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5 z变换理论

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_2第二章z变换

_2第二章z变换

| x(n) bnu(n 1 ) z || b |
Im[z] Rx+ 0 Re[z]
0 |z| ,
n1 0
n1 0, Rx | z |
0 |z| 序列实例： x(n)=RＮ(n) Im[z]
ROC
z || a | x(n) anu(n| )
Im[z]
Rx0 0 Re[z]
收敛域图示：
有限长序列的收敛域
右边序列
左边序列
2.5.4
Z 变换的性质和定理
(1) 线性
Z 若x(n) X ( z ) (R x1 < z <R x2 )
y(n) Y ( z)
Z
(R y1 < z <R y2 )
交集
Z 则ax(n) by (n) aX ( z ) bY ( z )
z
|Z|>1
（4）尺度变换性
x(n) ¾¾ ® X ( z)
Z
n Z
Rx < z < Rx
1
2
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
x(n)乘以指数序列等效于z平面尺度伸缩。
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
n2>0
0 z Rx 2
Rx 2
(2)n1=-∞ n2<0
z Rx 2
Rx 2
左边序列
【例】 求x(n)=－anu(－n－1)的Z变换及其收敛域。
解 这里x(n)是一个左序列，当n≥0时，x(n)=0，
X ( z)
n
a u(n 1) z
n
第五章-Z 变换

第五章-Z 变换


已知 解：
f (n) (n) ，求序列的z变换。
F ( z ) Z [ (n)]
n
( n) z n 1

单位抽样序列的z变换是个常数，显然无论z取何值， z变换都收敛，因此它收敛域为整个z平面。
n 已知 f (n) a u(n) ，它的z变换为：
F ( z ) a n z n
n 0 它是一个常数，所以无论z取何值均收敛，即这时 序列的z变换收敛于整个z平面。
F ( z ) A (n) z n A
0
2.右边序列（right-sided frequence） 若序列的非零值点仅分布在某一点的右边，即有 f(n)=0

n<n1
则此序列称为右边序列，其z变换为
F ( z)
n

n2
f ( n) z n
用类似于右边序列的讨论，假定F(z)在z=z2处收敛，即有
| f (n) z 2 n |
n n1
第一种情况，n2≤0,即对所有∣z∣≤∣z2∣ 有
F ( z)
n
f (n) z
n2
n2
n

n
| f (n) z n |
但当线性组合中出现零极点相消时，z变换的收敛域可能扩大。
例如
X ( z) 1 1 z
1
| z | 1
Y ( z)
z 1 1 z
1
| z | 1
而
X ( z) Y ( z) 1 1 z
1

z 1 1 z
1
1
这时收敛域为整个z平面，显然收敛域扩大到了整个z平面。
Ry1 | z | Ry 2
Z变换理论

Z变换理论

i 1
i 1 n
函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。
2、滞后定理
设在t<0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）则
Z[ f (t kT )] z k F ( z)
原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上 乘以z-k,算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延 迟k个周期。
10 z 10 z F ( z) z 2 z 1
②
③
f * (t ) 10 2n 10 10(2n 1)
第七章线性离散系统的分析与校正
能源与动力学院
Z 变换
3.留数法 （反演积分法） 1 f (nT ) F ( Z ) Z n1dz Re s[ F ( Z ) Z n 1 ]z zi 2j c 函数F(z)zn-1在极点Zi处的留数
n *
当F(S)具有一阶极点S=P1时,其留数为
z R1 lim ( s p1 ) F ( s) s p1 z e piT
当F(S)具有q阶重复极点时,其留数为
1 d q 1 z q R lim (s p1 ) F (s) s p1 dsq 1 (q 1)! z e piT
能源与动力学院
第七章线性离散系统的分析与校正
Z 变换
例 求 解:
cos t 的Z变换
s s F ( s) 2 2 s ( s j )(s j )
s z 1 z R1 lim ( s j ) sT s j ( s j )(s j ) z e 2 z e jT s z 1 z R2 lim ( s j ) sT jT s j ( s j )(s j ) z e 2 z e
第五章Z变换

