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5 z变换理论

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_2第二章z变换

_2第二章z变换
| x(n) bnu(n 1 ) z || b |
Im[z] Rx+ 0 Re[z]
0 |z| ,
n1 0
n1 0, Rx | z |
0 |z| 序列实例： x(n)=RＮ(n) Im[z]
ROC
z || a | x(n) anu(n| )
Im[z]
Rx0 0 Re[z]
收敛域图示：
有限长序列的收敛域
右边序列
左边序列
2.5.4
Z 变换的性质和定理
(1) 线性
Z 若x(n) X ( z ) (R x1 < z <R x2 )
y(n) Y ( z)
Z
(R y1 < z <R y2 )
交集
Z 则ax(n) by (n) aX ( z ) bY ( z )
z
|Z|>1
（4）尺度变换性
x(n) ¾¾ ® X ( z)
Z
n Z
Rx < z < Rx
1
2
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
x(n)乘以指数序列等效于z平面尺度伸缩。
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
n2>0
0 z Rx 2
Rx 2
(2)n1=-∞ n2<0
z Rx 2
Rx 2
左边序列
【例】 求x(n)=－anu(－n－1)的Z变换及其收敛域。
解 这里x(n)是一个左序列，当n≥0时，x(n)=0，
X ( z)
n
a u(n 1) z
n

第五章-Z 变换

第五章-Z 变换

已知 解：
f (n) (n) ，求序列的z变换。
F ( z ) Z [ (n)]
n
( n) z n 1

单位抽样序列的z变换是个常数，显然无论z取何值， z变换都收敛，因此它收敛域为整个z平面。
n 已知 f (n) a u(n) ，它的z变换为：
F ( z ) a n z n
n 0 它是一个常数，所以无论z取何值均收敛，即这时 序列的z变换收敛于整个z平面。
F ( z ) A (n) z n A
0
2.右边序列（right-sided frequence） 若序列的非零值点仅分布在某一点的右边，即有 f(n)=0

n<n1
则此序列称为右边序列，其z变换为
F ( z)
n

n2
f ( n) z n
用类似于右边序列的讨论，假定F(z)在z=z2处收敛，即有
| f (n) z 2 n |
n n1
第一种情况，n2≤0,即对所有∣z∣≤∣z2∣ 有
F ( z)
n
f (n) z
n2
n2
n

n
| f (n) z n |
但当线性组合中出现零极点相消时，z变换的收敛域可能扩大。
例如
X ( z) 1 1 z
1
| z | 1
Y ( z)
z 1 1 z
1
| z | 1
而
X ( z) Y ( z) 1 1 z
1

z 1 1 z
1
1
这时收敛域为整个z平面，显然收敛域扩大到了整个z平面。
Ry1 | z | Ry 2

Z变换理论

Z变换理论
i 1
i 1 n
函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。
2、滞后定理
设在t<0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）则
Z[ f (t kT )] z k F ( z)
原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上 乘以z-k,算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延 迟k个周期。
10 z 10 z F ( z) z 2 z 1
②
③
f * (t ) 10 2n 10 10(2n 1)
第七章线性离散系统的分析与校正
能源与动力学院
Z 变换
3.留数法 （反演积分法） 1 f (nT ) F ( Z ) Z n1dz Re s[ F ( Z ) Z n 1 ]z zi 2j c 函数F(z)zn-1在极点Zi处的留数
n *
当F(S)具有一阶极点S=P1时,其留数为
z R1 lim ( s p1 ) F ( s) s p1 z e piT
当F(S)具有q阶重复极点时,其留数为
1 d q 1 z q R lim (s p1 ) F (s) s p1 dsq 1 (q 1)! z e piT
能源与动力学院
第七章线性离散系统的分析与校正
Z 变换
例 求 解:
cos t 的Z变换
s s F ( s) 2 2 s ( s j )(s j )
s z 1 z R1 lim ( s j ) sT s j ( s j )(s j ) z e 2 z e jT s z 1 z R2 lim ( s j ) sT jT s j ( s j )(s j ) z e 2 z e

