。分离变量法求最值或范围

求参数的取值范围问题比较常见，常出现在不等式、函数、方程、直线、圆、向量等问题当中.此类问题侧重于考查同学们的运算能力和综合分析能力.要求得参数的取值范围，需重点讨论与参数相关的变量或式子，用变量来约束参数的取值.下面介绍两个求参数取值范围的技巧.一、分离参数分离参数是指将不等式或等式进行恒等变形，使不等式或等式的一边含有参数，另一边不含有参数，然后根据不含参数的式子的范围来确定参数的取值范围.一般地，我们可以运用构造函数法、基本不等式法、导数法等来确定不含参数的式子的范围.例1.若函数f(x)=x3-b2x2+bx+c在[-2,1]上是增函数，求b的取值范围.解：由题意可知，函数f(x)在[-2,1]上是增函数，则对于∀x∈[-2,1],有f'(x)=3x2-bx+b≥0恒成立.当x=1时，3x2-bx+b≥0成立；而当x∈[-2,1),要使3x2-bx+b≥0，需使b≥3x2x-1，那么就只需要b>(3x2x-1)max,又(3x2x-1)max=0,所以b≥0.因此，实数b的取值范围是[0,+∞).若遇到含参不等式问题时，我们可先将不等式进行变形，把参数分离出来，得到a≤f(x),a≥f(x),a< f(x),a>f(x)的形式，求出f（x）的最值，只要使a≤f(x)min, a≥f(x)max,a<f(x)min,a>f(x)max，即可求出参数的取值范围.例2.已知不等式sin x∙cos x>m2+m2-1的解集为R，求m的求值范围.解：将不等式sin x∙cos x>m2+m2-1变形可得2sin x∙cos x>2m2+m-2，设g(m)=2m2+m-2,f(x)=2sin x∙cos x=sin2x≥-1,而g(m)<f(x)min，所以2m2+m-2<-1,即(2m-1)(m+1)<0,解得-1<m<12,因此m的取值范围为(-1，12）.本题的不等式中有多项含有m，因此将含m的项与常数项一起分离出来，再构造函数g（x）、f（x），求得f（x）的最值，使g(m)<f(x)min，即可求得m的取值范围.由此可见，通过分离参数解答含参不等式问题，大致可以分为三步：①分离参数；②求函数的最值；③利用极端原理得到最终的答案.二、变更主元对于一些含有多个参数、变量的问题，我们通常使用变更主元法来解题.将参数作为主元，将变量当作参数，将问题转化为关于参数的不等式、函数、方程问题，借助不等式的性质、函数的性质、方程的判别式来建立关于参数的关系式，从而求得参数的取值范围.例3.若函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f(x)-ax-5,对任意a∈[-1,1]，有g(x)<0，求实数x的取值范围.解：∵g(x)=3x2-ax+3a-5,∴令ϕ(x)=(3-x)a+3x2-5,-1≤a≤1.对于-1≤a≤1,有g(x)<0恒成立,即ϕ(a)<0.∴ìíîϕ(1)<0,ϕ(-1)<0,即ìíî3x2-x-2<0,3x2+x-8<0,解得x∈(-23,1).∴x的取值范围为(-23,1).我们将x看作参数，将a看作变量，将问题转化为关于a的一次函数问题.根据g(x)<0，建立关于a的不等式，解不等式就能求得参数a的取值范围.相比较而言，分离参数的适用范围较广，但运算量较大；变更主元的技巧较为简单，但使用范围较窄，很多同学经常很难想到这个技巧.因此，在解题受阻时，同学们要注意变通，尝试从不同的角度思考解题的思路.（作者单位：甘肃省陇南市成县第一中学）折直解题宝典45。

第08讲拓展一：分离变量法解决导数问题(精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：恒成立（存在问题）求解参数a范围①完全分离参数法②部分分离参数法高频考点二：已知零点个数求解参数a范围①完全分离参数法②部分分离参数法第四部分：高考真题感悟第五部分：第08讲拓展一：分离变量法解决导数问题（精练）1、分离变量法在处理含参a 的函数(,)f x a 不等式和方程问题时，有时可以将变量分离出来，如将方程(,)0f x a =，转化为()()g x h a =这样就将把研究含参函数(,)f x a 与x 轴的位置关系的问题转化为不含参的函数()g x 与动直线()y h a =的位置关系问题，这种处理方法就叫分离变量法。