第五章Z变换

X ( z ) z e j
n
x ( n) z

n z e j

n
x ( n )e

jn
X (e j )
可知，序列在单位圆上的Z变换就是该序列的离散时间傅 里叶变换。
第五章Z变换
不同形式序列的Z变换收敛域的特点
• ⑴．有限长序列 有限长序列是指序列只在有限区间内具有非零的有限值，即：
第五章Z变换
第5章
Z变换
第五章Z变换
• 离散时间傅里叶变换也有其缺点： • 1）许多有用信号的离散时间傅里叶变换是 不存在的，比如单位阶跃序列 等； • 2）离散时间傅里叶变换法不能计算由初始 条件或时变输入所引起的暂态响应。
第五章Z变换
§5.1 z变换的定义与收敛域
• 序列x(n)的双边Z变换的定义为：
1 * 1 1 x ( n ) h ( n ) X ( v ) H ( ) v dv * c 2j v n
*
• 则 • 其中积分闭合围线c所在的收敛域应为X(v) 和H*(1/V*)的公共收敛域： max[Rx- ,1/Rh ] | v | min[Rx ,1/Rh ]
X ( z)
n
x ( n) z

n
其中，z为复变量，称为复频率，可表示为，所构成的复平 面为z平面。 • 单边z变换定义为：
X ( z ) x(n) z
n 0
n
第五章Z变换
§5.1 z变换的定义与收敛域
• Z变换的收敛域一般用环状域表示，即：
Rx z Rx
1

因此双边序列z变换的收敛域是左、右这两个序列z变换收 敛域的公共部分。第一项为左序列，收敛域为|z|<Rx+。 第二项为右序列，收敛域为Rx-<|z|。若Rx+>Rx-，其收敛 域为Rx- <|z|< Rx+；如果Rx+<Rx-，则X(z)没有收敛域。 也就是说，对于双边序列，若其收敛域存在，则一定是位 于Rx- <|z|< Rx+的圆环区域。
04第四讲 Z 变 换

04第四讲 Z 变 换


这是一个环状区域.如果Rx->Rx+ ,则无公共收敛区域,X(z)无 收敛域,也即在Z平面的任何地方都没有有界的X(z)值,因此就不 存在Z变换的解析式, 这种Z变换就没有什么意义.
第2章 Z变换 例1-9 x(n)=a|n|, a为实数,求其Z变换及收敛域. 解 这是一个双边序列,其Z变换为
X ( z) =
n
(1-54)
式中,z是一个复变量,它所在的复平面称为Z平面.我们常用Z [x(n)]表示对序列x(n)进行Z变换,也即
Z [ x(n)] = X ( z )
(1-55)
第2章 Z变换 这种变换也称为双边Z变换,与此相应的单边Z变换的定义如下:
X ( z ) = ∑ x ( n) z n
n =0
n
= ∑a z
n =0
∞
n n
1 = ∑ (az ) = 1 az 1 n =0
1 n
∞
|z|>|a| 这是一个无穷项的等比级数求和,只有在|az-1|<1即|z|>|a|处收敛 如图1-24所示.故得到以上闭合形式的表达式,由于 ,
故在z=a处有一极点(用"×"表示),在z=0处有一个零点(用"○" 表示),收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部.
∞
(1-56)
这种单边Z变换的求和限是从零到无穷,因此对于因果序列, 用两种Z变换定义计算出的结果是一样的.单边Z变换只有在少 数几种情况下与双边Z变换有所区别.比如,需要考虑序列的起 始条件,其他特性则都和双边Z变换相同.本书中如不另外说明, 均用双边Z变换对信号进行分析和变换.
第2章 Z变换 2. Z变换的收敛域 变换的收敛域 显然,只有当式(1-54)的幂级数收敛时,Z变换才有意义. 对任意给定序列x(n),使其Z变换收敛的所有z值的集合称为 X(z)的收敛域. 按照级数理论,式(1-54)的级数收敛的充分必要条件是满 足绝对可和的条件,即要求
第五章 拉普拉斯变换和Z变换_第一讲

