北京市201x年中考数学复习 方程与不等式 课时训练(六)一元二次方程

一元二次方程复习22.1 一元二次方程（1）一元二次方程的定义：请你举出几个一元二次方程的例子：一元二次方程的一般形式：。

其中叫二次项，叫一次项，叫常数项，叫二次项系数，叫一次项系数。

想一想：分别找出下列方程中的二次项，一次项，常数项，二次项系数，一次项系数。

⑴x2+10x-900=0 ⑵5x2+10x-2.2=0 ⑶x2-x-56=0⑷4x2=9 ⑸x2+3x=0 ⑹3y2-5y=7做一做：1、将方程3x（x-10)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项，一次项，常数项，二次项系数，一次项系数。

2、将导语中的方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项，一次项，常数项，二次项系数，一次项系数。

拓展练习1、如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，则梯子底端滑动多少米？2、有一群蜜蜂，其半数的平方根只飞向茉莉花丛， 留在家里，还有两只去寻找荷花瓣里嗡嗡叫的雄蜂，这两只雄蜂被荷花的香味吸引，傍晚时由于花瓣合拢，飞不出去了，请你告诉我蜂群中有多少只蜜蜂22.1 一元二次方程（2）1、下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．（1）x 2-64=0 （2）3x 2-6=0 （3）x 2-3x=0应用拓展1、要剪一块面积为150cm 2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm ，•这块铁片应该怎样剪？2、已知x=2是关于x 的方程1.5x 2-2a=0的解，求式子2a-1的值？22.1一元二次方程的概念和直接开平方法解一元二次方程一元二次方程的一般形式： ，其中二次项是 ，二次项系数是 ，一次项是 ，一次项系数是 ， 常数项是 。

叫做一元二次方程的根。

1、判断下列关于x 的方程是否是一元二次方程，若是一元二次方程，请写出它的a 、b 、c① 3x 2=2x-1 ② x 2+x 2=0 ③ x 2=5④ ax 2+bx+c=0 ⑤ (x-2)(x+1)=(x+3)(x-1)2、已知关于x 的方程(m+2)x m +3x+m=0是一元二次方程，求此一元二次方程。

课时训练(五) 一次方程(组)(限时:40分钟)|夯实基础|1.如果x=5是关于x的方程x+m=-3的解,那么m的值是()A.-40B.4C.-4D.-22.若a3x b y与-a2y b x+1是同类项,则()A.B.C.D.3.[xx·东城期末]中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题,其中《孙子算经》中有个问题:今有三人共车,二车空;二人共车,九人步,问人与车各几何?这道题的意思是:今有若干人乘车,每三人乘一车,最终剩余2辆车,若每2人共乘一车,最终剩余9个人无车可乘,问有多少人,多少辆车?如果我们设有x辆车,则可列方程为()A.3(x-2)=2x+9B.3(x+2)=2x-9C.+2=D.-2=4.[xx·石景山二模]《九章算术》是中国古代的数学专著,下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四,问人数、物价各几何?”译文:“几个人一起去购买某物品,如果每人出8钱,则多了3钱;如果每人出7钱,则少了4钱.问有多少人,物品的价格是多少?”设有x人,物品的价格为y钱,可列方程组为()A.B. C.D.5.[xx·延庆期末]xx年延庆农业用水和居民家庭用水的总和为8亿立方米,其中居民家庭用水比农业用水的2倍还多0.5亿立方米.设农业用水为x亿立方米,居民家庭用水为y亿立方米.依题意,可列方程组为.6.[xx·海淀期末]京张高铁是2022年冬奥会的重要交通基础设施,考虑到不同路段的特殊情况,将根据不同的运行区间设置不同的时速.其中,北站到清河段全长11千米,分为地下清华园隧道和地上区间两部分,运行速度分别设计为80千米/时和120千米/时.按此运行速度,地下隧道运行时间比地上大约多2分钟小时,求清华园隧道全长为多少千米.设清华园隧道全长为x千米,依题意,可列方程为.7.[xx·平谷二模]《数》是中国数学史上的重要著作,比我们熟知的汉代《九章算术》还要古老,保存了许多古代算法的最早例证(比如“勾股”概念),改变了我们对周秦数学发展水平的认识.文中记载“有妇三人,长者一日织五十尺,中者二日织五十尺,少者三日织五十尺,今威有功五十尺,问各受几何?”译文:“三位女人善织布,姥姥1天织布50尺,妈妈2天织布50尺,妞妞3天织布50尺.如今三人齐上阵,共同完成50尺织布任务,请问每人织布几尺?”设三人一共用了x天完成织布任务,则可列方程为.8.[xx·朝阳综合练习(一)]足球、篮球、排球已经成为体育的三张名片,越来越受到广大市民的关注.下表是两支篮球队在xx赛季CBA常规赛的比赛成绩:队名比赛场次胜场负场积分首钢38251363北控38182056设胜一场积x分,负一场积y分,依题意,可列二元一次方程组为.9.[xx·丰台一模]营养学家在初中学生中做了一项实验研究:甲组同学每天正常进餐,乙组同学每天除正常进餐外,每人还增加600 mL牛奶.一年后营养学家统计发现:乙组同学平均身高的增长值比甲组同学平均身高的增长值多2.01 cm,甲组同学平均身高的增长值比乙组同学平均身高的增长值的75%少0.34 cm.设甲、乙两组同学平均身高的增长值分别为x cm,y cm,依题意,可列方程组为.10.[xx·通州一模]我们知道,无限循环小数都可以化成分数.例如:将0.化成分数时,可设0.=x,则有3.=10x,10x=3+0.,10x=3+x,解得x=,即0.化成分数是.仿此方法,将0.化成分数是.11.[xx·朝阳一模]保护和管理好湿地,对于维护一个城市生态平衡具有十分重要的意义.xx年计划恢复湿地和计划新增湿地的面积共2200公顷,其中计划恢复湿地面积比计划新增湿地面积的2倍多400公顷.求计划恢复湿地和计划新增湿地的面积.12.[xx·东城二模]列方程或方程组解应用题:为迎接“五一劳动节”,某超市开展促销活动,决定对A,B两种商品进行打折出售.打折前,买6件A商品和3件B商品需要108元,买3件A商品和4件B商品需要94元.问:打折后,若买5件A商品和4件B商品仅需86元,比打折前节省了多少元钱?13.[xx·门头沟一模]学完二元一次方程组的应用之后,老师写出了一个方程组如下:要求把这个方程组赋予实际情境.小军说出了一个情境:学校有两个课外小组,书法组和美术组,其中书法组的人数的2倍比美术组多5人,书法组平均每人完成了4幅书法作品,美术组平均每人完成了3幅美术作品,两个小组共完成了40幅作品,问书法组和美术组各有多少人?小明通过验证后发现小军赋予的情境有问题,请找出问题出在哪?|拓展提升|14.[xx·海淀二模]如图K5-1,在等边三角形三个顶点和中心处的每个“○”中各填有一个式子,若图中任意三个“○”中的式子之和均相等,则a的值为()A.3B.2C.1D.0图K5-115.[xx·朝阳期末]如图K5-2,在3×3的方阵图中,填写了一些数、式子和汉字(其中每个式子或汉字都表示一个数),若处于每一横行、每一竖列,以及两条斜对角线上的3个数之和都相等,则这个方阵图中x的值为.图K5-2参考答案1.C2.D3.A4.A5.6.-=7.(50++)x=508.9.10.11.解:设计划新增湿地x公顷,则计划恢复湿地(2x+400)公顷.依题意,得x+2x+400=2200.解得x=600.2x+400=1600.答:计划恢复湿地1600公顷,计划新增湿地600公顷.12.解:设打折前一件A商品的价格为x元,一件B商品的价格为y元.根据题意,得解得所以5×10+4×16-86=28(元).答:比打折前节省了28元.13.解:问题:通过解方程组得由于人数只能是非负整数,因此判断小军不能以人数为未知数进行情境创设.14.C15.-5如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

