幻方谈起第九讲：平均数进阶第十讲：破译乘除法竖式第十一讲：方程和方程组第十二讲：方程组解应用题第十三讲：环形跑道第十四讲：火车过桥第十五讲：期末测评四年级寒假班：第一讲：小数巧算第二讲：格点与割补第三讲：数表从日历谈起第四讲：第五种运算（乘方的认识，运算性质，平方差认识）第五讲：质数合数初步第六讲：包含与排除第七讲：期末测评四年级春季班：第一讲：等积变形第二讲：整数与数列第三讲：统筹和最优化第四讲：加乘原理进阶第五讲：最值问题进阶第六讲：抽屉原理初步第七讲：流水行船第八讲：方程与方程组第九讲：一半模型第十讲：相遇与追及综合第十一讲：平移、选择和对称第十二讲：破译横式（奇偶分析，枚举试算）第十三讲：进位制初步第十四讲：数阵图进阶第十五讲：期末测评五年级暑假班：第一讲：分数乘除第二讲：分数加减第三讲：棋盘中的数学第四讲：枚举法进阶。
第3讲数列的小伙伴们满分晋级数列3级等差数列深入数列2级数列的小伙伴们数列1级与数列的第一次亲密接触知识切片<教师备案>本讲内容分成两部分：3．1等比数列的基本量；3．2等比数列的性质初步．本讲内容较少，可以与上一讲进行一个时间上的均衡．本讲思路是：先从直观上认识等比数列，通过一些具体的数列感受等比数列并学习等比中项，之后再学习等比数列的通项公式，熟悉通项公式以及正确计算等比数列的项数．再学习等比数列的求和公式，以及一些简单的性质．希望把概念分开讲解，分别配例题．国际象棋的故事在暑期指数函数已经讲过了，此处就尽量不用了，由汉诺塔引入．等比数列引入汉诺塔在印度，有这么一个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，印度教的主神大梵天在创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在其中一根柱子上从下到上地放着由大到小的64片黄金圆盘，这就是所谓的汉诺塔（如下图）．不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些圆盘：一次只移动一片．．．．．．．，不管在哪根柱子上，小．圆盘．．必在大．．．圆盘．．上面．．．当所有的金盘都从梵天放好的那根柱子上移到另外一根上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽．故汉诺塔问题又被称为“世界末日问题．”汉诺塔初始模型64636221CB A ∙∙∙∙∙∙要把圆盘移动到另外一根柱子上，至少需要移动多少次呢？设有n 个圆盘，要从A 移动到C ，至少需要移动的次数为n a ．易知12n =，时，1213a a ==，，3n =的时候，可以考虑先将上面两个小的移到B 上，要23a =次，再将最大的那个移到C 上，要1次，最后将B 上的两个移到C 上，要23a =次，总共要2217a +=次．对于一般的n ，我们可以类似考虑（如下图）：先将上面1n -个圆盘移到B 上，要1n a -次；然后将最大的那个盘子移到C 上，要1次移动；最后再将B 上的那1n -个圆盘移到C 上，要1n a -次．这种方法需要的次数为111121n n n a a a ---++=+．n －11n∙∙∙∙∙∙ABC22CBA∙∙∙∙∙∙n1n －1①②3.1等比数列基本量计算n∙∙∙∙∙∙ABC12③下面简单说明一下，至少要移动的次数121n n a a -=+．只需要考虑最大的那个圆盘移动到C 上的时候，此时，比较小的1n -个圆盘必定是图②中的摆放方式，这1n -个圆盘从A 到B 要1n a -次，然后这1n -个盘子移到C 又要1n a -次，因此总共至少要121n a -+次才行． 综上可得到数列{}n a 的递推公式121n n a a -=+，则 232121231212212221222121n n n n n n n a a a a a -----=+=++=+++==++++=- （也可变形为()1121n n a a -+=+，于是()()()2112112121212n n n n n a a a a ---+=+=+==+=．）假设一秒钟能移动一次，那完成目标需要的时间就是6421-秒，大概是5845亿年，地球是远撑不到那个时候的．当然，我们不是要探讨地球什么时候毁灭，而是要研究像231222，，，，这样的数列，比如怎么求和，类似于这样的数列就是等比数列．考点1：等比数列的概念1．文字定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母(0)q q ≠表示．2．符号定义：数列{}n a 中，若1n n aq a +=（q 为常数，0q ≠），则称{}n a 为等比数列．<教师备案>对于等比数列定义的详细理解：① 由于等比数列每一项都可作为分母，故每一项均不为0，因此q 也不为0．② “从第二项起”是因为首项没有“前一项”．③ 1n naa +均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还要注意公比是每一项与前一项之比，防止前后次序颠倒．④ 如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列．