第五章 拉普拉斯变换和Z变换_第一讲


Ai X ( s) = ∑ i =1 s + ai
m
Signals and Systems
All Rights Reserved by Stone, 2008
信号系统与信号处理
HangZhou Dianzi University, Lab of PRIS
杭州电子科技大学
5.11 拉普拉斯变换（双边拉氏变换）
−∞
+∞
−σ t
]e
− jωt
dt
所以可以看成是 x(t )e −σ t 的傅里叶变换，即使 x(t )不满 足傅里叶变换的条件，也可以调整 σ 的取值，使得 x(t )e −σ t 满足。 因此拉氏变换具有更加广泛的分析对象。
Signals and Systems
All Rights Reserved by Stone, 2008
那么其拉氏变换：
1 X ( s ) = ∫ e u (t )e dt = ∫ e e dt = −∞ 0 a + σ + jω 1 1 L − at = → ；a + σ > 0；记为：e u (t ) ←⎯ ； {s} > − a Re s+a s+a
− at − (σ + jω ) t − ( a +σ ) t − jωt +∞ +∞
Signals and Systems
All Rights Reserved by Stone, 2008
信号系统与信号处理
HangZhou Dianzi University, Lab of PRIS
杭州电子科技大学
5.11 拉普拉斯变换（双边拉氏变换）
概念：收敛域（ROC）
第5章 Z变换

第5章 Z变换


逆Z变换(3)
X z
n


x n z n x[0] x[1]z 1 x[2]z 2 x[n]z n

c
X z dz 0 2 j x 1 0 0
在正Z变换的等式两边同乘以 z 、 z 、 z z
n
j Im[z ] j Im[z ] j Im[z ]

Re[z ]

Re[z ] Re[z ]
Z变换的性质(3) 时移
x[n d ] z
d
X ( z)
特例：d=1 延时器
z-1
Z变换的性质(4) 指数相乘
z 0 x[ n ] X ( z / z0 )
ROC z0 ROC x
n
Z变换的收敛域(5)
右边序列
x(n), n n1 x ( n) n n1 0,
X
.. x(n)
...
n1 0 1
j Im[z ]
n
z
x nz n n n1
收敛域为 z R x
Re[z ]
n1≥0 →因果序列
Rx
Z变换的收敛域(6)
左边序列
0 n
n
x[n]z
在0 z z 收敛
左边序列：圆周上收敛→ 圆内收敛
Z变换的收敛域(3)
阿尔贝定理(2)：

x[n]z
n 0
n
在z z ( 0)收敛
j Im[z ]
x[n]z 在 z < z 收敛
n n 0
z

Re[z ]
右边序列：圆周上收敛→ 圆外收敛
z变换有关证明

z变换有关证明


H (e jω )
。
。 0
π
2
π
3π 2
2π ω
零点在单位圆上0, π处；极点在
π
2
, 3π 处 。
2
设一阶因果系统的差分方程为: [例2-14] 设一阶因果系统的差分方程为: 为实数,求系统的频率响应 y(n) = x(n) + ay(n −1), a <1 a为实数 求系统的频率响应。 ， 为实数 求系统的频率响应。 [解]: 对差分方程两边取Z变换:
k =1
r r e − cm = ρm = ρme jθm r r jω e − dk = ιk =ιk e jΦk
jω
r r cm零点向量，ρm零点指向向量； r r dk极点向量，ιk极点指向向量。
因此，H(e jω ) = K
∏ρ
m=1 N
M
m
arg[ H(e jω )] = arg[ K] +
三．傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系
1. 三种变换的比较 2.频率的比较 2.频率的比较 3.s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换 3. 平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换 4.z平面单位圆上的 变换即为序列的傅氏变换 平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换 平面单位圆上的 （DTFT） ）
1．三种变换的比较
因果性： 因果性：输出不超前于输入 系统因果性的判断方法： 系统因果性的判断方法：
时域： h(n) = h(n)u(n)
z域： 域 收敛域在圆外
三.系统函数和差分方程的关系
线性移不变系统常用差分方程表示：
∑a
k =0 M
M
k
y(n − k) = ∑bm x(n − m)
m=0 M
第五章 Z域分析

