精品中考数学专题复习第二单元方程组与不等式组课时训练六一元二次方程练习

课时训练(七)一元二次方程(限时:30分钟)|夯实基础|1.我们解一元二次方程3x2-6x=0时,可以运用因式分解法,将此方程化为3x(x-2)=0,从而得到两个一元一次方程:3x=0或x-2=0,进而得到原方程的解为x1=0,x2=2.这种解法体现的数学思想是()A.转化思想B.函数思想C.数形结合思想D.公理化思想2.[2019·甘肃] 若一元二次方程x2-2kx+k2=0的一根为x=-1,则k的值为()A.-1B.0C.1或-1D.2或03.[2019·河南]一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根4.[2019·哈尔滨] 某商品经过连续两次降价,售价由原来的每件25元降到每件16元,则平均每次降价的百分率为()A.20%B.40%C.18%D.36%5.[2019·吉林]若关于x的一元二次方程(x+3)2=c有实数根,则c的值可以为(写出一个即可).6.[2019·长春] 一元二次方程x2-3x+1=0的根的判别式的值是.7.[2019·资阳] a是方程2x2=x+4的一个根,则代数式4a2-2a的值是.8.数学文化[2019·张家界] 《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作,其中有一个数学问题:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何”.意思是:一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步?根据题意得,长比宽多步.9.[2018·南京]设x1,x2是一元二次方程x2-mx-6=0的两个根,且x1+x2=1,则x1= ,x2= .10.[2019·连云港]已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有两个相等的实数根,则1+c的值等于.11.[2018·徐州]解方程:2x2-x-1=0.12.[2019·呼和浩特] 用配方法求一元二次方程(2x+3)(x-6)=16的实数根.13.[2019·北京]关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根,且m为正整数,求m的值及此时方程的根.14.[2019·徐州]如图K7-1,有一矩形的硬纸板,长为30 cm,宽为20 cm,在其四个角各剪去一个相同的小正方形,然后把四周的矩形折起,可做成一个无盖的长方体盒子,当剪去的小正方形的边长为何值时,所得长方体盒子的底面积为200 cm2?图K7-115.[2019·大连] 某村2016年的人均收入为20000元,2018年的人均收入为24200元.(1)求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率;(2)假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同,请你预测2019年该村的人均收入是多少元?|拓展提升|16.[2019·内江] 一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程x2-8x+15=0的一根,则此三角形的周长是()A.16B.12C.14D.12或1617.[2019·枣庄] 已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是.18.[2018·德州]为积极响应新旧动能转换,提高公司经济效益,某科技公司近期研发出一种新型高科技设备,每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价x(单位:万元)成一次函数关系.(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式;(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润,则该设备的销售单价应是多少万元?19.[2018·宜昌]某市创建“绿色发展模范城市”,针对境内长江段两种主要污染源:生活污水和沿江工厂污染物排放,分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理,若江水污染指数记为Q,沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工),从当年开始,所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算,第一年有40家工厂用乙方案治理,共使Q值降低了12.经过三年治理,境内长江水质明显改善.(1)求n的值.(2)从第二年起,每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m,三年来用乙方案治理的工厂数量共190家,求m的值,并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量.(3)该市生活污水用甲方案治理,从第二年起,每年因此降低的Q值比上一年都增加一个相同的数值a.在(2)的情况下,第二年,用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年用甲方案治理降低的Q值相等.第三年,用甲方案使Q值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值.【参考答案】1.A2.A3.A4.A [解析]设降价的百分率为x ,根据题意,得25(1-x )2=16.解方程,得x 1=1 ,x 2=9 (舍).∴每次降价的百分率为20%.故选A .5.答案不唯一,例如5(c ≥0时方程都有实数根)6.5 [解析]∵a=1,b=-3,c=1,∴Δ=b 2-4ac=(-3)2-4×1×1=5.7.8 [解析]∵a 是方程2x 2=x +4的一个根,∴2a 2-a=4,∴4a 2-2a=2(2a 2-a )=2×4=8.8.12 [解析]设长为x 步,则宽为(60-x )步,根据题意,得 x (60-x )=864,解得x 1=36,x 2=24(舍去),当x=36时,60-x=24,∴长比宽多36-24=12(步).故答案为12.9.-2 310.2 [解析]根据题意得:Δ=4-4a (2-c )=0,整理得:4ac -8a=-4,4a (c -2)=-4,∵方程ax 2+2x +2-c=0是一元二次方程,∴a ≠0,等式两边同时除以4a 得:c -2=-1 ,则1 +c=2,故答案为:2.11.解:把方程左边因式分解得(2x +1)(x -1)=0,∴x 1=-12,x 2=1.12.解:原方程化为一般形式为2x 2-9x -34=0, x 2-92x=17,x 2-92x +811 =17+811 , x -942= 1 ,x -94=± 4, 所以x 1=94,x 2=9- 4. 13.解:∵x 2-2x +2m -1=0有实数根,∴Δ≥0,即(-2)2-4(2m -1)≥0,∴m ≤1.∵m 为正整数,∴m=1,故此时方程为x 2-2x +1=0,即(x -1)2=0,∴x 1=x 2=1,∴m=1,此时方程的根为x 1=x 2=1.14.解:设剪去的小正方形的边长为x cm,根据题意有:(30-2x )(20-2x )=200,解得x 1=5,x 2=20,当x=20时,30-2x<0,20-2x<0,所以x=5.答:当剪去的小正方形的边长为5 cm 时,长方体盒子的底面积为200 cm 2.15.解:(1)设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x.根据题意,得 20000(1+x )2=24200.解得x 1=0.1=10%,x 2=-2.1(不合题意,舍去).答:2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%.(2)24200×(1+10%)=26620(元).答:预测2019年该村的人均收入是26620元.16.A [解析]解方程x 2-8x +15=0,得x=3或x=5.