05第五章 非线性趋势外推预测法

对应的时间序列{t}也以相同的权数求加权平均值： 3n 7 11 4 t t3 n t1 2 6 3 3
第五章>>第一节
将这三个点代入二次模型中，可得：
11 11 2 Y1 a0 a1 a2 ( ) 3 3
3n 7 3n 7 2 Y2 a0 a1 ( ) a2 ( ) 6 6
11 2 2 3 3 4 4 5 5 11 t1 1 2 3 4 5 3 (d 2) 2(d 1) 3d 4(d 1) 5(d 2) 3n 7 t2 1 2 3 4 5 6 (n 4) 2(n 3) 3(n 2) 4(n 1) 5n 4 t3 n 1 2 3 4 5 3.
一、二次多项式曲线预测
1.估计二次曲线参数
最小二乘法
为使 ei2最小，可分别对 a、b、c求偏导数，并令其为零 。 a
4 t Yi ti 2 2 2 2 2 ˆ e ( Y Y ) ( Y a bt ct i i i i i i )
n t 4 ( t 2 ) 2
第五章>>第一节
• 多项式曲线模型的基本形态为：
Yt a0 a1t a pt p ut
(5.1)
其中，经济变量 Yt为模型的因变量，时间t为模 型的自变量， a i （i=0,1,…,p）为待估参数，p 表示多项式的次数，u t 为误差项。
• 参数的个数越多，多项式的次数越高，模型就 越复杂。
• 二次曲线外推法是研究时间序列观察值数据随时 间变动呈现一种由高到低再升高(或由低到高再降 低)的趋势变化的曲线外推预测方法。由于时间序 列观察值的散点图呈抛物线形状，故也被称之为 二次抛物线预测模型。
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一、二次多项式曲线预测
• 二次多项式曲线模型的形式为： Yt a0 a1t a2t 2 ut (5.2)
三点坐标分别为：
11 3n 7 3n 4 M 1 ( , R)，M 2 ( , S )，M 3 ( ,T ) 3 6 3
同理，三项加权平均时：
Y1 2Y2 3Y3 R 6 Yd 1 2Yd 3Yd 1 S 6 Yn 2 2Yn 1 3Yn T 6
1 2 2 3 3 7 t1 6 3 d 1 2d 3(d 1) 3n 5 t2 6 6 n 2 2(n 1) 3n 3n 2 t3 6 3
第五章>>第一节
– 另一种方法是数据分析法。 设时间序列 Yt 的图形为二次多项式曲线，记 Yt为 Yt 的一阶差分，即：
Yt Yt Yt 1 a1 a2 2a2t
可见，经过一阶差分后的序列仍受时间趋势t的影响， 有一个上升的趋势。 2 – 记 Yt 为 Yt 的二阶差分，则有：


Step2.求加权平均数
设由远及近的三点坐标分别为：
M1 (t1, R)，M 2 (t2 , S )，M 3 (t3 , T )
则五项加权平均时：
Y1 2Y2 3Y3 4Y4 5Y5 R 1 2 3 4 5 Yd 2 2Yd 1 3Yd 4Yd 1 5Yd 2 S 1 2 3 4 5 Yn 4 2Yn 3 3Yn 2 4Yn 1 5Yn T 1 2 3 4 5
表5.1 年次（ t ） 1 2 3
二次曲线的差分 一阶差分 — a1+3a2 a1+5a2 二阶差分 — 2a2 2a2
观察值（Yt） a0+a1+a2 a0+2a1+4a2 a0+3a1+9a2
4
5 ……
a0+4a1+16a2
a0+5a1+25a2 ……
a1+7a2
a1+9a2 ……
2a2
2a2 ……
五项加权平均
7 49 a R b c 3 9 T R 3n 5 b c n3 3 2( R T 2 S ) c 2 ( N 3)
三项加权平均
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• 2.二次多项式曲线趋势预测的适用条件
– 一种方法是简单的直观法，它是将预测对象的时间序 列数据绘制成散点图并对其进行观察，若呈现先升后 降或先降后升的发展趋势，即可采用二次多项式曲线 预测法。简单直观是该方法的优点，但是由于制图比 例、观察者的目测等因素影响，该方法又显得较为粗 糙和不精确。
第五章 非线性趋势外推预测法
L/O/G/O
• 讲授内容:
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 多项式曲线预测 对数曲线趋势预测 指数曲线和修正指数曲线趋势预测 S形曲线预测模型 非线性趋势预测案例
• 思考与练习
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第一节 多项式曲线预测