（1）优点：分离变量法可以将含参函数中的参数分离出去，避免直接讨论，从而简化运算； （2）解题过程中可能遇到的问题： ①参数无法分离；②参数分离后的函数()y g x =过于复杂；③讨论位置关系时可能用到()y g x =的函数极限，造成说理困难.2、分类：分离参数法有完全分离参数法（全分参）和部分分离参数法（半分参）两种 注意事项：无论哪种分参方法，分参过程中需注意变量的正负对不等号的影响！3、常见题型1：恒成立/存在问题求解参数a 范围核心知识点：将()a x f ,与0的大小关系转化成()x g 和()a h 的大小关系 ①,()()x D h a g x ∀∈≥恒成立⇔max ()()h a g x ≥ ②,()()x D h a g x ∀∈≤恒成立⇔min ()()h a g x ≤ ③,()()x D h a g x ∃∈≥恒成立⇔min ()()h a g x ≥ ④,()()x D h a g x ∃∈≤恒成立⇔max ()()h a g x ≤4、常见题型2：已知零点个数求解参数a 范围核心知识点：将()0,=a x f 转化成()()x g a h =，应用导数方法绘制()x g 函数的大致图象（注意绘制图象时，可能需要用到极限思想，才能精确确定图象的轮廓）.1．（2021·江苏·高二单元测试）若函数()1ln f x x a x=+-在区间()1,e 上只有一个零点，则常数a 的取值范围为（ ） A ．1a ≤B ．a e >C ．111a e<<+ D ．11a e<<2．（2009·福建·高考真题（文））若曲线2()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是_________ 3．（2015·浙江金华·高二期中（理））1kx ≤-对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数k 的取值范围是：___________．4．（2022·全国·高三专题练习）若存在[]0,1x ∈，使得13713x x m +≥+成立，则实数m 的取值范围是___________. 5．（2022·四川省泸县第四中学高二阶段练习（理））若函数()32133f x x x x a =---有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________.6．（2021·全国·高三专题练习）已知函数()()ln 1af x x a R x =-∈+.若函数()y f x =在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围.高频考点一：恒成立（存在问题）求解参数a 范围①完全分离参数法1．（2022·江西·临川一中高二期末（文））已知不等式ln 0x mx ->只有一个整数解，则m 的取值范围是（ ） A ．10,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11ln 2,ln 323⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11ln 2,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11ln 3,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．（2022·新疆昌吉·高三阶段练习（理））若存在正实数x ，y ，使得等式()()243e ln ln 0x a y x y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则a 的取值范围为（ ） A ．210,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(),0∞-D ．()21,0,e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭3．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数()e ln x f x x x x =--，若不等式()f x a ≥恒成立，则a 的最大值为（ ） A ．1B ．e 1-C ．2D ．e4．（2022·山东省东明县第一中学高二阶段练习）已知函数()()1ln 0f x ax x a x=+>.（1）当1a =时，()f x 的极小值为______；（2）若()f x ax ≥，在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围为______.5．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）若32223328e 4e e x x x x x a x a a ++<++对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是__________;6．（2022·江苏·金陵中学高二期末）已知函数f (x )＝ax －2ln x ． (1)讨论f (x )的单调性；(2)设函数g (x )＝x －2，若存在31,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．7．（2022·广西·宾阳中学高二阶段练习（理））已知函数()()e ,R x f x x a a =+∈． (1)若函数()f x 在区间[3,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围． (2)若2()e f x ≥在[]0,2x ∈时恒成立，求实数a 的取值范围．8．（2022·陕西榆林·三模（理））已知函数()e 1,()ln x f x a g x x =+=． (1)讨论函数()()()e xxf x xh x g x -=+的单调性； (2)若()()1xf x g x <+，求a 的取值范围．9．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知函数()2ln f x ax x =-，R a ∈. (1)讨论()f x 的单调性； (2)若对任意()0,x ∈+∞，不等式()2ex x xf x -+≥恒成立，求实数a 的取值范围.②部分分离参数法1．（2022·广东·铁一中学高二阶段练习）已知函数()4ln 8f x x kx k =--+，若关于x 的不等式()0f x ≤恒成立，则k 的取值范围为（ ） A ．[1,)+∞B ．[e,)+∞C ．[4,)+∞D ．)2,e ⎡+∞⎣2．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式()21xkx k e x +<+恰有2个整数解，求实数k 的取值范围（ ）A ．23243k e e≤< B ．23243k e e<≤ C ．324354k e e <≤ D ．324354k e e ≤< 3．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））设函数()()()3213853f x x x a x a a R =-+---∈，若存在唯一的正整数0x ，使得()00f x <，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,156⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．11,154⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,123⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,125⎛⎤ ⎥⎝⎦4．（2022·全国·高三专题练习）函数()()e 13xf x x ax a =-+-，其中1a <，若有且只有一个整数0x ，使得()00f x >，则a 的取值范围是（ ） A ．23,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．23,e 4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()31e x f x a x x =+-，若存在唯一的正整数0x ，使得()00f x <，则实数a的取值范围是（ ） A ．218,2e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．436427,5e 4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．32278,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()2ln ||28f x x x ax a =-+-，其中0a ． （1）当0a =时，求函数()f x 的最值；（2）若存在唯一整数0x ，使得0()0f x ，求实数a 的取值范围．高频考点二：已知零点个数求解参数a 范围①完全分离参数法1．（2022·全国·高二期末）已知函数()2ln ,0,1,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()()=-g x f x k 有三个零点，则（ ） A ．e 1k -<≤B ．11ek -<<C ．e 0k -<<D ．10ek -<<2．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知函数(),12,1x xe x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，若()f x k -有三个不同的零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[)1,-+∞B ．[)1,0-C ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭3.（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知函数()e 1xaf x x =--有唯一零点，则实数a 的值可以是（ ） A ．1-B ．12-C ．0D ．14．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习（理））若函数()e ln xy x a x x =+-存在零点，则实数a的取值范围是______．