2.3位移与时间的关系式

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2.3.1匀变速直线运动的位移与时间的关系

(4)根据计算结果说明所求量的大小、方向.
【知识拓展】
1 2
x at
2
因为位移公式是关于t的一元
二次函数，故x－t图象是一条抛物
线（一部分）。
注意：x-t图象不是物体运动的
轨迹，而是位移随时间变化的规律。
匀变速直线的位移-时间图像
【例3】有些汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上发生滑动，可以明
7 89
12t13t14
t
V
V
如果把整个运动过程分割得非常
非常细，很多很多小矩形的面积之和
就能非常精确地代表物体的位移了。
V0
0
t
t
这是物理上常用的微元法。
匀变速直线运动的位移仍可用图线与坐标轴所围的面积表示。
科学
方法
∆t 内是简单的匀速直线运动---- 化简
分割许多很小的时间间隔∆t---- 微分
站的加速度是多少？它还要行驶多远才能停下来？
解：沿动车运动方向为正方向建立一维坐标系。把动车通过3000m
的运动称为前一过程，之后到停下来称为后一过程。
设在前一过程中的末位置为 M 点。初速度 v0 ＝126 km/h＝35 m/s，
末速度vM＝54 km/h＝15 m/s，位移 x1 ＝ 3000m。
匀速直线运动的位移就是v – t 图线
与坐标轴所夹的矩形“面积”
图象法
v/（m∙s-1）
v
v
x=v（t2-t1）/s
t1-t2时间内的位移
01. 匀速直线运动的位移
x1=12m
x2= -12m
v/m·s-1
x/m
10
匀速直线运动的v－t 图象中，图线与时间轴围
8

【学霸笔记】物理必修一2.3匀变速直线运动位移与时间的关系

第三节匀变速直线运动的位移与时间的关系一、位移时间公式1、推导：①图像法：（由v-t图像求位移）---微元的思想结论：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图象中的图线与对应的时间轴所包围的面积．即：位移与时间关系式：x＝v0t＋12at2.②解析法：（由平均速度求得）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+==atvvvvvt vxtt2得：x＝v0t＋12at2.2、物理意义：在匀变速直线运动中位移随时间变化的规律。

3、注意：①适用范围：匀变速直线运动。

②决定关系：位移的决定式，即匀变速直线运动中位移是由初速度、加速度、时间共同决定。

③比例关系：二次关系，也叫非线性关系。

④同一性：x、a、v0、vt具有同一性。

⑤合理性：已知位移反求时间，可能有两个值，要合理取舍。

二、速度--时间公式应用1、使用方法：①判断：运动性质（a为定值）。

②确定：研究对象和研究过程。

③设定：正方向（一般初速度的方向为正方向，无初速度则选择加速度为正方向）。

④公式应用：x＝v0t＋12at2；（此式子为矢量式，应将方向带入求解）⑤结果：结果如何为矢量，大小方向都需要求解。

2、例子：已知一个物体以向西的初速度4m/s做匀变速直线运动，其加速度大小为2m/s2，求1s末、2s末、4s末、8s末的速度和位移和路程，如果该物体是汽车，则结果又将如何？．三、推论1、逐差相等原理：在匀变速直线运动中，相邻相等的时间间隔位移之差是一个定值。

表达式：△x=aT 2．推导：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=212022019213421221T a T v x T a T v x aT T v x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+=-20232012521321T a T v x x T a T v x x 2aT x =∆ 2、比例关系：初速度为零的匀加速直线运动中①在前T ，前2T ，前3T 的位移之比1:4:9……n2②在第T ，第2T ，第3T 的位移之比1:3:4……（2n-1） 3、逆向思维法：末速度为零的匀减速直线运动可以看做反向的初速度为零的匀加速直线运动。