第五章Z变换

第五章Z变换
X ( z ) z e j
n
x ( n) z

n z e j

n
x ( n )e

jn
X (e j )
可知，序列在单位圆上的Z变换就是该序列的离散时间傅 里叶变换。
第五章Z变换
不同形式序列的Z变换收敛域的特点
• ⑴．有限长序列 有限长序列是指序列只在有限区间内具有非零的有限值，即：
第五章Z变换
第5章
Z变换
第五章Z变换
• 离散时间傅里叶变换也有其缺点： • 1）许多有用信号的离散时间傅里叶变换是 不存在的，比如单位阶跃序列 等； • 2）离散时间傅里叶变换法不能计算由初始 条件或时变输入所引起的暂态响应。
第五章Z变换
§5.1 z变换的定义与收敛域
• 序列x(n)的双边Z变换的定义为：
1 * 1 1 x ( n ) h ( n ) X ( v ) H ( ) v dv * c 2j v n
*
• 则 • 其中积分闭合围线c所在的收敛域应为X(v) 和H*(1/V*)的公共收敛域： max[Rx- ,1/Rh ] | v | min[Rx ,1/Rh ]
X ( z)
n
x ( n) z

n
其中，z为复变量，称为复频率，可表示为，所构成的复平 面为z平面。 • 单边z变换定义为：
X ( z ) x(n) z
n 0
n
第五章Z变换
§5.1 z变换的定义与收敛域
• Z变换的收敛域一般用环状域表示，即：
Rx z Rx
1

因此双边序列z变换的收敛域是左、右这两个序列z变换收 敛域的公共部分。第一项为左序列，收敛域为|z|<Rx+。 第二项为右序列，收敛域为Rx-<|z|。若Rx+>Rx-，其收敛 域为Rx- <|z|< Rx+；如果Rx+<Rx-，则X(z)没有收敛域。 也就是说，对于双边序列，若其收敛域存在，则一定是位 于Rx- <|z|< Rx+的圆环区域。

04第四讲 Z 变 换

04第四讲 Z 变 换

这是一个环状区域.如果Rx->Rx+ ,则无公共收敛区域,X(z)无 收敛域,也即在Z平面的任何地方都没有有界的X(z)值,因此就不 存在Z变换的解析式, 这种Z变换就没有什么意义.
第2章 Z变换 例1-9 x(n)=a|n|, a为实数,求其Z变换及收敛域. 解 这是一个双边序列,其Z变换为
X ( z) =
n
(1-54)
式中,z是一个复变量,它所在的复平面称为Z平面.我们常用Z [x(n)]表示对序列x(n)进行Z变换,也即
Z [ x(n)] = X ( z )
(1-55)
第2章 Z变换 这种变换也称为双边Z变换,与此相应的单边Z变换的定义如下:
X ( z ) = ∑ x ( n) z n
n =0
n
= ∑a z
n =0
∞
n n
1 = ∑ (az ) = 1 az 1 n =0
1 n
∞
|z|>|a| 这是一个无穷项的等比级数求和,只有在|az-1|<1即|z|>|a|处收敛 如图1-24所示.故得到以上闭合形式的表达式,由于 ,
故在z=a处有一极点(用"×"表示),在z=0处有一个零点(用"○" 表示),收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部.
∞
(1-56)
这种单边Z变换的求和限是从零到无穷,因此对于因果序列, 用两种Z变换定义计算出的结果是一样的.单边Z变换只有在少 数几种情况下与双边Z变换有所区别.比如,需要考虑序列的起 始条件,其他特性则都和双边Z变换相同.本书中如不另外说明, 均用双边Z变换对信号进行分析和变换.
第2章 Z变换 2. Z变换的收敛域 变换的收敛域 显然,只有当式(1-54)的幂级数收敛时,Z变换才有意义. 对任意给定序列x(n),使其Z变换收敛的所有z值的集合称为 X(z)的收敛域. 按照级数理论,式(1-54)的级数收敛的充分必要条件是满 足绝对可和的条件,即要求