若腰长为3,则三角形的三边长为3,3,6,显然不能构成三角形;若腰长为5,则三角形三边长为5,5,6,此时三角形的周长为16.故选A .17.a>-1 且a ≠0 [解析]∵关于x 的方程ax 2+2x -3=0有两个不相等的实数根,∴Δ=b 2-4ac=4+4× a>0且a ≠0.解4+4× a>0得a>-1 .则a>-1 且a ≠0.18.解:(1)∵此设备的年销售量y (单位:台)和销售单价x (单位:万元)成一次函数关系, ∴可设y=kx +b (k ≠0),将数据代入可得:40 00,4 0,解得-10, 1000,∴一次函数关系式为y=-10x +1000.(2)根据此设备的销售单价是x 万元,成本价是30万元,∴该设备的单件利润为(x -30)万元,由题意得:(x -30)(-10x +1000)=10000,解得:x 1=80,x 2=50,∵销售单价不得高于70万元,即x ≤70,∴x=80不合题意,故舍去,∴x=50.答:该公司若想获得10000万元的年利润,此设备的销售单价应是50万元. 19.解:(1)∵40n=12,∴n=0.3.(2)∵40+40(1+m )+40(1+m )2=190,解得:m 1=12,m 2=-72(舍去),∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为40(1+m )=40×(1+ 0%)=60(家).(3)设第一年用甲方案治理降低的Q 值为x ,第二年Q 值因乙方案治理降低了100n=100×0.3=30,由题得: 0,2 9 ,解得 20 ,9 ,∴Q 值为20.5,a 的值为9.5.。

中考数学《方程与不等式》专题知识训练50题含答案（有理数、实数、代数、因式分解、二次根式）一、单选题1．为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了甲、乙两类玩具，其中甲类玩具的进价比乙类玩具的进价每个多5元，经调查：用1000元购进甲类玩具的数量与用750元购进乙类玩具的数量相同．设甲类玩具的进价为x元/个，根据题意可列方程为（）A．10007505=-x xB．10007505=-x xC．10007505=+x xD．1000750+5=x x2．不等式组215840xx-≤⎧⎨-<⎩的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．3．下列各式，是一元一次不等式的有()①4>1①232x-<4①12x<①4327x y-<-①16x+=A．4个B．3个C．2个D．1个4．小亮解方程组2212x yx y+=⎧⎨-=⎩▲，的解为5xy=⎧⎨=⎩☆，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数▲和①，则这两个数分别为（）A．4和- 6B．- 6和4C．- 2和8D．8和– 2 5．方程2x2+6x+5=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法判断6．若关于x的一元二次方程220x x a+-=有两个相等的实数根，则a的取值为（）A．1a=B．1a=-C．4a=D．4a=-7．3020xx+>⎧⎨-≥⎩不等式组的解集在数轴上表示为（）A ．B ．C ．D ．8．甲、乙两人生产某种机器零件，甲每小时比乙多生产5个，甲生产120个所用的时间与乙生产90个所用的时间相等．设甲每小时生产x 个零件，根据题意，列出的方程是（ ） A ．120905x x =+ B ．120905x x=- C ．120905x x=+ D ．120905x x =- 9．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约2亿元，第三天票房收入约达到4亿元，设票房收入每天平均增长率为x ，下面所列方程正确的是（ ） A ．22(1)4x += B ．()2124x +=C ．22(1)4x -=D ．()22212(1)4x x ++++=10．方程2320x x +-=的根的情况是 （ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．不能确定有没有实数根11．根据等式的性质，若等式m n =可以变形得到m a n b +=-，则a 、b 应满足的条件是（ ） A ．互为相反数B ．互为倒数C ．相等D ．0a =，0b ≠12．若223894614M x xy y x y =+++-﹣（x ，y 是实数），则M 的值一定是( )A ．0B ．负数C ．正数D ．整数13．一元二次方程x 2﹣ax ﹣2=0，根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实根 B ．有两个相等的实数根 C ．无法判断D ．无实数根14．下列等式变形正确的是（ ） A ．如果0.58x -=，那么4x =- B ．如果x y =，那么22x y -=- C ．如果mx my =，那么x y =D ．如果x y =，那么x y =15．若关于x 的一元二次方程2(3)410k x x -++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．7k <B ．7k <，且3k ≠C ．7k ≤，且3k ≠D ．7k >16．已知过点（2，﹣3）的直线y=ax+b （a≠0）不经过第一象限，设s=a+2b ，则s 的取值范围是（ ）A ．﹣5≤s≤﹣B ．﹣6＜s≤﹣C ．﹣6≤s≤﹣D ．﹣7＜s≤﹣17．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，3）M 1B ①x 轴于点B ．点C 是线段OB 上的点，连接AC ，点P 在线段AC 上且AP ＝PC ，函数y ＝kx（x ＞0）的图象经过点P ．当点C 在线段OB 上运动时上k 的取值范围是（ ）A ．0＜k ≤3B ．3≤k ≤6C ．0≤k ≤6D ．6≤k ≤1218．已知两个多项式222A x x =++，222B x x =-+，以下结论中正确的个数有（ ）①若12A B +=，则2x =±；①若2A B ax bx ++-的值与x 的值无关，则2a b +=-； ①若|8||4|12A B A B --+-+=，则12x -≤≤；①若关于y 的方程2(1)2m y A B x -=+-的解为整数，则符合条件的非负整数m 有3个． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个19．下列解方程的过程中正确的是（ ） A ．将2﹣371745x x -+=去分母，得2﹣5（5x ﹣7）=﹣4（x+17）B ．由0.150.710.30.02x x--=，得10157032x x --=100 C ．40﹣5（3x ﹣7）=2（8x+2）去括号，得40﹣15x ﹣7=16x+4D ．﹣25 x=5，得x=﹣252二、填空题20．“x 的4倍与2的和是非负数”用不等式表示为__________________． 21．二元一次方程310x y +=的正整数解共有_________个． 22．已知2x|m|﹣2+3=9是关于x 的一元二次方程，则m=_____．23．已知关于x 的一元二次方程3x 2+4x +m =0有实数根，则m 的取值范围是_______． 24．观察下列一组方程：①20x x -=；①2320x x -+=；①2560x x -+=；①27120x x -+=；…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”，若2560x kx ++=也是“连根一元二次方程”，则k 的值为____________．25．对于实数a 、b ，定义运算“①”如下：a ①b ＝a 2﹣ab ，例如：5①3＝52﹣5×3＝10．若（x +2）①（x ﹣3）＝25，则x 的值为 ___．26．已知不等式组232(1)1x x x x -<-⎧⎨->-⎩，x 是非负整数，则x 的值是________．27．已知关于x 的一元二次方程250x x m ++=的一个根是2，则m =___________． 28．已知方程2x ﹣a ＝8的解是x ＝2，则a ＝_____．29．