第3节位移和时间关系(1)公式的推导

第3节匀变速直线运动的位移与时间的关系学习目标要求核心素养和关键能力1.知道匀速直线运动的位移与v －t图像中矩形面积的对应关系。

2.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系式，会应用此关系式分析和计算有关问题。

3.了解利用极限思想推导位移与时间关系式的方法。

4.理解匀变速直线运动的速度与位移关系，并会分析有关问题。

1.核心素养用科学研究中的极限方法分析物理问题，通过推理，获得结论。

2.关键能力利用数学思维来研究物理问题的能力。

知识点一匀变速直线运动的位移如图所示，汽车由静止以加速度a1启动，行驶一段时间t1后，又以加速度a2刹车，经时间t2后停下来。

请思考：(1)汽车加速过程及刹车过程中，加速度的方向相同吗？(2)汽车加速过程和减速过程中运动的位移相同吗？提示(1)汽车加速时加速度的方向与运动方向相同，减速时加速度方向与运动方向相反，因此两过程中加速度方向不同。

(2)由于汽车加速和减速运动的加速度和时间均不同，所以加速过程和减速过程中运动的位移不一定相同。

❶利用v －t 图像求位移v －t 图像与时间轴所围的梯形面积表示位移，如图所示，x ＝12(v 0＋v )t 。

❷匀变速直线运动位移与时间的关系式 x ＝v 0t ＋12at 2，当初速度为0时，x ＝12at 2。

1.适用条件：匀变速直线运动。

2.公式的用途：公式x ＝v 0t ＋12at 2中包含四个物理量，知道其中任意三个量，就可以求出另外一个物理量。

3.矢量性：公式中x 、v 0、a 都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。

通常选取初速度 的方向为正方向a 、v 0同向时，a 取正值 a 、v 0反向时，a 取负值位移的 计算结果正值：说明位移方向与规定的正方向相同 负值：说明位移方向与规定的正方向相反4.两种特殊形式(1)当a ＝0时，x ＝v 0t (匀速直线运动)。

(2)当v 0＝0时，x ＝12at 2(由静止开始的匀加速直线运动)。

匀变速直线运动的位移与时间的关系匀变速直线运动的位移与速度的关系一、学习目标：1.掌握用v—t图象描述位移的方法；2. 掌握并运用匀变速直线运动的位移与时间、位移与速度的关系；3.通过对微分思想的理解，明确“面积”与位移的关系；熟悉位移公式在不同形式中的应用。

二、重点、难点：重点：位移与时间的推导关系，位移与速度的推导关系x＝v0t＋at2/2、v2 －v02＝2ax。

难点：1. 对公式中各物理量的理解与准确应用。

2. 速度—时间图象中的面积表示位移。

三、考点分析一、物理思维方法归纳总结◆“无限逼近”的思维方法——极限思想：如果△t的值非常小，那么所有小矩形的面积之和就能非常准确地代表物体发生的位移。

◆先微分再求总和的方法——微元法：如果Δt的值极小，那么所有小矩形的面积之和刚好等于v－t图象下面的面积。

◆逆向转换，即逆着物体原来的运动过程考虑，如火车进站刹车滑行，逆着车行方向考虑时就把火车原来的一个匀减速运动转化为一个初速为零的匀加速运动。

◆利用时间等分、位移等分的比例关系，对物体运动的时间和位移进行合理的分割。

应用匀变速直线运动及初速度为零的匀变速直线运动的特殊关系，是研究匀变速直线运动的重要方法，比用常规方法简捷得多。

二、知识点总结1. 匀变速直线运动三公式的讨论在解题过程中选用公式的基本方法为：（1）如果题目中无位移x ，也不需要求位移，一般选用速度公式at v v 0t +=； （2）如果题中无末速度v ，也不需要求末速度，一般选用位移公式2021at t v x +=； （3）如果题中无运动时间t ，也不需要求运动时间，一般选用推导公式v 2－v 02＝2ax 。