这时可以说此数列从第2项起或第3项起是一个等比数列． ⑤ 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n 无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列不是等比数列．⑥ 常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列．若常数列是各项都为0的数列，它就不是等比数列．当常数列各项不为0时，是等比数列．知识点睛【例1】 等比数列的认识下列数列是等比数列吗?如果是，求出公比，如果不是说明理由．①1010，，，，；②2222，，，，；③1248--，，，，；④39183672，，，，， 【追问】等比数列是不是一定是单调的？【解析】 ①④不是等比数列，②③是等比数列．①的项中有0，④此数列从第2项起是一个等比数列．②1q =，③2q =-．【追问】主要是希望学生通过一些等比数列的例子探索一下等比数列的单调性，不涉及等比数列的通项公式．1q =时，等比数列是常数列，不单调性；0q <时，等比数列一定是正负交替的，这时数列一定不单调，如1248--，，，，； 1q >，10a >时数列单调增加，如1248，，，，； 1q >，10a <时，数列单调递减，如1248----，，，，； 01q <<，10a >时，数列单调递减，如11124，，，；01q <<，10a <时，数列单调递增，如11241---，，，．考点2：等比数列的通项公式已知等比数列{}n a ，首项为1a ，公比为q ，第n 项为n a ，通项公式：11n n a a q -=．11n n a a q -=<教师备案>等比数列通项公式的推导：可以直接迭代，根据等比数列定义有2211221n n n n n a a q a q a q a q ----=⋅=⋅==⋅=⋅．也可以用叠乘法进行推导： 根据等比数列的定义，可以得到21a q a =，32a q a =，43aq a =，…，1n n a q a -=．把以上1n -个等式左右两边分相乘得13241231n n n a aa aq q q q a a a a --⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅个，经典精讲知识点睛第n 项首项 项数减1即11n na q a -=，11n n a a q -=．【例2】 等比数列的基本量与通项公式⑴已知数列{}n a 的通项公式为23n n a =⋅，则首项1a =_____，公比q =_____．⑵等比数列48239，，，的第4项4a =_______，第20项20a =___________．⑶等比数列1113242，，，，的第5项为________，项数n =_____．⑷已知等比数列{}n a 中，33a =，10384a =，则该数列的通项n a =___________．【解析】 ⑴16a =，3q =．⑵191622273⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，；19420422821622233393273q a a ⎛⎫÷===⨯==⋅ ⎪⎝⎭，，，． ⑶48，；22-到52共8项，或是写出通项公式131224n n n a --=⋅=知83232-=．54a =．⑷332n -⋅；根据题意得：21913384a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得到1342a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴1332324n n n a --=⋅=⋅．<教师备案>等比数列的求和中一个关键的问题是正确确定数列的项数，等比数列的公比的幂次成等差数列，故等比数列的项数求法用到等差数列的项数求法，这里的挑战五分钟是为了熟悉项数的求法，避免错误．题目数量较少，用不到五分钟．【挑战五分钟】⑴等比数列12551125，，，，的项数为______．⑵等比数列333327，，，，的项数为_______．⑶等比数列11111248256--，，，，，的项数为______． ⑷等比数列1116442---，，，，的项数为______．⑸等比数列1111136122432n⨯，，，，，的项数为______．⑹等比数列473103333n +，，，，的项数为_______． ⑺等比数列4128322n +，，，，的项数为_______． ⑻等比数列31333n ，，，，的项数为______． 【解析】 ⑴6；⑵6；⑶9；⑷9；⑸01111323232n⨯⨯⨯，，，，共1n +项； ⑹3(3)103(2)10310333n ⨯-+⨯-++，，，，共有(3)14n n --+=+项； ⑺201211221222n ⨯+⨯+⨯+，，，，共21n +项．经典精讲⑻11202223333n -，，，，，共有22n +项．已知数列{}n a 是等比数列，28a =，432a =，则公比q =_______．【解析】 2±；由等比数列的通项公式18a q ⋅=，3132a q ⋅=，∴24q =，2q =±．【点评】如果目测的话，很可能会认为公比是2，漏掉2-．