2.3匀位移与时间的关系

刘玉兵课件集
例5.在 “研究匀变速直线运动”的实验中，图
示是实验得到的一条点迹清晰的匀变速运动的
纸带，A、B、C、D为四个计数点，相邻两个计数点之间还有4个点未画出，经测量知道AB＝ 2.20cm，BC＝3.80cm，根据以上数据，可知打点计时器打下B点时物体的速度等于
______________
2
1 2 说明刹车后7 .5s汽车停止运动。
50m
2
1 2 2 15m / s 7.5s (2)m / s (7.5s) 56.25m 2
刘玉兵课件集
证明：匀变速直线运动中，平均速度等于中间时刻的瞬时速度，也等于初、末速度的平均值。
1 2 x v0t at 2 x v v0 v =v 1 1 v v0 at 将at t v v 代入得 2 0 2 t 2
1 =v0 a t =v t 2 2
v0 v v 2
刘玉兵课件集
例4.以10m/s的速度行驶的汽车关闭油门后后做匀减速运动直至停下来，求汽车刹车过程中的平均速度。解:以汽车初速度方向为正方向
v0 v 0 10m / s v 5m / s 2 2
答：汽车刹车过程中的平均速度是5m/s。
解:以汽车初速度方向为正方向
1 2 x v0t at 2
1 2 2 15m / s 5s (2)m / s (5s) 2
50m
答：刹车后5s末车离开始刹车点50m远
刘玉兵课件集
例3.在平直公路上，一汽车的速度为15m/s。从某时刻开始刹车，在阻力作用下，汽车以 2m/s2的加速度运动，问刹车后10s末车离开始刹车点多远？
t t

2.3_匀变速直线运动的位移与时间的关系(笔记上传)

特别提醒（非常实用）：末速度为零的匀减速直线运动可看成初速度为零，加速度同原来相同的反方向匀加速直线运动。
A
v0
a
0
B
v0
A
a
0
B
又v=v0+at
1 2 得： x v 0 t at 2
1 2 2.对位移公式 x v 0 t at 的理解: 2
⑴反映了位移随时间的变化规律。
⑵因为υ 0、a、x均为矢量，使用公式时应先规定正
方向。(一般以υ 0的方向为正方向，若物体做匀加速运动,a取正值,若物体做匀减速运动,则a取负值）。 (3)特别提醒:t是指物体运动的实际时间,要将位移与发生这段位移的时间对应起来。
示
思考： 1、这个过程体现了什么科学思想方法？
答：把过程先微分后再累加(积分)的思想。 (无限分割，逐渐逼近)
2、是否是任何运动的位移仍都可以用V-t图中图
线与坐标轴所围的面积表示呢？答：是的
1.由图可知：梯形OABC的面积S=(OC+AB)×OA/2
1 代入各物理量得： x (v0 v)t 2
位置X0出发。
d为匀加速直线运动的x-t图像。想想这是数学上的哪种函数呢？那么匀减速直
线运动呢？
二次函数，抛物线。
交点M所代表的物理意义是什么？
X0
a、b、c、d三个物体在t1时刻相遇 0
t1
t
【问题思考】
如果一位同学问：“我们研究的是直线运动，为
什么画出来的匀变速直线运动的x-t图像不是直线？”
三、用图像表示位移（拓展）
复习：你还能画出静止的x-t图像吗？那么匀速直线运动呢？匀变速直线运动呢？试试试看。 a为静止物体的x-t图像：平行于时间轴的直线。 b为匀速直线运动的x-t图像：一条倾斜的直线。 c也为匀速直线运动的x-t图像：只不过在0时刻时不在0位置出发，而是在某一

必修一 2.3匀变速直线运动的位移与时间的关系

二、匀变速直线运动的位移
1、从v-t图象中探究匀变速直线运动的位移
vቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v – t 图线与t轴所夹
v
v0
面
积
的梯形“面积”是否匀变
t
t
速直线运动的位移呢？
位移
数值
梯形面积
V/m/s
V
将△t 取小，匀变速直线运动在△t时间
内可等效为匀速直线运动，各匀速直线运
动位移之和，就近似等于匀变速直线运动
的位移,在v-t图像中，即各小矩形面积之
间的关系式和速度与时间的关系式，那么速度与
位移有什么关系，你能推导吗？
位移与时间的关系式：x = v0t +
2
at