第五章 拉普拉斯变换和Z变换_第一讲

第五章 拉普拉斯变换和Z变换_第一讲

Ai X ( s) = ∑ i =1 s + ai
m
Signals and Systems
All Rights Reserved by Stone, 2008
信号系统与信号处理
HangZhou Dianzi University, Lab of PRIS
杭州电子科技大学
5.11 拉普拉斯变换（双边拉氏变换）
−∞
+∞
−σ t
]e
− jωt
dt
所以可以看成是 x(t )e −σ t 的傅里叶变换，即使 x(t )不满 足傅里叶变换的条件，也可以调整 σ 的取值，使得 x(t )e −σ t 满足。 因此拉氏变换具有更加广泛的分析对象。
Signals and Systems
All Rights Reserved by Stone, 2008
那么其拉氏变换：
1 X ( s ) = ∫ e u (t )e dt = ∫ e e dt = −∞ 0 a + σ + jω 1 1 L − at = → ；a + σ > 0；记为：e u (t ) ←⎯ ； {s} > − a Re s+a s+a
− at − (σ + jω ) t − ( a +σ ) t − jωt +∞ +∞
Signals and Systems
All Rights Reserved by Stone, 2008
信号系统与信号处理
HangZhou Dianzi University, Lab of PRIS
杭州电子科技大学
5.11 拉普拉斯变换（双边拉氏变换）
概念：收敛域（ROC）

第5章 Z变换


逆Z变换(3)
X z
n


x n z n x[0] x[1]z 1 x[2]z 2 x[n]z n

c
X z dz 0 2 j x 1 0 0
在正Z变换的等式两边同乘以 z 、 z 、 z z
n
j Im[z ] j Im[z ] j Im[z ]

Re[z ]

Re[z ] Re[z ]
Z变换的性质(3) 时移
x[n d ] z
d
X ( z)
特例：d=1 延时器
z-1
Z变换的性质(4) 指数相乘
z 0 x[ n ] X ( z / z0 )
ROC z0 ROC x
n
Z变换的收敛域(5)
右边序列
x(n), n n1 x ( n) n n1 0,
X
.. x(n)
...
n1 0 1
j Im[z ]
n
z
x nz n n n1
收敛域为 z R x
Re[z ]
n1≥0 →因果序列
Rx
Z变换的收敛域(6)
左边序列
0 n
n
x[n]z
在0 z z 收敛
左边序列：圆周上收敛→ 圆内收敛
Z变换的收敛域(3)
阿尔贝定理(2)：

x[n]z
n 0
n
在z z ( 0)收敛
j Im[z ]
x[n]z 在 z < z 收敛
n n 0
z

Re[z ]
右边序列：圆周上收敛→ 圆外收敛

z变换有关证明


H (e jω )
。
。 0
π
2
π
3π 2
2π ω
零点在单位圆上0, π处；极点在
π
2
, 3π 处 。
2
设一阶因果系统的差分方程为: [例2-14] 设一阶因果系统的差分方程为: 为实数,求系统的频率响应 y(n) = x(n) + ay(n −1), a <1 a为实数 求系统的频率响应。 ， 为实数 求系统的频率响应。 [解]: 对差分方程两边取Z变换:
k =1
r r e − cm = ρm = ρme jθm r r jω e − dk = ιk =ιk e jΦk
jω
r r cm零点向量，ρm零点指向向量； r r dk极点向量，ιk极点指向向量。
因此，H(e jω ) = K
∏ρ
m=1 N
M
m
arg[ H(e jω )] = arg[ K] +
三．傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系
1. 三种变换的比较 2.频率的比较 2.频率的比较 3.s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换 3. 平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换 4.z平面单位圆上的 变换即为序列的傅氏变换 平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换 平面单位圆上的 （DTFT） ）
1．三种变换的比较
因果性： 因果性：输出不超前于输入 系统因果性的判断方法： 系统因果性的判断方法：
时域： h(n) = h(n)u(n)
z域： 域 收敛域在圆外
三.系统函数和差分方程的关系
线性移不变系统常用差分方程表示：
∑a
k =0 M
M
k
y(n − k) = ∑bm x(n − m)
m=0 M