注：①对以上公式中的加速度a ，有：当物体做加速运动时，a 为正；当物体做减速运动时，a 为负。

②如果物体做初速度为零的匀加速运动，那以上公式中的v 0＝0。

③匀变速运动的各公式均是矢量式，式中x ，v 0 ，a 要选取统一的正方向，还要注意各量的符号。

第3节匀变速直线运动的位移与时间的关系1.在v -t 图像中图线与t 轴所围的面积表示物体的位移。

2．匀变速直线运动的位移公式x ＝v 0t ＋12at 2。

3．匀速直线运动的x -t 图线是一条倾斜的直线，匀变速直线运动的x -t 图线是抛物线的一部分。

一、匀速直线运动的位移1．做匀速直线运动的物体在时间t 内的位移x ＝v t 。

2．在速度图像中，位移在数值上等于v -t 图像与对应的时间轴所围的面积。

二、匀变速直线运动的位移1．在v -t 图像中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v -t 图像中的图线和时间轴包围的面积。

如图2-3-1所示，在0～t 时间内的位移大小等于梯形的面积。

图2-3-12．位移公式x ＝v 0t ＋12at 2。

式中v 0表示初速度，x 表示物体在时间t 内运动的位移。

三、用图像表示位移1．定义：以时间t 为横坐标，以位移x 为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图像叫位移—时间图像。

2．匀速直线运动的x -t 图像：是一条倾斜直线。

3．匀变速直线运动的x -t 图像：是一条过原点的抛物线。

1．自主思考——判一判(1)匀速直线运动表示任意相等的时间内，质点的位移都是相等的。

(√)(2)匀变速直线运动的位移与时间成正比。

(×)(3)由x-t图像能得出对应时刻物体所在的位置。

(√)(4)x-t图像中的图线就是物体的实际运动轨迹。

(×)(5)由x-t图像能得到某时间内物体的位移。

(√)2．合作探究——议一议(1)如何利用速度图像求解物体运动的位移？提示：速度图像中，图线与坐标轴所围图形的面积表示位移的大小，若面积处于时间轴上方，则说明位移为正；若面积处于时间轴下方，则位移为负。

(2)什么是微分思想与微元法？提示：利用微分思想的分析方法称为微元法。

它是将研究对象(物体或物理过程)进行无限细分，再从中抽取某一微小单元进行讨论，从而找出研究对象变化规律的一种思想方法。

高一物理◆编制人：李祖明审核人：徐伦伟年级姓名授课时间课题2、3匀变速直线云动位移与时间的关系课型新授课学习目标1．知道匀变速直线运动的基本规律。

2．掌握位移公式及它的推导，会应用公式分析计算有关问题。

3．掌握匀变速直线运动的平均速度公式，会应用公式分析计算有关问题。

4. 灵活运用速度公式和位移公式进行有关运动学问题的计算。

学习重难点重点：1. 推导和理解匀变速直线运动的位移公式。

2. 匀变速直线运动速度公式和位移公式的运用。

难点：对匀变速直线运动位移公式的物理意义的理解。

教学过程与内容随堂笔记新课自主预习1、做匀速直线运动的物体，其位移公式为___________________，其V—t图象为___________________。

在V—t图象中某段时间内位移的大小与_________相等。

2、匀变速直线运动的V—t图象是一条__________，其中图象的斜率表示物体的_____________，图象与坐标轴所谓的面积表示物体的_________。

3、匀变速直线运动中，初末速度与位移的关系式_________。

4、匀变速直线运动平均速度公式是_______________________。

【预习自测】通过预习，你对本节课内容有哪些了解？2、怎样计算这个物体在t 秒内发生的位移？3、这个位移的公式与图象有什么关系？探究二、匀变速直线运动的位移1、用自己的语言来描述甲中该物体的运动情况。

2、图乙中5个小矩形的面积之和能否近似地代表物体在整个过程中的位移？3、如果我们分成更多段呢，是否更接近物体在整个过程中的位移？4、同学们明白了围成的面积表示位移，请同学们推导出位移与时间的关系式。