速度与时间的关系式：v = v0 + at
v2 － v0 2 ＝ 2ax
这就是匀变速直线运动的速度与位移的关系
式。如果在所研究的问题中，已知量和未知量都
不涉及时间，利用这个公式求解，往往会更简便。
和近似等于匀变速直线运动的位移，显然
梯形的面积就代表做匀变速直线运动物体
V0
０
在0~t这段时间的位移。
t/s
t
v
v
v0
v0
0
0
t
t
t
结论：物体的位移对应着v-t图象与t
轴围成的的“面积”。
t
1 2
匀变速直线运动的位移公式： x v0t 2 at
（1）t是指物体运动的实际时间（刹车问题）
（2）使用公式时应先规定正方向
前进，2.4 s后离舰升空。飞机匀加速滑行的距离是多少？
（2）飞机在航母上降落时，需用阻拦索使飞机迅速停下来。若某

新版2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系(共32张PPT)学习PPT

C.1.5 m/s2 D.2.0 m/s2
解析
:由x
v0t
1 2
at 2得,
物体在前3
s和前2
s内的位移分
别为 :
x3
v0t3
1 2
at
2 3
23
m
Байду номын сангаас
a 2
9m
x2
v0t2
1 2
at
2 2
22
m
a 2
4
m
因为x3 x2 4.5 m,所以解得加速度a 1.0 m / s2.
试试身手
3.一辆汽车以20 m/s的速度沿平直路面行驶,当汽车以5 m/s2的加速度刹车时,其刹车距离为( A )
B.2 m/s,-1 m
C.2 m/s,0
D.-2 m/s,0 题后反思：
注意把握各物理量的正负
解析: v v0 at 2 m / s 2 2 m / s 2 m / s,
x
v0t
1 2
at 2
22
m
1 2
2 22m
0, 故选D.
四、利用v－t图象求物体的位移
例1 图是直升机由地面竖直向上起飞的v－t图象，试计算直升机能到达的最大高度及25 s时直升机所在的高度.
B. 2
(2)若位移为正值，位移的方向与正方向相同；
物体不是在做匀速直线运动，而是在做速度不断变小的直线运动。
t 五、用图象表示位移（x-t图象）
2
C. D. t 整段图线反映什么物理现象？
思考、如图所示，两条直线表示两个物体的运动特点，试分析两物体各做什么运动，两条直线的交点有什么含义.
16 2 对于匀变速直线运动，物体的位移也对应着v-t图象下面的“面积”。

2.3匀变速直线运动位移与时间的关系

得：0
8：0.0384m，与真实值的差距更小了。
在第一节探究小车速度与时间变化的规律，我们得到的纸带：
0.0416m
012 3 4 5
6
7
8
9
取每四个计时点为一个计数点： 0.0288m
0
4
8
取每两个计时点为一个计数点： 0.0352m
02
4
6
8
以原始计时点作为计数点：
0.0384m
01 2 3 4 5
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16
如果把运动无限分割，每小段运动持续的时间趋于零，无数个非常小的矩形面积之和（无数段匀速运动的位移之和）刚好是梯形的面积。
由此可得：匀变速直线运动的位移=无数段匀速运动的位移之和
=无数个非常小的矩形面积之和=梯形的面积即:匀变速直线运动的位移大小等于速度图线与坐标轴所围成的面积大小
02
4
6
8
0 4 得：0
2：0.10 0.04=0.004m 2 6：0.26 0.04=0.0104m 6
4：0.18 0.04=0.0072m 8：0.34 0.04=0.0136m
8：0.0352m，与真实值的差距减小了一点。
在第一节探究小车速度与时间变化的规律，我们得到的纸带：
0.0416m
6
7
8
方法总结：可以把匀加速直线运动分成几段运动，把各段运动看成匀速直线运动(以各段运动的初速度)。我们可以看出, 把整个运动分的段数越多，每段运动持续的时间越短，位移的计算结果就越接近真实值。我们再从图象来看。
对上述过程分别用图像表达：
v(m/s)

