复变函数和断裂力学

第八章 断裂力学习题及解习题1、已知I 型裂纹问题的应力函数为()()()z Z y z Z z I I I Im Re +=ϕ，其中()()z Z z Z I I ,分别为复变函数()z Z I 的二次积分和一次积分，试求出对应的应力分量。

解：令()()()y x iv y x u z Z I ,,+=，那么()udy v dx i v dy udx dz z Z CCC++-=⎰⎰⎰按C-R 条件有yux v y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,。

那么有如下关系式 y Zx Z Z ∂∂=∂∂='Im Re Re ， xZy Z Z ∂∂=∂∂-='Im Re Im ， 由应力函数可得应力()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+∂∂∂∂=+∂∂=∂∂=I I I I I 222I 2xx Z y Z y y Z y Z y Z y y σIm Im Re Im Re ϕ ()'Im Re Re Re Im Re Im I I I I I I I xx Z y Z Z yZ y Z Z y Z y -=+∂∂=++-∂∂=σ ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=+∂∂=∂∂=x Z y xZ x Z y Z x x σI I I I 222I 2yyIm Re Im Re ϕ得 ()'Im Re Im Re I I I I yy Z y Z Z y Z x+=+∂∂=σ ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂-∂∂-∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂-∂∂=∂∂∂-=I I I I I I 2xyZ y Z y y Z x Z y Z y x y x Im Im Re Im Re ϕτ ()'Re Re Im Re Im I I I I I xy Z y xZ y Z Z y Z x -=∂∂-=--∂∂=τ 习题2、如图8-1所示无限大板中含有一长度为2a 的中心贯穿裂纹，设I 型裂纹问题的应力函数为()()()z Z y z Z z I I I Im Re +=ϕ（双向拉伸），或为()()())(2Im Re 22y x A z Z y z Z z I I I --+=ϕ（单向拉伸）。

一、简答题（本大题共5小题，每小题6分，总计30分）1、（1）数学分析法：复变函数法、积分变换；（2）近似计算法：边界配置法、有限元法；（3）实验标定法：柔度标定法；（4）实验应力分析法：光弹性法.2、假定：（1）裂纹初始扩展沿着周向正应力为最大的方向；（2）当这个方向上的周向正应力的最大值（）max达到临界时，裂纹开始扩展•S3、应变能密度:W S，其中S为应变能密度因子，表示裂纹尖端附近应力场r密度切的强弱程度。

4、当应力强度因子幅值小于某值时，裂纹不扩展，该值称为门槛值。

5、表观启裂韧度，条件启裂韧度，启裂韧度。

二、推导题（本大题10分）D-B模型为弹性化模型，带状塑性区为广大弹性区所包围，满足积分守恒的诸条件。

积分路径：塑性区边界。

AB 上：平行于x1，有dx2 0 , ds dx1 , T22007断裂力学考试试题B卷答案BD上：平行于捲，有dx20 , ds dx1 , T2u iJ (Wdx2 T L ds)s V s V S(V A三、计算题（本大题共1、利用叠加原理：微段K]ABT2 V D)3小题，每小题集中力qdx U2dx1%BDT2U£dx1X120分,dK]总计60分）a 2q . a0 (2 2.(a x ) dx 10分sin cos — a cos sin a2b 2b 2b 2b— cos — a sin a 2b 2b2b(_ 2 2)cos — 2b a 2 cos a si n a2b2b 2b 2ba)2la sin 1(豎)a cosK i2qJ — 0 赢T d 当整个表面受均布载荷时，6 a .2、边界条件是周期的：a.zy0, xy 0c.所有裂纹前端又Z 应为2b 的周期函数si2z皿2冷 采用新坐标： z aZ % a)J (sin 七严2陶)20 时，sin —— ——,cos —2b 2b 2bK i 2qsin 1(a a ) q a10分令 x acos 一 a 2 x 2 a cosb.在所有裂纹内部应力为零.y0,x a, a 2b x a2b 在区间内单个裂纹时Zz z 2 a 210分d(sin -2b［吃（加sin ( a)2ba sin2b .2 a . a」 --------- cos——sin 】2b 2b0时,2 2帥莎(a)] (s^a)22b cos asin a 2b2b2bK I1吧0 F_Zsin2b1 a . a ——cos——sin —2b2b 2b2b ta n—a2ba tan—2b 10分注意行为规范3、当复杂应力状态下的形状改变能密度等于单向拉伸屈服时的形状改变能密度，材料屈服，即：2 2 2 2(1 2 ) ( 2 3) ( 3 1 ) 2 s对于I型裂纹的应力公式：(X2y)2xy1Kl cos-[1 sin-]2 2 r 2 2遵考场10分纪程•律0(平面应力,薄板或厚板表面)K I22scos2[1 3sin2—]2 2--平面应力下，I型裂纹前端屈服区域的边界方10分r、简答题1.断裂力学中, (80 分)按裂纹受力情况，裂纹可以分为几种类型？请画出这些类型裂纹的受力示意图。