• 在很多情况下，市场的供求关系由于受众多因素 的影响，其变动趋势并非总是一条简单的直线方 程，往往会呈现不同形态的曲线变动趋势。 • 曲线趋势外推法是指根据时间序列数据资料的散 点图的走向趋势，选择恰当的曲线方程，利用适 当的方法确定曲线方程的待定参数，建立曲线预 测模型，并用它进行预测的方法。 • 常见的曲线趋势外推法有二次曲线法、三次曲线 法。
4 4 2 Y 3 a0 a1 (n ) a2 (n ) 3 3
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可解得参数估计值：
2(Y1 Y3 2Y2 ) ˆ2 a 2 (n 5)
Y3 Y1 3n 7 ˆ1 ˆ2 a a n5 3
11 121 ˆ0 Y1 a ˆ1 ˆ2 a a 3 9
2
ti Yi
2
c
n ti Yi ti
2
n ti4 ( t 2 ) 2
Y
tY b t
i i 2 i
i
三点法
在时间序列资料中选取三个代表点；根据 三个点的坐标值建立由三个二次曲线方程组成 的联立方程组；求解方程组得到三个参数值。
第五章>>第一节
– 三点法的基本思路是：从经济对象样本序列{ Yt }的首尾 两端和正中间分别取一定量的项，然后对这些项及其对 应的时间序列{t}进行算术平均或加权平均，得到三组算 术平均数值或加权平均数值 (t1 , Y1 ), (t2 , Y3 ), (t3 , Y3 ) 。 将求得的三组数据代入式（5.2），可得三个方程，联 a0 a 立方程求解，可得三个参数 ， 和 的估计值。 a 2 1
△yt 140 120 100 80 60 40 20 0 0 2 4 6 8 10 △yt -
△2yt 30
20 △2yt - 10
0 0 2 4 6 8 10
第五章>>第一节
二、三次多项式曲线预测
• 三次多项式曲线模型为： Yt a0 a1t a2t 2 a3t 3 ut (5.3)
Yt a b lnt ut
Yt e
a bt ut
• 对数趋势法用于时间序列数据按指数曲线规律增减变化 的场合。
第五章>>第二节
一、对数曲线模型
• 可见，时间序列Yt 与时间t呈现指数曲线形式的相 关关系，如图5-3所示：
图5-3对数曲线
ln Yt a bt
二、参数估计
• 其图像会出现两次方向转变，在两次的转折点上， 预测对象的发展方向会出现变化。如图5-2所示。
图5-2 三次多项式曲线
第五章>>第一节
二、三次多项式曲线预测
• 1.参数估计
– 由于该模型有四个未知参数 a0 , a1 , a2 , a3 ，用之前 的三点法所得的方程个数不足以求解所有未知参数， 所以这里需要确定四个典型点。 即采用四点法 对模型参数进 行估计
第五章>>第二节
第二节 对数曲线趋势预测
第五章>>第二节
一、对数曲线模型
• 一般情况下，经济数据的时间序列较多地呈现出对数变 化趋势，常见的对数曲线模型有三种： (5.4) ln Yt a bt ut (5.5) ln Yt a b ln t ut (5.6) • 其中，最常见的对数模型为模型（5.4），经过变换有：
• 其图像是二次抛物线，在某一时点出现趋势转折 点，曲线增长方向出现改变。例如，当 a2 >0 时，如图5-1所示：
图5-1 二次多项式曲线（a2＞0）
• 特点： （1）二次曲线方程的二阶差分是一个常数。 （2）二次曲线趋势外推预测法适用于时间序 列数据呈抛物线形状上升或下降，且曲线 仅有一个极点的情况下使用。
第五章>>第二 节
三点坐标分别为：
7 3n 5 3n 2 M 1 ( , R)，M 2 ( , S )，M 3 ( ,T ) 3 6 3
Step3.建立方程组,求解参数
将三点坐标值代入二次曲线预测模型，得：
11 121 a R b c 3 9 T R 3n 7 b c n5 3 2( R T 2 S ) c 2 ( N 5)
2Yt Yt Yt 1 2a2
经过二阶差分后的序列变为一常数，这就是二次多项 式曲线模型的一个特点。
产量yt 250 200 150 产量yt 100 50 0 1994
1996
1998
2000
2002
2004
2006
△yt 35 30 25 20 15 10 5 0 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 △yt -
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– 三点法的具体计算步骤如下： 设n为时间序列的总项数（n取奇数），分别在初期、中期、 末期取k项序列。一般k与n要相符，n越大各期所取的项 w 也越多。一般情况下，当n≥15，取k=5；当9≤n≤15 ，取 i k=3。下面的介绍以k=5为例，即作五项加权平均，权重 取 wi =i（i=1,2,…,5）。 n 1 Y , Y , Y d ， 1 2 3 为各期的加权平均值，d为正中项， 2 则有：