K2.07-初值定理和终值定理

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机工社控制工程基础2023教学课件第2章03拉普拉斯变换的基本定理

拉普拉斯变换的基本定理
证明：根据拉氏变换的定义，有
L[ df (t)] df (t)estdt estdf (t)
dt
0 dt
0
est
f (t)
0
s
0
f (t)estdt
sF (s) f (0)
L[ d 2 f (t)] L[ f (t)] L{[ f (t)]} dt 2 sL[ f (t)] f (0) s[sF (s) f (0)] f (0) s2F (s) sf (0) f (0)
0
拉普拉斯变换的基本定理
7.终值定理如果函数 f (t) 的拉氏变换为 F(s) ，且以下极限值均存在，则有
lim f (t) lim sF(s)
t
s0
证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，可知下式成立
L[df (t)] df (t) estdt sF(s) f (0) dt 0 dt
解：三角波可表达为：
f (t) 5t 5(t 2) 101(t 2)
利用实数域的平移定理，对上式求拉氏变换，得：
F(s)
5 s2
5 s2
e2s
10 s
e2s
拉普拉斯变换的基本定理
3.复数域的平移定理
如果函数 f (t) 的拉氏变换为 F(s) ，则对任一常数 a ，有
L[eat f (t)] F (s a)
s2
s 1 ，求
2s 1
f
() 。
解：根据终值定理，可求得
解：
f () lim sF(s) lim
s 1
1
s0
s0 s2 2s 1
小结
1.微分定理 2.平移定理 3.初值定理 4.终值定理

拉普拉斯变换初值定理和终值定理

文章标题：深度探析拉普拉斯变换初值定理和终值定理目录：1. 引言2. 拉普拉斯变换初值定理2.1 定义和原理解析2.2 详细推导与举例说明2.3 个人观点与理解3. 拉普拉斯变换终值定理3.1 概念解析3.2 推导及应用范围3.3 个人见解和扩展思考4. 总结与回顾1. 引言拉普拉斯变换初值定理和终值定理是微积分中的重要概念，它们在信号处理、控制理论、电路分析等领域有着广泛的应用。

通过深入探究这两个定理，不仅可以帮助我们加深对拉普拉斯变换的理解，还能为日后的应用打下坚实的基础。

2. 拉普拉斯变换初值定理2.1 定义和原理解析拉普拉斯变换初值定理是指如果函数f(t)在t=0处连续，并且t<0时f(t)=0，则拉普拉斯变换的初值f(0-)等于原函数的初始值f(0)。

2.2 详细推导与举例说明以实际函数为例，对拉普拉斯变换初值定理进行推导和举例说明，可以更加直观地理解这一概念的含义和应用。

2.3 个人观点与理解在我看来，拉普拉斯变换初值定理的重要性在于它可以帮助我们在进行变换计算时更加便捷准确地处理初始值的情况，同时也为我们提供了从初始值到变换结果的直观对应关系。

3. 拉普拉斯变换终值定理3.1 概念解析拉普拉斯变换终值定理是指如果函数f(t)在t=∞时有界，并且在t>0时f(t)有有限个第一类间断点，则拉普拉斯变换的终值lim(s→0)F(s)等于原函数f(t)的终值lim(t→∞)f(t)。

3.2 推导及应用范围通过数学推导和具体应用范例，可以更好地理解拉普拉斯变换终值定理在控制理论、信号处理等领域中的作用和价值。

3.3 个人见解和扩展思考我认为拉普拉斯变换终值定理不仅仅是一种数学工具，更是一种思维方式，它能够帮助我们从全局的角度去理解和分析问题，为我们解决实际问题提供了新的视角和思路。

4. 总结与回顾通过对拉普拉斯变换初值定理和终值定理的深度探讨，我们不仅对这两个定理有了更深入的理解，也为我们今后在工程技术和科学研究中的应用提供了更加丰富的思维方式。

初值、终值定理

d2 dt 2
r(t)
s2 R(s) sr(0 ) r'(0 )
(s2 3s 2)R(s) (s 5) 2(s 2) s3
R(s) 5 3 1 s 1 s 2 s 3
r(t ) (5et 3e2t e3t ) (t )
例2：LTI因果系统 H (s)
f (t) F(s)
f (at) 1 F( s ),a 0 aa
单边
f (t) F(s)
f (t t0 ) es0t F(s)
es0t f (t) F(s s0 )
f (at) 1 F( s ),a 0 aa
t f ( )d 1 F (S ) G(0 )
Rzi (s)
s2 Rzi (s) sr(0 ) r'(0 )
(s2 3s 2)Rzi (s) s 5
Rzi (s)
(s2
s5 3s 2)
4 3 s1 s2
rzi (t ) (4et 3e2t ) (t )
例1：
已
知
一
线
性
系
统d 2 dt 2