考点3 ：等比数列的求和公式等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，有前n 项和公式：1111(1)111n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩，，1q =时，1n S na =；1q ≠时，11(1)11n n n a a qa q S q q--==--<教师备案>等比数列前n 项和公式的推导：（一般用得多的是前面的求和公式）法一：由等比数列的定义知2132121n n n n a a q a a q a a q a a q ---====，，，，， 将这n 个等式的两边分别相加得：23121()n n a a a a a a q -+++=+++，即1()n n n S a S a q -=-，整理得111(1)n n n S q a a q a a q -=-=-， 当1q ≠时，1(1)(2)1n n a q S n q-=-≥，显然此式对1n =也成立； 当1q =时，1n S na =．法二：错位相减法（会在春季同步的求和中再次遇到） 211111n n S a a q a q a q -=++++，将上式两边同乘以q 得：231111n n qS a q a q a q a q =++++，知识点睛{}n a 是常数列{}n a 非常数列 首项项数两式相减得：11(1)n n q S a a q -=-，以下讨论同法一．<教师备案>注意等比数列的求和公式对1q =的情况需要单独讨论！当1q ≠时，将前n 项和公式整理成1(1)1n n a q S q -=-111na a q q -=-11111n a a q q q q=-≠--，，即等比数列的前n 项和公式一定有n n S c cq =-的形式，给出等比数列的前n 项和公式可以快速看出公比q ，且n q 前面的系数与常数项互为相反数，由此可以快速解决例4⑷⑸． 例：等比数列{}n a 的前n 项和3n n S r =+，则3q =，1r =-；等比数列{}n a 的前n 项和13n n S r +=+，则3q =，整理一下得33n n S r =⋅+，故3r =-； 等比数列{}n a 的前n 项和213n n S r +=+，则39n n S r =⋅+，有9q =，且3r =-．这个结论可以这么理解：12n n n a S S n -=-，≥；这样的式子无法算出1a ，故1a 常常出问题，见易错门诊；要想1a 不成问题，希望110a S S =-成立，故希望00S =，即得n n S c cq =-．【铺垫】⑴（2010东城一模文11）设{}n a 是等比数列，若141,8a a ==，则q = ，数列{}n a 的前6项的和6S = ．⑵ 已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和记为n S ，132a q ==，，则6S =_______． ⑶ 等比数列4816512，，，，的和为_______．【解析】 ⑴ 2,63；3412a a q q =⇒=；661(12)6312S ⨯-==-．⑵ 189；()6631218912S -==-； ⑶ 1020；此等比数列的公比为2，可直接用公式1451221020112n n a a q S q --⨯===--； 也可算出项数为8，得84(12)102012n S -==-．【例3】 等比数列的前n 项和⑴等比数列11148256，，，的和为_______．⑵设4710310()22222n f n +=+++++（n ∈N ），则()f n 等于（ ）A ．()2817n -B ．()12817n +-C ．()32817n +-D ．()42817n +-⑶已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和记为n S ，若12a =，公比3q =，则使得26n S =的项数n =________． ⑷已知等比数列{}n a 的前n 项和为112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则1a =______，n a =_______．⑸已知等比数列{}n a 的前n 项和为1136n n S x -=⋅-，则x 的值为（ ）A ．13B ．13-C ．12D ．12-经典精讲⑹（目标班专用）已知等比数列{}n a 中，332a =，392S =，求首项1a 和公比q ． 【解析】 ⑴127256； ⑵ D ；473102222n +，，，，构成以2为首项，8为公比的等比数列，且共有4n +项，故442(18)2()(81)187n n f n ++-==--．⑶ 3；由等比数列的前n 项和公式1(1)2(13)26113n n n a q S q -⨯-===--，3n =． ⑷12n -；1112a S ==-，12q =，故1111222n n na -⎛⎫=-⋅=-⎪⎝⎭． ⑸ C ；解法一：当0n =时，00S =，即1036x -=，12x =∴解法二：1136n n S x -=⋅-∵，116a x =-∴，22a x =，36a x =，由中项公式得2213a a a =，即21466x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得12x =或0x =（舍），∴12x =解法三：()1111111n n n a q a a S q q q q -==⋅----，由定义形式可知，136x =．