2-3匀变速直线运动的位移与时间的关系(考点解读)-2023-2024学年高中(002)

2.3匀变速直线运动的位移与时间的关系（考点解读）（原卷版）考点1 匀变速直线运动位移与时间的关系1、匀变速直线运动的位移与时间的关系式：x ＝v 0t ＋12at 2。

2、公式的推导（1）利用微积分思想进行推导：在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似应用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，其误差也非常小，如图所示。

（2）利用公式推导：匀变速直线运动中，速度是均匀改变的，它在时间t 内的平均速度就等于时间t 内的初速度v 0和末速度v 的平均值，即x ＝12(v 0＋v )t 。

结合公式v ＝v 0＋at 可导出位移公式：x ＝v 0t ＋12at 2，当初速度为0时，x ＝12at 2。

3、技巧归纳（1）在v －t 图像中，图线与t 轴所围的面积对应物体的位移，t 轴上方面积表示位移为正，t 轴下方面积表示位移为负。

（2）位移公式x ＝v 0t ＋12at 2只适用于匀变速直线运动。

（3）公式中x 、v 0、a 都是矢量，应用时必须选取正方向；一般选v 0的方向为正方向．当物体做匀减速直线运动时，a 取负值，计算结果中，位移x 的正负表示其方向。

（4）当v 0＝0时，x ＝12at 2，即由静止开始的匀加速直线运动的位移公式，位移x 与t 2成正比。

4、匀变速直线运动中的平均速度该段时间的末速度v=v t +at ，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式整理加工可所以在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度，又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值。

5、匀变速直线运动推论公式：任意两个连续相等时间间隔T 内，位移之差是常数，即△x=x 2-x 1=aT 2．拓展：△x MN =x M -x N =（M-N ）aT 2。

推导：如图所示，x 1、x 2为连续相等的时间T 内的位移，加速度为a 。

考点2 匀变速直线运动速度与位移的关系 1、匀变速直线运动位移与速度的关系。

位移与时间的关系

(1)反映了位移随时间的变化规律.
(2)公式适用于匀变速直线运动.
(3)因为υ0、α、x均为矢量，使用公式时应先规定正方向。（一般以υ0的方向为正方向）若物体做匀加速运动,a取正值,若物体做匀减速运动,则a取负值.
(4)若v0=0,则x=12 a t 2
(5)代入数据时,各物理量的单位要统一 (用国际单位制中的主单位) .
020 s4s 5
说明刹车后4s汽车停止运动知所车以的由位x 移x v 0tv 0 t0 12 a1 2 ta 2 0 2 t 2 m /0 s 4 s 1 2 5 m /s 2 ( 4 s ) 2 4 m 0
四.本节小结
1.公式法：
x
v0t
1 2
at2
2.图象法：
(1)匀速直线运v动 t图的象:
坡路上的加速度等于0.2m/s2，经过30s到达坡底，求坡路的长度？
解：以汽车运动的初速度v0的方向为正方向
所以 x 1 v0tm 0 /12s a3 t2 s0 1 0 .2 m /s2 (3s)0 2 2
39m 0
坡路的长度为 390m。
典例精析
例2、在平直公路上，汽车以15m/s的速度匀速
t
t
面积s表示位移x
面积S可以表示位移x 吗？
2、运用数学思想得出结论
假如把时间t无限分割，情况又会怎么样呢？
v
v v
v0
t t
v
t 0 t1 t2 t3 t
粗略地表示位移
t 0 t1 t2t3t4 t5t6t7t 较精确地表示位移
从v-t图象中探究匀变速直线运动的位移
结论
v/m/s
v
匀变速直线运动的位移仍可用图线与坐标轴所围的面积表示