5．（2022·福建·启悟中学高二阶段练习）函数3()3f x x x a =--仅有一个零点，则实数a 的取值范围是_________．6．（2022·四川宜宾·二模（文））已知函数()ln f x a x =- (1)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； (2)若函数()f x 在(]0,16上有两个零点，求a 的取值范围．7．（2022·内蒙古包头·一模（文））已知函数32()31f x x ax x =-++. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有三个零点，求a 的取值范围.（注：3232(2)(1)x x x x --=-+）8．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数()21e ,0e 2,0x x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，则方程()0f x =的根为________．若函数()()y f f x a =-有三个零点，则实数a 的取值范围是________．②部分分离参数法1．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()()2e 1,0ln 1,0xx f x x x -⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，若关于x 的方程()0f x kx -=有两个不同的实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．()(),20,1-∞-⋃ B ．()(),10,1-∞-⋃ C ．()(),00,1-∞⋃D ．()(),00,∞-+∞2．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义为R 的奇函数()f x 满足：()()ln ,0121,1x x x f x f x x <≤⎧=⎨->⎩，若方程()12f x kx =-在[]1,2-上恰有三个根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,1ln 24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1e ,122⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．11ln 2,2⎛⎫- ⎪⎝⎭3．（2021·江苏·高二单元测试）已知函数()y f x =是R 上的奇函数，且当0x >时，()223f x x x =--，若关于x 的方程()f x x a =+恰有四个互不相等的实数根，则实数a 的取值范围是___________. 4．（2022·全国·模拟预测）已知函数()24ex x f x =，若存在1x ，2x ，…，()*n x n ∈N ，使得()()()1212222n nf x f x f x x x x ---==⋅⋅⋅=，则n 的最大值为______. 5．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知()2,112e ,1x x f x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-⎩若方程()2f x mx =+有一个实数根，则实数m 的取值范围是___________.1．（2021·北京·高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论： ①若0k =，()f x 恰 有2个零点； ②存在负数k ，使得()f x 恰有个1零点； ③存在负数k ，使得()f x 恰有个3零点； ④存在正数k ，使得()f x 恰有个3零点． 其中所有正确结论的序号是_______．2．（2020·全国·高考真题（理））已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.3．（2021·全国·高考真题（理））已知0a >且1a ≠，函数()(0)ax x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．4．（2020·浙江·高考真题）已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e =2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点；5．（2020·全国·高考真题（文））已知函数()(2)x f x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式3221e xax x axx +++≥在0,上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],e -∞B ．1,e 2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．(],e 1-∞-D ．(],e 2-∞-2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()ln ,()12f x xg x x ==+，直线()y t t R =∈与函数(),()f x g x 的图象分别交于点()()1122,,,A x y B x y ，若对任意t R ∈，不等式2121x x a -≥+成立，则实数a 的取值范围为 A ．ln 21,4+⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．ln 23,4+⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．ln 2,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．(,ln21]-∞-3．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）若函数()2x e ax a g x x-+=在[]2,3内单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)3,e ⎡-+∞⎣B ．)2,e ⎡-+∞⎣C ．()3,e -+∞D ．()2,e -+∞4．（2022·全国·高二）若关于x 的不等式22ln 4ax a x x ->--有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]2ln3,2ln 2-- B ．(),2ln 2-∞- C ．(],2ln3-∞-D ．(),2ln3-∞-5．（2022·全国·高二）若关于x 的方程ln 0x ax -=有且只有2个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．1(,]e-∞B ．1(,)e -∞C ．1(0,]eD ．1(0,)e6．（2022·黑龙江双鸭山·高二期末）函数()1ln()f x x k x=+-有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．ln 2k ≠B ．ln2k >C ．ln 2k ≥D ．0ln 2k <<7．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知当,()0x ∈+∞时，函数()e x f x k =的图象与函数2()21xg x x =+的图象有且只有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．⎛ ⎝⎭B ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()1,0,0x x f x xe x -⎧->⎪=⎨⎪≤⎩且关于x 的方程()0f x ax -=有三个不等实根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(],e -∞-B ．(),e -∞-C ．(),1-∞-D ．(],1-∞- 二、填空题9．（2022·全国·高三专题练习）方程1ln cos 3x x +=在(0,1)上的实数根的个数为___________.10．（2022·河南·高三阶段练习（理））若不等式()()23e 2x x a x -<-在(),2-∞上仅有一个整数解，则a 的取值范围是______．11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()e (31)x f x x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是____.12．（2022·全国·高三专题练习）已知()|sin(2)6h x m x π=+-+的最小值为0，则正实数m 的值为__． 三、解答题13．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知函数()()21e x f x x x -=-+⋅. (1)求()f x 的单调区间；(2)若不等式()22f x x x m ≥-++对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围.14．（2022·全国·高三专题练习）若存在x ∈1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，不等式2x ln x ＋x 2－mx ＋3≥0成立，求实数m 的取值范围．15．（2022·宁夏银川·一模（文））已知函数()e 3x f x ax =+-在0x =处的切线为2y =-.(1)求实数a 的值及函数()f x 的单调区间；(2)用[]t 表示不超过实数t 的最大整数，如：[]0.80=，[]1.42-=-，若0x >时，()e 2x t x t -<+，求[]t 的最大值.16．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知()()2x x m f x m R e+=∈. （1）若34m =，求()f x 的极值.（2）若方程()8ln x e f x x ⋅=在[]1,e 上有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.。