第五章 Z域分析

m

m 1
x(k ) z
max( R 11 , R 21 ) z
2. 位移性
a. 双边Z变换
则
x(n) X ( z )
m
x(n m ) z
X ( z ), m 为整数
收敛域：1）不包括
0，
处，收敛域不变 处，需重新判断
2） 包括 0，
证明: z [ x ( n m )] 令k=n+m
z [ x ( n m )] z
x ( n )u ( n ) x ( z )
m
则
x ( n m )u ( n ) z [ X ( z )

m 1
x(k ) z
k
]
k 0
证明：
z [ x ( n m ) u ( n )]


x(n m ) z
n
n0
令k=n+m 则：
z [ x ( n m ) u ( n )] z [ X ( z )

a. X(z)/z 有N个单极点
则：
Z1 Z N
X z

N
Ai z z zi
i0
Ai
X (z) z
( z zi )
z zi
b X(z)有一个r阶重极点
X z A0
Z1
j

d
r
Ajz ( z z1 )
(r j) (r j)

j 1
z
1<|z|<2
k2
k 1
( k 1)
z ( z 2)
2
|z|<2
2 ( k 1)
第10章Z变换

第10章Z变换


x(n)(1)nu(n)2(1)nu(n1)
4
3
例题
例 计算 Fz z2 z1
z2 3z2
的z反变换。
F z 1 z1F1 z
2 1 2 21
F1 z
2 z1 1 z1 1 2z1
1 2 1 z1
1 21 1 2z1
3
2n
1n
u
n
f
n
n
3 2n1
1
n
1
z a 时收敛
当 a 1 时，
x ( n ) 的DTFT存在
Z平面 I m 单位圆
此时，ROC包括了单位圆。
X(ej)1a1ej z a
Re
a1
例2. x(n)u(n)
X(z)
n0
zn
11z1
z 1
此时，ROC不包括单位圆，所以不能从 X ( z )
简单通过将 z e得j到 。X ( e j )
பைடு நூலகம்
a ( N 1) R e z
0
(N 8)
在 z 处a，零极点抵消，使有限 z平面内无极
点。 ROC: z 0
例2. x(n)bn, b0
I m Z平面
x(n ) b n u (n ) b n u ( n 1 )
Re
bnu(n)11bz1, zb
b 1/b
b nu ( n 1 ) 1b 1 1z 1, zb 1
由 x ( n，) N1 有n X(z) x(n)zn
nN1
若 z r0则RO，C
x(n)r0n
nN1
如果r1 ，r0 则
nN1
x(n)r1n
nN1
x(n)r0n
《z变换的性质》课件

《z变换的性质》课件

通过DFT，我们可以得到信号在各个频率分量 的幅度和相位信息；而通过z变换，我们可以分 析信号的频率响应和稳定性等特性。
z变换在信号处理中的应用
01
z变换在信号处理中有广泛的应用，例如系统分析和设计、滤波 器设计、频谱分析等。
02
通过分析系统的z变换特性，我们可以了解系统的频率响应和稳
定性，从而优化系统的性能。
详细描述
微分性质描述了信号的一阶导数对z变换结果的影响。在信号处理中，微分性质可以用来分析和处理信号的导数 ，从而更好地理解信号的特性。例如，在控制系统和滤波器设计中，微分性质可以帮助我们设计和分析信号处理 算法。
积分性质
总结词
积分性质是指若信号x(n)进行z变换得到 X(z)，则x(n)的积分进行z变换的结果是 1/(1-z)。
控制工程
在控制工程领域，z变换用于分析和设计控制系统的稳定性、性能指标等，为控制系统设计和优 化提供理论支持。
z变换的应用领域
数字信号处理
在数字信号处理中，z变换用于 频谱分析、滤波器设计、频域信
号处理等方面。
控制系统
在控制系统中，z变换用于系统 稳定性分析、控制器设计、状态
估计等方面。
通信工程
在通信工程中，z变换用于调制 解调、信道均衡、信号检测等方
数学基础
基于复数和离散时间函数的数学基础，z变换通过将离散时 间信号映射到复平面的函数，提供了一种方便的数学工具。
z变换的重要性
系统分析
z变换是分析离散时间系统的基本工具，通过它可以将离散时间系统的动态行为表示为复平面上 的函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
信号处理
在信号处理领域，z变换用于分析离散时间信号的频谱、滤波、调制等处理过程，实现信号的频 域分析和处理。