复变函数在流体力学中的应用一、概述复变函数在流体力学中具有重要的应用。

它可以用来描述流体的运动，研究边界层的动态特性，分析稳定性，以及模拟流体的流动过程。

此外，复变函数还可以用来求解紊流问题，研究大尺度流动中湍流的影响，探究结构涡旋的形成机制，以及模拟流体的振荡运动。

复变函数的应用可以为流体力学研究提供更加精确的结果，对于研究者来说，它无疑是一种重要的研究工具。

二、复变函数在流体力学中的应用复变函数是一种数学技术，可用于分析复杂的函数和运算，在流体力学中也有广泛的应用。

它可以用来描述流体的流动规律、求解流体力学问题，以及研究流体的流变特性。

复变函数可以用来求解流体动力学方程，如拉格朗日方程、伽玛方程、拉普拉斯方程以及热传导方程等。

此外，复变函数还可以用来求解流体的流动参数，如流速、流量、压力和温度等，从而更好地控制流体的流动。

复变函数的应用不仅仅局限于流体力学，还可以用于其他领域，如热力学、电磁学等。

三、复变函数在湍流领域的应用复变函数是一种广泛应用于流体力学和湍流领域的数学工具，它可以有效地描述流体动力学特性，从而改善流体力学的研究和应用。

复变函数可以用来模拟流体中的湍流和湍流相关的现象，例如湍流湍流结构的形成、湍流结构的变化、湍流湍流结构的振荡等等。

此外，复变函数还可以用来研究和改善流体动力学中的流动结构，从而提高流体动力学技术的效率。

四、复变函数在空气动力学中的应用复变函数是一种常用的数学工具，它在流体力学和空气动力学中也有重要的应用。

流体力学中，复变函数可以用来解决关于流体运动的问题，比如流体的流动特性、流体的温度分布、流体的压力分布等。

而在空气动力学中，复变函数可以用来模拟飞行器的飞行特性，比如飞行器的机动性、空气动力特性等。

复变函数的应用不仅可以提高流体力学和空气动力学的研究，还可以改善飞行器的性能。

五、结论复变函数在流体力学中有着重要的应用，它可以帮助我们更好地理解流体的性质，并且可以用来研究流体运动的规律。

断裂力学习题一、问答题1、什么是裂纹？2、试述线弹性断裂力学的平面问题的解题思路。

3、断裂力学的任务是什么？4、试述可用于处理线弹性条件下裂纹体的断裂力学问题两种方法：5、试述I型裂纹双向拉伸问题中的边界条件，如何根据该边界条件确定一复变函数，并由此构成应力函数，最后写出问题的解。

6、什么是应力场强度因子K1？什么是材料的断裂韧度K1C？对比单向拉伸条件下的应力σ及断裂强度极限σb，，说明K1与K1C的区别与联系？7、在什么条件下应力强度因子K的计算可以用叠加原理8、试说明为什么裂纹顶端的塑性区尺寸平面应变状态比平面应力状态小？9、试说明应力松驰对裂纹顶端塑性区尺寸有何影响。

10、K准则可以解决哪些问题？11、何谓应力强度因子断裂准则？线弹性断裂力学的断裂准则与材料力学的强度条件有何不同？12、确定K的常用方法有哪些？13、什么叫裂纹扩展能量释放率？什么叫裂纹扩展阻力？14、从裂纹扩展过程中的能量变化关系说明裂纹处于不稳定平衡的条件是什么？15、什么是格里菲斯裂纹？试述格氏理论。

16、奥罗万是如何对格里菲斯理论进行修正的？17、裂纹对材料强度有何影响？18、裂纹按其力学特征可分为哪几类？试分别述其受力特征19、什么叫塑性功率？20什么是G准则？21、线弹性断裂力学的适用范围。

22、“小范围屈服”指的是什么情况？线弹性断裂力学的理论公式能否应用？如何应用？23、什么是Airry应力函数？什么是韦斯特加德（Westergaard）应力函数？写出Westergaard应力函数的形式，并证明其满足双调和方程。