开篇语：不等式恒成立问题在高中数学是一类重点题型，高考也是必考内容。

由于不等式问题题型众多，题目也比较灵活。

所以在学习过程中，同学们要学会总结各种解题方法！方法一：分离参数法解析：分离参数法适用的题型特征：当不等式的参数能够与其他变量完全分离出来，并且分离后不等式其中一边的函数的最值或范围可求时，则将参数式放在不等式的一边，分离后的变量式放在另一边，将变量式看成一个新的函数，问题即转化为求新函数的最值或范围，若a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)max,若a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)min方法二：变换主元法(也可称一次函数型)解析：学生通常习惯把x当成主元(未知数)，把另一个变量p看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐，如果把已知取值范围的变量当成主元，把要求取值范围的变量看成参数，则可简便解题。

适用于变换主元法的题型特征是：题目有两个变量，且已知取值范围的变量只有一次项，这时就可以将不等式转化为一次函数求解。

方法三：二次函数法解析：二次函数型在区间的恒成立问题：解决这类问题主要是分析 1，判断二次函数的开口方向2，二次函数的判别式是大于0还是小于03，判断二次函数的对称轴位置和区间两端值的大小，即判断函数在区间的单调性 方法四：判别式法解析：不等式一边是分式，且分式的分子和分母的最高次项都是二次项时，利用判别式法可以快速的解题，分离参数将会使解题变得复杂。

方法五：最值法解析：不等式两边是两个函数，且含有参数时，我们可以分出出参数，构造新函数，求函数的导数来求得新函数的最值。

总结：在解不等式恒成立的问题时，应根据不等式的特点，选择适合的方式快速准确的解题。

平时练习过程中，应注意观察，总结！。

第八章 分离变量法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222ψϕ 对于这样的定解问题，我们将介绍分离变量法求解，首先回忆高数中我们如何处理的求解的，高数中处理微分或重积分是把函数分成单元函数分离变量法的思路：对于二阶线性微分方程变换成单元函数来求解，也就是通过分离变量法把x 、t 两个变量分开来，即把常微分方程变化为两个偏微分方程来求解。

分离变量法的思想：先求出具有分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理做出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数（叠加后这些特解满足边界条件不满足初始条件，再由初始条件确定通解中的未知的数）。

叠加原理：线性偏微分方程的解的线性组合仍是这个方程的解。

特点：（1）数学上 解的唯一性来做作保证。

（2）物理上 由叠加原理作保证。

例：有界弦的自由振动1.求两端固定的弦的自由振动的规律⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222ψϕ 第一步：分离变量（建立常微分方程定解问题） 令)()(),(t T x X t x u =这个思想可从实际的物理现象可抽象出来，比如我现在说话的声音，它的振幅肯定随时间变化，但到达每个同学的位置不同，振幅又是随位置变化，可把声音分成两部分，一部分认为它随时间变化，一部分随位置变化。