12x =．⑹ 31231229333222S a a a a a q q=++=⇒+==+化简得2210q q --=，解得12q =-或1q =；又1232a q =，得1312a q ==，或16a =，12q =-．【点评】⑹一般来说，对于23S S ，我们没必要用求和公式去求，这样也省去讨论1q =的麻烦．<教师备案>已知n S 求n a 时，不管是等差数列还是等比数列，或者其它数列，都要注意1a 单独讨论．对第1题，因为00S ≠，故数列{}n a 是从第2项开始才是等比数列．等比数列的求和中，注意1q =与1q ≠时，公式是大不相同的，需要分别讨论．1．已知数列{}n a 的前n 项和3n n S =，求通项n a ． 【解析】 当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，1113323n n n n n n a S S ---=-=-=⨯． 故131232n n n a n -=⎧=⎨⨯⎩，，≥2．求21n S a a a =++++（其中a 为常数）． 【解析】 当0a =时，1S =；当1a =时，1S n =+；当1a ≠时，111n a S a +-=-．111111n n a S a a a++=⎧⎪=⎨-≠⎪-⎩∴<教师备案> 例4介绍较为复杂的等比数列基本量的计算，在同步班中等比数列的基本量只做课前回顾，不再展开，例4⑵的【追问】会在春季同步时作为性质展开，此处可作为一个思考的问题．【例4】 等比数列的基本量综合⑴数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则数列2{}na 的前n 项和为（ ） A ．()221n - B ．21(21)3n - C ．41n - D ．1(41)3n -⑵（2012年丰台区高三一模数学理10）已知等比数列{}n a 的首项为1，若12342a a a ，，成等差数列，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为______．【追问1】已知数列{}n a 为等比数列，公比为q （1q ≠），则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}2n a ，{}(0)n n a a >，{}lg (0)n n a a >，{}2na 中哪些是等比数列？是等比数列的，公比为多少？【追问2】已知数列{}n a ，{}n b 都为等比数列，公比分别为12q q ，，则数列{}n n a b +，{}n n a b ，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是否为等比数列？是等比数列的，公比为多少？ 如果12q q =，数列{}n n a b +是否为等比数列？⑶设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k 等于（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 ⑷（目标班专用）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ．若12n n n S S S ++，，成等差数列，则q 的值为_____．【解析】 ⑴ D ；由21n n S =-知，12n n a -=．故214n na -=，数列2{}n a 是公比为4，首项为1的等比数列， 故它的前n 项和为141(41)143n n-=--．⑵ 3116；设数列{}n a 的公比为q ，则21344a a a =+，即244q q =+，解得2q =，所以()1*112n n n a -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，前5项的和为51131211612⎛⎫- ⎪⎝⎭=-．追问1：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}2n a ，{}(0)nna a>都为等比数列，公比分别为21q q q，，；{}lg (0)n n a a >不是等比数列，是等差数列，公差为lg q ；{}2na 既不是等比数列，也不是等比数列．追问2：数列{}n n a b ，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，公比分别为1122qq q q ，；数列{}n n a b +在12q q ≠时一定不是等比数列；在12q q =时，可能不是等比数列，但如果数列{}n n a b +中各项都非零的话，一定是等比数列，公比为1q ．如：22n n n n a b ==-，不是等比数列． ⑶ B ；212k k a a a =，即[][]2111(1)(21)a k d a a k d +-=+-．