K1.10 初值、终值定理

文章标题：深度探析拉普拉斯变换初值定理和终值定理目录：1. 引言2. 拉普拉斯变换初值定理2.1 定义和原理解析2.2 详细推导与举例说明2.3 个人观点与理解3. 拉普拉斯变换终值定理3.1 概念解析3.2 推导及应用范围3.3 个人见解和扩展思考4. 总结与回顾1. 引言拉普拉斯变换初值定理和终值定理是微积分中的重要概念，它们在信号处理、控制理论、电路分析等领域有着广泛的应用。

通过深入探究这两个定理，不仅可以帮助我们加深对拉普拉斯变换的理解，还能为日后的应用打下坚实的基础。

2. 拉普拉斯变换初值定理2.1 定义和原理解析拉普拉斯变换初值定理是指如果函数f(t)在t=0处连续，并且t<0时f(t)=0，则拉普拉斯变换的初值f(0-)等于原函数的初始值f(0)。

2.2 详细推导与举例说明以实际函数为例，对拉普拉斯变换初值定理进行推导和举例说明，可以更加直观地理解这一概念的含义和应用。

2.3 个人观点与理解在我看来，拉普拉斯变换初值定理的重要性在于它可以帮助我们在进行变换计算时更加便捷准确地处理初始值的情况，同时也为我们提供了从初始值到变换结果的直观对应关系。

3. 拉普拉斯变换终值定理3.1 概念解析拉普拉斯变换终值定理是指如果函数f(t)在t=∞时有界，并且在t>0时f(t)有有限个第一类间断点，则拉普拉斯变换的终值lim(s→0)F(s)等于原函数f(t)的终值lim(t→∞)f(t)。

3.2 推导及应用范围通过数学推导和具体应用范例，可以更好地理解拉普拉斯变换终值定理在控制理论、信号处理等领域中的作用和价值。

3.3 个人见解和扩展思考我认为拉普拉斯变换终值定理不仅仅是一种数学工具，更是一种思维方式，它能够帮助我们从全局的角度去理解和分析问题，为我们解决实际问题提供了新的视角和思路。

4. 总结与回顾通过对拉普拉斯变换初值定理和终值定理的深度探讨，我们不仅对这两个定理有了更深入的理解，也为我们今后在工程技术和科学研究中的应用提供了更加丰富的思维方式。

常用傅里叶变换对双边拉普拉斯变换与Z变换性质基本函数的（双边）拉普拉斯变换和（双边）z变换拉普拉斯变换与z变换的收敛域、因果性、稳定性收敛域ROC：对于s来说，使得x(t)e−σt的傅里叶变换收敛；或者x(t)的拉普拉斯变换收敛！因果性：如果一个系统在任何时刻的输出只取决于现在的输入及过去的输入，该系统称因果系统。

单边拉普拉斯变换和z变换性质卷积的性质与卷积对：1、 微分性质：δ′(t )∗x (t )=x ′(t ) ，δ′(t )是微分器。

推广：δ(n )(t )∗x (t )=x (n )(t )。

∫x (t )δ(n )(t )dt =(−1)n x (n )(0)+∞−∞2、 积分特性： u (t )∗x (t )=∫x (τ)dτt−∞, u (t )是积分器。

