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第二章运动的描述
第3节匀变速运动的位移与时间
一、预备知识：
1、匀速直线运动的位移
先从匀速直线运动的位移与时间的关系人手，由位移公式x＝vt．画出匀速直线运动的速度一时间图象．如图2—3—1和2—3—2所示．
图线与初、末时刻线和时间轴围成的矩形面积．正好是vt．
当速度值为正值时，x＝vt>O，图线与时间轴所围成的矩形在时间轴的上方．当速度值为负值时，x＝vt 2、关于刘徽的“割圆术”． 微分方法在物理学研究中有着广泛的应用．魏晋时的数学家刘徽首创了“割圆术”——圆内正多边形的边数越多，其周长和面积就越接近圆的周长和面积．如图2—3—3 二、匀变速运动的位移与时间关系式 1、物体做匀变速直线运动的速度一时间图象，如图2—3—4中甲所示． 该物体做初速度为v 的匀加速直线运动． 模仿刘徽的“割圆术”做法，来“分割”图象中图线与初、末时刻线和时间轴图线所 围成的面积．先把物体的运动分成5个小段，在v —t 图象中，每小段起始时刻物体的瞬时速度由相应的纵坐标表示(如图乙)．5个小矩形的面积之和近似地代表物体在整个过程中的位移．把物体的运动分成了10个小段．分成的小段数目越多，小矩形的面积总和越接近于倾斜直线下所围成的梯形的面积．为了精确一些，可以把运动过程划分为更多的小段，如图丙。可以想象，整个运动过程划分得非常非常细，小矩形合在一起组成了一个梯形OABC ，梯形OABC 的面积就代表做匀变速直线运动物体的位移． 在图丁中，v —t 图象中直线下面的梯形OABC 的面积是 S=(OC+AB)XOA/2 把面积及各条线段换成所代表的物理量，上式变成x ＝(V o +V)t/2 把前面已经学过的速度公式v ＝v 0+at 代人，得到x ＝2 02 1at t v x += 这就是表示匀变速直线运动的位移与时间关系的公式。也同样适用于匀减速直线运动。 在公式2 2 1at t v x +=中，初速度v o ，位移x ，加速度a ，时间间隔t 图2—3—5．匀变速直线运动的速度一时间图象用画斜线部分的面积表示位移 2、用公式推导： 根据平均速度的定义式t v x =， 代入 02 t v v v +=和0t v v at =+就可以推出 匀变速直线运动的位移公式为：2 2 1at t v x += 匀减速位移公式还可X=V 0t —1/2 at 2 3、初速度为0时：若00=v ，则2 2 1at x =。速度一时间图象的面积为三角形。 4、匀变速直线运动的位移还可以：由t v x = 02 t v v v += 得出 t v v x )(2 10+=求位移方便灵活。 5、逆向转换法：匀减速直线运动初速度V ，加速度a ，匀减速至速度为0，则此运动可逆向看成初速度为0，加速度a ，末速度V 的匀变速直线运动。公式可简化： 速度与时间：v=v 0－a t a v v t t 0 -= 初速度0时： V=at 位移与时间：2 021at t v x + = 初速度0时： X=1/2at 2 匀减速位移公式还可X=V 0t —1/2 at 2 三、典型例题 例1某做直线运动的质点的位移随时间变化的关系式为2 42,x t t x =+与t 的单位分别是m 和s ，则质点的初速度和加速度分别是（ ） A ．4/m s 和22/m s B ．0和42 /m s C ．4/m s 和42 /m s D ．4/m s 和0 解析：做匀加速直线运动的位移随时间变化的关系式为：X =2 012 v t at + ，与关系式242x t t =+相比较，2 04/,4/v m s a m s ==，所以只有C 正确。 例2一辆汽车在笔直的公路上做匀变速直线运动，该公路每隔15m 安置一个路标，如图1所示，汽车通过AB 两相邻路标用了2s ，通过BC 两路标用了3s ，求汽车通过A 、B 、C 三个路标时的速度。 解析：汽车从A 到C 是匀减速运动，设汽车通过路标A 时速度为A v ，通过AB 的时间12t s =，通过BC 的时间23t s =。 根据位移公式2 012 s v t at =+，研究AB 运动的过程， 有2112AB A s v t at =+ ，研究AC 运动过程，有211 2 AC A s v t at =+ 其中125t t t s =+= （ 第一个式子中时间应是t 1的平方，第二个式子中时间应是t ） 解得：2 8.5/,1/A v m s a m s ==- 再根据速度公式 1 6.5/B A v v at m s =+= A B C 图1 3.5/C v v at m s =+= （式子中应是V A ） 例3 以18/m s 的速度行驶的汽车，紧急刹车后做匀减速直线运动，其加速度大小为62 /m s ，求： （1）汽车在2s 内通过的距离； （2）汽车在6s 内通过的距离。 解析：应首先判断所求位移对应的时间内汽车是否一直在运动，然后利用匀变速直线运动的位移公式进行求解。 已知汽车刹车时间的初速度018/v m s =，因为是匀减速直线运动，所以加速度6/a m s =-，设经过0t 秒汽车停止运动(0)t v =，则由10v v at =+ 得00183(6) v t s s a = ==--- 因102t s t =<，故前2s 内汽车一直在运动，所以前2s 内通过的距离（即位移的大小） 221011 182(6)22422 s v t at m m m =+=⨯+⨯-⨯= （匀减速也可以用X=V 0t-1/2at 2 可以，a 代入绝对值） 又因206t s t =>，汽车刹车后运动3s 就停下来了，所以6s 内汽车通过的距离也就是3s 内汽车通过的距离，所以6s 内汽车通过的距离为 222011 183(6)32722 s v t at m m m =+=⨯+⨯-⨯= （匀减速也可以用X=V 0t-1/2at 2 可以，a 代入绝对值） 例题4的预备题：物体以12 /m s 的加速度由静止开始运动，T=2s ，在连续相等的时间T 内位 移分别是多少呢，由2 2 1at t v x +=计算X 1 =2m X 2=6m X 3=10m X 4=14m X 5=18m （ 先t=2s 代入公式，求出X 1 =2m ，再t=4s 代入公式，求出前4s 运动的距离X=8m ，X-X 1=X 2再t=6s 代入公式，求出前6s 运动的距离X=18m ，X-X 1-X 2= X 3） 在匀变速直线运动中，连续相等时间T 内的位移之差等于一个恒量，即2aT x =∆。 连续相等时间内的位移之差为一恒定值。 例 4 有一个做匀变速直线运动的质点，它在两段连续相等时间内通过的位移分别是24m 和64m ，连续相等的时间为4s ，求质点的初速度和加速度的大小。
