课时训练2.3二次函数与一元二次方程、不等式(原卷版)

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式【题型解读】【题型一 不含参一元二次不等式的解法】1. （2022·浙江高一月考）不等式2230x x -->的解为（ ） A ．312x -<< B ．32x >或1x <- C ．312x -<< D ．1x >或32x <-【答案】B【解析】223(23)(1)0x x x x --=-+>，解得32x >或1x <-故选：B 2. （2022·山东·济南一中期中）不等式22150x x -++≤的解集为（ ）A ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥C ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{3x x ≤-或52x ⎫≥⎬⎭【答案】B【解析】依题意可得22150x x --≥，故()()2530x x +-≥，解得52x ≤-或3x ≥，所以不等式的解集为52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥故选：B ．3．（2022•海南高一期末）“3x ≤”是“27120x x -+≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】记“27120x x -+≥”的解集为集合B ，则{|3B x x =≤或4}x ≥所以“3x ≤”能推出“27120x x -+≥”“27120x x -+≥”不能推出“3x ≤” 所以“3x ≤”是“27120x x -+≥”的的充分不必要条件.故选：A. 4. （2022·河北·高一期末）下面四个不等式中解集为空集的是（ ） A ．237100x x --≤ B ．2690x x -+-≤ C ．223x x -+<- D ．2470x x -+≤【答案】D【解析】对于A 选项，解不等式237100x x --≤得1013x -≤≤，A 不满足条件； 对于B 选项，由2690x x -+-≤得()226930x x x -+=-≥，该不等式的解集为R ，B 不满足条件； 对于C 选项，由223x x -+<-可得2230x x -->，解得1x <-或32x >，C 不满足条件； 对于D 选项，因为()2247230x x x -+=-+>，故不等式2470x x -+≤的解集为空集，D 满足条件. 故选：D.5. （2022·福建·厦门一中高一期中） 求下列不等式的解集： （1）22730x x ++>；（2）2830x x -+->； （3）2450x x --≤；（4）28141804x x -+-≥． 【答案】（1）()1,3(,2-∞-⋃-+∞）；（2）{}413413x x <<+；（3）{}15x x -≤≤；（4）94x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭．【解析】（1）令22730x x ++=，解得：112x =-，23x =-， 又二次函数2273y x x =++的图象开口方向向上，22730x x ∴++>的解集为()1,3(,2-∞-⋃-+∞）. （2）令2830x x -+-=，解得：1413x =2413x = 又二次函数283y x x =-+-的图象开口方向向下，2830x x ∴-+->的解集为{}413413x x <<.（3）令2450x x --=，解得：11x =-，25x =， 又二次函数245y x x =--的图象开口方向向上，2450x x ∴--≤的解集为{}15x x -≤≤.（4）令28141804x x -+-=，解得：94x =，又二次函数2814184y x x =-+-的图象开口方向向下，28141804x x ∴-+-≥的解集为94x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. 【题型二 含参一元二次不等式的解法】1.（2022·山东济宁·高一期中）解关于x 的不等式：2212()x ax a a R ->∈. 【答案】答案见解析.【解析】因为2212x ax a ->，所以22120x ax a -->，即()()430x a x a +->. 令()()430x a x a +-=，解得12,43a a x x =-=. ①当0a >时，43a a-<，解集为4a x x ⎧<-⎨⎩或3a x ⎫>⎬⎭；②当0a =时，20x >，解集为{x x R ∈，且0}x ≠； ③当0a <时，43a a->，解集为3a x x ⎧<⎨⎩，或4a x ⎫>-⎬⎭.综上所述：当0a >时，不等式的解集为4ax x ⎧<-⎨⎩，或3a x ⎫>⎬⎭；当0a =时，不等式的解集为{x x R ∈，且0}x ≠；当0a <时，不等式的解集为3ax x ⎧<⎨⎩，或4a x ⎫>-⎬⎭.2.（2022·河北·高一期末）解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R )． 【答案】答案见解析【解析】若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1．若a <0，原不等式等价于()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得1x a <或x >1． 若a >0，原不等式等价于()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭． ①当a ＝1时，11a =，()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭无解；②当a >1时，11a <，解()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，得11x a <<；③当0<a <1时，11a >，解()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，得11x a <<；综上所述，当a <0时，解集为1|x x a⎧<⎨⎩或}1x >； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}； 当0<a <1时，解集为1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； 当a ＝1时，解集为∈； 当a >1时，解集为1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． 3．（多选题）（2022·江西上饶·高一期末）下列关于不等式()210x a x a -++>的解集讨论正确的是（ ）A ．当1a =时，()210x a x a -++>的解集为∅B ．当1a >时，()210x a x a -++>的解集为(),a ∞+ C ．当1a <时，()210x a x a -++>的解集为{}1x x a x <>或 D ．无论a 取何值时，()210x a x a -++>的解集均不为空集【答案】CD【解析】解：对于A ，当1a =时，原不等式为()222+11>0x x x -=-，解得1x ≠，故A 不正确；对于B ，当>1a 时，原不等式为()()()2+1+1>0x a x a x x a -=--，解得1x <或>x a ，故B 不正确；对于C ，当1a <时，原不等式为()()()2+1+1>0x a x a x x a -=--，解得>1x 或x a <，故C 正确；对于D ，由二次函数()()2+1+a f x x x a -=，开口向上，所以无论a 取何值时，不等式均有解，故D 正确；故选：CD.4.（2022·河北石家庄期中）已知2a >，关于x 的不等式2(2)20ax a x -++>的解集为（ ） A ．2x x a ⎧<⎨⎩或}1x > B ．2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．{1x x <或2x a ⎫>⎬⎭ D ．2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】A【解析】不等式2(2)20ax a x -++>化为()()210ax x -->，2a >，21a ∴<，故不等式的解集为2x x a ⎧<⎨⎩或}1x >.故选：A.5. （2022·河南·南阳中学高一阶段练习）解关于x 的不等式：()2230x a a x a -++<.【答案】答案见解析【解析】解：()2230x a a x a -++<即()()20x a x a --<，则对应方程的根为212,==x a x a ，①当0a <或1a >时，原不等式的解集为{}2x a x a <<，②当0a =或1a =时，原不等式的解集为∅，③当01a <<时，原不等式的解集为{}2x a x a <<.6. （2022·安徽省临泉第一中学期中）解关于x 的不等式2(41)40ax a x -++>. 【答案】答案见解析【解析】由题意可知，2(41)40ax a x -++>可化为(1)(4)0ax x -->（1）当0a =时，不等式化为40x -<，解得4x <，（2）当10a <时，不等式化为()140x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得14x a <<，（3）当104a <<时，不等式化为1(4)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得1x a <或4x >，（4）当14a=时，不等式化为2(4)0x ->，解得4x ≠， （5）当14a >时，不等式化为1(4)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得4x <或1x a >，综上所述，0a =时，不等式的解集为(,4)-∞0a <时，不等式的解集为1,4a ⎛⎫⎪⎝⎭； 14a >时，不等式的解集为1,(4,)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；14a =时，不等式的解集为(,4)(4,)-∞+∞； 104a <<时，不等式的解集为1(,4),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭; 【题型三 三个“二次”关系的应用】1. （2022·浙江高一期末）已知不等式220ax bx ++>的解集为{|12}x x -<<，则不等式220x bx a ++<的解集为（ ）A ．1{|1}?2x x -<< B ．{|1x x <-或12x >} C ．{}|21x x -<< D ．{|2x x <-或}1x > 【答案】A 【解析】不等式220ax bx ++>的解集为{|12}x x -<<，220ax bx ∴++=的两根为1-，2，且0a <，即12b a-+=-，()212a -⨯=，解得1a =-，1b =，则不等式可化为2210x x +-<，解得112x -<<，则不等式220x bx a ++<的解集为1{|1}2x x -<<．故选：A2.（2022·江苏高一月考）关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()3,1-，则不等式20bx ax c ++<的解集为（ ）A ．()1,2?B ．()1,2-C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】20ax bx c ++<的解集是()3,1-，03131a b a c a ⎧⎪>⎪⎪∴-+=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩，得2,3b a c a ==-，则不等式220230bx ax c ax ax a ++<⇔+-<，即2230x x +-<，解得：312x -<<， 所以不等式的解集是3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D3．（2022·北京大兴·高一期末）（多选）已知关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集为{2x x ≤-或}3x ≥，则下列说法正确的是（ ） A ．0a <B ．0ax c +>的解集为{}6x x >C ．8430a b c ++<D ．20cx bx a ++<的解集为113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】AD【解析】因为关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集为{2x x ≤-或}3x ≥， 所以0a <且方程20ax bx c ++=的两个根为2-，3， 即3(2)6,3(2)16,c bc a b a a a⨯-==-+-=-=⇒=-=-. 因此选项A 正确；因为6c a =-，0a <，所以由0606ax c ax a x +>⇒->⇒<，因此选项B 不正确； 由6,c a b a =-=-可知：8438418140a b c a a a a ++=--=->，因此选项C 不正确； 因为6,c a b a =-=-，所以由222060610cx bx a ax ax a x x ++<⇒--+<⇒+-<， 解得：1123x -<<，因此选项D 正确，故选：AD4. （2022·河南开封·高一期末）（多选）若不等式20ax bx c -+>的解集是(1,2)-，则下列选项正确的是（ ） A ．0b <且0c > B ．0a b c -+>C ．