第五章 Z域分析

m

m 1
x(k ) z
max( R 11 , R 21 ) z
2. 位移性
a. 双边Z变换
则
x(n) X ( z )
m
x(n m ) z
X ( z ), m 为整数
收敛域：1）不包括
0，
处，收敛域不变 处，需重新判断
2） 包括 0，
证明: z [ x ( n m )] 令k=n+m
z [ x ( n m )] z
x ( n )u ( n ) x ( z )
m
则
x ( n m )u ( n ) z [ X ( z )

m 1
x(k ) z
k
]
k 0
证明：
z [ x ( n m ) u ( n )]


x(n m ) z
n
n0
令k=n+m 则：
z [ x ( n m ) u ( n )] z [ X ( z )

a. X(z)/z 有N个单极点
则：
Z1 Z N
X z

N
Ai z z zi
i0
Ai
X (z) z
( z zi )
z zi
b X(z)有一个r阶重极点
X z A0
Z1
j

d
r
Ajz ( z z1 )
(r j) (r j)

j 1
z
1<|z|<2
k2
k 1
( k 1)
z ( z 2)
2
|z|<2
2 ( k 1)

第10章Z变换


x(n)(1)nu(n)2(1)nu(n1)
4
3
例题
例 计算 Fz z2 z1
z2 3z2
的z反变换。
F z 1 z1F1 z
2 1 2 21
F1 z
2 z1 1 z1 1 2z1
1 2 1 z1
1 21 1 2z1
3
2n
1n
u
n
f
n
n
3 2n1
1
n
1
z a 时收敛
当 a 1 时，
x ( n ) 的DTFT存在
Z平面 I m 单位圆
此时，ROC包括了单位圆。
X(ej)1a1ej z a
Re
a1
例2. x(n)u(n)
X(z)
n0
zn
11z1
z 1
此时，ROC不包括单位圆，所以不能从 X ( z )
简单通过将 z e得j到 。X ( e j )
பைடு நூலகம்
a ( N 1) R e z
0
(N 8)
在 z 处a，零极点抵消，使有限 z平面内无极
点。 ROC: z 0
例2. x(n)bn, b0
I m Z平面
x(n ) b n u (n ) b n u ( n 1 )
Re
bnu(n)11bz1, zb
b 1/b
b nu ( n 1 ) 1b 1 1z 1, zb 1
由 x ( n，) N1 有n X(z) x(n)zn
nN1
若 z r0则RO，C
x(n)r0n
nN1
如果r1 ，r0 则
nN1
x(n)r1n
nN1
x(n)r0n
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注意：对于t 0时，f t 0，则
Z f (t nT ) z n F ( z )
18
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
4. 位移定理2
n 1 m 若 Z f (t ) F ( z )， 则 Z f (t nT ) z F ( z ) f (m T) z m 0 若 f (0) f (n 1)T 0， 则 Z f (t nT ) z n F ( z ) n
7. 终值定理
若： Z f (kT ) F ( z )， f (kT )存在终值 证：考虑两个极限序列 lim f (kT ) lim(1 z 1 ) F ( z )
k z 1
f (kT ) z
k 0 n k 0
n
k
f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2 f (nT ) z n
第三节采样过程的数学描述及特性分析
1 级数求和法
几类典型函数的Z变换
１．单位脉冲函数
1 f (kT ) (kT ) 0

k 0 k 0
F ( z ) (kT ) z k (0) 1
k 0
8
School of Automation Engineering
14
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
三 Z变换的性质和定理 1. 线性性质
对任何常数和 , 若Z f1 (t ) F1 ( z ), Z f 2 (t ) F2 ( z ),则有 : Z f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( z ) F2 ( z )
第三节采样过程的数学描述及特性分析
1 例4.5 求 F ( s) 2 s ( s 1)
的 Z 变换
1 1 1 1 F (s) 2 2 s ( s 1) s s s 1 F ( z)
1 z
Tz 1
1 2
1 1 1 1 z 1 e T z 1
z F