【课堂巩固】1．在公式V t =Vo+at 和2021at t v s +=中涉及五个物理量，除t 是标量外，其它四个量V t 、Vo 、a 、s 都是矢量。

在直线运动中这四个矢量的方向都在一条直线上，当取其中一个量的方向为正方向时，其它三个量的方向与此相同的取正值，与此相反的取负值。

匀变速直线运动的速度、时间、位移之间的关系【教法探析】导入新课物理学中将物体速度发生变化的运动称为变速运动.一般来说，做变速运动的物体，速度变化情况非常复杂.本节，我们仅讨论一种特殊的变速运动——匀变速直线运动.推进新课【一】匀变速直线运动的特点合作探究请同学们阅读P33的实例并合作讨论表31的数据.从数据中可知：小车速度不断增大，但是加速度保持不变.得出结论:物理学中，称物体加速度保持不变的直线运动为匀变速直线运动.匀变速直线运动是一种最简单而且特殊的变速直线运动，它的重要特点是：物体在直线运动过程中，加速度为一恒量.当加速度与速度同向时，物体做匀加速直线运动；当加速度与速度反向时，物体做匀减速直线运动.匀变速直线运动是一种理想化的运动,自然界中并不存在，但是为了讨论的方便，人们通常将某些物体的运动或其中一段运动近似认为是匀变速直线运动.【二】匀变速直线运动的速度—时间关系v-t=v0+at速度公式:a=t vvt0-⇒v0+at〔由加速度定义推导〕其中v-t为末速度〔时间t秒末的瞬时速度〕v0为初速度〔时间t秒初的瞬时速度〕a为加速度〔时间t秒内的加速度〕讨论:一般取v0方向为正，当a与v0同向时，a>0；当a与v0反向时，a<0.当a=0时，公式为v-t=v0当v0=0时，公式为v-t=at当a<0时，公式为v-t=v0-at〔此时a只能取绝对值〕可见：v-t=v0+at为匀变速直线运动速度公式的一般表达形式〔只要知道v0和a就可求出任一时刻的瞬时速度.速度—时间图象:(1)由v-t=v0+at可知，v-t是t的一次函数，根据数学知识可知其速度—时间图象是一倾斜的直线.(2)由v-t图象可确定的量：可直接看出物体的初速度;可找出对应时刻的瞬时速度;可求出它的加速度〔斜率=加速度〕;可判断物体运动性质;可求出t时间内的位移.例如：根据图3-1-1我们可以求出：图3-1-1(1〕甲的初速度为2m/s ，乙的初速度为12m/s ；(2〕在第2s 末甲、乙瞬时速度相同，均为6m/s ；(3〕甲做匀加速运动，加速度为2m/s 2;乙做匀减速运动，加速度为-3m/s 2；(4〕甲、乙前2s 内的位移分别为：s 甲=〔2+6〕×2/2m=8m s 乙=〔12+6〕×2/2m=18m.【三】位移—时间关系1.平均速度公式v =20t v v +由于物体做匀变速运动，物体的速度变化是均匀的，它在时间t 内的平均速度等于初速度和末速度的平均值.2.位移—时间关系s=v 0t+21at 2.教师精讲1.推导因为s=t v ，v =20t v v +,所以s=20v v t +×t s=21〔v 0+v 0+at 〕t=v 0t+21at 2.2.讨论：当a=0时，s=v 0t ；当v 0=0时,s=21at 2；当a ＜0时，s=v 0t-21at 2〔此时a 只能取绝对值〕.3.位移公式s=v 0t+21at 2也可由速度图象推出.根据匀变速直线运动v-t 图来推导(微元法).图3-1-3意义：匀变速直线运动的物体在时间t 内的位移数值上等于速度图线下方梯形的面积.思考：假设是非匀变速直线运动，这一结论还适用吗？图3-1-4课堂小结速度公式v-t=v 0+at 和位移公式s=v 0t+21at 2是匀变速直线运动的两个基本公式，在一条直线上的矢量可用“+”“－”号表示其方向.一般以v 0的方向为正方向,所以与v 0的方向相同为正，与v 0的方向相反为负.【学法导引】几个重要推论的理解1.