24、裂纹按其几何特征可分为哪几类？25、判断下图所示几种力情况下，裂纹扩展的类型26、D-B 模型的适用条件是什么？27、什么叫裂纹的亚临界扩展？什么叫门槛值？28、什么叫腐蚀？什么叫应力腐蚀？什么叫腐蚀临界应力强度因子K ⅠSCC ？29、什么叫应力疲劳？什么叫应变腐蚀？两者的裂纹扩展速率表达式是否相同？为什么？30、什么叫腐蚀疲劳？31、试述金属材料疲劳破坏的特点 32、现有的防脆断设计方法可分为哪几种？33、什么是疲劳裂纹门槛值，哪些因素影响其值的大小?它有什么实用价值? 34、应力腐蚀裂纹扩展的特征？第二类椭圆积分Φ0的值受扭薄壁圆筒二、计算题：1、有一材料211/102m N E ⨯=，表面能密度m N /8=γ,外加拉应力27/107m N ⨯=σ。

二 K i',=dxJ(a 2-x 2)10分一、 简答题（本大题共5小题，每小题6分，总计30分）1、 （1）数学分析法：复变函数法、积分变换；（2）近似计算法：边界配置法、 有限元法；（3）实验应力分析法：光弹性法.（4）实验标定法：柔度标定法；2、 假定：（1）裂纹初始扩展沿着周向正应力；一、为最大的方向；（2）当这个方向上的周向正应力的最大值（；=）max 达到临界时,裂纹开始扩展•S3、 应变能密度:W，其中S 为应变能密度因子，表示裂纹尖端附近应力场r密度切的强弱程度。

4、 当应力强度因子幅值小于某值时，裂纹不扩展，该值称为门槛值。

5、 表观启裂韧度，条件启裂韧度，启裂韧度。

二、 推导题（本大题10分）D-B 模型为弹性化模型，带状塑性区为广大弹性区所包围，满足积分守恒的 诸条件。

积分路径：塑性区边界。

AB 上：平行于％，有dx 2 r O’ds r d %兀》s BD 上：平行于 ％，有 dx 2 = 0 , ds = d% , T 2 - sJ(WdX 2 -T 凹 ds) T 2 竺 dX !X-IAB rBDA ；「s VB =：；S (V A ' V D )三、计算题（本大题共3小题，每小题20分，总计60分）1、利用叠加原理：微段一集中力qdx — dKi = 2q ；a 2 dx 业（a-x 2）2007断裂力学考试试题 B 卷答案T 2 土 dx ,BD 2 :x,1SvZ 二.—(sin 2b -sin ( a) 2b 二（a ））2兀a 2 -(sin 2b )31 uJ-L u,cos = 12b2b JE JEJE it二 sin ——cos 一a cos 一 sin — a2b2b2bTt .. Tt二——cos ——a sin 2b 2b■ .2'- 22二[sin (a)] = () cos a 2b2b 2b—0 时，sin 2b sin =( a)二2bn a2b 仝 2b 2b - nn IT 2cos ——a sin ——a (sin — a)b 2b 2bb.在所有 裂纹 内部 应力 为零.y =0, -a ::: x ::: a, -a _ 2b ：：： x ：：： a _ 2b 在区间内C.所有裂纹前端；「y •匚 单个裂纹时Z - —^Z —Jz 2—a 2又Z 应为2b 的周期函数二 Z 二J 兀z 2 兀a 2 、(sin —)2- (sin —)2Y 2b 2b采用新坐标：『：=z - a令 x=acosv= \ a -x = acosv, dx 二 acosrdr 匚 K “ 2q. a ：n1(a1a )咤 d 一Yu '0 a cos 日当整个表面受均布载荷时，耳-；a. K i = 2q J^s in10分2、 边界条件是周期的：a. Z 、，二y 7 一；「.兀z 二sin b10分sin A (a /a)10分当V -0时,第3页 共3页一、简答题（80分）1•断裂力学中，按裂纹受力情况，裂纹可以分为几种类型？请画出这些-： - 2 ■ ■ 2=[sin (a)] -(sin a) 2 cos asin a2b2b 2b 2b 2bZ -0 =.na二 sin 2b2“'： ：■. a 二acos ——sin ,2b 2b 2b二 sin -2b K I 二 lim 、尹Z =-=口0 Ji na 兀 a in ———cos 2b 2b 2b ■: a2b =匚二a 、，—tan —10分 3、当复杂应力状态下的形状改变能密度等于单向拉伸屈服时的形 状改变能密度，材料屈服，即：注 意 行 为 规 范2 2 2 2（匚1-匚2）（二2-匚3）（匚3-匚1）=2j对于I 型裂纹的应力公式：cr +cr J cr -cr nX丫 * xy二亠cos 邛一沐］2 2-2遵 守 考 场 纪律二3 =0（平面应力,薄板或厚板表面）r =cos 2[1 _3si n 2』]2 210分--平面应力下，I 型裂纹前端屈服区域的边界方 管导核字主领审签类型裂纹的受力示意图。