高斯符号[]x 首次出现是在数学家高斯（C ．F. Gauss ）的数学著作《算术研究》一书中，对于任意有理数x ，通常用[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]2.92=．给出如下结论：①[]33-=-；①[]2.92-=-；①[]0.90=；①[][]3.1 3.97+=．以上结论中，你认为正确的是_________（填序号）． 30．分式方程1233xx x-=---解得______． 31．已知关于x 的方程2x a +＝23x a++1的解与方程4x ﹣5＝3（x ﹣1）的解相同，则a 的值_____．32．如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则直角三角形较短的直角边a 与较长的直角边b 的比值为__．33．一套运动装标价200元，按标价的八折销售，则这套运动装的实际售价为________元．34．某商品标价28元，按九折出售，仍可获利20%，则该商品的进价为________元. 35．汛期来临之前，某地要对辖区内的4600米河堤进行加固．施工单位在加固800米后，采用新的加固模式，这样每天加固长度是原来的2倍，结果共用10天便完成了全部任务．请求出施工单位原来每天加固河堤多少米？设原来每天加固河堤x 米，根据题意可得方程_________________．36．某种品牌的笔记本电脑原价为5000元，如果连续两次降价的百分率都为10%，那么两次降价后的价格为_____元．37．有一个两位数，其个位数字比十位数字大 2，且这个两位数大于 20 且小于 30，那么这个两位数是_____．38．已知方程组24x y ax y +⎧⎨+⎩＝＝和278x y x by --⎧⎨+⎩＝＝有相同的解，则ab ＝_____．39．已知关于x 的方程242x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围为______．三、解答题 40．解方程：14211x x x++=-- 41．解下列一元二次方程： （1）22(1)18x -=； （2）22330x x ； （3）2230x x --=； （4）22340x x +-=． 42．解不等式：2123x x -≤-，把解集在数轴上表示出来． 43．（1）解方程组2=57320x y x y -⎧⎨-=⎩；（2）解不等式组21241x xx x >-⎧⎨+<-⎩．44．解方程组：45．某学校准备为“中国传统文化知识竞赛”购买奖品，已知在某商场购买3个甲种奖品和2个乙种奖品需要65元，购买4个甲种奖品和3个乙种奖品需要90元． (1)求甲、乙两种奖品的单价各是多少元；(2)该校计划购买甲、乙两种奖品共60个，且购买奖品的总费用不超过600元．恰逢该商场搞促销，所有商品一律八折销售，求该校在该商场最多能购买多少个甲种奖品． 46．某学习网站针对疫情停课不停学推出了套餐优惠服务：已知购买2个学习账号和1个错题伴印设备需要2700元，购买3个学习账号和2个错题伴印设备需要4800元．（1）求1个学习账号和1个错题伴印设备的单价各是多少元？（2）若某学习小组准备购买账号和错题伴印设备共45个，且要求伴印设备不低于账号数量的23，请问如何购买才能使得总费用最低，最低费用为多少？ 47．计算题（1）解不等式组31122(3)5x x x x -⎧+⎪⎨⎪--≥⎩（2）分式化简：2321(2)22a a a a a -++-÷++ 48．已知，关于的方程组3{25x y a x y a-=++= 的解满足．（1）求的取值范围．（2）化简．49．山地自行车越来越受中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车今年每辆销售价比去年降低400元，则今年销售5辆车与去年销售4辆车的销售金额相同．（1）求该车行今年和去年A型车每辆销售价各多少元？（2）该车行今年计划进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．若今年A型车进货价每辆1100元，B型车进货价每辆1600元、销售价每辆2200元．设进A型车a辆，这批车卖完后获得利润W元？应如何进货才能使这批车获得利润最多？参考答案：1．A【分析】设甲类玩具的进价为x元/个，根据用1000元购进甲类玩具的数量与用750元购进乙类玩具的数量相同这个等量关系列出方程即可．【详解】解：设甲类玩具的进价为x元/个，则乙类玩具的进价为（x−5）元/个，由题意得，10007505=-x x，故选A．【点睛】本题考查的是列分式方程解应用题，找到等量关系是解决问题的关键．2．B【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可得答案．【详解】解：215840xx-≤⎧⎨-<⎩①②，解不等式2x−1≤5，得：x≤3，解不等式8−4x＜0，得：x＞2，故不等式组的解集为：2＜x≤3，故选：B．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟悉在数轴上表示不等式解集的原则“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”是解题的关键．3．D【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：①没有未知数，不是一元一次不等式；①是一元一次不等式；①未知数在分母上，不是一元一次不等式；①含有两个未知数，不是一元一次不等式；①是一元一次方程，不是一元一次不等式．故选D．【点睛】本题主要是对一元一次不等式定义的考查.4．D【分析】根据方程的解的定义，把x=5代入2x−y=12，求得y的值，进而求出▲的值，即可得到答案．【详解】解：①方程组2212x yx y+=⎧⎨-=⎩▲的解为5xy=⎧⎨=⎩☆，①把x=5代入2x−y=12，得：2×5−y=12，解得：y=-2，把x=5，y=-2代入2x+y=▲，得：2×5+(−2)=▲，即：▲=8，①这两个数分别为：8和﹣2．故选D．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解的定义，掌握二元一次方程组的解满足各个方程，是解题的关键．5．C【详解】解：①在方程2x2+6x+5=0中，①=62﹣4×2×5=﹣4＜0，①方程2x2+6x+5=0没有实数根，故选C．6．B【分析】根据方程有两个相等的实数根，可推出根的判别式240b ac-=，代入相应的系数即可解得a的取值．【详解】220x x a+-=有两个相等的实数根∴()22410a-⨯⨯-=解得：1a=-故选：B．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，能根据方程有两个相等的实数根推出根的判别式等于零是解题的关键．7．C【分析】解出不等式组，根据解集即可选出正确的数轴．【详解】30 20 xx+>⎧⎨-≥⎩①②解：由①得：x >-3， 由①得：x ≤2故原不等式组得解集为：-3<x ≤2 故选：C【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组以及用数轴表示解集，熟练地掌握不等式的性质，正确地解出不等式组，能够正确地在数轴上表示不等式组的解集是解题的关键．注意：“≥、≤”在数轴上表示为实心圆点，“>、<”在数轴上表示为空心圆圈． 8．D【分析】设甲每小时生产x 个零件，根据题意列出分式方程式即可． 【详解】解：设甲每小时生产x 个零件，根据甲生产120个所用的时间与乙生产90个所用的时间相等， 可列方程120905x x =-， 故选D ．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，正确列出方程式是本题关键． 9．A【分析】第一天为2亿元，根据增长率为x 得出第二天为2（1+x ）亿元，第三天为2（1+x ）2亿元，根据“第三天票房收入约达到4亿元”，即可得出关于x 的一元二次方程． 【详解】设平均每天票房的增长率为x ， 根据题意得：22(1)4x +=． 故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．A【分析】利用一元二次方程根的判别式进行判断． 