由19a d =得：22(8)9(28)k d d k d +=+，由0d ≠得：2(8)18(4)k k +=+，即2280k k --=，故4k =或2k =-（负值舍去）． ⑷ 2-；解法一：由题意知122n n n S S S ++=+，∴12n n n n S S S S ++-=-，即112n n n a a a +++-=+，∴122n n a a ++-=，∴212n n aa ++=-解法二：由题意知122n n n S S S ++=+；①若1q =，有1112(1)(2)na n a n a =+++，因为10a ≠，故有223n n =+，这不可能； ②若1q ≠，则有12111(1)(1)(1)2111n n n a q a q a q q q q++---⋅=+---，由0q ≠可化简得：220q q +-=，解得2q =-或1q =（舍去）．<教师备案>和等差数列类似，等比数列的题目只要知道1a 和q 后，都可以通过这两个基本量的各种运算来求解．同样的如果总是生搬基本公式的话，计算量会很大，准确率会降低，因此我们还需要学习一些省时省事的小技巧，即等比数列的一些简单性质．当然也不能舍本逐末，等比数列的基本量的基础运算还是最重要的，性质只是辅助．基本概念明白透彻了，性质也会更容易理解．学习等比数列的性质，可以和等差数列的性质对照引入．考点4：等比数列的性质3.2等比数列性质初步1．等比中项：三个数x ，G ，y 组成等比数列，G 叫做x ，y 的等比中项．如果G 是x 和y 的等比中项，则2G xy =．2．等比数列{}n a 的主要性质：⑴若{}n a 是等比数列，则n m n m a a q -=⋅．⑵若{}n a 是等比数列，m ，n ，p ，t *∈N ，当m n p t +=+时，m n p t a a a a ⋅=⋅， 特别地：当2m n p +=时，2m n p a a a ⋅=．当m n t +=+时，m n p t a a a a ⋅=⋅，特别地：当2m n p +=时，2m n p a a a ⋅=．⑶若{}n a 是等比数列，则下标成等差数列的子列构成等比数列．n a ，n m a +，2n m a +，为等比数列，公比为m q ．<教师备案>这一讲对等比数列的性质只学习它常用的几条，其它性质我们还会在春季同步班重点学习．对性质的简单证明如下：⑴1111n m n m n m n m a a q a q q a q ----=⋅=⋅⋅=⋅． ⑵当m n p t +=+时，m n a a ⋅1111m n a q a q --=⋅⋅⋅211m n a a q +-=⋅⋅211p t a a q +-=⋅⋅1111p t a q a q --=⋅⋅⋅p t a a =⋅．特别地：当2m n p +=时，2m n p p p a a a a a ⋅=⋅=． ⑶11n n a a q-=⋅，11n m n m a a q+-+=⋅，2121n m n m a a a+-+=⋅，1111n m m n m n n a a q q a a q+-+-⋅==⋅， 212111n m m n m n m n m a a q q a a q+-++-+⋅==⋅，n a ，n m a +，2n m a +，，为等比数列，公比为m q ．<教师备案>①性质1是说明求通项时，可以从任意项开始求，比如已知482a q ==，，求10a 时，可以常规求出1a ，再由通项公式算；也可以直接用10469104822a a q -=⋅=⨯=来求解． ②在使用中，常常将性质⑶和⑵同时使用，比如在等比数列{}n a 中，44a =，求26a a ⋅．可以先利用性质⑶说明246a a a ，，成等比数列，然后利用性质⑵说明22264416a a a ⋅===，也可以直接使用性质⑵．③由等比数列的性质⑶知一个等比数列隔项取一定是等比数列，这时新的等比数列的公比为20q >，不注意这个有时可能会出错，见易错门诊．知识点睛项数和相等对应项的积相等项数是等差中项 对应项是等比中项【铺垫】⑴各项均为正数的等比数列{}n a 中，23a =，1027a =，则6a =_____．⑵在各项均为负数的等比数列{}n a 中，116a =-，54a =-，则q =_____，3a =______， 9a =______．【解析】 ⑴9；262106819a a a a ==⇒=±，负值舍去； ⑵2812--，，； 451a a q =得：45114a q a ==，故212q =，从而22q =±；又此数列各项均为负数，故22q =； 21533648a a a a ==⇒=±，故38a =-；251991a a a a =⇒=-．【例5】 等比数列的性质⑴①m 是2323-+，的等比中项()0m >，则m = ； ②39a ，，为等比数列，则a = ．⑵等比数列{}n a 的各项为正，公比q 满足24q =，则3445a a a a ++的值为（ ） A ．14 B ．2 C ．12± D ．12⑶在等比数列{}n a 中， 若110a a ，是方程23260x x --=的两根，则47a a ⋅= ．