z变换的基本知识

z 变换基本知识1 z 变换定义连续系统一般使用微分方程、拉普拉斯变换的传递函数和频率特性等概念进行研究。

一个连续信号()f t 的拉普拉斯变换()F s 是复变量s 的有理分式函数；而微分方程通过拉普拉斯变换后也可以转换为s 的代数方程，从而可以大大简化微分方程的求解；从传递函数可以很容易地得到系统的频率特征。

因此，拉普拉斯变换作为基本工具将连续系统研究中的各种方法联系在一起。

计算机控制系统中的采样信号也可以进行拉普拉斯变换，从中找到了简化运算的方法，引入了z 变换。

连续信号()f t 通过采样周期为T 的理想采样开关采样后，采样信号*()f t 的表达式为0*()()()(0)()()()(2)(2)k f t f kT t kT f t f T t T f T t T δδδδ∞==-=+-+-+∑(3)(3)f T t T δ-+ （1）对式（1）作拉普拉斯变换23*()[*()](0)()(2)(3)sT sT sT F s L f t f f T e f T e f T e ---==++++0()e ksT k f kT ∞-==∑（2）从式（2）可以看出，*()F s 是s 的超越函数，含有较为复杂的非线性关系，因此仅用拉普拉斯变换这一数学工具，无法使问题简化。

为此，引入了另一个复变量“z ”，令e sT z =（3）代入式（2）并令1ln *()()s z TF x F z ==，得12()(0)()(2)()k k F z F f T z f T z f kT z ∞---==+++=∑（4）式（4）定义为采样信号*()f t 的z 变换，它是变量z 的幂级数形式，从而有利于问题的简化求解。

通常以()[*()]F z L f t =表示。

由以上推导可知，z 变换实际上是拉普拉斯变换的特殊形式，它是对采样信号作e sT z =的变量置换。

*()f t 的z 变换的符号写法有多种，如[*()],[()],[()],[*()],()Z f t Z f t Z f k Z F s F z 等，不管括号内写的是连续信号、离散信号还是拉普拉斯变换式，其概念都应该理解为对采样脉冲序列进行z 变换。

5z变换


X ( z ) = Z x ( n ) = ∑ x ( n) z
n=0
双边Z变换定义为： 双边Z变换定义为：
X ( z ) = Z [ x( n)] =
本质？ 本质？
n =−∞
∑ x ( n) z
∞
−n
2.2
定义
Z变换的收敛域
使序列x(n)的Z变换定义式 的 变换定义式 使序列 级数收敛的所有z值的集合称作 级数收敛的所有 值的集合称作 Z变换的收敛域。 变换的收敛域。 变换的收敛域
Z变换的基本性质 变换的基本性质
( 3 ) z域 微 分 性 ：
若 x(n ) Z → X ( z )
d 则 nx ( n ) − z → X (z) dz
Z
d n x(n ) − z X ( z ) → dz
m Z
m
可见:时域序列乘 等效于 域中求导且乘以(-z). 等效于z域中求导 可见 时域序列乘n等效于 域中求导且乘以 时域序列
n z
x(n)=a u ( n) − a u ( n − 1) 1 →
n n z
线性叠加后，序列的z变换收敛域扩大到全平面。 线性叠加后，序列的 变换收敛域扩大到全平面。 变换收敛域扩大到全平面
举例
已知双曲余弦序列 x(n) = cosh(nω 0 )u (n) 求其z变换
1 解： Q cosh ( nω 0 ) = 2
z > R x1
3.4
左边序列
X (z) =
n = −∞
x(n), n ≤ n2 x ( n) = n > n2 0,
1) n2≥0 ， 0 < z < Rx 2 2) n2<0 ， z < R x2