北京市2023年九年级中考数学一轮复习——一元二次方程 练习题一、单选题1．（2022·北京·中考真题）若关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个相等的实数根，则实数m 的值为（ ） A ．4-B ．14-C ．14D ．42．（2022·北京西城·一模）若关于x 的一元二次方程2(1)40x m x +++=有两个不相等的实数根，则m 的值可以是（ ） A ．1B ．-1C ．-5D ．-63．（2022·北京朝阳·模拟预测）一元二次方程x 2+5x+3=0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．没有实数根D ．无法确定4．（2021·北京顺义·二模）某厂家2021年1－5月份的产量如图所示． 下面有三个推断：①从1月份到5月份产量在逐月增长；②1月份到2月份产量的增长率是60%；③若设从3月份到5月份产量的平均月增长率为x ，则可列方程为220（1＋x ）2＝480，所有正确的推断是（ ）A ．②B ．③C ．①②D ．②③5．（2021·北京朝阳·一模）已知关于x 的一元二次方程210x mx m ++-=有两个不相等的实数根，下列结论正确的是（ ） A ．2m ≠B ．m>2C ．2m ≥D ．2m <6．（2021·北京市八一中学模拟预测）用配方法解方程2410x x --=，方程应变形为（ ） A ．()223x +=B ．()225x +=C ．()223x -=D ．()225x -=7．（2020·北京·人大附中模拟预测）如果2340x x --=，那么代数式293x x x x +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．1-8．（2020·北京·北师大平果附属学校二模）某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x 米，则可列方程为（ ） A ．x(x-11)=180B ．2x+2(x-11)=180C ．x(x+11)=180D ．2x+2(x+11)=180二、填空题9．（2020·北京·中考真题）已知关于x 的方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的值是______． 10．（2022·北京朝阳·二模）若关于x 的一元二次方程2410x x m -+-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是___．11．（2022·北京顺义·二模）如果关于x 的方程240x x m ++=有实数根，那么m 的取值范围是______． 12．（2022·北京房山·模拟预测）若已知关于x 的一元二次方程220x x k ++=总有两个不相等的实数根，则的取值范围为__________． 13．（2022·北京门头沟·一模）方程6022x x x +=-+的解为________． 14．（2022·北京朝阳·一模）若关于x 的一元二次方程22(1)0-+-=a x a x a 有一个根是1x =，则=a ___________．15．（2022·北京通州·一模）如果关于x 的方程260x x m ++=有两个相等的实数根，那么m 的值是______，方程的根是______．16．（2022·北京丰台·二模）已知关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是______．17．（2022·北京十一学校一分校模拟预测）已知关于x 的方程2(2)40x m x -++=有两个相等的实数根，则m 的值是_________．18．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）关于x 的一元二次方程2(21)0kx k x k -++=总有两个实数根，则常数k 的取值范围是________．19．（2022·北京海淀·一模）若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m ＝0没有实数根，则m 的取值范围是_____．三、解答题20．（2021·北京·中考真题）已知关于x 的一元二次方程22430x mx m -+=．（2）若0m >，且该方程的两个实数根的差为2，求m 的值．21．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知：关于x 的一元二次方程2420x x m -+=有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)如果m 为非负整数，且该方程的根都是整数，求该方程的根．22．（2022·北京四中模拟预测）已知关于 x 的一元二次方程 ()22120mx m x m -+++=(1)若这个方程有两个不相等的实数根， 求 m 的取值范围； (2)当 120x x ⋅= 时， 求方程的两个根23．（2022·北京东城·二模）已知关于x 的一元二次方程22210x kx k -+-=． (1)不解方程，判断此方程根的情况；(2)若2x =是该方程的一个根，求代数式2285k k -++的值．24．（2022·北京密云·二模）已知关于x 的一元二次方程()22210x k x k k +-+-=．(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根； (2)如果方程有一个根为0，求k 的值．25．（2022·北京西城·二模）已知关于x 的一元二次方程21502x mx m -+-=．(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；(2)若m 为整数，且此方程的两个根都是整数，写出一个满足条件的m 的值，并求此时方程的两个根．26．（2022·北京门头沟·二模）已知关于x 的二次方程()()22310mx m x m --+-=有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)如果m 为正整数，求此方程的根．27．（2022·北京昌平·二模）已知关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个不相等的实数根，写出一个满足条件k 的值，并求此时方程的根．28．（2022·北京海淀·二模）关于x 的方程22(21)0x m x m -++=有两个不相等的实数根． (1)求m 的取值范围；(2)当m 取最小的整数时，求此时的方程的根．29．（2022·北京东城·一模）已知关于x 的一元二次方程2220x x k -+-=有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)若k 为正整数，且方程的两个根均为整数，求k 的值及方程的两个根．参考答案：1．C【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到∆=0，建立关于m 的方程，解答即可． 【详解】∵一元二次方程20x x m ++=有两个相等的实数根， ∴∆=0， ∴2140m -=， 解得14m =，故C 正确． 故选：C ．【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时∆>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，∆=0；当方程没有实数根时，∆<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键． 2．D【分析】根据根的判别式得到()()222=1414140m m ∆+-⨯⨯=+->，然后解关于m 的不等式，即可求出m 的取值范围，并根据选项判断．【详解】∵关于x 的一元二次方程2(1)40x m x +++=有两个不相等的实数根， ∴()()222=1414140m m ∆+-⨯⨯=+->， ∴()2214m +>，∴m +1>4，m >3，或m +1<-4，m <-5． 故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根时，Δ>0． 3．B【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】∵1a =，5b =，3c =， ∴2245413130b ac =-=-⨯⨯=>， ∴方程有两个不相等实数根． 故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根与24b ac =-有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 4．D【分析】根据图中的信息一一判断，利用增长率计算公式以及列出一元二次方程即可找出答案． 【详解】解：①由图知，2月份到3月份产量减少，故①错误；②由图，1月份的产量为：150万只，2月份的产量为：240万只，增长率为：240150100%60%150-⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭；故②正确；③设从3月份到5月份产量的平均月增长率为x ，则4月份产量为220（1＋x ）；5月份产量为220（1＋x ）2＝480，故③正确；故选：D ．【点睛】此题考查的是数据分析，解题的关键是掌握增长率的计算公式以及找准等量关系，正确列出一元二次方程． 5．A【分析】根据根的判别式建立不等式求解即可．【详解】∵关于x 的一元二次方程210x mx m ++-=有两个不相等的实数根， ∴△＞0，∴24(1)--m m ＞0， ∴244m m -+＞0， ∴2(2)m -＞0， ∴2m ≠， 故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程根的情况，熟练建立不等式是解的关键． 6．D【分析】常数项移到方程的右边，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得． 【详解】解：∵2410x x --=， ∴241x x -=，∴24+41+4x x -=，即2(2)5x -=， 故选D ．【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键． 7．A【分析】先对方程变形可得234x x -=，再对分式进行化简，整体代入求解即可． 【详解】解：由2340x x --=可得234x x -=，222293393x x x x x x x x x x +⎛⎫-÷=⨯= +⎝--⎪⎭ 即293x x x x +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭=4，故答案为：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的求解和分式的化简求值，整体代入思想的应用是解题的关键． 8．C【分析】根据题意设出未知数，利用矩形的面积公式列出方程即可． 【详解】设宽为x 米，则长为（x +11）米，根据题意得：x （x +11）=180． 故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据矩形的面积公式列出方程． 9．1【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， 可得判别式0=， ∴440k -=， 解得：1k =． 故答案为：1.【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键． 10．m ＜5【分析】由题意得判别式为正数，得关于m 的一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】∵关于x 的一元二次方程2410x x m -+-=有两个不相等的实数根， ∴2(4)41(1)>0m ∆=--⨯⨯-． 解得：m <5． 故答案为：m <5．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及解一元一次不等式，熟悉一元二次方程的根的判别式与一元二次方程的实数根的情况的关系是本题的关键． 11．4m ≤【分析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式∆＝b 2﹣4ac ≥0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可．【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴2440m ∆=-≥，解得：4m ≤． 故答案为4m ≤．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=-，解题的关键是理解根的判别式对应的根的三种情况．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根． 12．1k <【分析】根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程220x x k ++=总有两个不相等的实数根， ∴440k ∆=->． 解得1k <． 故答案为：1k <．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=-，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．13．1244x x =-+=--【分析】利用平方差公式进行去分母，再利用整式方程的解法进行求解即可，注意要检验； 【详解】6022x x x +=-+ 解：方程两边都乘（x -2）（x +2），得：x （x +2）+6（x -2）=0， 去括号，得：226120x x x ++-=， 移项、合并同类项，得：28120x x +-=，解得：1244x x =-+=--检验：当14x =-+时，（x +2）（x -2）≠0，当24x =--（x +2）（x -2）≠0，∴1244x x =-+=--【点睛】本题主要考查解分式方程，解答的关键是注意符号的变化，并且最后要进行检验． 