0a b c ++>D ．不等式20ax bx c ++>的解集是{|21}x x -<<【答案】ABD【解析】因为20ax bx c -+>的解集为()1,2-，解集属于两根之内的情况，所以0a <，又因为0420a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩，所以2b a c a =⎧⎨=-⎩；A ．0,20b a c a =<=->，故正确；B ．因为()11,2∈-，所以0a b c -+>，故正确；C ．因为解集为()1,2-，所以0a b c ++=，故错误；D ．因为20ax bx c ++>即为2220ax ax a +->，即220x x +-<，解得()2,1x ∈-，故正确； 故选：ABD.5. （2022·福建·厦门一中高一期中）已知不等式250ax x b -+>的解集为{32}xx -<<∣，则不等式250bx x a -+<的解集是（ ）A ．1132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣B ．1123xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣ C ．13xx ⎧<-⎨⎩∣或12x ⎫>⎬⎭D ．12xx ⎧<-⎨⎩∣或13x ⎫>⎬⎭【答案】A 【解析】250ax x b -+>的解集为{}|32x x -<<,则0a <250ax x b ∴-+=的根为3,2-，即532a -+=，32ba-⨯=，解得5,30a b =-=， 则不等式250bx x a -+<可化为230550x x --<，即为2610x x --<， 解得{11|}32x x -<<或，故选：A.【题型四 解简单的分式不等式】1.（2022·河南·夏邑第一高级中学高一期末）不等式101xx ->+的解集是（ ）A ．(1,)+∞B ．(1,1)-C ．(,1)-∞-D ．(,1)-∞-(1,)+∞【答案】B【解析】分式不等式101xx ->+等价于()()110x x -+>，即()()110x x -+< 解一元二次不等式得：11x -<<故不等式101xx ->+的解集是(1,1)-故选：B. 2.（2022·安徽·南陵中学高一月考）不等式2812x x -<-+的解集为（ ） A ．()3,2-- B ．()3,2-C ．()3,4-D ．()2,4-【答案】B 【解析】由2812x x -<-+可得260x x +-<，解得32x -<<，所以不等式的解集为(3,2)-. 故选：B3．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）不等式2112x x +≥+的解集为__________． 【答案】{x |x ≥1或x ＜﹣2} 【解析】由2112x x +≥+得21102x x +-≥+，即102x x -≥+， 解得：x ≥1或x ＜﹣2，所以原不等式的解集为{x |x ≥1或x ＜﹣2}． 故答案为：{x |x ≥1或x ＜﹣2}．4. （2022·全国高一课时练习）已知a ∈R ，求不等式21ax x ax >-的解集． 【答案】答案见解析.【解析】因为21ax x ax >-，所以201ax x ax ->-，所以2201ax ax x ax -+>-， 所以01xax >-，所以(1)0x ax ->， 当0a =时，解集为(,0)-∞；当0a >时，解集为1(,0),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭； 当0a <时，解集为(1a ,0)．【题型五 一元二次不等式恒成立问题】1.（2022·浙江高一期末）关于x 的不等式21mx mx m ++<对任意x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞ B ．(],0-∞C ．()4,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭D ．(]4,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】①当0m =时，则01<成立，故符合题意，②0m ≠时，因为21mx mx m ++<对任意x ∈R 恒成立，所以0m <，不等式变为：210mx mx m ++-<，()2410m m m ∆=--<，所以：0m <，综上：0m ≤.故选：B.2.（2022·江西·宁冈中学高一月考）不等式()()229310a x a x -++-≥的解集是空集，则实数a 的范围为【答案】935a -<<【解析】令290a -=，解得3a =±； 当3a =时，不等式化为610x -，解得16x，不合题意，舍去； 当3a =-时，不等式化为10-，无解，符合题意； 当290a -≠，即3a ≠±时，因为22(9)(3)10a x a x -++-的解集是空集，所以22(9)(3)10a x a x -++-<恒成立，所以()()22233909334905a a a a a -<<⎧⎧-<⎪⎪⇒⎨⎨-<<∆=++-<⎪⎪⎩⎩，解得935a -<<， 3．（2022·河北廊坊·高一期末）若对于任意的[]0,2x ∈，不等式220x x a -+>恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．[)1,+∞【答案】B 【解析】不等式220x x a -+>，转化为22a x x >-+，设2()2f x x x =-+，[0x ∈，2]，则2()(1)1f x x =--+，当1x =时，()f x 取得最大值为()()11max f x f ==，所以实数a 的取值范围是(1,)+∞．故选：B ．4. （2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的不等式2240ax x a -+<在(0,2]上有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．(,2)-∞ D ．(2,)+∞ 【答案】A【解析】2(]0,x ∈时，不等式可化为22244x a x x x<=++；令2()4f x x x =+，则max 1()224a f x <==，当且仅当2x =时，等号成立，综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．故选：A ． 【题型六 一元二次不等式的实际应用】1.（2022·浙江高一期中）为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V 的取值范围为___________.【答案】1040V ≤≤【解析】第一次操作后，利下的纯药液为10V -，第二次操作后，利下的纯药液为10108V V V---⨯，由题意可知： 21010860%452000540V V V V V V V---⨯≤⋅⇒-+≤⇒≤≤， 因为10V ≥，所以1040V ≤≤，故答案为：1040V ≤≤2．（2022·云南·玉溪市江川区第二中学高一期中）如图所示，某学校要在长为8米，宽为6米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为x 米，中间植草坪.为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则x 的取值范围为________.【答案】01x <<【解析】设花卉带宽度为x 米()03x <<， 则中间草坪的长为82x -米，宽为62x -米，根据题意可得()()18262862x x -⋅->⨯⨯， 整理得：2760x x -+>，即()()610x x -->，解得01x <<或6x >， 6x >不合题意，舍去，故所求花卉带宽度的范围为01x <<，故答案为：01x <<.3. （2022·吉林长春市·长春十一高高一期中）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要指标．在一个限速为40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离()m s 与车速()km/h x 分别有如下关系式：210.10.01s v v =+，220.050.005s v v =+．问：甲、乙两辆汽车是否有超速现象？【答案】甲种车型没有超速现象, 乙种车型有超速现象.【解析】【分析】根据题意，得到一元二次不等式，结合解一元二次方程的方法进行求解即可.【详解】因为甲种车型的刹车距离()m s 与车速()km/h x 的关系式：210.10.01s v v =+， 所以由题意可得：2210.10.0112101200030s v v v v v =+>⇒+->⇒>，或40v <-舍去，即30v >，当40v =时，10.1400.0116002012s =⨯+⨯=>，显然甲种车型没有超速现象；因为乙种车型的刹车距离()m s 与车速()km/h x 的关系式：220.050.005s v v =+，所以由题意可得：2220.050.005102000040s v v v v v =+>⇒+->⇒>，或50v <-舍去，即40v >，因此乙种车型有超速现象.4. （2022·湖北高一期中）某公司销售一批新型削笔器，该削笔器原来每个售价15元，年销售18万个.（1）据市场调查，若一个削笔器的售价每提高1元，年销售量将相应减少2000个，要使年销售总收入不低于原收入，该削笔器每件售价最多为多少元？（2）为了提高年销售量，公司立即对该削笔器进行技术革新和销售策略改革，并提高售价到x 元.公司计划投入213x 万元作为技改费用，投入30万元作为固定宣传费用.试问：技术革新后，该削笔器的年销售量t 至少达到多少万个时，才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和？并求此时每个削笔器售价？【答案】（1）90元；（2）20万，30元.【解析】（1）设每件零售价为x 元，由题意可得()180.2151518x x --≥⨯⎡⎤⎣⎦即210515900x x -+⨯≤，()()15900x x --≤，∴1590x ≤≤.故要使年销售总收入不低于原收入，该削笔器每件售价最多为90元.（2）当15x >时，211518303tx x ≥⨯++有解， 当15x >时，3003x t x ≥+有解， ∵3002100203x x +≥=，当且仅当3003x x =，即30x =时等号成立， ∴20t ≥，因此，该削笔器的年销售量t 至少达到20万个时，才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每个削笔器售价30元.。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式考点讲解考点1：一元二次不等式的解法1．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集．2．解一元二次不等式常用方法（1）因式分解法解一元二次不等式一般地,如果x1<x2,则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是x1<x<x2；不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是x>x1或x<x2．（2）配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式,然后根据k的正负等知识,就可以得到原不等式的解集．3．三个“二次”的关系设y＝ax2＋bx＋c(a＞0),方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0解不等式y＞0或y＜0的步骤求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1,x2有两个相等的实数解x1＝x2没有实数解画函数y＝f(x)的示意图不等式的集解得f(x) ＞0 {x|x＜x1或x＞x2}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠abxx2R f(x)＜0{x|x1＜x＜x2} ∅∅【例1】解下列不等式：（1）6x2＋5x＋1>0；（2）2x2＋7x＋3>0；（3）－2x2＋3x－2<0. （4）(x＋1)(x－7)≤2.【方法技巧】1. 利用因式分解法求解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)的解集时,其关键是利用“十字相乘法”分解因式,同时要注意a 的符号．2. 用配方法解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集时,首先将x 2的系数转化为正值,然后配方成a (x －h )2>k 或a (x －h )2<k 的形式解决．3. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤（1）化标准．通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正． （2）判别式．对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式． （3）求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）写解集．根据图象写出不等式的解集．【针对训练】 解不等式： （1）x 2－4x －5≤0； （2）－4x 2＋18x －814≥0；（3）－x 2＋6x －10>0.考点2：含参数的一元二次不等式的解法【例2】 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.