位移与时间关系

四、小结 1、匀变速直线运动的位移和时间关系：
1 2 x = v 0 t + at 2
2、注意点：（1）适用于匀变速直线运动（2）公式中有四个未知量，只要知道其中三个物理量就可以求出剩下一个物理量（3） x, v 0 , a 均为矢量，有方向，需规定正方向
2.3匀变速直线运动的位移与时间的关系
一、匀速直线运动的位移
v
t
t
1、公式：x = vt 2、在v-t图像中位移为矩形的面积
二、匀变速直线运动的位移
v
t
1、位移与时间关系:
1 2 x = v 0 t + at 2
2、注意点：（1）适用于匀变速直线运动（2）公式中有四个未知量，只要知道其中三个物理量就可以求出剩下一个物理量（3） x, v 0 , a 均为矢量，有方向，需规定正方向正方向
2
解：设初速度
v0
为正3; at 2 2 得 x 1 v0 = − at t 2
a = 1 m s 2 , t = 12s, x = 180m
代入数据 180 1 v0 = m s − × 1 × 12 m s 12 2
= 9m s 所以初速度为 9 m s
例题2、汽车以 10 m s 的速度在平直的公路上行驶，刹车后做匀减速直线运动， 2 0.5 m s ，求：加速度大小为（1）汽车刹车后10s内的位移为多大？（2）汽车刹车后30s内的位移为多大？（3）汽车刹车后通过 64m 的位移需要多长时间？
例1、以 36 km h 速度行驶的汽车开始下坡，在坡路上的加速度等于 0 . 2 m s 2 ，经过 30s到达坡底，求汽车到达坡底的速度和坡路的长度？
三、解题步骤： 1、审题并画出运动示意图，规定正方向 2、找已知量 3、选择合适的公式 4、解出结果并进行检验