第5章Z变换

第五章
基本要求
Z变换
1、深刻理解Z变换的定义，收敛域和基本 性质 2、会根据Z变换的定义和性质求一些常用 序列的Z变换 3、深刻理解Z变换与拉普拉斯变换的关系 4、正确理解Z变换的性质的应用条件 5、能用幂级数展开法、部分分式法及留数
法求Z反变换
1
第五章
5.1
5.2
Z变换
Z变换及其收敛域
Z反变换
2
5.1
Z变换及其收敛域
一、由抽样信号的拉氏变换引出Z变换
设xs(t)是连续信号x(t)的理想抽样信号，
则
xs (t ) x(t ) T (t ) x(nT ) (t nT )
n 0

其中T为抽样时间 对上式两边取拉氏变换，得到：

X S ( s) xs (t )e dt
在一个收敛半径Rx2，级数在以原点为中心、
Rx2为半径的圆内绝对收敛
综合此两项，左边序列的收敛域为
jIm[z]
0 z Rx 2
0
Re[z]
16
3、收敛域的形式
双边序列
这类序列是指当n为任意值时，x(n)皆有值的序列，可 看作一个左边序列和一个右边序列之和。 其Z变换为

X ( z)
n
nz

n
z 2 ( z 1)
4、指数序列 a nu(n)
的Z变换
n n
z a u( n ) a u( n ) z
n n 0



(az )
n 0

1 n
当
az
1
1 ，级数收敛
1 z z a u(n ) 1 za 1 az

第六章 Z 变换及其应用


1.单位样值序列δ(n)
Z [ ( n )] ( n ) z n 1
n 0

(n) 1
第六章
Z 变换及其应用
27
2.单位阶跃序列 u(n)
Z [u(n )] z
n 0

n
1 1 | z | 1 1 1 z
z | z | 1 z 1
第六章
RX | z | RX
(6.2-4)
式(6.2-4)表明双边序列的收敛区是以 RX-为内径，以RX+为外径 的一环形区；而当RX+ < RX-时，X(z)的双边Z变换不存在。
第六章
Z 变换及其应用
22
例6.2-5 已知双边序列x(n)=c|n|，c为实数，求X(z)。
c n n 0 |n| x(n) c n c n0
第六章
Z 变换及其应用
11
例6.2-2 已知序列x(n)=RN(n)，求X(z)。 解
X ( z ) z n 1 z 1 z 2 z ( N 1)
n 0
N 1
1 z N 1 z 1
收敛域为0<|z|≤ ∞
第六章
Z 变换及其应用
12
2.
左边序列是无始有终的序列，即n1→-∞，如图6.2-3所示。 左边序列的Z变换为
n x ( n ) z n2
X ( z)
n
当n2>0时，将左边序列的X(z)分为两部分
n | x ( n ) z | n2 n n | x ( n ) z | | x ( n ) z | n 0 1 n2
Z变换的定义可由抽样信号的拉氏变换引出。连续信号的理

第4章 Z变换理论

对采样信号作 f * t 拉氏变换，得
k 0
L f * t F * s f kT e kTS
k 0

e 式中， kTS 是超越函数，计算很不方便，令 z e ，则有
TS
F z f kT z k
k 0

F z f kT z k
1 1 (1 e aT ) z 1 1 aT 1 1 aT 1 1 z 1 e z (1 z )(1 e z )
a 例：求 F ( s) 2 s a2
n
的z变换。
1 F ( z) Re s F (s) 1 e sT z 1 s si i 1 2 1 a Re s 2 s a 2 1 e sT z 1 s ja i 1