两个中点速度的理解即：匀变速直线运动的物体在一段时间内中间时刻的瞬时速度等()0212t v v v v +＝ ＝中间时刻的瞬时速度于这段时间的平均速度，等于初速度、末速度和的一半、2、任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差相等，即：3.初速度为零的匀加速直线运动的四个比例关系:(T为单位时间)(1)1T末、2T末、3T末…nT末的速度之比：v1∶v2∶v3…vn＝1∶2∶3…n(2)1T内、2T内、3T内…nT内的位移之比：x1∶x2∶x3…xn＝1∶4∶9…n2(3)第1T内，第2T内，第3T内…第nT内的位移之比为1∶3∶5…(2n－1)学习本节知识的本卷须知1、这一节公式很多，做题时应该如何选择？2、如何正确处理运动学公式中各量的符号问题？解答：首先要记住匀变速运动的基本公式，公式中的“＋”、“－”不要理解为加减号，其次要注意运动学公式中的v0、v、a、x各量均为矢量，解题过程为矢量运算过程、在处理直线运动时，可将矢量运算化为标量运算、这时，首先应人为地规定一个正方向，通常习惯以初速度的方向为正方向、矢量中凡是与规定正方向同向的均以正号表示，凡是与规定正方向反向的均以负号表示、3、如何解答本节中的题目？解答：(1)要养成根据题意画出物体运动示意图的习惯、特别对较复杂的运动，画出草图可使运动过程直观，物理图景清晰，便于分析研究、(2)要分析研究对象的运动过程，搞清整个运动过程按运动性质的特点可分为哪几个运动阶段，各个阶段遵循什么规律，各个阶段间存在什么联系、(3)本章的题目常可一题多解，解题时要思路开阔，联想比较，筛选最简的解题方案、解题时除采用常规的公式解析法外，图象法、比例法、极值法、逆向转换法(如将一匀减速直线运动视为反向的匀加速直线运动等)等也是本章解题的常用的方法、(4)列运动学方程时，每一个物理量都要对应于同一个运动过程，切忌张冠李戴、乱套公式、(5)解题的基本思路：审题—画出草图—判断运动性质—选取正方向(或建立坐标轴)—选用公式列方程—求解方程，必要时对结果进行讨论、4.如何处理匀减速运动问题？例1：在火车站站台上有一观察者，在列车开动时恰好站在第一节车厢的最前端，列车启动后做匀加速直线运动；经过4s第一节车厢通过观察者，整个列车经过他历时20s，设每节车厢等长，车厢连接处长度不计，求：(1)这列列车共有多少车厢？(2)最后9节车厢通过观察者所经历的时间、例2：某物体以一定的初速度从A点冲上固定的光滑斜面，到达斜面最高点C时速度恰为零，如下图、物体运动到斜面长度3/4处的B点时，所用的时间为t，求物体从B滑到C所用的时间、【模拟练习】1.如图3-1-2所示,以下说法正确的选项是()图3-1-2A.前10s的加速度为0.8m/s2,后5s的加速度为1.6m/s2B.15s末回到出发点C.前10s的平均速度为4m/sD.15s物体的位移为60m答案:CD2.一物体做匀加速直线运动，位移方程为s=(5t+2t2)m，那么该物体的初速度为_________，加速度为________，2s内的位移大小是___________.答案：5m/s4m/s18m3、一个物体原来静止在光滑的水平地面上，从t＝0开始运动，在第1、3、5……奇数秒内，给物体施加方向向北的水平推力，使物体获得大小为2m/s2的加速度，在第2、4、6……偶数秒内，撤去水平推力，问经过多长时间，物体位移的大小为40.25m?答案：8.5s4.以8m/s匀速行驶的汽车开始刹车，刹车后的加速度大小为2m/s2，试求：(1)汽车在第3s末的速度为多大？通过的位移为多大？(2)汽车开始刹车后的最大位移.(3)汽车通过最大位移中点时的速度.答案：〔1〕2m/s;15m(2)16m(3)42m/s【真题再现】1.〔2017新课标理综第24题〕甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变。