14．-1【分析】根据一元二次方程和一元二次方程根的定义，可得210a a a -+-=，且10a -≠，即可求解． 【详解】解：根据题意得：210a a a -+-=， 解得：1a =或1a =-，∵10a -≠，即1a ≠， ∴1a =-． 故答案为：-1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程和一元二次方程根的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键． 15． 9 -3【分析】由一元二次方程根的判别式与其根的关系可知：240b ac ∆=-= ，代入列方程，求出m 值，再求根即可．【详解】∵关于x 的方程260x x m ++=有两个相等的实数根， ∴可得∶ 240b ac ∆=-=， 即：3640m ， 解得：m =9，则原方程为：2690x x ++=， 2(3)0x ∴+=，123x x ，故答案为：m =9，方程的根为-3．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根之间的关系： 0＞方程有两个不相等的实数根 ，=0方程有两个相等的实数根，0＜方程没有实数根，0方程有实数根，以及解一元二次方程，正确运用元二次方程根的判别式与根之间的关系是解题的关键． 16．m ＜1【分析】关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0有两个不相等的实数根，即判别式Δ＝b 2﹣4ac ＞0．即可得到关于m 的不等式，从而求得m 的范围． 【详解】解：∵a ＝1，b ＝﹣2，c ＝m ， ∴Δ＝b 2﹣4ac ＝（﹣2）2﹣4×1×m ＝4﹣4m ＞0， 解得：m ＜1． 故答案为m ＜1．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 17．2或6-【解析】由题意可得根的判别式等于0，从而得到关于m 的方程，进一步可得m 的值． 【详解】解：由题意可得：（m +2）2-4×1×4=0， 即（m +2）2=16， ∴m +2=4或m +2=-4， ∴m =2或m =-6， 故答案为2或-6．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握根的判别式与根情况之间的联系是解题关键 ．18．14k ≥-且0k ≠【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系及一元二次方程的定义即可得答案． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(21)0kx k x k -++=有两个实数根， ∴△=[-(2k+1)]2-4k ⨯k≥0，且k≠0，解得：14k ≥-且k≠0．故答案为：14k ≥-且k≠0．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；注意一元二次方程的二次项系数不为0的隐含条件，避免漏解． 19．m ＞4【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：△＜0， ∴()2=441640m m ∆--=<﹣， ∴m ＞4 故答案为m ＞4【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式． 20．（1）见详解；（2）1m =【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；（2）设关于x 的一元二次方程22430x mx m -+=的两实数根为12,x x ，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得212124,3x x m x x m +=⋅=，进而可得()2124x x -=，最后利用完全平方公式代入求解即可．【详解】（1）证明：由题意得：21,4,3a b m c m ==-=， ∴22224164134b ac m m m ∆=-=-⨯⨯=，∵20m ≥， ∴240m ∆=≥，∴该方程总有两个实数根；（2）解：设关于x 的一元二次方程22430x mx m -+=的两实数根为12,x x ，则有：212124,3x x m x x m +=⋅=，∵122x x -=，∴()()2222121212416124x x x x x x m m -=+-=-=， 解得：1m =±， ∵0m >， ∴1m =．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 21．(1)2m < (2)10x =，24x =【分析】（1）利用根的判别式的意义得到2(4)420m ∆=--⨯>，然后解不等式即可；（2）在（1）中m 的范围内可得到m 为0或1，则方程变为240x x -=或2420x x -+=，然后解方程即可． （1）解：根据题意得2(4)421680m m ∆=--⨯=->， 解得2m <．故m 的取值范围为2m <； （2）解：由（1）知2m <，m 为非负整数，m ∴为0或1，当0m =时，方程为240x x -=， 解得10x =，24x =，当1m =时，方程为2420x x -+=，解得32x =42x =该方程的根都是整数，∴32x =42x =∴该方程的根为10x =，24x =．【点睛】本题考查了一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=-，解题的关键是掌握“当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根”．22．(1)m 的取值范围为m ＜14且m ≠0； (2)x 1=0，x 2=32．【分析】（1）利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m ≠0且Δ=（2m +1）2-4m （m +2）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；（2）利用根与系数的关系解得m =-2，解方程即可求解．（1）解：根据题意得m ≠0且Δ=（2m +1）2-4m （m +2）＞0，解得m ＜14且m ≠0， 所以m 的取值范围为m ＜14且m ≠0； （2）解：∵120x x ⋅=， ∴2m m+=0， 解得m =-2，∴原方程为()22120mx m x m -+++=即-2x 2+3x =0，解得：x 1=0，x 2=32． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 23．(1)有两个不相等的实数根(2)11【分析】（1）利用根的判别式Δ=b 2-4ac 判断即可．（2）将x =2代入一元二次方程x 2-2kx +k 2-1=0，整理得k 2-4k =-3，再将-2k 2+8k +5变形为-2（k 2-4k ）+5，代入求值即可．【详解】（1）解：∵Δ=b 2-4ac =（-2k ）2-4（k 2-1）=4k 2-4k 2+4=4＞0，∴此一元二次方程有两个不相等的实数根．（2）将x =2代入一元二次方程x 2-2kx +k 2-1=0，得4-4k +k 2-1=0，整理得k 2-4k =-3，∴-2k 2+8k +5=-2（k 2-4k ）+5=-2×（-3）+5=11．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解，牢记：当Δ=b 2-4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ=b 2-4ac =0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ=b 2-4ac ＜0时，一元二次方程无实数根．24．(1)证明见解析(2)k 的值为0或1【分析】（1）求出24b ac ∆=-的值，再与0作比较，由于10∆=>，从而证出方程有两个不相等的实数根； （2）将0x =代入原方程，得出关于k 的一元二次方程，解方程即可求出k 的值．(1)证明：∵a =1，b =（2k －1），c =k 2－k ，∴()()2224=21410b ac k k k ∆=----=>，∴方程有两个不相等的实数根．(2)解：将x =0代入原方程，得20k k -=，解得k 1=0，k 2=1．∴k 的值为0或1．【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）求出24b ac ∆=-的值；（2）代入0x =得出关于k 的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式来判断实数根的个数是关键．25．(1)见解析；(2)当m =1时，=4x 或=-2x 满足题意（答案不唯一）．【分析】（1）表示出一元二次方程根的判别式，利用配方化成完全平方式，可判定其不小于0，可得出结论；（2）可先用求根公式表示出两根，再根据方程的根都是整数，可求得m 的值．【详解】（1）解：∵二次函数为21502x mx m -+-= ， ∴12a =，b m =-，5c m =-． ∴()()222214452101092b ac m m m m m ∆=-=-⨯=-=-+-+>， ∴此方程总有两个不相等的实数根．（2）∵当m =1时，原方程为：21402x x --=， ∴原式可化为228=0x x --，则()219x -=，∴=4x 或=-2x ，∴当m =1时，=4x 或=-2x 满足题意（答案不唯一）．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式Δ=b 2-4ac ：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根；也考查了解一元二次方程． 26．(1)98m <且0m ≠； (2)x 1=0，x 2=-1【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根得到∆>0，利用公式求出m 的取值范围；（2）由（1）及m 为正整数，可得m =1，利用因式分解法解方程即可．(1)解：∵关于x 的二次方程()()22310mx m x m --+-=有两个不相等的实数根，∴∆>0，∴()()223410m m m ---->⎡⎤⎣⎦， 解得98m <； ∵0m ≠，∴98m <且0m ≠； (2) ∵98m <且m ≠0，m 为正整数， ∴m =1，∴该方程为20x x +=，解得x 1=0，x 2=-1．【点睛】此题考查了一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解一元二次方程，正确掌握一元二次方程根的判别式与根的情况是解题的关键．27．当k =0时，x 1=0，x 2=-4（答案不唯一）【分析】先求出b 2-4ac ，再根据b 2-4ac ＞0求出k 的取值范围，然后写出一个，并求出方程的根即可．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+4x +k =0有两个不相等的实数根，∴b 2-4ac =42-4×k ＞0，即k ＜4．当k=0时，x 2+4x =0，解得x 1=0，x 2=-4．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，当b 2-4ac ＞0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根．28．(1)14m >- (2)方程的根为10x =，21x =【分析】（1）由题意得()222140m m ∆=+->，解出m 的范围即可；（2）根据第（1）问m 的范围求出m 的最小整数值，然后将m 的值代入方程，解方程即可．(1)解：∵关于x 的方程22(21)0x m x m -++=有两个不相等的实数根．∴其根的判别式()22214m m ∆=+-410m =+>．∴ 14m >-； (2)解：∵14m >-且m 为最小的整数，∴0m =．∴此时方程为20x x -=．∴方程的根为10x =，21x =．【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“一元二次方程，当根的判别式Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入m 的值，利用因式分解法求出一元二次方程的解． 29．(1)3k <(2)k =2，方程的两个根为10x =，22x =【分析】(1)根据题意和一元二次方程根的判别式得到()()22420k ∆=--->，解不等式即可求得；(2)首先根据(1)可知，k 的值只能是1或2，分别代入方程，解方程，再根据方程的两个根均为整数，即可解答．（1） 解：关于x 的一元二次方程2220x x k -+-=有两个不相等的实数根()()22420k ∴∆=---> 解得3k <故k 的取值范围为3k <（2）解：3k <且k 为正整数∴k 的值只能是1或2当k =1时，方程为2210x x --=解得1x ==方程的两个根均为整数∴k =1不合题意，舍去当k =2时，方程为220x x -=解得10x =，22x =方程的两个根均为整数，符合题意故k =2，方程的两个根为10x =，22x =【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及解一元二次方程的方法，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解一元二次方程的方法是解决本题的关键．。