1 1 1 jT 1 jT 1 2 j 1 e z 1 e z


例：求余弦函数的z变换 t 0 cost f (t ) t 0 0
1 j t cos t (e e jt ) 2
1 1 1 F ( z ) Z [cost ] jT 1 jT 1 2 1 e z 1 e z 1 2 e jT e jT z 1 1 cosTz 1 jT jT 1 2 2 1 e e z z 1 2 z 1 cosT z 2
1 F ( z ) Re s F ( s ) 1 e sT z 1 s si i 1
n
a 1 Re s s ( s a ) 1 e sT z 1 s 0, a i 1
2
a 1 a 1 s ( s a ) sT 1 s ( s a ) 1 e z s 0 s ( s a ) 1 e sT z 1 s a

第七章 Z 变换理论


（5）正弦函数
jωt -e– jωt e -1sin f ( t )=sin ωt = z ωT z sin ωT 2j = z2–2zcos = -1 -2 ωT+1 1–2(cosωT)z +z jωkT – e– jωkT e f (kT) = 2j f (t)=cosωt 同理： + F (z) = Σ f (kT) z-k z(z–cosωt ) k=0 F (z)= 2 z– 1 2zcosωT + 1 1 1 – = [ j ωT -1 1 – e– jωT z-1 2j 1–e z z-1e jωT–z-1e–jωT 1 =2j [ ] j ωT -1 – j ωT -1 -2 1–e z –e z +z
第三节 Z变换理论
五、Z变换的留数计算法
已知连续函数f (t) 的拉氏变换F (s) 及其全部极点pi ,F(z)可由留数计算公式 求得: F (z)=∑
n
i=1
1 d ri -1 z r i (r–1)! dsri -1 [(s-pi) F(s) z–e sT ]
s=pi
式中 ： ri 为s=pi 的重极点数
Σ f (kT)z-k
例 求 1(t-2T) 的 Z 变换 5．初值定理 z -z2[ f (0)z0+f (T)z-1] 2 T )]=fz 解：Z[1(t+2Lim (t)z= lim F(z) –1 t→0 z→∞ 3 z –z2–z = z– 1 6．终值定理
4．复数位移定理
Lim f(t)± = lim ( z -1) F ( z ) →1 F(ze ±at ) Z[t→∞ f (t)e atz]=
=4(0.5k -1)+2k
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注意：对于t 0时，f t 0，则
Z f (t nT ) z n F ( z )
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第三节采样过程的数学描述及特性分析
4. 位移定理2
n 1 m 若 Z f (t ) F ( z )， 则 Z f (t nT ) z F ( z ) f (m T) z m 0 若 f (0) f (n 1)T 0， 则 Z f (t nT ) z n F ( z ) n
7. 终值定理
若： Z f (kT ) F ( z )， f (kT )存在终值 证：考虑两个极限序列 lim f (kT ) lim(1 z 1 ) F ( z )
k z 1
f (kT ) z
k 0 n k 0
n
k
f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2 f (nT ) z n
第三节采样过程的数学描述及特性分析
1 级数求和法
几类典型函数的Z变换
１．单位脉冲函数
1 f (kT ) (kT ) 0

k 0 k 0
F ( z ) (kT ) z k (0) 1
k 0
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第三节采样过程的数学描述及特性分析
三 Z变换的性质和定理 1. 线性性质
对任何常数和 , 若Z f1 (t ) F1 ( z ), Z f 2 (t ) F2 ( z ),则有 : Z f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( z ) F2 ( z )
第三节采样过程的数学描述及特性分析
1 例4.5 求 F ( s) 2 s ( s 1)
的 Z 变换
1 1 1 1 F (s) 2 2 s ( s 1) s s s 1 F ( z)
1 z
Tz 1
1 2
1 1 1 1 z 1 e T z 1
z F

如
z F 2 z2
k
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第三节采样过程的数学描述及特性分析
3. 位移定理1
1 n k Z f (t nT ) z F ( z ) f (kT ) z k n
k ( z 1 ) k 1
k 0