【详解】解：方程2320x x +-=中，a=1，b=3，c=-2 ①22=4341(2)170b ac -=-⨯⨯-=> ①方程有两个不相等的实数根． 故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握2=40b ac ->方程有两个不相等的实数根，2=4=0b ac -方程有两个相等的实数根，2=4<0b ac -方程无实数根是解题关键． 11．A【分析】根据等式的基本性质得到a b =-，再根据相反数的定义解决此题．【详解】①m n =，①0-=m n ，且m a n b +=-，①a b =-，即0a b +=，①a 与b 互为相反数，故选：A【点睛】本题主要考查等式的基本性质、相反数，熟练掌握等式的基本性质、相反数的定义是解决本题的关键．12．C【分析】先将整式M 进行变形为（x ﹣2）2+（y +3）2+2（x ﹣2y ）2+1，然后根据二次方的非负性，即可得出答案．【详解】解：M ＝3x 2﹣8xy +9y 2﹣4x +6y +14＝（x 2﹣4x +4）+（y 2+6y +9）+2（x 2﹣4xy +4y 2）+1＝（x ﹣2）2+（y +3）2+2（x ﹣2y ）2+1①()220x -≥，()230y +≥，()220x y -≥，①（x ﹣2）2+（y +3）2+2（x ﹣2y ）2+1＞0，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了配方法的应用和非负数的性质，将整式M 变为（x ﹣2）2+（y +3）2+2（x ﹣2y ）2+1，是解题的关键．13．A【详解】：①=（-a ）2-4×1×（-2）=a 2+8＞0，①方程有两个不相等的实数根．故选A ．14．B【分析】分别利用等式的基本性质判断得出即可．【详解】解：A、如果-0.5x=8，那么x=-16，错误；B、如果x=y，那么x-2=y-2，正确；C、如果mx=my，当m=0时，x不一定等于y，错误；D、如果|x|=|y|，那么x=y或x=-y，错误；故选：B．【点睛】此题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握性质1、等式两边加减同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题关键．15．B【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k-3≠0且Δ=42-4（k-3）×1＞0，然后解不等式组即可．【详解】解：根据题意得k-3≠0且Δ=42-4（k-3）×1＞0，解得k＜7且k≠3．故选：B．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．16．B【详解】试题分析：由直线y=ax+b（a≠0）不经过第一象限可得a＜0，b≤0，又因直线y=ax+b（a≠0）经过点（2，﹣3），可得2a+b=—3，所以，b=—2a—3，因此 s=a+2b=a+2（—2a—3）=—3a—6，由a＜0可得s＞—6， s=a+2b=+2b=，由b≤0可得s≤—，所以s的取值范围是﹣6＜s≤﹣．故答案选B．考点：一次函数图象与系数的关系．17．B【分析】设C(c，0)（0≤c≤4），过P作PD①x轴于点D，由①PCD①①ACB，用c表示P点坐标，再求得k关于c的解析式，最后由不等式的性质求得k的取值范围．【详解】解：①点A的坐标为(4，3)，AB①x轴于点B，①OB=4，AB=3，设C(c，0)（0≤c≤4），过P作PD①x轴于点D，则BC=4-c，PD AB，OC=c，①①PCD①①ACB，①PD CD CPAB CB CA==①AP PC=，①1 342 PD CDc==-①PD=32，122CD c=-①OD=OC+CD=2+12c，①P(2+12c，32)，把P(2+12c，32)代入函数kyx=（x>0）中，得k=3+34c，①0≤c≤4，①3≤k≤6，故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，不等式的性质，解题关键是求出k关于c的解析式．18．C【分析】代入多项式列方程求解即可判断①；先代入多项式化简，再利用结果与x的值无关得到a、b的值，即可判断①；代入多项式列绝对值方程求解即可判断①；代入多项式，得到41ym=-，根据题意得到符合条件的非负整数m值，即可判断①．【详解】解：222A x x=++，222B x x=-+，①12A B+=，()22222212x x x x∴+++-+=，240x ∴-=，2x ∴=±，①正确；①()()()22222222224A B ax bx x x x x ax bx a x bx ++-=+++-++-=+-+，2A B ax bx ++-的值与x 的值无关，()224a x bx ∴+-+的值与x 的值无关，20a ∴+=，0b -=，2a ∴=-，0b =，2a b ∴+=-，①正确； ① ()2282222848A B x x x x x --=++--+-=-，()2242222444A B x x x x x -+=++--++=+，当1x <-时，()8444128x x x -+-=-，当12x -≤≤时，844412x x -++=，当2x >时，484484x x x -++=-，若|8||4|12A B A B --+-+=，即484412x x -++=，∴当12x -≤≤时，满足条件，①正确；①2(1)2m y A B x -=+-，()14m y ∴-=，41y m ∴=-， ∴若关于y 的方程2(1)2m y A B x -=+-的解为整数，则符合条件的非负整数m 有0、2、3、5，共4个，①错误，故结论中正确的是①①①，故选C ．【点睛】本题考查了整式的加减运算，解一元一次方程，解绝对值方程，非负整数的概念，熟练掌握解方程的步骤与方法是解题关键，注意0是非负整数．19．D【详解】试题解析：A. 方程两边同乘以20得，40-5（3x -7）=4（x +17）,所以本选项错误;B. 从左边看，方程应用的是分式的性质；从右边看，方程应用的是等式的性质2；故所得方程与原方程不是同解方程, 所以本选项错误;C. 去括号时漏乘常数项，且去括号未变号；所以本选项错误;D.计算正确.故选D.20．4x+2≥0【详解】由题意得，4x+2≥0.故答案为4x+2≥0.21．3【分析】由于二元一次方程x+3y=10中x的系数是1，可先用含y的代数式表示x，然后根据此方程的解是正整数，那么把最小的正整数y=1代入，算出对应的x的值，再把y=2代入，再算出对应的x的值，依此可以求出结果．【详解】解：①x+3y=10，①x=10-3y，①x、y都是正整数，①y=1时，x=7；y=2时，x=4；y=3时，x=1．①二元一次方程x+3y=10的正整数解共有3对．故答案为：3．【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看做已知数求出另一个未知数．22．±4【分析】根据一元二次方程的定义解答即可.【详解】①2x|m|﹣2+3=9是关于x的一元二次方程，①|m|﹣2=2，解得m=±4.故答案为±4.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解决问题的关键.23．43m ≤ 【分析】一元二次方程有实数根，则2=40b ac ∆-≥，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围．【详解】解：①关于x 的一元二次方程3x 2+4x +m =0有实数根，22=44430b ac m ∆-=-⨯≥ ①43m ≤， 故答案为：43m ≤． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是明确当一元二次方程有实数根时，2=40b ac ∆-≥．24．15-【分析】设方程的两根分别是1x 和11x +，根据一元二次方程根与系数关系可得()11156x x +=，可得方程的两根，继而根据一元二次方程根与系数关系即可得出k 的值；【详解】设方程的两根分别是1x 和11x +，根据一元二次方程根与系数关系可得：()11156x x +=，解得：17x =，118x +=，①11115x x k ++==-，①15k =-，故答案为：15-【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练解一元二次方程的方法以及一元二次方程根与系数关系．