课时训练(六) 一元二次方程(限时:40分钟)|夯实基础|1.[2017·西城一模]用配方法解一元二次方程x2-6x-5=0,此方程可化为 ()A.(x-3)2=4B.(x-3)2=14C.(x-9)2=4D.(x-9)2=142.关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x-1=0有两个实数根,则实数m的取值范围是()A.m≥0B.m>0C.m≥0且m≠1D.m>0且m≠13.某商店购进一种商品,单价为30元.试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价x(元)满足关系:P=100-2x.若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润,根据题意,下面所列方程正确的是()A.(x-30)(100-2x)=200B.x(100-2x)=200C.(30-x)(100-2x)=200D.(x-30)(2x-100)=2004.要组织一次排球比赛,参赛的每支球队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x支球队参赛,则x满足的等式为()A.x(x+1)=28B.x(x-1)=28C.x(x+1)=28D. x(x-1)=285.已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b,则a-b的值为()A.1B.-1C.0D.-26.如图K6-1,某小区计划在一块长为32 m,宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570 m2,若设道路的宽为x m,则下面所列方程正确的是()图K6-1A.(32-2x)(20-x)=570B.32x+2×20x=32×20-570C.(32-x)(20-x)=32×20-570D.32x+2×20x-2x2=5707.方程2x2=x的解是.8.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0的一个根为0,则m的值为.9.已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根,则b的值是,方程的另一个根是.10.已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为-3和-1,则p= ,q= .11.[2018·海淀期末]已知x=1是关于x的方程x2-mx-2m2=0的一个根,求m(2m+1)的值.12.[2018·东城二模]已知关于x的一元二次方程kx2-6x+1=0有两个不相等的实数根.(1)求实数k的取值范围;(2)写出满足条件的k的最大整数值,并求此时方程的根.13.[2018·昌平二模]已知关于x的一元二次方程x2-(n+3)x+3n=0.(1)求证:此方程总有两个实数根;(2)若此方程有两个不相等的整数根,请选择一个合适的n值,写出这个方程并求出此时方程的根.14.[2018·石景山初三毕业考试]关于x的一元二次方程mx2+(3m-2)x-6=0.(1)当m为何值时,方程有两个不相等的实数根;(2)当m为何整数时,此方程的两个根都为负整数.15.[2018·东城一模]已知关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+m+2=0.(1)求证:无论实数m取何值,方程总有两个实数根;(2)若方程有一个根的平方等于4,求m的值.|拓展提升|16.阅读题:先阅读下列例题的解答过程:例:已知α,β是方程x2+2x-7=0的两个实数根,求α2+3β2+4β的值.解:∵α,β是方程x2+2x-7=0的两个实数根,∴α2+2α-7=0,β2+2β-7=0且α+β=-2,∴α2=7-2α,β2=7-2β,∴α2+3β2+4β=7-2α+3(7-2β)+4β=28-2(α+β)=28-2×(-2)=32.请仿照上面的解法解答下面的问题:已知x1,x2是方程x2-x-9=0两个实数根,求代数式+7+3x2-66的值.参考答案1.B2.C[解析] ∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x-1=0有两个实数根,∴m-1≠0且Δ≥0,由22-4×(m-1)×(-1)≥0,解得m≥0,∴m的取值范围是m≥0且m≠1.故选C.3.A4.B[解析] 每支球队都需要与其他球队赛(x-1)场,但2队之间只有1场比赛,所以可列方程为x(x-1)=4×7.故选B.5.A6.A7.x1=0,x2=8.-19.1x=-210.43[解析] 根据一元二次方程的根与系数的关系,可知p=-(-3-1)=4,q=(-3)×(-1)=3.11.解:∵x=1是关于x的方程x2-mx-2m2=0的一个根,∴1-m-2m2=0.∴2m2+m=1.∴m(2m+1)=2m2+m=1.12.解:(1)依题意,得解得k<9且k≠0.(2)∵k是小于9且不等于0的最大整数,∴k=8.此时的方程为8x2-6x+1=0.解得x1=,x2=.13.解:(1)证明:Δ=(n+3)2-12n=(n-3)2.∵(n-3)2≥0,∴方程有两个实数根.(2)答案不唯一,例如:∵方程有两个不相等的实数根,∴n≠3.当n=0时,方程化为x2-3x=0.因式分解为:x(x-3)=0.∴x1=0,x2=3.14.解:(1)∵Δ=b2-4ac=(3m-2)2+24m=(3m+2)2≥0,∴当m≠0且m≠-时,方程有两个不相等的实数根.(2)解方程,得:x1=,x2=-3.∵m为整数且方程的两个根均为负整数,∴m=-1或m=-2.∴当m=-1或m=-2时,此方程的两个根都为负整数.15.解:(1)证明:Δ=(m+3)2-4(m+2)=(m+1) 2,∵(m+1)2≥0,∴无论实数m取何值,方程总有两个实数根.(2)由求根公式,得x=,∴x1=1,x2=m+2.∵方程有一个根的平方等于4,∴(m+2)2=4.解得m=-4或m=0.16.解:∵x1,x2是方程x2-x-9=0的两个实数根,∴x1+x2=1,-x1-9=0,-x2-9=0,∴=x1+9,=x2+9.∴+7+3x2-66=x1(x1+9)+7(x2+9)+3x2-66=+9x1+10x2-3=x1+9+9x1+10x2-3=10(x1+x2)+6=16.。