断裂力学概念rst摘要：1.断裂力学的概念2.断裂力学的应用3.断裂力学的发展趋势正文：一、断裂力学的概念断裂力学是研究材料在断裂过程中所受到的力和应力的学科，它是固体力学的一个重要分支。

断裂力学主要研究材料在断裂过程中的力学行为，包括裂纹的生成、扩展和止裂等。

在工程领域，断裂力学具有很高的实用价值，可以指导工程设计和优化，提高结构的安全性能。

二、断裂力学的应用断裂力学在许多工程领域都有广泛的应用，包括航空航天、建筑结构、机械制造、能源设备等。

以下是几个典型的应用实例：1.航空航天领域：飞机和火箭等航天器在高速飞行过程中，会受到极高的应力，容易产生裂纹。

通过断裂力学的研究，可以预测裂纹的扩展速度，从而采取有效的措施防止裂纹扩大，确保航天器的安全飞行。

2.建筑结构领域：在建筑结构设计中，断裂力学可以用来分析结构的强度和刚度，预测结构的疲劳寿命，提高结构的安全性能。

此外，断裂力学还可以用于分析地震作用下建筑物的抗震性能。

3.机械制造领域：在机械制造过程中，零部件经常会受到应力的作用，容易产生裂纹。

通过断裂力学的研究，可以预测裂纹的扩展速度，从而采取有效的措施防止裂纹扩大，提高零部件的使用寿命。

三、断裂力学的发展趋势随着科学技术的不断发展，断裂力学也在不断地完善和发展。

以下是断裂力学的发展趋势：1.精细化：随着计算机技术的发展，断裂力学的计算模型越来越精细，可以更准确地预测裂纹的扩展速度和材料的断裂强度。

2.多尺度：断裂力学研究逐渐从单一尺度向多尺度发展，包括微观尺度、细观尺度和宏观尺度。

多尺度研究可以更全面地理解材料的断裂行为。

3.智能化：随着人工智能技术的发展，断裂力学的研究将更加智能化，可以实现自动化的数据分析和模型优化。

总之，断裂力学是一门具有重要应用价值的学科，它不仅可以提高工程结构的安全性能，还可以为新材料的研发和优化提供理论指导。

力学和复变函数的关系
力学和复变函数之间有一些有趣的联系。

复变函数是数学中的一个分支，涉及到复数域上的函数，而力学则是物理学的一个重要领域，研究物体的运动和力的作用。

1.分析力学与复变函数：分析力学是研究物体运动的力学分支，有时会使用到复变函数的方法。

特别是在处理振动、波动、和周期性运动等问题时，复数和复变函数经常被用来描述物体的运动特性。

2.调和函数和物理学中的应用：调和函数是复变函数理论中的重要概念，在物理学中也有许多应用。

例如，在电磁学中，调和函数用于描述电场和磁场的分布。

拉普拉斯方程的解通常是调和函数，而拉普拉斯方程出现在许多物理学领域中，如电磁学、流体力学等。

3.复数表示力学问题：在某些物理学问题中，特别是在波动理论和振动领域，复数和复变函数经常用于描述和分析物体的运动和振动情况。

例如，简谐振动可以使用复数形式的指数函数来表示。

4.复变函数与量子力学：在量子力学中，波函数是描述微观粒子行为的数学工具。

波函数是一个复数函数，它描述了粒子在空间中的概率幅。

量子力学中的很多理论和现象都使用到了复数和复变函数的概念。

尽管力学和复变函数并非直接相关，但在某些物理学领域中，特别是在描述振动、波动、量子理论等方面，复数和复变函数的概念和方法是非常有用的。

复数和复变函数提供了一种强大的数学工具，可以用来描述和分析许多物理现象。

2007断裂力学考试试题 B 卷答案一、简答题（本大题共5小题，每小题6分，总计30分）1、（1）数学分析法:复变函数法、积分变换；（2）近似计算法：边界配置法、有限元法；（3）实验标定法：柔度标定法；（4）实验应力分析法：光弹性法.2、假定：（1）裂纹初始扩展沿着周向正应力为最大的方向；（2）当这θσ个方向上的周向正应力的最大值达到临界时,裂纹开始扩展.max ()θσ3、应变能密度:，其中S 为应变能密度因子，表示裂纹尖端附近应力rSW =场密度切的强弱程度。