1 (1 z 1 ) 2
两边同时乘以z-1

，可得
k
1 z 1 k k ( z ) (1 z 1 ) 2 k 0
F ( z) T kz
k 0
Tz 1 Tz 1 2 (1 z ) ( z 1) 2

证:
Z f1 (t ) f 2 (t ) f1 (kT ) f 2 (kT )z k
k 0
f1 (kT )z
k 0

k
f 2 (kT ) z k
k 0
F1 ( z ) F2 ( z )
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第三节采样过程的数学描述及特性分析
2. 乘以 k 后的 Z变换
若： Z f (kT ) F ( z ),

z k 则 Z f (kT ) F
k
z k k k 证： Z f ( t ) f ( kT ) z f ( kT ) k 0 k 0 z z z k 例 F 1(kT ) ， F z z 1 1 z-



1 z z z e jwT e jwT 1 F ( z) jwT jwT jwT 2 j z e ze z e jwT 2j ze 1 z j 2 sin T z sin wT 2 2 2 2 j z cos wT sin wT z 2 z cos wT 1
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第三节采样过程的数学描述及特性分析
第五节
f (t )

k 0
Z变换理论
f * (t ) f (kT ) (t kT )
F * ( s) f (kT )e kTs
k 0
定义： 有：
ze
Ts

F ( z ) f (kT ) z k
证 ：Z (t nT ) f (k n)T z k z n f (k n)T z ( k n )
k 0 k 0


令
m k n，则
n
Z f (t nT ) z n f m Tz m
mn

n 1 n 1 m m n m z f m Tz f (m T) z z F ( z ) f (m T) z m 0 m 0 m 0
lim f (kT ) lim F ( z )
k 0 z
证： lim F ( z ) lim f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2 f (0)
z z


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第三节采样过程的数学描述及特性分析
19
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第三节采样过程的数学描述及特性分析
5. 复位移定理
若Z f (t ) F ( z )， 则
Z e
t
f (t ) F (e
T
z)
证：Z e t f (t ) e kT f (kT ) z k
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第三节采样过程的数学描述及特性分析
特别地:
1 Z f n 1 z F z f 1 Z f n 2 z 2 F z z 1 f 1 f 2

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第三节采样过程的数学描述及特性分析
2 部分分式法
Ai F ( s) i 1 s s i
n
f (t ) Ai e
i 1 n
n
si t
Ai z F ( z) si T i 1 z e
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定义： F ( z) Z f (kT ) f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2
f (kT ) z
k 0

k
（1 ）
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第三节采样过程的数学描述及特性分析
在 Z 变换的定义式中，若取T = 1，则有：
k 1 2 n 1 k f ( kT ) z k 0 n 1
F ( z ) Z f * (t ) f (k ) z k
k 0



(2)
【注】：F ( z ) 是对 f * (t ) 而非 f (t ) 的 Z变换。
为什么？
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第三节采样过程的数学描述及特性分析
F ( z) Z f (kT ) f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2
第三节采样过程的数学描述及特性分析
a 例1 已知 F ( s) s( s a) 换式 F ( z )
，求它对应的 Z 变
a 1 1 F ( s) s( s a) s s a z z F ( z) aT z 1 z e
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F1 ( z) F2 ( z) f1 (t ) f 2 (t )
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第三节采样过程的数学描述及特性分析
二
Z 变换的方法
1 级数求和法（按照 Z 变换定义求） 2 部分分式法（经常使用）
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k 0



f (kT ) e
k 0


kT
z

k
F (e T z )
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第三节采样过程的数学描述及特性分析
6.初值定理
若：Z f (kT ) F ( z ) 且极限 lim F ( z )存在，则
z
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第三节采样过程的数学描述及特性分析
4． f (t ) e t
F ( z) e
k 0 kT
z
k
1 e
T
z e
1
2T
z
2
z z e T
1 jwt e e jwt 5． f (t ) sin wt 2j
f (kT ) z k
k 0
* * f ( t ) f 可以看出： 若 1 2 (t ) ，则有