注：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并．【针对训练】2．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．考点3：一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系[探究问题]1．利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|x<x1或x>x2},{x|x1<x<x2}(x1<x2),则x1＋x2,x1x2为何值？【例3】已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3},求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．【变式分析】1．(变结论)本例中的条件不变,求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．2．(变条件)若将本例中的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231x x .求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【方法技巧】已知以a ,b ,c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c ＞0)的解集,求解其他不等式的解集时,一般遵循： （1）根据解集来判断二次项系数的符号；（2）根据根与系数的关系把b ,c 用a 表示出来并代入所要解的不等式； （3）约去 a , 将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 考点4：分式不等式的解法（化分式不等式为整式不等式）类型同解不等式f （x ）g （x ）>0(<0) 法一：⎩⎨⎧f （x ）>0（<0）g （x ）>0或⎩⎨⎧f （x ）<0（>0）g （x ）<0法二：f (x )·g (x )>0(<0) f （x ）g （x ）≥0(≤0) 法一：⎩⎨⎧f （x ）≥0（≤0）g （x ）>0或⎩⎨⎧f （x ）≤0（≥0）g （x ）<0法二：⎩⎨⎧f （x ）·g （x ）≥0（≤0）g （x ）≠0f （x ）g （x ）>a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫<a ≥a ≤a 先移项转化为上述两种形式【例4】 解下列不等式： （1）x －3x ＋2<0；（2）x ＋12x －3≤1.【方法技巧】1．对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解．【针对训练】4．解下列不等式：（1）x ＋1x －3≥0；（2）5x ＋1x ＋1<3.考点5：一元二次不等式的应用【例5】 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定,农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点,即8%)．为了减轻农民负担,制定积极的收购政策．根据市场规律,税率降低x 个百分点,收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.【针对训练】5．某校园内有一块长为800 m,宽为600 m 的长方形地面,现要对该地面进行绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪,若要求草坪的面积不小于总面积的一半,求花卉带宽度的范围．考点6：不等式恒成立问题1．（1）不等式的解集为R (或恒成立)的条件不等式 ax 2＋bx ＋c >0 ax 2＋bx ＋c <0 a ＝0 b ＝0,c >0b ＝0,c <0a ≠0⎩⎨⎧a>0Δ<0⎩⎨⎧a<0Δ<0（2）有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法f (x )≤a 恒成立⇔f (x )max ≤a f (x )≥a 恒成立⇔f (x )min ≥a[探究问题]1．若函数f (x )＝ax 2＋2x ＋2对一切x ∈R,f (x )>0恒成立,如何求实数a 的取值范围？2．若函数f (x )＝x 2－ax －3对x ∈[－3,－1]上恒有f (x )<0成立,如何求a 的范围？3．若函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意a ∈[－3,1]时,y <0恒成立,如何求x 的取值范围？【例3】 已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ,若x ∈[－2,2],f (x )≥0恒成立,求a 的取值范围．【变式分析】1．(变结论)本例条件不变,若f (x )≥2恒成立,求a 的取值范围．2．(变条件)将例题中的条件“f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ,x ∈[－2,2],f (x )≥0恒成立”变为“不等式x 2＋2x ＋a 2－3>0的解集为R”求a 的取值范围．【方法技巧】1．不等式ax 2＋bx ＋c >0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a ＝0时,b ＝0,c >0；当a ≠0时,⎩⎪⎨⎪⎧a>0Δ<0.2．不等式ax 2＋bx ＋c <0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a ＝0时,b ＝0,c <0；当a ≠0时,⎩⎪⎨⎪⎧a<0Δ<0.3．f (x )≤a 恒成立⇔a ≥[f (x )]max ,f (x )≥a 恒成立⇔a ≤[f (x )]min .考点过关一、选择题A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠31x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-3131x x C ．∅D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=31x x 2．若集合A ＝{x |(2x ＋1)(x －3)<0},B ＝{x |x ∈N *,x ≤5},则A ∩B 等于( ) A ．{1,2,3} B ．{1,2} C ．{4,5}D ．{1,2,3,4,5}3．不等式1＋x1－x ≥0的解集为( )A ．{x |－1<x ≤1}B ．{x |－1≤x <1}C ．{x |－1≤x ≤1}D ．{x |－1<x <1} 4．不等式（x －2）2（x －3）x ＋1<0的解集为( )A ．{x |－1<x <2或2<x <3}B ．{x |1<x <3}C ．{x |2<x <3}D ．{x |－1<x <2}5．若0<t <1,则不等式(x －t )⎪⎭⎫ ⎝⎛-t x 1<0的解集为( ) A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<t x t x 1 B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>t x t x x 或1C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧><t x t x x 或1 D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<t x x 1t 6．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3,a <0,那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3}D ．{x |－3<x <2}7．不等式组⎩⎨⎧x －1>a2x －4<2a有解,则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－∞,－1)∪(3,＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞,－3)∪(1,＋∞)8．二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为全体实数的条件是( )A ．⎩⎨⎧a>0Δ>0B ．⎩⎨⎧a>0Δ<0C ．⎩⎨⎧a<0Δ>0D ．⎩⎨⎧a<0Δ<09．在R 上定义运算⊙：A ⊙B ＝A (1－B ),若不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1对任意的实数x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32D ．－32<a <12A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞,－2)∪(1,＋∞)D ．(－1,2)二、填空题11．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．12．当x ∈(1,2)时,不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立,则m 的取值范围是________．13．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0},B ＝{x |x －a <0},且B ⊆A ,则a 的取值范围为________．14．某地每年销售木材约20万m 3,每m 3价格为2 400元．为了减少木材消耗,决定按销售收入的t %征收木材税,这样每年的木材销售量减少52t 万m 3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t 的取值范围是________．15．不等式2x 2－x ＜4的解集为______． 三、解答题16．求下列不等式的解集： （1）x 2－5x ＋6>0； （2）－12x 2＋3x －5>0.17．解关于x 的不等式x 2－(3a －1)x ＋(2a 2－2)>0.18．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． （1）解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0； （2）b 为何值时,ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R?19．某地区上年度电价为0.8元/kw ·h ,年用电量为a kw ·h .本年度计划将电价降低到0.55元/kw ·h 至0.75元/kw ·h 之间,而用户期望电价为0.4元/kw ·h .经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区电力的成本价为0.3元/kw·h.（1）写出本年度电价下调后,电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；20．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集,且M中的一个元素是0,求实数a的取值范围,并用a表示出该不等式的解集．2.3 二次函数与一元二次方程、不等式考点讲解考点1：一元二次不等式的解法1．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集．2．解一元二次不等式常用方法（1）因式分解法解一元二次不等式一般地,如果x1<x2,则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是x1<x<x2；不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是x>x1或x<x2．（2）配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式,然后根据k的正负等知识,就可以得到原不等式的解集．3．三个“二次”的关系设y＝ax2＋bx＋c(a＞0),方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0解不等式y＞0或y＜0的步骤求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1,x2有两个相等的实数解x1＝x2没有实数解画函数y＝f(x)的示意图不等式的集解得f(x) ＞0 {x|x＜x1或x＞x2}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠abxx2R f(x)＜0{x|x1＜x＜x2} ∅∅（1）6x 2＋5x ＋1>0； （2）2x 2＋7x ＋3>0； （3）－2x 2＋3x －2<0. （4）(x ＋1)(x －7)≤2.