速度、位移和时间之间的关系可以通过基本的物理公式来描述。

在经典力学中，速度、位移和时间的关系可以用以下公式表示：
[v = \frac{s}{t}]
其中，(v) 代表物体的速度，(s) 代表物体的位移，(t) 代表时间。

这个公式描述了速度、位移和时间之间的基本关系，即速度等于位移除以时间。

另外，如果考虑匀加速直线运动的情况，可以使用以下公式描述速度、位移和时间之间的关系：
[s = ut + \frac{1}{2}at^2]
其中，(s) 代表位移，(u) 代表起始速度，(a) 代表加速度，(t) 代表时间。

这个公式描述了在匀加速直线运动下，位移与时间的关系。

因此，速度、位移和时间之间的关系是经典力学中非常基础的内容，通过这些公式我们可以描述和计算物体在运动过程中的相关参数。

第三节匀变速直线运动的位移与时间的关系【学习目标】1．知道匀速直线运动的位移与时间的关系．2．了解匀变速直线运动位移与时间关系的推导方法，并简单认识x＝v o t + at2/2．3．能用x＝v o t + at2/2解决简单问题．【自主学习】1．做匀速直线运动的物体，其位移公式为___________，其 v-t 图象为__________。

在 v-t 图象中某段时间内位移的大小与____________相等。

2．匀变速直线运动位移与时间的的关系式为________________。

3．匀变速直线运动的 v-t 图象是________________，其中图象的倾斜程度表示物体的__________，图象与坐标轴所围面积表示物体的______________。

【预习自测】1．某质点的位移随时间的变化关系式为x=4t+2t2，x与t的单位分别是米与秒，则质点的初速度与加速度分别是（）A．4m/s与2m/s2 B．0与4m/s2C．4m/s与4m/s2 D．4m/s与02、一火车以2 m/s的初速度，1 m/s2的加速度做匀加速直线运动，求：（1）火车在第3 s末的速度是多少？（2）火车在前3 s 的位移是多少？（3）火车前3 s的平均速度是多少？3.如图所示是某一质点运动的速度--时间图像，请从图像中找出以下物理量，质点的初速度是________,0-2s内的加速度_________，2-4s的加速度___________，4s-6s的加速度__________,质点离出发点最远的时刻是________，质点6s内的位移是__________。

【课堂探究】知识点一、匀速直线运动的位移阅读教材p37第一段并观察图2—3—1所示．求解下图中质点5秒内的位移是多少？并结合图像认识位移与图像面积的关系。

思考：对于匀变速直线运动，它的位移与它的v —t 图象，是不是也有类似的关系呢? [思考与讨论]学生阅读教材P37思考与讨论栏目。

第3节匀变速直线运动的位移与时间的关系1．匀速直线运动的位移 (1)位移公式：x ＝v t 。

(2)v ­t 图像：是一条与时间轴平行的直线。

(3)匀速直线运动的位移等于v ­t 图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积，如图2－3－1所示。

图2－3－12．匀变速直线运动的位移(1)在v ­t 图像中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v ­t 图像中的图线和 包围的面积。

如图2－3－2所示，在0～t 时间内的位移大小等于 的面积。

(2)位移公式x ＝v 0t ＋12at 2。

式中v 0表示 ，x 表示物体在时间t 内运动的 。

对于一个做匀加速直线运动的物体： (1)初速度越大，位移越大。

( ) (2)加速度越大，位移越大。

( ) (3)时间越长，位移越大。

( )[跟随名师·解疑难]1．对匀变速直线运动的位移与时间关系式x ＝v 0t ＋12at 2的理解(1)公式x ＝v 0t ＋12at 2为矢量式，其中的x 、v 0、a 都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度v 0的方向为正方向。

运动情况取值若物体做匀加速直线运动 a 与v 0同向，a 取正值(v 0方向为正方向) 若物体做匀减速直线运动 a 与v 0反向，a 取负值(v 0方向为正方向) 若位移的计算结果为正值 说明位移的方向与规定的正方向相同 若位移的计算结果为负值 说明位移的方向与规定的正方向相反(2)公式x ＝v 0t ＋12at 2是匀变速直线运动的位移公式而不是路程公式，利用该公式计算出的是与时间对应的位移而不是路程。

(3)对于初速度为零(v 0＝0)的匀变速直线运动，位移公式为x ＝12v t ＝12at 2，即位移x 与时间t 的二次方成正比。

(4)x ＝v 0t ＋12at 2和v ＝v 0＋at 是匀变速直线运动的基本公式，二者相结合，可以解决大多数匀变速直线运动的问题。