⑷（2012年海淀区高三一模数学理）在等比数列{}n a 中，14358a a a a ==，，则7a =（ ） A ．116 B ．18C ．14D ．12 ⑸在等比数列{}n a 中，515205a a ==，，则20a =_______．⑹（目标班专用）在等比数列{}n a 的前n 项中，1a 最小，且12166128n n a a a a -+==，，前n 项和126n S =，则n =______，q =_______．【解析】 ⑴ ①1；()()223231m =-⋅+=，∵0m >，∴1m =．②33±；22733a a ==±，． ⑵D ；()34344534112a a a a a a q a a q ++===++．⑶2-；根据性质2得471102a a a a ⋅=⋅=-．⑷B ；由435a a a =得24354a a a a ==，又40a ≠，因此2417411a a a a ===，，247118a a a ==． ⑸52±；根据性质2得210515100a a a =⋅=，∴1010a =±．由性质3知下标成等差数列的子列也构成等比数列，即5101520a a a a ，，，构成等比数列． 经典精讲公比151051102a q a ===±±，∴201552a a q ==±． ⑹（目标班专用）62，；由题意可知1166128n n a a a a +==，．∴1264n a a ==，． 126412611n n a a q q S q q --===--，解得2q =．∴111222n n n n a a q --==⋅=，即264n =，故6n =．【例6】等比数列的性质应用设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，已知34a =，639S S =，则{}n a 的通项n a = ．【解析】 12n -∵63=9S S ，∴()1234561239a a a a a a a a a +++++=++．∴()4561238a a a a a a ++=++，即()3331231238a q a q a q a a a ++=++ ∴()()31231238q a a a a a a ++=++，∵()2123110a a a a q q ++=++≠（210q q ++>）， ∴38q =，2q =∴∵34a =，∴33342n n n a a q --==⋅231222n n --=⋅=．<教师备案>讲完这题可以接着讲后面的易错题．那道题中12a a +可能等于零，容易被忽视直接消去．【备选】在等比数列{}n a 中，423a =，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2n n ab =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【解析】 由等比数列的性质得 235449a a a ⋅==，所以35a a ，是方程2204099x x -+=的两个根．由公比大于1解得35229a a ==，，∴25393a q q a ===，．312229981a a q ===，15123n n n a a q --==⋅，3log 52nn a b n ∴==-，()21194222n n n S n n n -=-+=-．1．已知数列{}n a 是等比数列，11a =-，59a =-，则3a =______，9a =______．【解析】 381--，；21539a a a ==33a ⇒=±，但22310a a q q ==-<，故33a =-；2195981a a a a =⇒=-．222m k m k m k m k a a a a a a --=⇒=±2．设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知32a =，42=5S S ，则{}n a 的通项n a = ． 求等比中项符号要验证【解析】()22n n a -=--或12(1)n n a -=-．425S S =，即()1234125a a a a a a +++=+，而由等比数列的性质有：()23412a a q a a +=+．∴()()21212125a a q a a a a ++⨯+=+，即()()21240a a q +-= 当120a a +=时，110a a q +=，∴1q =-，()()31332121n n n n a a q ---==-=-．当120a a +≠时，240q -=，2q =±，又因1q <，所以2q =-．所以33n n a a q -=()()32=222n n ---=--．【演练1】 在等比数列{}n a 中，25864a a ==，，则公比q 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8【解析】 A ；【演练2】 设{}n a 是公比为正数的等比数列，若15116a a ==，，则数列{}n a 前7项的和为（ ）A ．63B ．64C ．127D ．128【解析】 C ．【演练3】 若43a a ，，为等差数列的连续三项，则0129a a a a +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．