[解] (1)由6x 2＋5x ＋1>0,得(2x ＋1)(3x ＋1)>0, ∴x >－13或x <－12,∴不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛+∞-⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,3121, (2)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0,所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3,x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上,所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<->321x x x 或(3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0,因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0,所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根,又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R. (4)由(x ＋1)(x －7)≤2,得x 2－6x －9≤0. 又x 2－6x －9＝(x －3)2－18, ∴原不等式化为(x －3)2－18≤0, ∴(x －3)2≤18, 即－32≤x －3≤32, 解得3－32≤x ≤3＋32,∴不等式的解集为[3－32,3＋32]． 【方法技巧】4. 利用因式分解法求解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)的解集时,其关键是利用“十字相乘法”分解因式,同时要注意a 的符号．5. 用配方法解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集时,首先将x 2的系数转化为正值,然后配方成a (x －h )2>k 或a (x －h )2<k 的形式解决．6. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤（1）化标准．通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正． （2）判别式．对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式． （3）求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）写解集．根据图象写出不等式的解集．【针对训练】 解不等式： （1）x 2－4x －5≤0； （2）－4x 2＋18x －814≥0；（3）－x 2＋6x －10>0.[解]：(1)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0,所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}．(2)原不等式可化为2292⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ≤0,所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=49x x (3)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0,因为Δ＝(－6)2－40＝－4<0,所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根,又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图像开口向上,所以原不等式的解集为∅.考点2：含参数的一元二次不等式的解法【例2】 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.思路探究：①对于二次项的系数a 是否分a ＝0,a <0,a >0三类进行讨论？②当a ≠0时,是否还要比较两根的大小？ [解] 当a ＝0时,原不等式可化为x >1. 当a ≠0时,原不等式可化为(ax －1)(x －1)<0.当a <0时,不等式可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)>0, ∵1a <1,∴x <1a或x >1. 当a >0时,原不等式可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)<0. 若1a <1,即a >1,则1a <x <1； 若1a ＝1,即a ＝1,则x ∈∅； 若1a >1,即0<a <1,则1<x <1a. 综上所述,当a <0时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><11x a x x 或；当a ＝0时,原不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x x 11；当a ＝1时,原不等式的解集为∅；当a >1时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<11x a x .【方法技巧】解含参数的一元二次不等式的一般步骤注：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并． 【针对训练】2．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a <0)． [解] 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0, 化简为(x ＋1)(ax －2)≥0.∵a <0,∴(x ＋1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 2≤0. 当－2<a <0时,2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时,x ＝－1； 当a <－2时,－1≤x ≤2a .综上所述,当－2<a <0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤12x a x ； 当a ＝－2时,解集为{x |x ＝－1}；当a <－2时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤a x x 21-.考点3：一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系[探究问题]1．利用函数y ＝x 2－2x －3的图象说明当y >0、y <0、y ＝0时x 的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？ [提示] y ＝x 2－2x －3的图象如图所示．函数y ＝x 2－2x －3的值满足y >0时自变量x 组成的集合,亦即二次函数y ＝x 2－2x －3的图象在x 轴上方时点的横坐标x 的集合{x |x <－1或x >3}；同理,满足y <0时x 的取值集合为{x |－1<x <3},满足y ＝0时x 的取值集合,亦即y ＝x 2－2x －3图象与x 轴交点横坐标组成的集合{－1,3}．这说明：方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)是函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的一种特殊情况,它们之间是一种包含关系,也就是当y ＝0时,函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)就转化为方程,当y >0或y <0时,就转化为一元二次不等式．2．方程x 2－2x －3＝0与不等式x 2－2x －3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？ [提示] 方程x 2－2x －3＝0的解集为{－1,3}．不等式x 2－2x －3>0的解集为{x |x <－1或x >3},观察发现不等式x 2－2x －3>0解集的端点值恰好是方程x 2－2x －3＝0的根．3．设一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2},{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2),则x 1＋x 2,x 1x 2为何值？[提示] 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2},{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x1＋x2＝－ba x1x2＝ca即不等式的解集的端点值是相应方程的根．【例3】 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3},求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．思路探究：由给定不等式的解集形式→确定a<0及关于abc 的方程组→错误!→错误!→错误![解] 法一：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知,a <0,且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根,由根与系数的关系可知b a ＝－5,c a ＝6.由a <0知c <0,b c ＝－56,故不等式cx 2＋bx ＋a <0,即x 2＋b cx ＋a c>0,即x 2－56x ＋16>0,解得x <13或x >12,所以不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,2131,. 法二：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知,a <0,且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根,所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ,c ＝6a ,故不等式cx 2＋bx ＋a <0,即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2131x x <0,故原不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,2131, 【变式分析】1．(变结论)本例中的条件不变,求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集． [解] 由根与系数的关系知b a ＝－5,ca ＝6且a <0.∴c <0,b c ＝－56,故不等式cx 2－bx ＋a >0,即x 2－b c x ＋a c <0,即x 2＋56x ＋16<0.解之得.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231x x 2．(变条件)若将本例中的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231x x .求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．[解] 法一：由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231x x 知a ＜0.又31-×2＝c a＜0,则c ＞0. 又－13,2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根,∴－b a ＝53,∴b a ＝－53.又c a ＝－23,∴b ＝－53a ,c ＝－23a , ∴不等式变为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 32x 2＋⎪⎭⎫⎝⎛-a 35x ＋a ＜0, 即2ax 2＋5ax －3a ＞0. 又∵a ＜0,∴2x 2＋5x －3＜0,所求不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-231x x 法二：由已知得a ＜0 且⎪⎭⎫ ⎝⎛-31＋2＝－b a,⎪⎭⎫ ⎝⎛-31×2＝ca知c ＞0,设方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两根分别为x 1,x 2, 则x 1＋x 2＝－b c ,x 1·x 2＝a c ,其中a c ＝1⎝⎛⎭⎫－13×2＝－32,－b c ＝－b a c a ＝⎝⎛⎭⎫－13＋2⎝⎛⎭⎫－13×2＝1⎝⎛⎭⎫－13＋12＝－52,∴x 1＝1⎝⎛⎭⎫－13＝－3,x 2＝12.∴不等式cx 2＋bx ＋a ＜0(c ＞0)的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-231x x . 【方法技巧】已知以a ,b ,c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c ＞0)的解集,求解其他不等式的解集时,一般遵循： （1）根据解集来判断二次项系数的符号；（2）根据根与系数的关系把b ,c 用a 表示出来并代入所要解的不等式； （3）约去 a , 将不等式化为具体的一元二次不等式求解．