第二步：代入方程（偏微分就可写成微分的形式，对于u 有两个变量，但对于X 、T 都只有一个变量）)()()()(2t T x X a t T x X ''=''变形得)()()()(2t T a t T x X x X ''=''= λ- 左边与t 无关，右边与x 无关，左右两边相互独立，要想相等，必定等于一个常数。

偏微分方程的分离变量法偏微分方程是数学中的一个重要概念，它描述了多元函数的偏导数之间的关系。

在求解偏微分方程的过程中，分离变量法是一种常被使用的方法。

本文将介绍偏微分方程的分离变量法，并通过实例来说明其应用。

一、分离变量法的基本原理分离变量法是一种常见且常用的求解偏微分方程的方法。

它基于以下原理：假设待求解的偏微分方程为一个多项式函数，且可以分解为多个单独的函数之积，即可将其分离为多个个别的方程，通过解这些个别方程，再将它们组合起来得到原方程的解。

二、分离变量法的具体步骤分离变量法的具体步骤如下：1. 将待求解的偏微分方程中的各个变量分离，组成一个由单个变量及其对应的导数组成的方程。

2. 对单个变量的方程进行求解，得到每个变量的解函数。

3. 将各个变量的解函数组合起来，得到原方程的解。

三、应用实例：热传导方程问题考虑一个一维热传导方程问题：∂u/∂t = k * ∂^2u/∂x^2其中，u(x, t)为未知函数，k为常数。

按照分离变量法的步骤，我们将u(x, t)分离为两个函数u(x)和v(t)的乘积，即u(x, t) = X(x) * T(t)。

将上述分离变量代入原方程中，得到：X(x) * T'(t) = k * X''(x) * T(t)将等式两边分别除以k * X(x) * T(t)，得到：T'(t) / (k * T(t)) = X''(x) / X(x)由于等式两边只包含单个变量及其对应的导数，因此可以将等式两边分别等于一个常数，记为-λ^2，得到：T'(t) / (k * T(t)) = -λ^2 = X''(x) / X(x)接下来，我们对T(t)和X(x)分别进行求解。

对T(t)的小节方程进行求解，得到：T'(t) / (k * T(t)) = -λ^2T'(t) / T(t) = -λ^2 * k对上述方程积分，得到：ln(T(t)) = -λ^2 * k * t + C1其中，C1为常数。

分离参数法解高考压轴题新课标下的高考数学压轴题，由数列题转向导数题。

而导数题中的最后一问经常考察参数的取值范围。

“求谁分离谁”即分离参数是一种常用的方法，但有时分离出参数后，后面函数的最值不容易求得，有的干脆就没有最值，只是趋于某个常数，这种情况下可采用高等数学中的洛必达法则。

此方法是一种常规方法，有章可循，有法可依，不存在较强的解题技巧，一般的学生基本上都能掌握。

下列举例说明，起到抛砖引玉的作用。

一 洛必达法则介绍如果当0x x →(或∞→x )时，两个函数)(x f 与)(x g 都趋于零或都趋于无穷大，那么 极限)()(limx g x f x x →或)()(lim x g x f x ∞→可能存在、也可能不存在，通常把这种极限叫做不定式，并分 别简记为00或∞∞． 1．（洛必达法则1）型不定式 设函数)(x f 与)(x g 满足条件 （1）0)(lim )(lim 0==→→x g x f x x x x（2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ； （3） A x g x f x x =''→)()(lim（或为无穷大）．则A x g x f x g x f x x x x =''=→→)()(lim )()(lim 00（或为无穷大）．把0x x →换为∞→x 时，结论也成立．2（洛必达法则2）∞∞型不定式 设函数)(x f 与)(x g 满足条件 （1）∞=∞=→→)(lim ,)(lim 0x g x f x x x x（2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ；（3）A x g x f x x =''→)()(lim（或无穷大）． 则A x g x f x g x f x x x x =''=→→)()(lim )()(lim00（或为无穷大）把0x x →换为∞→x 时，结论也成立．，结论也成立． 二 典型例题: 例1．（08江苏理14）设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为 【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x ≥- 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而a ≥4；当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x -，()()'4312x g x x-=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4【答案】42（2010 辽宁）已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f （I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）设1-<a .如果对任意),0(,21+∞∈x x ，||4)()(|2121x x x f x f -≥-，求a 的取值范围。