25．3【分析】根据新定义运算列出方程，故可求解．【详解】①a ①b ＝a 2﹣ab ，（x +2）①（x ﹣3）＝25，①（x +2）2-（x +2）（x ﹣3）=25，x 2+4x +4-（x 2-x -6）=25x 2+4x +4- x 2+x +6=255x =15x=3故答案为：3．【点睛】此题主要考查新定义运算与解方程，解题的关键是熟知整式的乘法运算与方程的求解．26．2【分析】求出不等式组的解集，确定出非负整数解即可．【详解】解：不等式组整理得：521xx⎧<⎪⎨⎪>⎩，解得：512x<<，由x为非负整数，得到2x=，则x的值为2．故答案为：2．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．27．14-【分析】先将x=2代入250x x m++=，然后求解关于m的方程即可．【详解】把2x=代入250x x m++=，得：22100m++=，①14m=-．故答案为：-14．【点睛】本题主要考查了方程的解以及解一元一次方程的解，理解方程的解成为解答本题的关键．28．-4【分析】把x=2代入方程计算即可求出a的值．【详解】解：把x＝2代入方程得：4﹣a＝8，解得：a＝﹣4．故答案为：﹣4．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．【分析】通过阅读知道[x]有两层意义，一是其值小于x ，二是其值为整数，根据这两点可以得到解答．【详解】解：由题意得：[-3]3≤-，且为整数，所以[-3]= -3，①正确；[-2.9] 2.9≤-，且为整数，所以[-2.9]= -3，①错误；[0.9]0.9≤ ，且为整数，所以[0.9]= 0，①正确；[3.1] 3.1≤ ，且为整数，所以[3.1]= 3；[3.9] 3.9≤ ，且为整数，所以[3.9]= 3，所以[3.1]+[3.9]=6，①错误．故答案为：①①．【点睛】本题考查阅读理解应用能力，在对材料内容进行归纳提取的基础上应用其方法解答是解题关键．30．5x =【分析】根据分式方程的求解步骤进行求解即可；【详解】解：方程两边同时乘以()3x -，得：()123x x =--，去括号、移项得：5x -=-，系数化为1得：5x =，经检验，当5x =时，30x -≠，故5x =是原方程的根，故答案为：5x =．【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 31．8【分析】先求出第二个方程的解，把x ＝2代入第一个方程，求出方程的解即可．【详解】解方程4x ﹣5＝3（x ﹣1）得：x ＝2，把x ＝2代入方程2x a +＝23x a ++1中，可得：22a +＝43a ++1， 解得：a ＝8．故答案为8【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于a 的方程是解此题的关键．【详解】解：①小正方形与大正方形的面积之比为1：13，①设大正方形的面积是13，①c2=13，①a2+b2=c2=13，①直角三角形的面积是1314-=3，又①直角三角形的面积是12ab=3，①ab=6，①（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25，①a+b=5．则a、b是方程x2﹣5x+6=0的两个根，故b=3，a=2，①23ab=．故答案是：2：3．考点：勾股定理证明的应用33．160【详解】一套运动装标价200元，按标价的八折（即原价的80%）销售，则这套运动装的实际售价为200×80%=160元，故答案为：160．34．21【分析】根据题意得到方程28×0.9=（1+20%）x,求解即可.【详解】解：设该商品的进价为x元,依题意得,28×0.9=（1+20%）x解得：x=21故答案是21.【点睛】本题考查了一次方程的实际应用,属于简单题,找到等量关系,建立一元一次方程是解题关键.35．8004600800102x x-+=【详解】本题的等量关系是：加固800米用的时间+加固（4600-800）米用的时间=10. 所以可列方程为：8004600800102x x-+= 36．4050【分析】根据题意可知第一次降价为5000（1-10%）=4500,第二次降价为4500（1-10%）=4050.【详解】解：依题意得：5000（1-10%）2=4050.【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,熟悉降价率的计算方法是解题关键.37．24【分析】设这个两位数的十位数字为x ，则个位数字为x +2，然后用含x 的代数式表示出这个两位数，根据这个两位数大于20且小于30即可列出关于x 的不等式组，解不等式组求出x 的范围后结合x 为正整数即可确定x 的值，进一步即可求得答案．【详解】解：设这个两位数的十位数字为x ，则个位数字为x +2，那么这个两位数为10x +x +2，根据题意得：20＜10x +x +2＜30，解得：18281111x <<． ①x 为正整数，①x =2，①10x +x +2=24，则这个两位数是24．故答案为：24．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，属于常考题型，正确理解题意、列出不等式组是解题关键．38．-1 【分析】根据方程组24x y ax y +⎧⎨+⎩＝＝和278x y x by --⎧⎨+⎩＝＝有相同的解，所以把2x y +＝和27x y --＝组成方程组求出 x 、y 的值，再把 x 、y 的值代入其他两个方程 4ax y +＝和8x by +＝即可求出a 、 b 的值，即可得答案．【详解】解：①方程组24x y ax y +⎧⎨+⎩＝＝和278x y x by --⎧⎨+⎩＝＝有相同的解，①方程组227x y x y +⎧⎨--⎩＝①＝②的解也是它们的解， ①× 2+①，得：2x +x = 4-7，解得：x =-1，把x = -1代入①，得：-1+y =2，解得：y =3，把x =-1， y =3代入4ax y +＝得：-a +3= 4解得：a = -1，把x =-1， y =3代入8x by +＝得：-1+3b =8，解得：b =3，①ab =（-1）3=-1，故答案为：-1．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解及二元一次方程组的解法，做题的关键是熟练的解二元一次方程组．39．8m >-且4m ≠-【分析】先解分式方程用含有m 的代数式表示x ，再根据x ＞0，且x -2≠0，求出答案即可． 【详解】242x m x +=- 82m x +=因为方程的解是正数，且x -2≠0， 所以802m +＞，且8202m +-≠，解得m ＞-8，且m ≠-4．故答案为：m ＞-8，且m ≠-4．【点睛】本题主要考查了分式方程的解，注意：解分式方程时要保证分母不能是0． 40．x =-1【分析】去分母解整式方程，再代入最简公分母检验即可．【详解】解：去分母，得x +1-4=2（x -1）去括号，得x -3=2x -2解得x =-1，检验：当x =-1时x -10≠，①原分式方程的解为x =-1．【点睛】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的解法是解题的关键．41．（1）14x =，22x =-；（2）方程没有实数解；（3）13x =，21x =-；（4）134x -+=，2x = 【分析】（1）先变形为2(1)9x -=，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用判别式的意义判断方程没有实数解；（3）利用因式分解法解方程；（4）利用求根公式法解方程．【详解】解：（1）22(1)18x -=可化为：2(1)9x -=，①13x -=±，①14x =，22x =-；（2）①2(3)423150，所以方程没有实数解；（3）2230x x --=可化为：(3)(1)0x x -+=，①30x -=或10x +=，①13x =，21x =-；（4）①2342(4)41， ①24341222b b ac x a①1x =2x = 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟悉相关解法是解题的关键．