考点4：分式不等式的解法（化分式不等式为整式不等式）类型同解不等式f （x ）g （x ）>0(<0) 法一：⎩⎨⎧f （x ）>0（<0）g （x ）>0或⎩⎨⎧f （x ）<0（>0）g （x ）<0法二：f (x )·g (x )>0(<0) f （x ）g （x ）≥0(≤0) 法一：⎩⎨⎧f （x ）≥0（≤0）g （x ）>0或⎩⎨⎧f （x ）≤0（≥0）g （x ）<0法二：⎩⎨⎧f （x ）·g （x ）≥0（≤0）g （x ）≠0f （x ）g （x ）>a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫<a ≥a ≤a 先移项转化为上述两种形式【例4】 解下列不等式： （1）x －3x ＋2<0；（2）x ＋12x －3≤1.[解] (1)x －3x ＋2<0⇔(x －3)(x ＋2)<0⇔－2<x <3,∴原不等式的解集为{x |－2<x <3}．(2)∵x ＋12x －3≤1, ∴x ＋12x －3－1≤0, ∴－x ＋42x －3≤0, 即x －4x －32≥0. 此不等式等价于(x －4)⎪⎭⎫ ⎝⎛-23x ≥0且x －32≠0,解得x <32或x ≥4,∴原不等式的解集为.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥<423x x x 或 【方法技巧】1．对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解．【针对训练】4．解下列不等式：（1）x ＋1x －3≥0；（2）5x ＋1x ＋1<3.[解] (1)根据商的符号法则,不等式x ＋1x －3≥0可转化成不等式组⎩⎨⎧（x ＋1）（x －3）≥0x≠3.解这个不等式组,可得x ≤－1或x >3. 即知原不等式的解集为{x |x ≤－1或x >3}．(2)不等式5x ＋1x ＋1<3可改写为5x ＋1x ＋1－3<0,即2（x －1）x ＋1<0.可将这个不等式转化成2(x －1)(x ＋1)<0, 解得－1<x <1.所以,原不等式的解集为{x |－1<x <1}．考点5：一元二次不等式的应用【例5】 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定,农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点,即8%)．为了减轻农民负担,制定积极的收购政策．根据市场规律,税率降低x 个百分点,收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.思路探究：将文字语言转换成数学语言：“税率降低x 个百分点”即调节后税率为(8－x )%；“收购量能增加2x 个百分点”,此时总收购量为m (1＋2x %)吨,“原计划的78%”即为2 400m ×8%×78%.[解] 设税率调低后“税收总收入”为y 元． y ＝2 400m (1＋2x %)·(8－x )% ＝－1225m (x 2＋42x －400)(0<x ≤8)．依题意,得y ≥2 400m ×8%×78%,即－1225m (x 2＋42x －400)≥2 400m ×8%×78%,整理,得x 2＋42x －88≤0,解得－44≤x ≤2.根据x 的实际意义,知0<x ≤8,所以x 的范围为(0,2]．【针对训练】5．某校园内有一块长为800 m,宽为600 m 的长方形地面,现要对该地面进行绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪,若要求草坪的面积不小于总面积的一半,求花卉带宽度的范围．[解] 设花卉带的宽度为x m(0<x <600),则中间草坪的长为(800－2x )m ,宽为(600－2x )m .根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600,整理得x 2－700x ＋600×100≥0,即(x －600)(x －100)≥0,所以0<x ≤100或x ≥600,x ≥600不符合题意,舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0,100] m.考点6：不等式恒成立问题1．（1）不等式的解集为R (或恒成立)的条件不等式 ax 2＋bx ＋c >0 ax 2＋bx ＋c <0 a ＝0 b ＝0,c >0b ＝0,c <0a ≠0⎩⎨⎧a>0Δ<0⎩⎨⎧a<0Δ<0（2）有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法f (x )≤a 恒成立⇔f (x )max ≤a f (x )≥a 恒成立⇔f (x )min ≥a[探究问题]1．若函数f (x )＝ax 2＋2x ＋2对一切x ∈R,f (x )>0恒成立,如何求实数a 的取值范围？[提示] 若a ＝0,显然f (x )>0不能对一切x ∈R 都成立．所以a ≠0,此时只有二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋2的图象与直角坐标系中的x 轴无交点且抛物线开口向上时,才满足题意,则⎩⎨⎧a ＞0Δ＝4－8a<0解得a >12.2．若函数f (x )＝x 2－ax －3对x ∈[－3,－1]上恒有f (x )<0成立,如何求a 的范围？[提示] 要使f (x )<0在[－3,－1]上恒成立,则必使函数f (x )＝x 2－ax －3在[－3,－1]上的图象在x 轴的下方,由f (x )的图象可知,此时a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）<0f （－1）<0即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋6<0a －2<0 解得a <－2.故当a ∈(－∞,－2)时,有f (x )<0在x ∈[－3,－1]时恒成立．3．若函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意a ∈[－3,1]时,y <0恒成立,如何求x 的取值范围？[提示] 由于本题中已知a 的取值范围求x ,所以我们可以把函数f (x )转化为关于自变量是a 的函数,求参数x 的取值问题,则令g (a )＝2x ·a ＋x 2－4x ＋4.要使对任意a ∈[－3,1],y <0恒成立,只需满足⎩⎪⎨⎪⎧g （1）<0g （－3）<0即⎩⎨⎧x2－2x ＋4<0x2－10x ＋4<0.因为x 2－2x ＋4<0的解集是空集,所以不存在实数x ,使函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意a ∈[－3,1],y <0恒成立． 【例3】 已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ,若x ∈[－2,2],f (x )≥0恒成立,求a 的取值范围．思路探究：对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于零的问题,可以利用函数的图象与性质求解． [解] 设函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a 在x ∈[－2,2]时的最小值为g (a ),则(1)当对称轴x ＝－a 2<－2,即a >4时,g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0,解得a ≤73,与a >4矛盾,不符合题意．(2)当－a 2∈[－2,2],即－4≤a ≤4时,g (a )＝3－a －a24≥0,解得－6≤a ≤2,此时－4≤a ≤2.(3)当－a2>2,即a <－4时,g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0,解得a ≥－7,此时－7≤a <－4.综上,a 的取值范围为－7≤a ≤2. 【变式分析】1．(变结论)本例条件不变,若f (x )≥2恒成立,求a 的取值范围．[解] 若x ∈[－2,2],f (x )≥2恒成立可转化为：当x ∈[－2,2]时,f (x )min ≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2<－2f （x ）min ＝f （－2）＝7－3a≥2或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－a2≤2f （x ）min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝3－a －a24≥2或⎩⎨⎧－a2>2f （x ）min ＝f （2）＝7＋a≥2 解得a 的取值范围为[－5,－2＋22]．2．(变条件)将例题中的条件“f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ,x ∈[－2,2],f (x )≥0恒成立”变为“不等式x 2＋2x ＋a 2－3>0的解集为R”求a 的取值范围． 知识改变命运。

2.3二次函数与一元二次方程、不等式（用时45分钟）基础巩固1．不等式21x >的解集是（ ）A ．{}1x xB ．{}|1x x >±C ．{}|11x x -<<D ．{1x x 或}1x <- 2．不等式()()120x x -->的解集为（ ）A ．{}12x x x <>或B ．{}|12x x <<C ．{}21x x x <->-或D ．{}|21x x -<<-3．若关于x 的不等式20mx ->的解集是{|2}x x >，则实数m 等于（ ）A ．－1B ．－2C ．1D ．24．已知集合2}{0|A x x x =-<（），{|11}B x x =-<<，则A B ⋂=（ ） A ．{|12}x x -<<B ．{|1x x <-或2x >}C ．{|01}x x <<D ．{|0x x <或}5．若对任意(1,)x ∈+∞，不等式(1)(1)0x ax -+≤恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．11a -≤≤B ．1a ≤C ．1a ≥-D ．1a ≤-6．已知关于x 的不等式20ax x c -+<的解集为{}|12x x -<<，则a c +等于________7．若关于x 的不等式23x ax a --≤-有解，则实数a 的取值范围为________.8．已知关于x 的不等式()(2)0x a x a -->的解集为M .（1）当1a =时，求M ；（2）当a R ∈时，求M .能力提升9．若关于x 的一元二次方程()()23x x m --=有实数根12,x x ，且12x x <，则下列结论中错误的是A ．当0m =时，122,3x x ==B ．14m >- C ．当0m >时，1223x x <<<D ．二次函数()()12y x x x x m =--+的图象与x 轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）10．若0,0x y >>，且211x y +=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(8,1)-B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞D ．(1,8)- 11．已知函数2()(2)2()f x x a x a a R =-++∈.（1）求不等式()0f x <的解集；（2）若当x ∈R 时，()4f x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.12．某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表所示：若日销售量y 是销售价x 的一次函数，那么，要使每天所获得的利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？素养达成13．某小型机械厂有工人共100名，工人年薪4万元/人，据悉该厂每年生产x 台机器，除工人工资外，还需投入成本为()C x (万元)，()2110,070310000511450,70150x x x C x x x x ⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+-≤≤⎪⎩且每台机器售价为50万元.通过市场分析，该厂生产的机器能全部售完．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x 的函数解析式；（2）问：年产量为多少台时，该厂所获利润最大？。

