下载文档原格式
完全平方公式因式分解
完全平方公式即(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解等）。
完全平方公式：
两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的的积的2倍。
（a+b）²=a²﹢2ab+b²
两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的二倍。
﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²
扩展：
掌握用完全平方公式因式分解的特征.
(1)完全平方式：形如的多项式称为完全平方式.
(2)完全平方公式：公式中的a，b不仅可以表示数字、_____, 也可以是_____.
(3)公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的_____，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方.
【解析】
完全平方公式：.公式中的a,b，不仅可以表示数字、单项式，也可以是多项式.
(公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的乘积的倍，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方. 【答案】
(2)单项式，多项式.(3)乘积的倍.。
师航教育一对一个性化辅导讲义3因式分解---完全平方公式一、目标要求1．理解完全平方公式的意义。
2．能运用完全平方公式进行多项式的因式分解。
二、重点难点完全平方公式的意义及运用。
1．完全平方公式的意义：公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2意义：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
2．完全平方公式的应用：用完全平方公式分解因式时要先判断是否是完全平方公式，再运用公式分解因式。
知识点一：因式分解---完全平方公式用完全平方公式因式分解：即两个数（整式）的平方和加上（减去）这两个数（整或式）的积的，等于这两个数（整式）的和（差）的平方．如：，其中叫做完全平方式。
注：①与整式乘法中完全平方公式正好相反．②形式和结构特征：左边是一个三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一项是平方项幂的底数的2倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号3、用公式法进行因式分解的关键要在这个多项式中找出符合公式（平方差公式，完全平方公式）的条件．这就要求必须清楚每个公式的结构特点．不要忽视完全平方公式的中间项，而错误的认为：a2±b2＝(a±b)2。
4、理解公式中的字母a、b不仅可以表示数，而且还可以表示单项式，多项式等。
．【例1】把4a2－12ab＋9b2分解因式。
分析：多项式4a2－12ab＋9b2共有三项，第一项是(2a)2，第三项是(3b)2，4a2＋9b2是2a、3b的平方和，第二项正好是2a与3b的积的2倍，所以4a2－12ab＋9b2是一个完全平方式，可分解为(2a－3b)2。
解：原式＝(2a)2－2·2a·3b＋(3b)2＝(2a－3b)2。
【例2】把16－8xy＋x2y2分解因式。
分析：多项式16－8xy＋x2y2共有三项，第一项是42，第三项是(xy)2，而第二项正好是4与xy乘积的2倍，所以16－8xy＋x2y2是一个完全平方式，可分解为(4－xy)2。
因式分解完全平方公式
本文旨在介绍因式分解完全平方公式，帮助读者更好地理解和应用该公式。
请注意，本文不包含真实姓名和引用。
1. 什么是完全平方公式？
完全平方公式是一种用于因式分解二次方程的方法。
对于形如ax^2 + bx + c的二次多项式，如果其可以被写成(a1x + b1)^2的形式，那么我们称其为完全平方形式。
在求解二次方程或进行因式分解时，可以利用完全平方公式进行简化和化简。
2. 完全平方公式的表达式
完全平方公式可以表示为：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。
3. 如何应用完全平方公式进行因式分解？
为了利用完全平方公式进行因式分解，我们需要先将二次多项式化简为完全平方形式。
考虑二次多项式x^2 + 6x + 9。
我们可以看出该多项式的第一项是x的平方，第二项是2倍于x的系数的乘积，第三项是常数项的平方。
我们可以将其写成(x + 3)^2的形式，进而完成因式分解。
4. 完全平方公式的应用领域
完全平方公式在数学中有广泛的应用。
它可以用于求解二次方程、因式分解多项式、简化复杂的数学表达式等。
在代数学、高等数学、物理学和工程学等领域中，都会涉及到使用完全平方公式简化和解决问题。
本文介绍了因式分解完全平方公式的概念、表达式和应用领域。
通过理解和掌握完全平方公式，读者可以更好地处理与二次方程相关的问题，并在数学和相关学科中取得更好的成绩和进展。
希望本文能对您的学习和应用有所帮助。
因式分解最常用的公式因式分解是代数中常用的一种运算方法，它能够将多项式表达式分解为简化形式，从而更方便地进行计算和理解。
在因式分解中，有一些常用的公式被广泛应用，本文将介绍因式分解中最常用的公式及其应用。
一、一次因式分解公式一次因式分解是最简单的一种分解方式，其公式为\[ a x + b = 0 \]，其中a和b为常数。
通过这个公式，我们可以解出方程的根，即\[ x = -\frac{b}{a} \]。
这个公式在代数中应用广泛，是解一元一次方程的基础。
二、二次因式分解公式二次因式分解是因式分解中比较常见的一种形式，其公式为\[ a x^2 + b x + c = 0 \]，其中a、b、c为常数且\(a\neq0\)。
根据二次因式分解公式，我们可以利用求根公式\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]求出方程的根。
三、完全平方式分解公式完全平方式分解是指将二次三项式\( ax^2 + 2bx + c \)分解成两个因式的乘积形式，即\[ ax^2 + 2bx + c = (mx + n)(px + q) \]。
通过这个公式，我们可以快速地分解二次三项式，进而简化计算。
四、差几平方式分解公式差几平方式分解是将\( a^2 - b^2 \)形式的多项式分解成两个因式相乘的形式，即\[ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \]。
这个公式在代数中也经常被使用，用于分解差平方式，简化计算过程。
五、分组因式分解公式分组因式分解是一种将多项式按照一定规则进行分组，然后进行因式分解的方法。
通过这种方式，我们可以快速简化多项式的形式，方便计算。
分组因式分解在代数中也是一种常用的技巧。
六、特殊公式因式分解除了以上常用的公式外，还有一些特殊公式在因式分解中也有广泛的应用。
例如\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)、\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)等。
第四章因式分解
3．公式法（二）