H(
j)
j s

bm sm bm1sm1 b0 sn an1sn1 a0
h(t) H(s)
例1：已知一线性系统
d2 dt 2
r(t)

3
d dt
r(t)

2r (t )

d dt
e(t )

2e(t )
若r(0 ) 1; r '(0 ) 2;e(t ) 2e 3t (t ),

拉普拉斯变换的基本性质

所以
t 0
lim f (t ) f (0 ) lim sF ( s)
例：已知
求
f1 (t ) f2 (t )
的拉普拉斯变换
F( s)
解：F(s) F1 (s) F2 (s)
1 1 s 1 1 s 1 (s 1)(s 2) (s 1)(s 2) s 2
说明：前面求正余弦信号的拉普拉斯变换时已经用到了线性性。
二．延时（时域平移）
证明：
L f (t )e
α t
α t st f ( t )e e d t F (s α) 0

例：求 e α t cos ω0t 的拉氏变换
解：已知 : L cos(ω0t )u (t )
t
sα 所以 e cos(ω0t )u (t ) 2 ( s α ) 2 ω0 ω0 t 同理 : e sin(ω0t )u (t ) 2 ( s α ) 2 ω0
所以
1 1 F ( s) F1 ( s ) 2 (1 e2 s )2 s 2s
七．s 域微分定理
若
L f (t ) F (s ) d F ( s) L tf (t ) ds n d F ( s) n L (t ) f (t ) d sn
则
n 取正整数
(2)信号一定是右移 (3)表达式
所表示的信号不能用时移性质
二．延时（时域平移）
例：已知
1 f (t ) 0
0<t <t0
其余
求
F( s)
解：因为
所以
f (t ) u (t ) u (t t 0 )

K1.10 初值、终值定理

初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞), 而不必求出原函数f(t)。初值定理
设函数f(t)不含(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，
若F(s)为假分式化为真分式），
则 f (0) lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
终值定理
若f(t)当t →∞时存在，并且 f(t) ← → F(s) , Re[s]>0,
F(s)
1
s2
2s 2 2s
2
1
F1(s)
f
(0)
lim
s
sF1(s)
lim
s
2s2 2s s2 2s 2
2
f
()
lim
s0
sF
(s)
lim
s0
s2
s3 2s
2
0
0<0，则
f () lim sF(s) s0
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
例1
F(s)
s2
2s 2s
2
f (0) lim sF(s) lim 2s2 2
s
s s 2 2s 2
f () lim sF(s) lim 2s2 0
s0
s0 s 2 2s 2
例2

F(s)
s2
s2 2s 2
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
知识点K1.10
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
主要内容： 1.拉普拉斯变换的初值定理 2.拉普拉斯变换的终值定理基本要求： 1.掌握拉普拉斯变换的初值、终值定理 2.熟练计算初始值和终止值
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
K1.10 拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理

K2.07 初值定理和终值定理

z1 z
z 1
注意：收敛域要求含单位圆。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
1、初值定理：如果序列在k<M时，f(k)=0， f(k)←→F(z) ，<|z|<∞ 则序列的初值
f (M ) lim zmF (z) z
对因果序列f(k)， f (0) lim F (z) z
2
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
初值定理和终值定理
证明：

F (z) f (k)zk f (k)zk
k
kM
f (M )zM f (M 1)z(M 1) f (M 2)z(M 2) ...
两边乘zM，得
zM F z f (M ) f (M 1)z1 f (M 2)z2 ...
上式取z→∞，得
f (M ) lim zM F (z) z
3
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
初值定理和终值定理 2、终值定理：如果序列存在终值，即：
则序列的终值
f () lim f (k) k
f () lim z 1 F (z) lim(z 1)F (z)
知识点K2.07
初值定理和终值定理
初值定理和终值定理
主要内容：
初值定理和终值定理
基本要求：
熟练运用初值定理和终值定理
1
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved

华北理工大学机械控制工程基础第二章拉普拉斯变换

函数 u(t t0) 在间断点 t t0 上的导数。
(tt0)ddtu(tt0) 相反，如果对单位脉冲函数(t t0)积分，积分的结果就是单位阶跃函数u(t t0)
利用脉冲函数的tt0概(t念t，0)d我t们u(t可t以0)对包含不连续
点的函数进行微分，从而得到一些脉冲，这些
脉冲的量值等于每一个相应的不连续点上的量
1 s3
发生在t＝t0时的单位加速度函数通常写成 a(t t0)
a(t)
a(t t0)
8 6 4 2
12 34
0
(a)
t
0
t 0 (b)
t
2. 关于拉氏积分下限的说明在某些情况下，如果时间函数f (t)在t＝0处有
脉冲函数 (t) ，必须明确地指出拉氏积分的下限是0－还是0＋。
L[f(t)]0 f(t)esd t t L[f(t)]0 f(t)esd t t00f(t)esd t tL[f(t)]
d2 Ldt2
f(t)s2F(s)s(f0)f(0)
f (0)是df (t)/dt在t＝0时的值
证明：Ld2dft2(t)
est
df (t) dt
0
s
0
df (t) dt
estdt
f (0)s[sF(s) f (0)]
s2F(s)sf(0) f (0)
导出时间函数 f (t)的n阶导数微分性质
(2) 当求解控制系统输入输出微分方程时，求解的过程得到简化，可以同时获得控制系统的瞬态分量和稳态分量。
(3) 拉氏变换可把时域中的两个函数的卷积运算转换为复频域中两函数的乘法运算。
2.1 拉氏变换的概念
2.1.1问题的提出
单位阶跃函数

拉普拉斯变换的初值定理和终值定理的作用

拉普拉斯变换的初值定理和终值定理的作用下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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K1.10-拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理

拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
知识点K1.10
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
主要内容： 1.拉普拉斯变换的初值定理 2.拉普拉斯变换的终值定理基本要求： 1.掌握拉普拉斯变换的初值、终值定理 2.熟练计算初始值和终止值
1
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
K1.10 拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞), 而不必求出原函数f(t)。初值定理
设函数f(t)不含(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，
若F(s)为假分式化为真分式），
则 f (0) lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
终值定理
若f(t)当t →∞时存在，并且 f(t) ← → F(s) , Re[s]>0,
0<0，则
f () lim sF(s) s0
2
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
例1
F(s)
s2
2s 2s
2
f (0) lim sF(s) lim 2s2 2
s
s s 2 2s 2
f () lim sF(s) lim 2s2 0
s0
s0 s 2 2s 2
例2
s2 F(s)
s2 2s 2
F(s)
1
2s 2 s2 2s
2
1
F1(s)
f
(0)
lim
s
sF1(s)
lim
s
2s2 2s s2 2s 2
2
f () lim sF(s) lim s3 0
s0
s0 s2 2s 2
3

拉普拉斯变换及反变换

F(s) 称为象函数（transform function），属复频域（complex frequency domain）。象函数F(s) 用大写字母表示，如 I(s)，U(s)。
记号 ℒ [f(t)]表示取拉氏变换。
ℒ -1 [F(s)]表示取拉氏反变换。
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
lim f (t)存在时，则
t
f () lim f (t) lim sF(s)
t
s0
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
例1
1
u(t)
t 0
lim s
s
s
1
例2 I(s) 5 2 s1 s2
i(0 ) lim s( 5 2 ) lim( 5 2 ) 3 s s 1 s 2 s 1 1/ s 1 2 / s
机械工程控制基础二、拉氏变换的优点
应用拉氏变换：
拉普拉斯变换及反变换
• （1）求解方程得到简化。拉氏变换将“微分”变换成“乘法”，“积分”
变换成“除法”。即将微分方程变成代数方程。
• （2）初始条件自动包含在变换式里。
机械工程控制基础拉氏变换已考虑了初始条件
拉普拉斯变换及反变换
LT f (t) F(s)
t
f ( ) d
0
s L
t
0
f
( ) d
t 0
f
( )d积分上限也应为0-
t 0
S L
t 0
f
(
)
d
∴
L
t
f
0
( ) d
1 s
L
f
(t )
例
机械工程控制基础

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两边乘zM，得
zM F z f (M ) f (M 1)z1 f (M 2)z2 ห้องสมุดไป่ตู้..
上式取z→∞，得
f (M ) lim zM F (z) z 3
初值定理和终值定理 2、终值定理：如果序列存在终值，即：
则序列的终值
f () lim f (k) k
f () lim z 1 F (z) lim(z 1)F (z)
z1 z
z 1
注意：收敛域要求含单位圆。
4
知识点K2.07
初值定理和终值定理
初值定理和终值定理
主要内容：
初值定理和终值定理
基本要求：
熟练运用初值定理和终值定理
1
初值定理和终值定理
K2.07 初值定理和终值定理初值定理适用于右边序列，即适用于k<M(M为整数)
时 f(k)=0 的序列。由象函数直接求序列的初值 f(M), f(M+1), … 而不必求得原序列。
1、初值定理：如果序列在k<M时，f(k)=0， f(k)←→F(z) ，<|z|<∞ 则序列的初值
f (M ) lim zmF (z) z
对因果序列f(k)， f (0) lim F (z) z
初值定理和终值定理
证明：
F (z) f (k)zk f (k)zk
k
kM
f (M )zM f (M 1)z(M 1) f (M 2)z(M 2) ...