2.3 二次函数与一元二次方程不等式（第2课时）导学案一、学习目标1.熟练掌握分式不等式的解法；2.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系；3.构建一元二次函数模型，解决实际问题．二、重点难点重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集;难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用．三、导入新知同学们，数学是和生活联系非常紧密的学科，我们学习数学，也是为了解决生活中的问题，比如：“水立方”是2008年北京奥运会标志性建筑之一，在2022年成功改造成冬奥会历史上体量最大的冰壶场馆“冰立方”．如图为水立方平面设计图，已知水立方地下部分为钢筋混凝土结构，该结构是大小相同的左、右两个矩形框架，两框架面积之和为18 000 m2，现地上部分要建在矩形ABCD 上，已知两框架与矩形ABCD之间空白的宽度为10 m，两框架之间的中缝空白宽度为5 m，请问作为设计师的你，应怎样设计矩形ABCD，才能使水立方占地面积最小？要解决这个问题，还得需要我们刚学习过的基本不等式哦，让我们开始今天的探究之旅吧！四、应用新知利用一元二次不等式可以解决一些实际问题，下面看两个例子．例4 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （单位：辆）与创造的价值y （单位：元）之间有如下的关系：2202200y x x =-+．若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？【变式】某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x ＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ．已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式．(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？例5 某种汽车在水泥路面上的刹车距离s （单位：m ）和汽车刹车前的车速v （单位：km/h ）之间有如下关系：21120180s v v =+． 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m ，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到1 km/h ）？距离)s m和汽车刹车前的车速x km/h有如下关系：s＝－2x＋118x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？五、能力提升题型一：简单方式不等式的解法【练习1】解下列不等式：(1)x＋1x－3≥0；(2)5x＋1x＋1<3.【练习2】已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．题型三：一元二次不等式的实际应用【练习3】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x >0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出降税后税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调整后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．题型四：一元二次不等式恒成立问题【练习4】(1). 如果方程20ax bx c ++=的两根为2-和3且0a <，那么不等式20ax bx c ++>的解集为____________．(2).已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．01k ≤≤B ．01k <≤C ．k 0<或1k >D ．0k ≤或1k >跟踪练习：已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．01k ≤≤B ．01k <≤C ．k 0<或1k >D ．0k ≤或1k >六、课堂总结1．知识清单：(1)简单的分式不等式的解法．(2)二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用．(3)一元二次不等式的实际应用．2．方法归纳：转化法、恒等变形法．3．常见误区：(1)解分式不等式要等价变形．(2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义．(2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义．七、作业设计(1)整理本节课的题型；(2)课本P54的练习1~3题；(3)课本P55的习题2.3的5~6题.附教材P54练习练习（第54页）1．x 是什么实数时，212x x +-有意义？2．如图，在长为8 m ，宽为6 m 的矩形底面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一般，那么花卉带的宽应为多少米？3．某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？习题2.3复习巩固6. 求下列不等式的解集：（1）21340x ->； （2）()()370x x --<；（3）23100x x -->； （4）23540x x -+->.7. x 是什么实数时，下列各式有意义？（1 （2.综合运用8. 已知{}244150M x x x =-->，{}2560B x x x =-->，求M N ⋂，M N ⋃.9. 一名同学以初速度012m/s v =竖直上抛一排球，排球能够在抛出点2m 以上的位置最多停留多长时间（精确到0.01s ）？若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h 与时间t 满足关系满足关系2012h v t gt =-，其中210m/s g ≈．10. 已知集合2160A x x =-<，2430B x x x =-+>，求A B .拓广探索11. 如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km 处的热带风暴中心正以20km /h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450km 以内的地区都将受到影响.据以上预报估计，从码头现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长（精确到0.1h ）？。

2.3二次函数与一元二次方程、不等式课程标准学科素养1．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．2．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义. 能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.通过对二次函数与一元二次方程、不等式的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”“直观想象”的核心素养.[对应学生用书P24]知识点一元二次不等式(1)一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx ＋c＜0.[微思考]不等式x2－y2＞0是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．(2)二次函数的零点：一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．(3)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＜x1，或x＞x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a Rax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2} ∅ ∅[微体验]1．不等式(1－x )(3＋x )＞0的解集是( ) A ．{x |－3＜x ＜1} B ．{x |x ＜－3或x ＞1} C ．{x |－1＜x ＜3}D ．{x |x ＜－1或x ＞3}A [不等式变为(x －1)(x ＋3)＜0，解得－3＜x ＜1.] 2．不等式x 2－2x －5＞2x 的解集是________．解析 由x 2－2x －5＞2x ，得x 2－4x －5＞0，因为x 2－4x －5＝0的两根为－1,5，故x 2－4x －5＞0的解集为{x |x ＜－1或x ＞5}．答案 {x |x ＞5或x ＜－1}3．不等式－3x 2＋5x －4＞0的解集为________.解析 原不等式变形为3x 2－5x ＋4＜0. 因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23＜0，所以3x 2－5x ＋4＝0无解．由函数y ＝3x 2－5x ＋4的图象可知，3x 2－5x ＋4＜0的解集为∅.答案 ∅4．二次不等式ax 2＋2x －1＜0的解集为R ，则a 的取值范围是________．解析 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，4＋4a ＜0⇒a ＜－1.答案 a ＜－1[对应学生用书P 25]探究一 一元二次不等式的解法求不等式4x 2－4x ＋1＞0的解集．解 因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0， 所以方程4x 2－4x ＋1＝0的解是x 1＝x 2＝12，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12. [变式探究] 将本例不等式变为：－x 2＋2x －3＞0，求解此不等式的解集． 解 不等式可化为x 2－2x ＋3＜0. 因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0， 方程x 2－2x ＋3＝0无实数解， 而y ＝x 2－2x ＋3的图象开口向上， 所以原不等式的解集是∅. [方法总结]解一元二次不等式的一般步骤：第一步，将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)． 第二步，求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根． 第三步，画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．第四步，观察图象中位于x 轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．[跟踪训练1] 求下列一元二次不等式的解集． (1)x 2－5x ＞6；(2)－x 2＋7x ＞6. 解 (1)由x 2－5x ＞6，得x 2－5x －6＞0. ∵x 2－5x －6＝0的两根是x ＝－1或6， ∴原不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞6}． (2)由－x 2＋7x ＞6，得x 2－7x ＋6＜0. ∵x 2－7x ＋6＝0的两个根是x ＝1或6， ∴不等式x 2－7x ＋6＜0的解集为{x |1＜x ＜6}． 探究二 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，试求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1＞0的解集．解 由根与系数的关系，可得⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝1＋2，b ＝1×2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2. ∴不等式bx 2＋ax ＋1＞0，即2x 2－3x ＋1＞0. 由2x 2－3x ＋1＞0，解得x ＜12或x ＞1.∴bx 2＋ax ＋1＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜12或x ＞1. [方法总结]应用三个“二次”之间的关系解题的思想一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．[跟踪训练2] 已知不等式ax 2－bx ＋2＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，求a ，b 的值． 解 方法一：由题设条件知a ＞0，且1,2是方程ax 2－bx ＋2＝0的两实根．由根与系数的关系，知⎩⎨⎧1＋2＝b a，1×2＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.方法二：把x ＝1,2分别代入方程ax 2－bx ＋2＝0中，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋2＝0，4a －2b ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.探究三 一元二次不等式的实际应用问题某校园内有一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解 设花卉带的宽度为x m(0＜x ＜300)， 则中间草坪的长为(800－2x )m ，宽为(600－2x )m. 根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋60 000≥0， 即(x －600)(x －100)≥0，解得0＜x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去． 故所求花卉带宽度的范围为(0,100]． [方法总结]一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．[跟踪训练3] 在一个限速40 km /h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m. 又知甲、乙两种车型的刹车距离S m 与车速x km/h 之间分别有如下关系：S 甲＝0.1x ＋0.01x 2，S 乙＝0.05x ＋0.005x 2. 问谁超速行驶应负主要责任．解 由题意列出不等式S 甲＝0.1x 甲＋0.01x 2甲 ＞12， 解得x 甲＜－40或x 甲＞30， S 乙＝0.05x 乙＋0.005x 2乙＞10. 解得x 乙＜－50或x 乙＞40.