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在七年级下册第一章中已经学习过完全平方公式，将其逆用就是本节课所涉及的主体知识．对于公式逆用，学生已经不是第一次接触了，在上一节课中学生已经经历过将平方差公式逆用的过程，应该说是比较熟悉的。
学生活动经验基础：通过上节课的学习，学生积累了一定的学习经验。
本节课的学习模式与前者基本相同：公式倒用，分析公式的结构特征，整体思想换元进行分解因式以及要求分解彻底。
这些活动方法是学生非常熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验．
二、教学任务分析
学生在学习了用平方差公式进行因式分解的基础上，本节课又安排了用完全平方公式进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。
本节课的具体教学目标为：
1．知识与技能：使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．2．过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。
3．情感与态度：培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：复习回顾——学习新知——落实基础——范例学习——随堂练习——联系拓广——自主小结．
第一环节 复习回顾
活动内容：
活动目的：回顾完全平方公式，直入主题将完全平方公式倒置得新的分解因式方法． 注意事项：在上一课时平方差公式倒置学习的基础上，学生比较容易理解和接受此课时的学习铺垫内容．
第二环节 学习新知
活动内容：
活动目的：总结归纳完全平方公式的基本特征，讲授新知形如222b ab a +±的多项式称为完全平方式．
注意事项：举例说明便于学生理解．同时归纳总结，由分解因式与整式乘法的互逆关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
第三环节 落实基础
1．判别下列各式是不是完全平方式．
2.请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．
结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；
完全平方式可以进行因式分解，
a 2–2a
b +b 2=（a –b ）2 a 2+2ab +b 2=（a+b ）2
活动目的：加深学生对完全平方式特征的理解，为后面的分解因式做能力铺垫．
注意事项：由于有了七年级的整式乘法的学习基础，同时对照口诀，大多数学生能顺利识别完全平方式，但少部分同学由于对完全平方公式的特征的理解模糊，不能很好地掌握完全平方公式，这需要老师更加耐心地引导和启发．
第四环节 范例学习
活动内容：
例1．把下列各式因式分解：
活动目的：(1)培养学生对平方差公式的应用能力；
（2）让学生理解在完全平方公式中的a 与b 不仅可以表示单项式，也可以表
示多项式．
注意事项：灵活掌握完全平方式的特征成为运用公式法进行分解因式的关键，在运用整体法时，注意去括号后的符号变化和系数变化。
2222222222(1)(2)2(3)2(4)2(5)2x y x xy y x xy y x xy y x xy y +++-++--+-；；；；．
()()()()()22222222421_____249______3_____414_____4
52_____x y a b x y a b x x y ++++-+++++；；；；．
229124)2(b ab a +-49
14)1(2++x x 9)(6))(3(2++-+n m n m 2
2)())(2(2)2)(4(n m n m m n n m +++---
例2．把下列各式因式分解：
活动目的：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，使学生清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式．
注意事项：在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解.
第五环节 随堂练习
活动内容：
1.判别下列各式是不是完全平方式，若是说出相应的a 、b 各表示什么？
2、把下列各式因式分解：
（1）m 2–12mn +36n 2 （2）16a 4+24a 2b 2+9b 4
(3）–2xy –x 2–y 2 （4）4–12（x –y ）+9（x –y )2
活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对完全平方公式的特征是否清楚，对完全平方公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．
注意事项：当完全平方公式中的a 与b 表示两个或两个以上字母时，学生运用起来有一定的困难，此时，教师应结合完全平方公式的特征给学生以有效的学法指导．
第六环节 联系拓广
活动内容：
xy
y x 44)2(22+--22363)1(ay axy ax ++22222
22(1)69(2)14(3)24(4)441(5)14(6)4129x x a x x x x m m y xy x -++-++-+--+；
；；；
；．
1. 用简便方法计算：222003200340102005+⨯-
2.将142+x 再加上一个整式，使它成为完全平方式，你有几种方法？
3.一天,小明在纸上写了一个算式为4x 2 +8x+11,并对小刚说:“无论x 取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?”
活动目的：题1考察学生灵活应用能力，需要学生有一定的数感将20034010⨯-拆成200320052⨯⨯-的形式，从而利用完全平方公式进行简便运算。
题2是一道开放题旨在考察学生的分类讨论思想。
题3难道较大，对学有余力的孩子可以适当引导学习。
注意事项：这3道习题的设置均有一定的难度，无需要求所有学生都能掌握，按学生自身能力分层学习即可。
第七环节 自主小结
活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？
结论：由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．
活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．
注意事项：学生认识到了以下事实：
课后作业：完成课后习题；
拓展作业：两个连续奇数的平方差能被8整除吗？为什么？
四、教学设计反思
本节课我们学习了运用公式法分解因式的第二种方法，即逆用完全平方公式分解因式的方法，使用该方法的关键就是观察完全平方式的结构特征：两数的平方和与这两个数的乘积的2倍，具体应用时要特别关注第二项的符号。
把一个多项式进行因式分解的一般方法是：先看有无公因式可提取，然后再尝试用公式法分解因式，直到最终结果再也不能分解因式为止。
运算类型的课往往比较枯燥，学生容易产生浮躁的心理，不利于知识的掌握与运算能力的提高。
本节课的设计尽量做了平实无华，将新知教学层层深入，适当的巩固练习，每一个环节让学生感觉不吃力。
同时设计过程中注意题型的变化，引导学生暴露学习中的问题，这样易于激发学生的兴趣，使学生的思维不断被拓展，从而达到强化所学知识和提高能力的目的。