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m=420 m。
1 2
x2=v0t+ at2=20×30 m+ ×(-0.4)×302 m=420 m。
③汽车在 30 s 内的平均速度�� =
汽车的位移 x3=�� t=14×30 m=420 m。可见三种方法计算的位移相同。答案 :(1)见解析 (2)-0.4 m/s2 方向与汽车速度方向相反 (3)420 m
（3）两种特殊形式 ①当 a＝0 时，x＝v0t(匀速直线运动)。 1 2 ②当 v0＝0 时，x＝ at (由静止开始的匀加速直线运动)。 2
特别提醒： 1 2 (1)公式 x＝v0t＋ at 是匀变速直线运动的位移公式，而不 2 是路程公式，利用该公式计算出的物理量是位移而不是路程。 (2)位移与时间的平方不是正比关系，时间越长，位移不一定越大。 (3)此公式只适用于匀变速直线运动，对非匀变速直线运动不适用。
1 2 x v t 4、应用位移公式 0 2 at
解题的基本思路：
①确定研究对象，并分析判断物体是否做匀变速运动． ②选择研究过程． ③分清已知量和待求量，找出与所选研究过程相对
应的v0、a、t、x的值，特别要注意v0并不一定是物体运动的
初速度，而是与研究过程相对应的初速度． ④规定正方向，判定各矢量的正、负，然后代入公式． ⑤统一已知量的单位，求解方程．
2.3匀变速直线运动的位移与时间的关系
一、什么是匀变速直线运动？
二、匀变速直线运动的分类
v
1、a方向和v方向相同——加速运动
t v
2、a方向和v方向相反——减速运动
t
三。匀变速直线运动的速度公式及适用条件
V=v0+at
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速度－时间图象:
v
正向加度 4 正向减速
(m/s)
1 -4
1 2 1 2 （2）前 4s 的位移 x4 a1t4 1 4 m 8m ； 2 2 1 2 1 ' 2 后 4s 的位移 x 4 v4t4 a2t4 4 4 0.5 4 m 20m 2 2
' 8s 内的位移 s x4 x4 28m
【答案】（1）4m/s．（2）28m．
-4
乙
X甲
X乙
x
1、由v－t图象求位移： ①把物体的运动分成几个小段，如右图所示，每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形面积．所以，整个过程的位移≈各个小矩形面积
之和．
1．由v－t图象求位移：
②把运动过程分为更多
的小段，如右图所示，各小
矩形的面积之和可以更精
确地表示物体在整个过程中
1 a1t12 5m 2
方向：与初速度方向相反 (2)加速： x1
匀速： x vt2 20m
v 减速： x t3 8m 2
物体位移： x x1 x2 x3 33m
（3）
【答案】（1） 0.0625m / s ，方向与初速度方向相反
2
（2）33m（3）见解析
��0 +�� 2
=
20+8 2
m/s=14 m/s。
【典型例题】汽车由静止开始做加速度为1m/s2
的匀加速直线运动，4s后加速度的大小改为
0.5m/s2，方向仍与原来方向相同，求：
（1）4s末的速度；
（2）8s内的位移．
【解析】（1）4s 末的速度:v4=a1t=4m/s ；
2.图为一辆汽车在某段平直公路上行驶 30 s 内的 v -t 图象,试根据图象完成下列问题:
(1)用语言描述汽车的运动; (2)求汽车的加速度; (3)试用三种方法计算汽车在 30 s 内的位移。解析:(1)汽车以 20 m/s 的初速度做匀减速直线运动,30 s 末速度减为 8 m/s。
的位移．
1．由v－t图象求位移： ③把整个过程分得非常非常细，如图所示，小矩形合在一起成了一个梯形，梯形的面积就代表物体在相应时间间隔内的位
移．
结论：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图象中的图线与对应的时间轴所包围的面积．
由图可知：梯形OABC的面积 S=（OC+AB）×OA/2
【典型例题】物体从静止开始竖直向上运动，先以 0.1m/s2 的加速度加速10s，紧接着匀速运动20s，最后匀减速运动16s 停止。求：（1）物体在减速过程中的加速度；
（2）全程物体位移大小；
（3）画出物体的v-t 图像。
【解析】(1)减速： v v0 a2t 解得 a ２＝
v v0 ２ 0.0625 m/ s t
1 代入各物理量得：x (v0 v )t 2
又 v = v0 + at
1 2 得： x v0t at 2
2、匀变速直线运动的位移与时间的关系
1 2 x v0 t at 2
也就是匀变速直线运动的位移公式
1 2 3、对位移公式 x＝v0t＋ at 的进一步理解 2 （1）公式的物理意义：反映了位移随时间的变化规律。（2）公式的矢量性：公式中 x、v0、a 都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。若选 v0 方向为正方向，则： ①物体加速，a 取正值。 ②物体减速，a 取负值。 ③若位移为正值，位移的方向与正方向相同。 ④若位移为负值，位移的方向与正方向相反。
3
5
7
tLeabharlann (s)一、匀速直线运动的位移
x=vt
图象法
公式法
结论：匀速直线运动的位移就是v – t 图线与t轴所夹的矩形
v t
“面积”。
v/m· s-1
面积也有正负,面积为正, 表示位移的方向为正方向, 面积为负值,表示位移的方向为负方向.
甲
t/s
10
8 6
4
2 0 -2
1
2
3 4
5 6
(2)汽车的加速度 a= 方向与汽车速度方向相反。
��-��0 ��
=
8-20 30
m/s2=-0.4 m/s2,负号表示加速度
(3)位移的求法如下 : ①速度图象与时间轴围成的梯形的面积等于相应时间内汽车行驶的位移 : x1=S 面积=
1 2
②利用位移公式计算:
20+8 ×30 2