由于x ＞0，从而得x 甲＞30 km /h ，x 乙＞40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任．[对应学生用书P 26]1．解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系求解． (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 2．一元二次不等式解集的记忆方法(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)与ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集的记忆口诀：大于取两边，小于取中间．(2)当一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0与ax 2＋bx ＋c ＜0的二次项系数a ＜0时，可以转化为a ＞0.3．解一元二次不等式应用题解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x ，用x 来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．课时作业(十) 二次函数与一元二次方程、不等式[见课时作业(十)P 145]1．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝－13 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤13 C ．∅D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13A [变形为(3x ＋1)2≤0.∴x ＝－13.]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＞0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x ＜－1}∪{x |x ＞2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}B [通解：A ＝{x |(x －2)(x ＋1)＞0}＝{x |x ＜－1或x ＞2}，所以∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}． 优解：因为A ＝{x |x 2－x －2＞0}，所以∁R A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}．] 3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a ＜0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1＜x ＜2}D ．{x |－1≤x ≤2}D [由题意知，－b a ＝1，ca ＝－2，∴b ＝－a ，c ＝－2a ，又∵a ＜0，∴x 2－x －2≤0，∴－1≤x ≤2.]4．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( )A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |－2＜x ＜1}C ．{x | x ＜－2或x ＞1}D ．{x |－1＜x ＜2}B [根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)＜0，则(x ＋2)(x －1)＜0，故不等式的解集是{x |－2＜x ＜1}．]5．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台C [由条件知25x －y ＝25x －3 000－20x ＋0.1x 2＝0.1x 2＋5x －3 000≥0，即x 2＋50x －30 000≥0. ∴(x ＋200)(x －150)≥0. 解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．∴最低产量为150台．]6．不等式ax 2＋bx ＋12＞0的解集为{x |－3＜x ＜2}，则a －b ＝________.解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－3＋2＝－b a ，－3×2＝12a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－2.∴a －b ＝0. 答案 07．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2＜0}，B ＝{x |x －a ＜0}，且B ⊆A ，则a 的取值范围为________．解析 A ＝{x |3x －2－x 2＜0}＝{x |x 2－3x ＋2＞0}＝{x |x ＜1或x ＞2}，B ＝{x |x ＜a }．若B ⊆A ，如图，则a ≤1.答案 (－∞， 1]8．若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两个正实根，则m 的取值范围是________． 解析 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，x 1＋x 2＝3－m ＞0，x 1x 2＝m ＞0，解得0＜m ≤1.答案 0＜m ≤19．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？解 设每盏台灯售价x 元，则x ≥15，并且日销售收入为x [30－2(x －15)]，由题意知，当x ≥15时，有x [30－2(x －15)]＞400，解得：15≤x ＜20.所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为x ∈[15,20)．10．关于x 的不等式mx 2－mx －6＋m ＜0对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围． 解 ①若m ＝0，则问题等价于－6＜0对x ∈R 恒成立，显然成立．②若m ≠0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，(－m )2－4m (m －6)＜0.解得m ＜0.综上所述，所求m 的取值范围是m ≤0.1．不等式mx 2－ax －1＞0(m ＞0)的解集可能是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－1或x ＞14 B ．R C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13＜x ＜32 D ．∅A [因为Δ＝a 2＋4m ＞0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m ＞0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ．]2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＜0，x 2－3x ＜0的解集为( )A ．{x |－1＜x ＜1}B ．{x |0＜x ＜3}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |－1＜x ＜3}C [由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1＜0x 2－3x ＜0，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜10＜x ＜3，∴0＜x ＜1.] 3．设a ＜－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0的解集为________． 解析 因为a ＜－1，所以a (x －a )·⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0⇔(x －a )·⎝⎛⎭⎫x －1a ＞0.又a ＜－1，所以1a＞a ，所以x ＞1a或x ＜a .答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜a 或x ＞1a 4．某商品在最近30天内的价格f (t )与时间t (单位：天)的函数关系是f (t )＝t ＋10(0＜t ≤30，t ∈N )；销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t ＋35(0＜t ≤30，t ∈N )，则使这种商品日销售金额不小于500元的t 的范围为________．解析 日销售金额＝(t ＋10)(－t ＋35)，依题意有(t ＋10)(－t ＋35)≥500，解得解集为{t |10≤t ≤15，t ∈N }．答案 {t |10≤t ≤15，t ∈N }5．解关于x 的不等式(a ∈R )：x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＞0. 解 将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＞0变形为 (x －a )(x －a 2)＞0.当a ＜0时，有a ＜a 2，所以不等式的解集为{x |x ＜a 或x ＞a 2}； 当a ＝0时，a ＝a 2＝0，所以不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；当0＜a＜1时，有a＞a2，所以不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；当a＝1时，a＝a2＝1，所以不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；当a＞1时，有a＜a2，所以不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}．6．(拓广探索)某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？解如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系．∵AB＝400，∠BAx＝30°，∴台风中心B的坐标为(2003，－200)，x h后台风中心B到达点P(2003，40x－200)处．由已知，A市受台风影响时，有|AP|≤350，即(2003)2＋(40x－200)2≤3502，整理得16x2－160x＋375≤0，解得，3.75≤x≤6.25，A市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5.故在3.75 h后，A市会受到台风的影响，时间长达2.5 h.。

2.3 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式1. 一元二次不等式的解法；2. “三个二次”关系的应用；3. 含参数的一元二次不等式的解法；4. 一元二次不等式恒成立问题；5. 含参数的一元二次不等式恒成立；6. 一元二次不等式的实际应用一、单选题1．（2021·湖南怀化·高二期末）设集合{}2|340A x Z x x =Î--£，{}|21B x x =-<，则A B =I （ ）A ．{1,0,1,2}-B ．[1,2)-C ．{1,0,1}-D ．[1,2]-【答案】A 【解析】由题意得，{}{}{}2|340|141,0,1,2,3,4A x Z x x x Z x =Î--£=Î-££=-，{}{}|21|3B x x x x =-<=<，则{}{}{}1,0,1,2,3,4|31,0,1,2A B x x =-<=-I I ，故选：A ．2．（2021·陕西西安·高三三模（文））已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{(1)(2)0}B x x x =-+>，则A B I 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B 【解析】由()()120x x -+>得21x -<<，故{}1,0A B Ç=-，其子集个数为224=.故选B.3．（2021·山东济宁·高一月考）已知0a <，关于x 的一元二次不等式()2220ax a x -++>的解集为（ ）A ．{2|x x a<，或}1x >B ．2|1x x a ìü<<íýîþC ．{|1x x <，或2x a ü>ýþD ．2|1x x a ìü<<íýîþ【答案】B 【解析】依题意()2220ax a x -++>可化为()()210ax x -->，由于0a <，故不等式的解集为2|1x x a ìü<<íýîþ.故选B.4．（2021·唐山市第十二高级中学高一期末）不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不为空集，则a 的取值范围是（ ）A ．［－4，4］B ．（－4，4）C ．（－∞，－4］∪［4，＋∞）D ．（－∞，－4）∪（4，＋∞）【答案】D 【解析】不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16>0，∴a<－4或a>4，故选D.5．（2021·浙江高一课时练习）“不等式x 2―x +m >0在R 上恒成立”的充要条件是（ ）A ．m >14B ．m <14C ．m <1D ．