2023北京中考数学一轮复习专题训练——方程、不等式一．解二元一次方程组（共2小题）1．（2018•北京）方程组的解为（）A．B．C．D．2．（2020•北京）方程组的解为．二．由实际问题抽象出二元一次方程组（共2小题）3．（2015•北京）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为．4．（2017•北京）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为．三．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）5．（2021•北京）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．四．根的判别式（共8小题）6．（2015•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝，b＝．7．（2020•北京）关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为．8．（2013•北京）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．9．（2014•北京）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．10．（2016•北京）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．11．（2017•北京）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．12．（2018•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．（1）当b＝a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．13．（2019•北京）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．五．解分式方程（共1小题）14．（2022•北京）方程＝的解为．六．分式方程的应用（共3小题）15．（2013•北京）某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．16．（2014•北京）列方程或方程组解应用题：小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动汽车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．17．（2015•北京）为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用．到2013年底，全市已有公租自行车25 000辆，租赁点600个．预计到2015年底，全市将有公租自行车50 000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍．预计到2015年底，全市将有租赁点多少个？七．解一元一次不等式（共1小题）18．（2014•北京）解不等式x﹣1≤x﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．八．解一元一次不等式组（共8小题）19．（2015•北京）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．20．（2016•北京）解不等式组：．21．（2017•北京）解不等式组：．22．（2018•北京）解不等式组：23．（2019•北京）解不等式组：24．（2022•北京）解不等式组：．25．（2021•北京）解不等式组：．26．（2020•北京）解不等式组：。