如
z F 2 z2
k
16
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
3. 位移定理1
1 n k Z f (t nT ) z F ( z ) f (kT ) z k n
k ( z 1 ) k 1
k 0

1 (1 z 1 ) 2
两边同时乘以z-1

，可得
k
1 z 1 k k ( z ) (1 z 1 ) 2 k 0
F ( z) T kz
k 0
Tz 1 Tz 1 2 (1 z ) ( z 1) 2

证:
Z f1 (t ) f 2 (t ) f1 (kT ) f 2 (kT )z k
k 0
f1 (kT )z
k 0

k
f 2 (kT ) z k
k 0
F1 ( z ) F2 ( z )
15
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
2. 乘以 k 后的 Z变换
若： Z f (kT ) F ( z ),

z k 则 Z f (kT ) F
k
z k k k 证： Z f ( t ) f ( kT ) z f ( kT ) k 0 k 0 z z z k 例 F 1(kT ) ， F z z 1 1 z-



1 z z z e jwT e jwT 1 F ( z) jwT jwT jwT 2 j z e ze z e jwT 2j ze 1 z j 2 sin T z sin wT 2 2 2 2 j z cos wT sin wT z 2 z cos wT 1
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
第五节
f (t )

k 0
Z变换理论
f * (t ) f (kT ) (t kT )
F * ( s) f (kT )e kTs
k 0
定义： 有：
ze
Ts

F ( z ) f (kT ) z k
证 ：Z (t nT ) f (k n)T z k z n f (k n)T z ( k n )
k 0 k 0


令
m k n，则
n
Z f (t nT ) z n f m Tz m
mn

n 1 n 1 m m n m z f m Tz f (m T) z z F ( z ) f (m T) z m 0 m 0 m 0
lim f (kT ) lim F ( z )
k 0 z
证： lim F ( z ) lim f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2 f (0)
z z


பைடு நூலகம்21
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
19
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
5. 复位移定理
若Z f (t ) F ( z )， 则
Z e
t
f (t ) F (e
T
z)
证：Z e t f (t ) e kT f (kT ) z k
17
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
特别地:
1 Z f n 1 z F z f 1 Z f n 2 z 2 F z z 1 f 1 f 2

11
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
2 部分分式法
Ai F ( s) i 1 s s i
n
f (t ) Ai e
i 1 n
n
si t
Ai z F ( z) si T i 1 z e
12
School of Automation Engineering
定义： F ( z) Z f (kT ) f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2
f (kT ) z
k 0

k
（1 ）
3
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
在 Z 变换的定义式中，若取T = 1，则有：
k 1 2 n 1 k f ( kT ) z k 0 n 1
F ( z ) Z f * (t ) f (k ) z k
k 0



(2)
【注】：F ( z ) 是对 f * (t ) 而非 f (t ) 的 Z变换。
为什么？
4
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
F ( z) Z f (kT ) f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2
第三节采样过程的数学描述及特性分析
a 例1 已知 F ( s) s( s a) 换式 F ( z )
，求它对应的 Z 变
a 1 1 F ( s) s( s a) s s a z z F ( z) aT z 1 z e
13
School of Automation Engineering
F1 ( z) F2 ( z) f1 (t ) f 2 (t )
6
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
二
Z 变换的方法
1 级数求和法（按照 Z 变换定义求） 2 部分分式法（经常使用）
7
School of Automation Engineering
k 0



f (kT ) e
k 0


kT
z

k
F (e T z )
20
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
6.初值定理
若：Z f (kT ) F ( z ) 且极限 lim F ( z )存在，则
z
10
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
4． f (t ) e t
F ( z) e
k 0 kT
z
k
1 e
T
z e
1
2T
z
2
z z e T
1 jwt e e jwt 5． f (t ) sin wt 2j
f (kT ) z k
k 0
* * f ( t ) f 可以看出： 若 1 2 (t ) ，则有