m >1【答案】A 【解析】∵“不等式x 2﹣x+m＞0在R 上恒成立”，∴△＝（﹣1）2﹣4m＜0，解得m ＞14，又∵m ＞14⇒△＝1﹣4m＜0，所以m ＞14是“不等式x 2﹣x+m＞0在R 上恒成立”的充要条件， 故选：A ．6．（2021·全国高三课时练习（理））关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为12(,)x x ，且：2115x x -=，则a=（ ）A ．52B ．72C ．154D ．152【答案】A 【解析】因为关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为12(,)x x ，所以212122,8x x a x x a +==-，又2115x x -=，所以2222212121()()43615x x x x x x a -=+-==，解得52a =±，因为0a >，所以52a =.故选：A.7．（2021·浙江高三专题练习）若不等式210x ax ++³对于一切10,2x æùÎçúèû恒成立，则a 的最小值是 （ ）A ．0B ．2-C ．52-D ．3-【答案】C 【解析】不等式x 2+ax+1≥0对一切x ∈(0，12]成立，等价于a≥-x-1x 对于一切10,2x æùÎçúèû成立，∵y=-x-1x 在区间10,2æùçúèû上是增函数∴115222x x --£--=-∴a≥-52∴a 的最小值为-52故答案为C ．8．（2021·安徽金安·六安一中高一期末（文））若不等式组2142x a x aì->í-<î的解集非空，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．13a -<<B ．1a <-或3a >C ．31a -<<D ．3a <-或1a >【答案】A【解析】原不等式组等价于2124x a x a ì>+í<+î,由题意不等式组解集非空可得22124230a a a a +<+Þ--<13a Þ-<<，故选：A ．9．（2021·浙江高一单元测试）对任意实数x ，不等式()()222240a x a x -+--<恒成立，则a 的取值范围是（ ）．A ．22a -<£B ．22a -££C ．2a <-或2a ³D ．2a £-或2a ³【答案】A 【解析】由已知得220,[2(2)]4(2)(4)0,a a a -<ìíD =---´-<î即2,22,a a <ìí-<<î解得22a -<<．又当2a =时，原不等式可化为40-<，显然恒成立．故a 的取值范围是22a -<…．故选：A ．10．（2021·浙江高一课时练习）定义在R 上的运算：()1x y x y *=-.若不等式()()1x a x a -*+<对任意实数x 都成立，则（ ）A ．3122a -<<B ．1322a -<<C ．11a -<<D ．02a <<【答案】B 【解析】不等式()()1x a x a -*+<可化为()()11x a x a -×--<，即2210x x a a -+-+>对任意实数x 都成立，\()21410a a D =-´-+<，解得1322a -<<.故选B.二、多选题11．（2021·山东济宁·高一月考）已知集合{}()(){}2,1,0,1,|120A B x x x =--=-+£，则 ( )A ．{}2,1,0,1A B Ç=--B ．{}2,1,0,1A B È=--C ．{}1,0,1A B =-ID ．{}|21A B x x È=-££【答案】AD 【解析】由()()120x x -+£解得21x -££，故{}2,1,0,1A B Ç=--,{}|21A B x x È=-££.故选AD.12．（2021·山东滕州市第一中学新校高二月考）下列四个不等式中，解集为Æ的是（ ）A ．210x x -++£B ．22340x x -+<C ．23100x x ++£D ．2440(0)x x a a a æö-+-+>>ç÷èø【答案】BCD 【解析】对于A ，210x x -++£对应函数21y x x =-++开口向下，显然解集不为Æ；对于B ，22340x x -+<，对应的函数开口向上，9320=-<V ，其解集为Æ；对于C ，23100x x ++£，对应的函数开口向上9400=-<V ，其解集为Æ；对于D ，2440(0)x x a a a æö-+-+>>ç÷èø对应的函数开口向下41641640a a æö=-+£-´=ç÷èøV ，其解集为Æ；故选：BCD.13．（2021·山东文登·高一期末）已知函数2()(0)f x x ax b a =++>有且只有一个零点，则( )A ．224a b -£B ．214a b+³C ．若不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，则120x x >D ．若不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，且124x x -=，则4c =【答案】ABD 【解析】因为2()(0)f x x ax b a =++>有且只有一个零点，故可得240a b D =-=，即可240a b =>.对A ：224a b -£等价于2440b b -+³，显然()220b -³，故A 正确；对B ：21144a b b b +=+³=，故B 正确；对C ：因为不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，故可得120x x b =-<，故C 错误；对D ：因为不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，且124x x -=，则方程20x ax b c ++-=的两根为12,x x ，4====，故可得4c =，故D 正确.故选：ABD.14．（2021·山东聊城·高二期末）若“2340x x +-<”是“()222330x k x k k -+++>”的充分不必要条件，则实数k 可以是（ ）A ．-8B ．-5C ．1D ．4【答案】ACD 【解析】2340x x +-<，解得41x -<<，()222330x k x k k -+++>即()[(3)]0x k x k --+>，解得x k <或3x k >+，由题意知(4,1)-⫋(,)(3,)k k -¥È++¥，所以1k ³或34k +£-，即(,7][1,)k Î-¥-È+¥.故选：ACD 三、填空题15．（2021·宁夏原州·固原一中高三其他（理））已知命题“x R $Î，210mx x -+<”是假命题，则实数m 的取值范围是_________.【答案】14m ³【解析】若命题“x R $Î，210mx x -+<”是假命题，则“x R "Î，210mx x -+³”为真命题，则只需满足0140m m >ìíD =-£î，解得14m ³.故答案为：14m ³.16．（2021·黄梅国际育才高级中学高一月考）不等式x 2―kx +1>0对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是__________．【答案】(―2,2)【解析】∵不等式x 2―kx +1>0对任意实数x 都成立，∴△=k 2―4＜0∴―2＜k ＜2故答案为：(―2,2)17．（2021·山东济宁·高一月考）若关于x 的不等式2260tx x t -+<的解集(,)(1,)a -¥+¥U ，则a 的值为______．【答案】-3【解析】显然t<0，且是方程的两根，由韦达定理得，解得．四、双空题18．（2021·上海高一课时练习）若不等式210ax bx ++³的解集为{}51x x -££，则a =________．b =________．【答案】15- 45- 【解析】由题意不等式210ax bx ++³的解集为{}51x x -££，故1，5-是方程210ax bx ++=的两个根1(5)a b \+-=-，1(51)a´-=15a \=-，45b =-故答案为：15-；45-．19．（2021·凤城市第一中学）2[0,3],25,x a x x "γ-+则a 的范围是___;2[0,3],25,x a x x $γ-+则a 的范围是_______【答案】[8,)+¥ [4,)+¥ 【解析】令22()25(1)4f x x x x =-+=-+，对[0,3]x Î，()(3)8max f x f ==，()(1)4min f x f ==，[0,3]x "Î，225a x x ³-+即()8max a f x ³=；[0,3]x $Î，225a x x ³-+即()4min a f x ³=．故答案为：[8,)+¥；[4,)+¥20．（2017·浙江南湖·嘉兴一中高一期中）已知不等式2(1)0x a x a -++<.（1）若不等式在(1,3)上有解，则实数a 的取值范围是__________；（2）若不等式在(1,3)上恒成立，则实数a 的取值范围是__________.【答案】()1,+¥ [)3,+¥【解析】（1）原不等式变为(1)()0x x a --<当1a =时，解集为Æ当1a >时，解集为(1,)a 当1a <时，解集为(,1)a 若不等式在(1,3)上有解，则1a >（2）若不等式在(1,3)上恒成立，则由(1)可知(1,3)(1,)a Í，所以3a …故答案为：（1）()1,+¥；（2）[)3,+¥21．（2021·浙江省杭州第二中学高三期中）已知集合{}2280P x x x =-->，{}Q x x a =³，若P Q R =U ，则实数a 的取值范围是______，若P Q Q Ç=，则实数a 的取值范围是______.【答案】(],2-¥- ()4,+¥【解析】{}{}228042P x x x x x x =-->=><-或，{}Q x x a =³，若P Q R =U 则2a £-，若P Q Q Ç=，则P Q Ê,所以4a >.故答案为：(],2-¥-，()4,+¥.五、解答题22．（2021·全国高一课时练习）解下列不等式：（1）260x x -->；（2）2251010x x -+>；（3）2210x x -++<.【答案】（1）{2x x <-或}3x >；（2）15x x ìü¹íýîþ；（3）12x x ì<-íî或}1x >.【解析】（1）不等式260x x -->即为()()230x x +->，解得2x <-或3x >，因此，不等式260x x -->的解集为{2x x <-或}3x >；（2）不等式2251010x x -+>即为()2510x ->，解得15x ¹，因此，不等式2251010x x -+>的解集为15x x ìü¹íýîþ；（3）不等式2210x x -++<即为2210x x -->，即()()2110x x +->，解得21x <-或1x >.因此，不等式2210x x -++<的解集为12x x ì<-íî或}1x >.23．（2021·全国高一课时练习）已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<，求不等式20cx bx a -+>的解集.【答案】11|23x x ìü-<<-íýîþ.【解析】由题意不等式20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<，则23230b ac a a ì+=-ïïï´=íï<ïïî，解得560b ac a a =-ìï=íï<î，代入不等式20cx bx a -+>，可得2650(0)ax ax a a ++><，即26510x x ++<，解得1123x -<<-，所以所求不等式的解集为11|23x x ìü-<<-íýîþ.24．（2021·黄梅国际育才高级中学高一月考）记不等式3201x x +-³+的解集为A ，关于x 的不等式()()()1201x a a x a ---><的解集为B ．（1）求A ；（2）若B A Í，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()[),11,-¥-+¥U ；（2）2a £-或112a £<【解析】（1）因为3201x x +-³+，所以101x x -³+，所以()()110,1x x x +-³¹-，解得1x ³或1x <-，所以()[),11,A =-¥-+¥U ，（2）因为()()()1201x a a x a ---><，所以()()120x a x a ---<，因为1a <，所以12a a >+，解得21a x a <<+，所以()2,1B a a =+因为B A Í，所以11a £-+或21a ³，解得2a £-或112a £<.25．（2021·荆州市北门中学高一期末）已知关于x 的不等式2260,(0)kx x k k -+<¹（1）若不等式的解集是{}|32x x x <->-或，求k 的值；（2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围；（3）若不等式的解集为Æ，求k 的取值范围．【答案】（1）25k =-（2）k <（3）k ³【解析】(1)∵不等式2260,(0)kx x k k -+<¹的解集是{}|32x x x <->-或,∴k 0<且-3和-2是方程2260kx x k -+=的实数根,由根与系数的关系,得2(3)(2)k -+-=,所以25k =-；(2)不等式的解集是R,所以24240,0k k D =-<<,解得k <(3)不等式的解集为Æ,得24240,0k k D =-£>,解得k ³26．（2021·浙江高一课时练习）命题2:03x P x ->-；命题2:2210q x ax a b +++->（1）若4b =时，22210x ax a b +++->在x R Î上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若p 是q 的充分必要条件，求出实数a ，b 的值【答案】（1）(1,3)-；（2）52a =-，12b =。