北京备战中考数学压轴题专题复习—一元二次方程组的综合一、一元二次方程1．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上．①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32，154） 【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c b a++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P （21-，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P （32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．2．阅读下列材料计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t ，则：原式＝（1﹣t ）（t +）﹣（1﹣t ﹣）t ＝t +﹣t 2﹣+t 2＝ 在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：（1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+） （2）因式分解：（a 2﹣5a +3）（a 2﹣5a +7）+4（3）解方程：（x 2+4x +1）（x 2+4x +3）＝3【答案】（1）；（2）（a 2﹣5a +5）2；（3）x 1＝0，x 2＝﹣4，x 3＝x 4＝﹣2【解析】【分析】（1）仿照材料内容，令+＝t 代入原式计算．（2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a．（3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解．【详解】（1）令+＝t，则：原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝（2）令a2﹣5a＝t，则：原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2（3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：（t+1）（t+3）＝3t2+4t+3＝3t（t+4）＝0∴t1＝0，t2＝﹣4当x2+4x＝0时，x（x+4）＝0解得：x1＝0，x2＝﹣4当x2+4x＝﹣4时，x2+4x+4＝0（x+2）2＝0解得：x3＝x4＝﹣2【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．3．解方程：（2x+1）2=2x+1．【答案】x=0或x=1 2 .【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x（2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣12．4．发现思考：已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．涵涵的作业解：x 2﹣7x+10=0a=1 b=﹣7 c=10∵b 2﹣4ac=9＞0∴x=b 2a-=732± ∴x 1=5，x 2=2所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC 的两边是关于x 的方程x 2﹣mx+m 2﹣14=0的两个实数根． （1）当m=2时，求△ABC 的周长；（2）当△ABC 为等边三角形时，求m 的值．【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC 的周长为72；（2）当△ABC 为等边三角形时，m 的值为1．【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5．（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m ）2﹣4（m 2﹣14）=m 2﹣2m+1，可求得m. 【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5． 错误原因：此时不能构成三角形．（1）当m=2时，方程为x 2﹣2x+34=0， ∴x 1=12，x 2=32． 当12为腰时，12+12<32， ∴12、12、32不能构成三角形； 当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12， 此时周长为32+32+12=72．答：当m=2时，△ABC 的周长为72． （2）若△ABC 为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，∴△=（﹣m ）2﹣4（m 2﹣14）=m 2﹣2m+1=0， ∴m 1=m 2=1．答：当△ABC 为等边三角形时，m 的值为1．【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.5．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（）【答案】124x x 23==-， 【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解，得2212x x 3-=-（）（）开平方，得12x x 3-=-，或12x x 3-=--（）解得124x x 23==-，6．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和△DEF ，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合)．（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC ，编制了如下问题，请你回答：①∠FCD 的最大度数为 ；②当FC ∥AB 时，AD= ；③当以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC 为斜边时，AD= ; ④△FCD 的面积s 的取值范围是 .【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，由②知DH=3，FH=，则HC=.在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，∴，即，解得.④设AD=x，易知，即.而，当时，；当时，. ∴△FCD 的面积s 的取值范围是. 考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.7．将m 看作已知量，分别写出当0<x<m 和x>m 时，与之间的函数关系式；8． ∵1.7×35=59.5，1.7×80=136＜151∴这家酒店四月份用水量不超过m 吨（或水费是按y=1.7x 来计算的），五月份用水量超过m 吨（或水费是按来计算的） 则有151=1.7×80+（80－m ）×即m 2－80m+1500=0解得m 1=30，m 2=50．又∵四月份用水量为35吨，m 1=30＜35，∴m 1=30舍去．∴m=50【解析】9．如图，在Rt ABC V 中，90B =o ∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析【解析】【分析】根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况.【详解】解：∵90B ∠=o ，10AC =，6BC =，∴8AB =．∴BQ x =，82PB x =-；假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ， 则()1168821622x x ⨯⨯--=， 整理得：2480x x -+=，∵1632160=-=-<V ，∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.10．解方程：(x ＋1)(x －1)＝x.【答案】x 1，x 2【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x ＋1)(x －1)＝x 2-2x-1=0∵a=1，b=-c=-1∴△=b 2-4ac=8+4=12＞0∴∴x1x 2.11．阅读下面的例题，范例：解方程x 2﹣|x|﹣2=0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x 2﹣x ﹣2=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1（不合题意，舍去）． （2）当x ＜0时，原方程化为x 2+x ﹣2=0，解得：x 1=﹣2，x 2=1（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是x 1=2，x 2=﹣2请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣10|﹣10=0．【答案】x 1=4，x 2=﹣5．【解析】【分析】分为两种情况：当x≥10时，原方程化为x 2﹣x=0，当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，分别求出方程的解即可．【详解】当x≥10时，原方程化为x 2﹣x+10﹣10=0，解得x 1=0（不合题意，舍去），x 2=1（不合题意，舍去）；当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，解得x 3=4，x 4=﹣5，故原方程的根是x 1=4，x 2=﹣5．【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．12．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围．【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4．【解析】试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x 1+x 2=6，x 1x 2=2m+1，再利用2x 1x 2+x 1+x 2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m 的取值范围． 试题解析：（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m ＋1）≥0，解得m≤4；（2）根据题意得x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝2m ＋1，而2x 1x 2＋x 1＋x 2≥20，所以2（2m ＋1）＋6≥20， 解得m≥3，而m≤4，所以m 的范围为3≤m≤4．13．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1．【解析】【详解】分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况.（2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.详解：（1）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，解得：121x x ==．点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-， 当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.14．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件： （1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可以在150件基础上增加m 件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，求出m 的值．【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16．【解析】试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可；（2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+m ），列出方程求解即可． 试题解析：（1）设销售单价至少为x 元，根据题意列方程得，150（x ﹣20）=2250，解得x=35，答：销售单价至少为35元；（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+m ）=5670， 150+m ﹣150×m%﹣m%×m=162， m ﹣m 2=12， 60m ﹣3m 2=192，m 2﹣20m+64=0，m 1=4，m 2=16，∵要使销售量尽可能大，∴m=16．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．15．已知关于x 的方程x 2﹣(k +3)x +3k ＝0．(1)若该方程的一个根为1，求k 的值；(2)求证：不论k 取何实数，该方程总有两个实数根．【答案】(1)k ＝1；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）把x＝1代入方程，即可求得k的值；（2）求出根的判别式是非负数即可.【详解】(1)把x＝1代入方程x2﹣(k+3)x+3k＝0得1﹣(k﹣3)+3k＝0，1﹣k﹣3+3k＝0解得k＝1；(2)证明：==-+=a b k c k1,(3),324∆=-Qb ac∴△＝(k+3)2﹣4•3k ＝(k﹣3)2≥0，所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.。