42．x≤2【分析】先将不等式左右两边同时扩大6倍，去掉分母；然后在按照解一元一次不等式的步骤进行求解【详解】左右两边同时扩大6倍得：3x≤6－2(x －2)去括号得：3x≤6－2x+4移项得：5x≤10解得：x≤2数轴上表示如下：【点睛】本题考查了解不等式,需要注意,不等式两边同乘除负数时，不等号要变号43．（1）55xy=⎧⎨=⎩；（2）x＞1．【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；（2）先求出每一个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.【详解】解：（1）25 7320x yx y-=⎧⎨-=⎩①②，由①得：y＝2x﹣5①，把①代入①得：7x﹣3（2x﹣5）＝20，解得：x＝5，把x＝5代入①得：y＝5，方程组的解为55xy=⎧⎨=⎩；（2）21241x xx x>-⎧⎨+<-⎩①②，解不等式①，得：x13 >，解不等式①，得：x＞1，不等式组的解集为：x＞1．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.44．【详解】试题分析：用加减法解方程组，①×2+①求出x=2，代入①可求出y=3,．试题解析：解方程组：解：①×2得：③①+③得：把代入①得： 原方程组的解为考点：解二元一次方程组．45．(1)甲种奖品的单价为15元，乙种奖品的单价为10元(2)学校在商场最多能购买30个甲种奖品【分析】（1）设甲种奖品的单价为x 元，乙种奖品的单价为y 元，根据“购买3个甲种奖品和2个乙种奖品共需65元；购买4个甲种奖品和3个乙种奖品共需90元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设学校在商场可购买m 个甲种奖品，则可购买（60−m ）个乙种奖品，根据总价＝单价×数量，结合此次购买奖品的费用不超过600元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．(1)解：（1）设甲种奖品的单价为x 元，乙种奖品的单价为y 元，依题意得：32654390x y x y ⎧⎨⎩＋＝＋＝，解得：1510x y =⎧⎨=⎩， 答：甲种奖品的单价为15元，乙种奖品的单价为10元；(2)解：设学校在商场可购买m 个甲种奖品，则可购买（60−m ）个乙种奖品，依题意得：15×0.8m ＋10×0.8（60−m ）≤600，解得：m ≤30，答：学校在商场最多能购买30个甲种奖品．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．46．（1）1个学习账号和1个错题半印设备的单价各是600元和1500元；（2）购买学习账号27个，伴印设备18个总费用最低，最低费用为43200元【分析】（1）本题有两个相等关系：购买2个学习账号的费用+1个错题伴印设备的费用=2700元，购买3个学习账号的费用+2个错题伴印设备的费用=4800元，据此设未知数列方程组解答即可；（2）设购买学习账号m 个，总费用为W 元，先根据题意列出W 与m 的一次函数关系式，然后由伴印设备不低于账号数量的23可得关于m 的不等式，解不等式即可求出m 的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．【详解】解：（1）设1个学习账号和1个错题伴印设备的单价各是x 元和y 元，依据题意得： 22700324800x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：6001500x y =⎧⎨=⎩， 答：1个学习账号和1个错题伴印设备的单价各是600元和1500元．（2）设购买学习账号m 个，则购买伴印设备()45m -个，总费用为W 元，依据题意得：()60015004590067500W m m m =+-=-+， 由2453m m -≥，解得：27m ≤， 9000-<，∴W 随m 的增大而减小，①当m 取最大值27时，函数值W 最小，最小值为675002430043200-=，答：购买学习账号27个，伴印设备18个总费用最低，最低费用为43200元．【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述基本知识是解题的关键．47．（1）2≤x ＜3；（2）11a a +-. 【分析】（1）分别解得各不等式的解集，再求出两个不等式的公共解集即可.（2）根据分式的混合运算法则进行化简即可.【详解】（1）31122(3)5x x x x -⎧+>⎪⎨⎪--≥⎩由3112x x -+> 得：x ＜3 由2(3)5x x --≥ 得：x≥2①不等式组的解集为：2≤x ＜3（2）原式=23(2)(2)2·22(1)a a a a a a -++⎡⎤+⎢⎥++-⎣⎦ =22122(1)a a a a -++- =a+1a-1【点睛】本题考查解不等式，分式的混合运算，熟练掌握不等式的解法及分式的运算法则是解题关键.48．（1）a ＞2 （2）2【详解】试题分析：（1）解不等式得出用a 表示的x 与y ，然后根据x ＞y ＞0得到不等式组，求得不等式组的解集可求得a 的范围；（2）根据绝对值的意义直接由（1）的结论可求得结果．试题解析：解：（1）3{25x y a x y a -=++=①②由①+①得3x=6a+3解得x=2a+1，把x=2a+1代入①可得y=a-2由x ＞y ＞0可得2a+1＞a-2＞0解不等式可得a ＞-3且a ＞2所以a 的取值范围为a ＞2（2）由a ＞2可知=a-（a-2）=a-a+2=2．考点：二元一次方程组，不等式组，绝对值49．该车行今年A 型车每辆销售价1600元，去年每辆销售价2000元；（2）当进A 型车20辆，B 型车40辆时，这批车获利最大．【详解】试题分析：（1）设今年A 型车每辆售价x 元，则去年售价每辆为y 元，根据题意建立方程组求出其解即可；（2）设今年新进A 型车a 辆，则B 型车（60-a ）辆，获利W 元，由条件表示出W 与a 之间的关系式，由a 的取值范围就可以求出W 的最大值．。

中考数学专题复习分类练习一元二次方程组综合解答题含答案解析一、一元二次方程1．解方程：(x+1)(x﹣3)=﹣1．【答案】x1=1+3，x2=1﹣3【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x2﹣2x=2，配方得：x2﹣2x+1=3，即（x﹣1）2=3，解得：x1=1+3，x2=1﹣3．2．计算题（1）先化简，再求值：21xx-÷（1+211x-），其中x=2017．（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．【答案】（1）2018；（2）m=4【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）21xx-÷（1+211x-）=22211 11 x xx x-+÷--=()() 2211 1x xxx x+-⋅-=x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0，解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.3． y与x的函数关系式为：y=1.7x（x≤m）;或( x≥m) ；4．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m时，是正比例函数，当x＞m时是一次函数．【小题1】只需把x 代入函数表达式，计算出y 的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．5．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：x+1+（x+1）x ＝36，解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.6．