1023B ．1025C ．1062D ．2047 【解析】 A ；由题意知832a a a =+⇒=．于是10012912102312a a a a -+++⋅⋅⋅+==-．【演练4】 ⑴等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，333S a =．则公比q = ．⑵设等比数列{}n a 的公比为12q =，前n 项和为n S ，则44S a = ．【解析】 ⑴112-，；212313a a a a q ++=⋅，∵10a ≠，∴2213q q q ++=，即2210q q --=，解得12q =-或1q =；⑵15；()23231433411115a q q q S q q q a a q q ++++++===．【演练5】 在等比数列{}n a 中，若39a a ，是方程231190x x -+=的两根，则6a 的值是_____． 【解析】3± 实战演练【演练6】 在等比数列{}n a 中，⑴ 若12321a a a ++=，123216a a a =，求n a ； ⑵ 若3518a a ⋅=，4872a a ⋅=，求公比q ．【解析】 ⑴ ∵2132a a a ⋅=，∴31232216a a a a ⋅⋅==， 解得26a =，代入已知可得13131536a a a a +=⎧⎨⋅=⎩，，解方程得13312a a =⎧⎨=⎩，，或13123.a a =⎧⎨=⎩，当13a =时，2q =；当112a =时，12q =．故132n n a -=⋅或11122n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭．⑵ 由3518a a ⋅=，得241118a q a q ⋅=，即26118a q ⋅= ①，又由4872a a ⋅=，得371172a q a q ⋅=，即210172a q ⋅= ②． ②÷①得 44q =，∴2q =±．【点评】 ⑴ 在求得13a =，312a =或112a =，33a =后，由于260a =>，因此，公比q 一定大于0．⑵ 在等比数列中，奇数项和偶数项分别同号（无论公比q 大于0或小于0），因此，在求出44q = 后，q 的值应为2±．此外，上题还可以直接将两式相除得44q =，从而求出q ．1．等比数列{}n a ，首项1a ，公比为q ，则通项公式为n a =___________． 2．等比数列{}n a 的公比为q ，首项1a ，则前n 项和公式为n S =_____________． 3．等比数列{}n a ，若2p q m +=，则p q a a ⋅___2m a （填<、>、=）概念要点回顾分牛的传说古代的印度，有一位老人，他在弥留之际，把三个儿子叫到床前，对他们说：“我就要去见真主了，辛苦了一辈子，没有其它珍贵遗产留给你们，只有19头牛，你们自己去分吧，老大分总数的1/2，老二分总数的1/4，老三分总数的1/5．”话音甫落，老人就咽了气．按照印度的教规，牛被视为神灵，不准宰杀，只能整头的分，而先人的遗嘱必须无条件遵从．那么，这19头牛怎样分呢？这道题着实难坏了兄弟三人．他们请教了许多有才学的人，人们总是摇头，表示爱莫能助．三兄弟急得走投无路，却无计可施……结局大家估计也听过：有一天，一位老农牵着一头牛路过，看到兄弟三人愁眉苦脸，便动问原由．老农听后思索了片刻说：“这件事好办，我把自己的一头牛借给你们，这样总共就有了20头牛，老大可分得10头，老二可分得5头，老三可分得4头，你们三人分去了19头牛，剩下的一头再还给我！”真是妙极了！一个曾使多少人费尽心机无法解决的大难题竟这样干脆利落的解决了，不用说，这件事也被当作佳话而广为流传．这种分法到底对不对呢？我们来算一下，按老人的遗嘱，老大应该分得192头，老二分得194头，老三分得195头，注意到1111924520++=，所以分一次后没分完，还剩下牛的数量的120即1920头．老人的遗愿显然应该分完，因此老大应该继续分得这1920头的一半，老二、老三分得的比例为14和15，悲剧的是这次仍然不会分完，还剩1920头的120没分完，所以这个过程需要继续下去……统计下来，老大应该分得的牛的数量为231111111191919192202202202⎛⎫⎛⎫⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这是一个无穷递减等比数列的求和．我们知道等比数列的求和公式：21111111111191201919191910112202202202220120nn n n S -⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-当n 趋于无穷大时，极限1lim 020n n →+∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时10n S =，这就是老大应分得的牛的数量！同样的方法可得到老二、老三分得的牛的数量为5和4．这说明老农的分法没有错，是不是很奇妙！！（附：无穷递缩等比数列（1q <，10a ≠）的求和公式：23111111aa a q a q a q q++++=-）。