一元二次方程1．[2015·] 关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋14＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a ，b 的值：a ＝________，b ＝________．2．[2012·]若关于x 的方程x 2－2x －m ＝0有两个相等的实数根，则m 的值是________．3．[2010·] 已知关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋m －1＝0有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根．4．[2013·] 已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋2k －4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值X 围；(2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．5．[2008·] 已知：关于x 的一元二次方程mx 2－(3m ＋2)x ＋2m ＋2＝0(m >0)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为x 1，x 2(其中x 1<x 2)．若y 是关于m 的函数，且y ＝x 2－2x 1，求这个函数的解析式．1．[2015·丰台一模] 如果关于x 的一元二次方程mx 2－2x －1＝0有两个实数根，那么字母m 的取值X 围是( )A ．m ≥－1B ．m ＞－1C ．m ≥－1且m ≠0D ．m ＞－1且m ≠02．[2014·东城一模] 已知关于x 的一元二次方程mx 2－(4m ＋1)x ＋3m ＋3＝0(m ＞1)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为x 1，x 2(其中x 1＞x 2)，若y 是关于m 的函数，且y ＝x 1－3x 2，求这个函数的解析式．3．[2015·西城一模] 已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m －1)x －m (m ＋2)＝0.(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；(2)若x ＝－2是此方程的一个根，某某数m 的值．一、选择题1．方程3x (x ＋1)＝2x 的根是( )A ．x 1＝0，x 2＝23B ．x 1＝0，x 2＝－13C ．x ＝－13D ．x 1＝0，x 2＝132．[2015·海淀] 方程x 2－3x －5＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定是否有实数根3．要组织一次排球邀请赛，参赛的每支球队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x 支球队参赛，则x 满足的关系式为( )A.12x (x ＋1)＝28B.12x (x －1)＝28 C ．x (x ＋1)＝28 D ．x (x －1)＝284．已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2二、填空题5．若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解，则m 的值为________．6．[2015·东城一模] 若关于x 的一元二次方程x 2＋3x －m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值X 围是________．7．[2013·海淀二模] 已知x n ，x ′n 是关于x 的方程a n x 2－4a n x ＋4a n －n ＝0(a n >a n ＋1)的两个实数根，x n <x ′n ，其中n 为正整数，且a 1＝1.(1)x ′1－x 1的值为________；(2)当n 分别取1，2，…，2013时，相对应的有2013个方程，将这些方程的所有实数根按照从小到大的顺序排列，相邻两数的差恒为(x ′1－x 1)的值，则x ′2013－x 2012＝________．三、解答题8．[2014·丰台二模] 解方程：x 2－4x ＋2＝0.9．已知关于x 的一元二次方程(a ＋c )x 2＋2bx ＋(a －c )＝0，其中a ，b ，c 分别为△ABC 的三边长．(1)如果x ＝－1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；(3)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．10．[2015·某某一模] 已知关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋k ＋3＝0有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值X 围；(2)若k 为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．11．[2014·门头沟一模] 小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元，请问她购买了多少件这种服装？参考答案真题演练1.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1 [解析] 满足b 2＝a ，a ≠0即可． 2．－13．解：由题意可知Δ＝(－4)2－4(m －1)＝0.解得m ＝5.当m ＝5时，原方程可化为x 2－4x ＋4＝0.解得x 1＝x 2＝2.∴原方程的根为x 1＝x 2＝2.4．解：(1)Δ＝4－4(2k －4)＝20－8k ，∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0，即20－8k >0，∴k <52. (2)∵k 为正整数，∴0<k <52，即k ＝1或2. ∵x 1，2＝－1±5－2k ，且方程的根为整数，∴5－2k 为完全平方数．当k ＝1时，5－2k ＝3，不合题意．当k ＝2时，5－2k ＝1，符合题意，∴k ＝2.5．解：(1)证明：∵mx 2－(3m ＋2)x ＋2m ＋2＝0是关于x 的一元二次方程，∴Δ＝[－(3m ＋2)]2－4m (2m ＋2)＝m 2＋4m ＋4＝(m ＋2)2.∵m >0，∴(m ＋2)2>0，即Δ>0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)由求根公式，得x ＝（3m ＋2）±（m ＋2）2m. ∴x ＝2m ＋2m或x ＝1. ∵m >0，∴2m ＋2m ＝2（m ＋1）m>1. ∵x 1<x 2，∴x 1＝1，x 2＝2m ＋2m.∴y ＝x 2－2x 1＝2m ＋2m －2×1＝2m， 即y ＝2m(m >0)．模拟训练1．C2．解：(1)证明：Δ＝(4m ＋1)2－4m (3m ＋3)＝(2m －1)2.∵m >1，∴Δ＝(2m －1)2>0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)∵x ＝4m ＋1±（2m －1）22m ＝4m ＋1±（2m －1）2m， ∴两根分别为3，1＋1m. ∵m >1，∴0<1m <1，∴1＋1m<2. ∵x 1>x 2，∴x 1＝3，x 2＝1＋1m， ∴y ＝3－3(1＋1m )＝－3m. 3．解：(1)证明：Δ＝[－2(m －1)]2＋4m (m ＋2)＝4m 2－8m ＋4＋4m 2＋8m ＝8m 2＋4. ∵8m 2≥0，∴8m 2＋4＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．(2)m 1＝0，m 2＝2.自测训练1．B 2.A3．B [解析] 每支球队都需要与其他球队赛(x －1)场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为12x (x －1)＝4×7.故选B. 4．A5．1 6.m ＞－947．2 8048 [解析] (1)当n ＝1时，将a 1＝1代入方程得x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x ′1＝3，则x ′1－x 1＝2.故答案为2.(2)由求根公式得x ＝2±n a n， 根据a n >a n ＋1，得到1a 1<2a 2<3a 3<…<n a n ， 当n ＝1时，x 1＝1，x ′1＝3；当n ＝2时，x 2<x 1，x ′2>x ′1，当n ＝3时，x 3<x 2，x ′3>x ′2，依此类推，当n ＝2012时，x 2012<x 2011，x ′2012>x ′2011，当n ＝2013时，x 2013<x 2012，x ′2013>x ′2012，∴根由小到大排列为：x 2013，x 2012，…，x 1，x ′1，…，x ′2013，共4026项． ∵相邻两数据的差恒为2，∴x ′2013－x 2012＝4024×2＝8048.8．解：∵Δ＝42－4×1×2＝8，∴x ＝4±82. ∴x 1＝2＋2，x 2＝2－ 2.9．解：(1)△ABC 是等腰直角三角形．理由：把x ＝－1代入方程得2a －2b ＝0，∴a ＝b ，∴△ABC 是等腰三角形．(2)△ABC 是直角三角形，理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(2b )2－4(a ＋c )(a －c )＝0，∴b 2＋c 2＝a 2，∴△ABC 是直角三角形．(3)∵△ABC 是等边三角形，∴a＝b＝c，∴原方程变为2ax2＋2ax＝0.∵a≠0，∴x1＝0，x2＝－1.10．解：(1)Δ＝(－6)2－4(k＋3)＝36－4k－12＝－4k＋24，∵原方程有两个不相等的实数根，∴－4k＋24＞0.解得k＜6.(2)∵k＜6且k为大于3的整数，∴k＝4或5.①当k＝4时，方程x2－6x＋7＝0的根不是整数．∴k＝4不符合题意．②当k＝5时，方程x2－6x＋8＝0根为x1＝2，x2＝4，均为整数．∴k＝5符合题意．综上所述，k的值是5.12．解：因为80×10＝800(元)＜1200元，所以小丽买的服装数大于10件．设她购买了x件这种服装．根据题意得x[80－2(x－10)]＝1200，解得x1＝20，x2＝30.因为1200÷30＝40＜50，所以x2＝30不合题意，舍去．答：她购买了20件这种服装．。