解方程：(x ＋1)(x －1)＝x.【答案】x 1，x 2【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x ＋1)(x －1)＝x 2-2x-1=0∵a=1，b=-c=-1∴△=b 2-4ac=8+4=12＞0∴∴x1x 2.7．已知1x 、2x 是关于x 的方程222(1)50x m x m -+++=的两个不相等的实数根.(1)求实数m 的取值范围;(2)已知等腰ABC ∆的一边长为7，若1x 、2x 恰好是ABC ∆另外两边长，求这个三角形的周长.【答案】（1）m>2; (2)17【解析】试题分析：（1）由根的判别式即可得；（2）由题意得出方程的另一根为7，将x =7代入求出x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．试题解析：解：（1）由题意得△=4（m +1）2﹣4（m 2+5）=8m －16＞0，解得：m ＞2； （2）由题意，∵x 1≠x 2时，∴只能取x 1=7或x 2=7，即7是方程的一个根，将x =7代入得：49﹣14（m +1）+m 2+5=0，解得：m =4或m =10．当m =4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17； 当m =10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；故三角形的周长为17．点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．8．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2＝0有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）当a 为符合条件的最大整数，求此时方程的解．【答案】（1）a ≤174；（2）x =1或x =2 【解析】【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b 2﹣4ac≥0，建立关于a 的不等式，即可求出a 的取值范围；（2）根据（1）确定出a 的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2=0有实数根，∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a ﹣2）≥0，解得a ≤174； （2）由（1）可知a ≤174， ∴a 的最大整数值为4，此时方程为x 2﹣3x +2=0，解得x =1或x =2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．9．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【答案】(1)2000；(2)2米【解析】【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x 米2， 根据题意得：4600022000x -﹣46000220001.5x-= 4 解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解;答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x 米，根据题意得，（20﹣3x ）（8﹣2x ）=56 解得：x=2或x=263（不合题意，舍去）． 答：人行道的宽为2米．10．已知关于x 的方程（x-3）(x-2)-p 2=0.（1）求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=3 x 1x 2，求实数p 的值.【答案】（1）详见解析；（2）p=±1.【解析】【分析】（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把2212123x x x x +=变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p 的一元二次方程，解方程即可求解．【详解】证明：（1）（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2=0，x 2﹣5x+6﹣p 2=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p 2）=25﹣24+4p 2=1+4p 2，∵无论p 取何值时，总有4p 2≥0，∴1+4p 2＞0，∴无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）x 1+x 2=5，x 1x 2=6﹣p 2，∵2212123x x x x +=， ∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=3x 1x 2，∴52=5（6﹣p 2），∴p=±1．考点：根的判别式；根与系数的关系．11．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法． 例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n 有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n 中黑点的个数分别是 、 ．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有 个圆圈；第n 个点阵中有 个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．【答案】60个，6n 个；（1）61；3n 2﹣3n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．【解析】分析：根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．详解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，故答案为：60个，6n个；（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：2×3+1=7个，第3个点阵中有：3×6+1=17个，第4个点阵中有：4×9+1=37个，第5个点阵中有：5×12+1=60个，…第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，故答案为：60，3n2﹣3n+1；（2）3n2﹣3n+1=271，n2﹣n﹣90=0，（n﹣10）（n+9）=0，n1=10，n2=﹣9（舍），∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．点睛：本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．12．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件：（1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可以在150件基础上增加m件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，求出m的值．【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16．【解析】试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可；（2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+m），列出方程求解即可．试题解析：（1）设销售单价至少为x元，根据题意列方程得，150（x﹣20）=2250，解得x=35，答：销售单价至少为35元；（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+m）=5670，150+m﹣150×m%﹣m%×m=162，m﹣m2=12，60m﹣3m2=192，m2﹣20m+64=0，m1=4，m2=16，∵要使销售量尽可能大，∴m=16．