3、 求和特性：u [n ]∗x [n ]=∑x [k ]n k=−∞4、卷积的时不变：x (t )∗δ(t −t 0)=x (t −t 0);x [n ]∗δ[n −n 0]=x [n −n 0] 区分δ(t )的筛选特性：x (t )δ(t −t 0)=x (t 0)δ(t −t 0)；x (t )δ(t )=x (0)δ(t )取样特性：∫x (t )δ(t −t 0)dt =x (t 0)+∞−∞；∫x (t )δ(t )dt =x (0)+∞−∞5、 常用卷积对：[e λ1tu (t )]∗[e λ2tu (t )]=1λ1−λ2[e λ1t −e λ2t ]u (t )[(λ1)n u [n ]]∗[(λ2)n u [n ]]=1λ1−λ2[(λ1)n+1−(λ2)n+1]u [n ] u [n ]∗u [n ]=(n +1)u [n ] u (t )∗u (t )=t u (t )常用公式及概念：1、欧拉公式： a)e jθ=cos θ−j sin θ;( b) cos θ=12(e jθ+e −jθ);( c) sin θ=12j (e jθ−e −jθ) 2其中：实部x =Re {z }=r cos θ；虚部 y =Im {z }=r sin θ③ 其中：z 的模r =|z |=√x 2+y 2；相角θ=∢z =tan −1yx 3、洛必达法则若函数f(x)和g(x)满足下列条件：（1） lim x→af(x)=lim x→ag (x )=0或者lim x→af(x)=lim x→ag (x )=∞；（2） 在点a 的某去心邻域内两者都可导，且g ′(x )≠0；（3） lim x→af ′(x)g (x )=A ，（ A 可为实数，也可为±∞），则有lim x→af (x )g (x )=lim x→af ′(x)g ′(x )=A4、等比数列求和等比数列通式：a n =a 1q n−1 等比数列求和公式：S n =a 1−a n q 1−q， q ≠1)5、有理函数与有理数有理函数：通过多项式的加减乘除得到的函数。

第一章 信号与系统信号的分类确定信号 周期信号 连续时间信号 能量信号 信号信号信号信号信号的时域运算（1）移位()为常数00,t t t f +00>t ，()0t t f +为()t f 波形在t 轴上左移0t ； 00<t ，()0t t f +为()t f 波形在t 轴上右移0t .（2）反转()t f -()t f -波形为()t f 波形以0=t 为轴反转。

（3）尺度变换()at f ，a 为常数1>a ，()at f 波形为()t f 的波形在时间轴上 为原来的a 1；10<<a ，()at f 波形为()t f 的波形在时间轴上 为原来的a1；（4）微分运算 )(t f dtd（5）积分运算 ττd f t⎰∞-)(（6）相加 )()()(21t f t f t f += （7）相乘)()()(21t f t f t f ∙=奇异信号（1）阶跃函数，=)(t ε ，，（2）冲激函数0,≠tDirac 定义（3）阶跃函数与冲激函数的关系=)(t δ =)(t ε（4）阶跃函数的积分)(t r斜坡函数===)()(t t t r ε,0,0><t t t（5）冲激函数的导数和积分)(t δ'称为='=⎰⎰∞∞-∞∞-dt t dt t )()(δδ（6）冲激函数的性质 1.相乘性质)()(0t t t f -δ=-=-')()(0t t t f δ2.抽样性质=-⎰∞∞-dt t t t f )()(0δ =-'⎰∞∞-dt t t t f )()(0δ3、尺度变换性=)(at δ=)()(at n δ4.偶对称性=)(t δ第二章 连续系统的时域分析2.1 L TI 连续系统的响应n 阶常系数线性微分方程的全解由齐次解和特解组成，即+=)(t y齐次解（二阶0=+'+''qy y p y ）1）21λλ≠时，+=y2）21λλ=时，=y3）i βαλ+=21、时，=y特解（二阶)(x f qy y p y =+'+''）（1）kx n e x P x f )()(=① ：若k 非特征值，令=0y 如x e b ax y )(0+=② ：若k 与一个特征值相同，令kx n n e x a x a x a a y )(22100+++=如x e b ax x y )(0+=③ ：若k 与两个特征值都相同，令kx n n e x a x a x a a y )(22100+++=如x e b ax x y )(20+=（2）]sin )(cos )([)(x x P x x P e x f s l x ββα+=令},max{s l n =① ：若βαi +不是特征值，令=)(0x y② ：若βαi +是特征值，令]sin )(cos )([)()2()1(0x x Q x x Q e x y n n x ββα+=如]sin )(cos )[()(0x d cx x b ax xe x y xββ+++=2.3 卷积积分一般而言，两个函数)()(21t f t f 和卷积=*=)()()(21t f t f t fLTI 系统的零状态响应)(t y zs 是激励)(t f 与冲激响应)(t h 的卷积积分。