北京中考复习——一元二次方程一、解答题1、关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况．（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．答案：（1）有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，如a=1，b=2，此时方程的根为x1=x2=-1．解答：（1）一元二次方程ax2+bx+1=0，当b=a+2时，Δ=b2-4a=（a+2）2-4a=a2+4＞0，故当b=a+2时，关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根．（2）若方程有两个相等的实数根，则Δ=b2-4a=0，当a=1，b=2时，满足．此时方程为x2+2x+1=0，方程的根为x1=x2=-1．2、关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+2k+2=0．（1）求证：方程总有两个实数根．（2）若方程有一根小于1，求k的取值范围．答案：（1）证明见解答．（2）k＜0．解答：（1）Δ=（k+3）2-4×1×（2k+2），=k2-2k+1=（k-1）2≥0．∴方程总有两个实数根．（2）x2-（k+3）x+2k+2=0，（x-2）（x-k-1）=0，x1=2，x2=k+1．∵方程有一根小于1，∴k+1＜1，k＜0，即k的取值范围为k＜0．3、已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．答案：（1）k＜52．（2）k=2．解答：（1）关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0中，∴a=1，b=2，c=2k-4，∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=b2-4ac=20-8k＞0，∴k＜52．（2）∵k＜52且k为正整数，∴k=1或k=2．由求根公式，得x=-1∵方程的根都为整数，∴5-2k为完全平方数，当k=1时，5-2k=3，不符合条件．当k=2时，5-2k=1，是完全平方数．故k=2．4、已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根．（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．答案：（1）证明见解答．（2）m=1或m=2．解答：（1）依题可知：Δ=b2-4acΔ=（m+2）2-4×2m=m2+4m+4-8m=m2-4m+4=（m-2）2≥0．∴方程总有两个实数根．（2）原方程可化为：（mx-2）（x-1）=0，解得：x1=1，x2=2m．由题意可知，方程的两个实数根均为整数，∴x2必为整数；又∵m为正整数；∴m=1或m=2．5、关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．答案：m=1，x1=x2=1．解答：a=1，b=-2，c=2m-1，由题意知Δ=b2-4ac=8-8m≥0，∴m≤1，∵m为正整数，∴m=1，∴方程为x2-2x+1=0，∴x1=x2=1．故答案为：m=1，x1=x2=1．6、关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2-1=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．答案：（1）m的取值范围为m＞-54．（2）当m的值为1，此时方程的根为x1=0，x2=-3．（答案不唯一）解答：（1）由题知，Δ=（2m+1）2-4（m2-1）=4m2+4m+1-4m2+4=4m+5．∵方程x2+（2m+1）x+m2-1=0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，∴4m+5＞0，∴m＞-54．即m的取值范围为m＞-54．（2）取m=1，此时方程为x2+3x=0，x（x+3）=0，解得x1=0，x2=-3．∴当m的值为1，此时方程的根为x1=0，x2=-3．7、已知关于x的一元二次方程x2-3x+a-2=0有实数根．（1）求a的取值范围．（2）当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．答案：（1）a≤174．（2）x1=1，x2=2．解答：（1）∵x2-3x+a-2=0有实数根∴Δ=（-3）2-4×1×（a-2）=17-4a≥0∴a≤174．（2）∵a≤174，a为最大整数，∴a=4，∴方程为x2-3x+2=0，∴（x-1）（x-2）=0，∴x1=1，x2=2．8、关于x的一元二次方程mx2-（2m-3）x+（m-1）=0有两个实数根．（1）求m的取值范围．（2）若m为正整数，求此时方程的根．答案：（1）m≤98且m≠0．（2）x1=-1，x2=0．解答：（1）∵a=m，b=-（2m-3），c=m-1，方程有两个实根，∴Δ=b2-4ac=-8m+9≥0且m≠0，∴m≤98且m≠0．（2）∵m为正整数，∴m=1，∴方程为x2+x=0，∴x1=-1，x2=0．9、已知关于x的一元二次方程3x2-kx+k-4=0．（1）判断方程根的情况．（2）若此方程有一个整数根，请选择一个合适的k值，并求出此时方程的根．答案：（1）方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，选k=8，此时方程的根为x1=23，x2=2．解答：（1）Δ=b2-4ac=k2-4×3（k-4），=k2-12k+48，=k2-12k+36+12，=（k-6）2+12，∵（k-6）2≥0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，k=8时，3x2-8x+4=0，（3x-2）（x-2）=0，∴x1=23，x2=2．10、已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根．（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求m的值．答案：（1）证明见解答．（2）m=5解答：（1）∵Δ=（-4m）2-4（4m2-9）=36＞0．∴此方程有两个不相等的实数根．（2）∵由求根公式可得x∴x=2m±3．∵x1＜x2，∴x1=2m-3，x2=2m+3．∵2x1=x2+1．∴2（2m-3）=2m+3+1．解得m=5．11、已知：关于x的一元二次方程x2-4x+2m=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值．答案：（1）m＜2．（2）m=0．解答：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，∴Δ=（-4）2-4·2m=16-8m＞0，∴m＜2．（2）∵m＜2，且m为非负整数，∴m=0或1，当m=0时，方程为x2-4x=0，解得方程的根为x1=0，x2=4，符合题意．桑m=1时，方程为x2-4x+2=0，它的根不是整数，不符合题意，舍去，综上所述，m=0．12、关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m2=0有两个实数根．（1）求m的取值范围．（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．答案：（1）m≥-14．（2）m=0时，x1=0，x2=1．解答：（1）依题意，得Δ=[-（2m+1）]2-4×1×m2=4m+1≥0，解得m≥-14．（2）答案不唯一，如：m=0，此时方程为x2-x=0，解得x1=0，x2=1．13、已知：关于x的方程mx2-4x+1=0（m≠0）有实数根．（1）求m的取值范围．（2）若方程的根为有理数，求正整数m的值．答案：（1）m≤4．（2）m=4．解答：（1）∵关于x的方程mx2-4x+1=0（m≠0）有实数根，∴Δ=16-4m≥0，即m≤4．（2）由求根公式可得：原方程的根为x，∵方程的根为有理数，且m为正整数，∴0＜m≤4，4-m是完全平方数，∴m=4．14、关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+14m2=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）写出一个符合条件的m的值，并求出此时方程的根．答案：（1）m＞-12．（2）x1x2解答：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+14m2=0有两个不相等的实数根，∴Δ=（m+1）2-4×14m2＞0，解之得m＞-12，故答案为：m＞-12．（2）取m=2得：该一元二次方程x2+3x+1=0，Δ=（3）2-4×1×1=5，xx1x2．15、关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+k+2=0．（1）求证：方程总有两个实数根．（2）若方程有一个根为负数，求k的取值范围．答案：（1）证明见解答．（2）k＜-2．解答：（1）方程x2-（k+3）x+k+2=0中，Δ=[-（k+3）2]-4（k+2）=k2+6k+9-4k-8=k2+2k+1=（k+1）2，∵（k+1）2≥0，∴Δ≥0，∴方程总有两个实数根．（2）x2-（k+3）x+k+2=0，（x-1）[x-（k+2）]=0，∴x-1=0或x-（k+2）=0．∴x=1或x=k+2．∵方程有一个根为负数，∴k+2＜0，∴k＜-2．16、已知：关于x的方程x2+4x+2m=0有实数根．（1）求m的取值范围．（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．答案：（1）m≤2．（2）2．解答：（1）Δ=42-4×2m=16-8m，由题意得16-8m≥0，∴m≤2．（2）由m≤2，且m为正整数得，m可取1或2，当m=1时，方程的根不为整数，舍去，当m=2时，x1=x2=-2，符合题意，∴m的值为2．17、关于x的一元二次方程mx2+2x-1=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）若方程的两个根都是有理数，写出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根．答案：（1）m＞-1且m≠0．（2）m=3，x1=-1，x2=13．解答：（1）∵一元二次方程mx2+2x-1=0有两个不相等的实数，∴Δ=22-4m（-1）=4+4m＞0且m≠0，解得：m＞-1且m≠0．（2）∵方程的两个根都是有理数，，解得：m=3，此时方程为：3x2+2x-1=0，解得：x1=-1，x2=13．18、已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-4=0有两个实数根．（1）求m的取值范围．（2）写出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根．答案：（1）m≤5．（2）当m=1时，x1=1，x2=-3．解答：（1）在方程x2+2x+m-4=0中，a=1，b=2，c=m-4，∴Δ=b2-4ac=22-4（m-4）=20-4m，∵一元二次方程x2+2x+m-4=0有两个实数根，∴20-4m≥0，∴m≤5．（2）当m =1时，方程为x 2+2x -3=0，解得x 1=1，x 2=-3．19、关于x 的一元二次方程4m x 2-（m -3）x +（m -1）=0有两个实数根． （1）求m 的取值范围．（2）若m 为正整数，求此方程的根．答案：（1）m ≤95且m ≠0． （2）x 1=0，x 2=-8．解答：（1）根据题意得m ≠0且Δ=（m -3）2-m （m -1）≥0，解得m ≤95且m ≠0． （2）∵m 为正整数，∴m =1， ∴原方程变形为14x 2+2x =0， 解得x 1=0，x 2=-8．20、关于x 的一元二次方程（m -1）x 2-3x +2=0有两个实数根．（1）求m 的取值范围．（2）若m 为正整数，求此时方程的根．答案：（1）m ≤178且m ≠1． （2）x 1=1，x 2=2．解答：（1）∵Δ=（-3）2-4（m -1）×2=-8m +17，依题意，得108170m m -≠⎧⎨∆=-+≥⎩，解得：m ≤178且m ≠1． （2）∵m 为正整数，∴m =2，∴原方程为：x 2-3x +2=0，解得：x 1=1，x 2=2．21、已知关于x 的一元二次方程x 2-3x +（m +1）=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围．（2）如果m 是非负整数，且该方程的根是整数，求m 的值．答案：（1）m＜54．（2）1．解答：（1）∵一元二次方程x2-3x+（m+1）=0有两个不相等的实数根，∴Δ=（-3）2-4×1×（m+1）=9-4m-4=5-4m＞0，解得，m＜54．（2）∵m＜54，m是非负整数，∴m=0或1，当m=0时，原方程化为x2-3x+1=0，该方程的根不是整数，当m=1时，原方程为x2-3x+2=0，解方程得，x1=1，x2=2，该方程的根是整数，∴m=1．22、已知关于x的方程x2-6x+k+7=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）当k为正整数时，求方程的根．答案：（1）k＜2．（2）x1=2，x2=4．解答：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0．即36-4（k+7）＞0．∴k＜2．（2）∵k＜2且k为正整数，∴k=1．∴x2-6x+8=0．∴x1=2，x2=4．23、关于x的方程2x2+（m+2）x+m=0．（1）求证：方程总有两个实数根．（2）请你选择一个合适的m的值，使得方程的两个根都是整数，并求此时方程的根．答案：（1）证明见解答．（2）m=0时，x1=0，x2=-1．解答：（1）Δ=b2-4ac=（m+2）2-8m=m2-4m+4=（m-2）2≥0，∴原方程总有两个实数根．（2）当m=0时，原方程2x2+2x=0，解得x1=0，x2=-1．24、已知关于x的一元二次方程x2+（a+1）x+a=0．（1）求证：此方程总有两个实数根．（2）如果此方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的a的值，并求此时方程的根．答案：（1）证明见解答．（2）当a=0时，x=0或x=-1．解答：（1）Δ=（a+1）2-4a=a2+2a+1-4a=（a-1）2，∴Δ≥0，∴此方程总有两个实数根．（2）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=（a+1）2-4a＞0，∴（a-1）2＞0，∴a≠1，当a=0时，原方程为：x2+x=0x（x+1）=0，∴x1=0，x2=-1．故当a=0时，此方程两个根分别为0，-1．。