4、当应力强度因子幅值小于某值时，裂纹不扩展，该值称为门槛值。

5、表观启裂韧度，条件启裂韧度，启裂韧度。

二、推导题（本大题10分）D-B 模型为弹性化模型，带状塑性区为广大弹性区所包围，满足积分守恒的诸条件。

积分路径：塑性区边界。

AB 上：平行于，有1x s T dx ds dx σ===212,,0BD 上：平行于，有5分1x s T dx ds dx σ-===212,,05分δσσσσΓs D A s DB s BA s BD AB i iv v v v dx x uT dx x u T ds x u T Wdx J =+=+-=∂∂-∂∂-=∂∂-=⎰⎰⎰)()(1122112212三、计算题（本大题共3小题，每小题20分，总计60分）1、利用叠加原理:微段集中力→qdx →dK =Ⅰ 10分⇒0K =⎰ⅠA令,cos cos x a a θθ=⇒=cos dx a d θθ=⇒111sin ()10cos 22()cos a a a a a K d a θθθ--==Ⅰ当整个表面受均布载荷时,.1a a →10分⇒12()a a K -==Ⅰ2、边界条件是周期的:a. .,y x z σσσ→∞==b.在所有裂纹内部应力为零.在区间内0,,22y a x a a b x a b =-<<-±<<±0,0y xy στ==c.所有裂纹前端y σσ>单个裂纹时 Z =又应为的周期函数Z 2b 10分⇒Z =采用新坐标:z aξ=-⇒Z =当时,0ξ→sin,cos 1222bbbπππξξξ==⇒sin()sincos cossin22222a a abbbbbπππππξξξ+=+ cossin222a abbbπππξ=+2222[sin()]()cos 2cossin(sin)2222222a a a a a bbbbbb b πππππππξξξ+=++thn22[sin()](sin)2cos sin22222a a a ab b b b bπππππξξ⇒+-=Zξ→⇒=limKξσ→⇒===Ⅰ10分=3、当复杂应力状态下的形状改变能密度等于单向拉伸屈服时的形状改变能密度,材料屈服,即:2222122331()()()2sσσσσσσσ-+-+-=对于Ⅰ型裂纹的应力公式:122x yσσσσ+⎧=±⎨⎩12[1sin]22σθθσ⎧⇒=±⎨⎩10分(平面应力,薄板或厚板表面)3σ=2222cos[13sin222sKrθθπσ⇒=±Ⅰ10分--平面应力下,Ⅰ型裂纹前端屈服区域的边界方程.当时,θ=21()2sKrπσ=Ⅰ第3页共3页一、简答题（80分）1. 断裂力学中，按裂纹受力情况，裂纹可以分为几种类型？请画出这些类型裂纹的受力示意图。

第3章 弹性力学的平面问题任何弹性力学问题都是空间问题，但是在某些条件下，它们可以简化为平面问题。

在平面问题中，我们以x,y,z 表示直角坐标系的三个坐标，以u,v,w 表示相应的位移分量，而以xx σ、yy σ…和xx ε、yy ε…分别表示相应的应力分量和应变分量。

§3.1 平衡方程与变形协调方程在平面问题里，所有位移量都只是x , y 的函数，与z 无关，因而所有应变和应力分量也都只是x , y 的函数，与z 无关。

平衡方程(2.40)可简化为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00y yyxy x xyxx f y x f y x σσσσ (3.1)变形协调方程(2.63)只余下yx x y xy yyxx ∂∂ε∂∂ε∂∂ε∂222222=+ (3.2) §3.2平面应力与平面应变3.2.1平面应力问题平面应力问题是指: 发生在物体某一方向(z 方向)的尺寸远小于其余两个方向尺寸的物体中，即物体是一个很薄的平板，此外还要求板的厚度均匀，所有外力都作用在板的中面内，或者所有外力都作用在与中面平行的平面内，且载荷对中面对称。

根据这些前提条件，在物体的两个端面(上下底面)上，进而整个物体内，=zz σ0, 其它应力分量中0==zy zx σσ。

平面应力的应变分量, 根据虎克定律(2.95)式，有0==zx yz εε,)(yy xx zz Eσσνε+-= (3.3)利用(2.95)式，虎克定律可以写成⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+==-=-=xy xy xy xx yy yy yy xx xx E E E σνσμενσσενσσε121)(1)(1(3.4)3.2.2平面应变问题平面应变问题是指：在弹性体沿某一方向(z 方向)的尺度远大于其余两个方向的尺度，而且物体形状及载荷沿z 方向不变的情况下，在任一远离端部且与xoy 平行的平面内，物体的变形都是相同的。

此外，由于z 方向尺度极大，不能产生z 方向的位移，即0=w ，因此，物体内的变形只发生在与xoy 平行的平面内。