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．13．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣12）＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？【答案】（1）详见解析；（2）k＝32或2．【解析】【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可．【详解】（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，∴该方程总有实数根；（2）() 2k12k3 x=2±＋﹣∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵a 、b 、c 为等腰三角形的三边，∴2k ﹣1＝2或2k ﹣1＝3，∴k ＝32或2． 【点睛】 本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a 是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.14．自2018年1月10日零时起，高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元．()1如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用________元； () 2现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有多少名员工参加旅游？【答案】（1）2280；（2）15【解析】【分析】对于（1）根据人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求解；对于（2）设这次旅游可以安排x 人参加，而由10×200＝2000＜2625，可以得出人数大于10人，则根据x 列出方程：（10＋x ）（200－5x ）＝2625，求出x ，然后根据人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求出x 的范围，最后得出x 的值.【详解】（1）2280()2因为1020020002625⨯=<．因此参加人比10人多，设在10人基础上再增加x 人，由题意得：()()1020052625x x +-=．解得 15x = 225x =，∵2005150x -≥，∴010x <≤，经检验 15x =是方程的解且符合题意，225x =（舍去）．1010515x +=+=答：该单位共有15名员工参加旅游．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意作出判断，列出一元二次方程，求解方程，舍去不符合题意的解，从而得出结果.15．利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息信息1：甲乙两种商品的进货单价和为11；信息2：甲商品的零售单价比其进货单价多2元，乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元：信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元．()1甲、乙两种商品的进货单价各是多少？()2据统计该商店平均每天卖出甲商品500件，经调查发现，甲商品零售单价每降0.1元，这样甲商品每天可多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降a 元，在不考虑其他因素的条件下，当a 定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元？【答案】（1）甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件（2）当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元【解析】【分析】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据给定的三个信息，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据总利润=单件利润⨯销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据题意得：()()113x 222y 437x y +=⎧++-=⎨⎩， 解得：{56x y ==．答：甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件． ()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据题意得：()()250010001500a a -+=，整理得：22310a a -+=，解得：10.5a =，21a =．答：当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：()1找准等量关系，正确列出二元一次方程组；()2找准等量关系，正确列出一元二次方程．。

第6讲 一元二次方程1．(2016·天津)方程x 2＋x －12＝0的两个根为( D )A ．x 1＝－2，x 2＝6B ．x 1＝－6，x 2＝2C ．x 1＝－3，x 2＝4D ．x 1＝－4，x 2＝32．(2016·丽水)下列一元二次方程没有实数根的是( B )A ．x 2＋2x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋2＝0C ．x 2－1＝0D ．x 2－2x －1＝03．(2016·衡阳)关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋k ＝0有两个相等的实根，则k 的值为( B )A ．k ＝－4B ．k ＝4C ．k ≥－4D ．k ≥44．(2016·枣庄)已知关于x 的方程x 2＋3x ＋a ＝0有一个根为－2，则另一个根为( B )A ．5B ．－1C ．2D ．－55．(2016·青岛)输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表：A ．20.5＜x ＜20.6B ．20.6＜x ＜20.7C ．20.7＜x ＜20.8D ．20.8＜x ＜20.96．(2015·烟台)如果x 2－x －1＝(x ＋1)0，那么x 的值为( C )A ．2或－1B ．0或1C ．2D ．－17．(2016·台州)有x 支球队参加篮球比赛，共比赛45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( A )A.12x(x －1)＝45B.12x(x ＋1)＝45 C ．x(x －1)＝45 D ．x(x ＋1)＝45 8．(2016·长沙)若关于x 的一元二次方程x 2－4x －m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是m ＞－4．9．(2016·南京)设x 1，x 2是方程x 2－4x ＋m ＝0的两个根，且x 1＋x 2－x 1x 2＝1，则x 1＋x 2＝4，m ＝3．10．(2016·黄石)关于x 的一元二次方程x 2＋2x －2m ＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是m ＞12． 11．(2016·德州)方程2x 2－3x －1＝0的两根为x 1，x 2，则x 21＋x 22＝134． 12．选择适当的方法解下列方程：(1)x 2－5x ＋1＝0(用配方法)； 解：x 2－5x ＝－1，x 2－5x ＋(52)2＝－1＋(52)2， (x －52)2＝214， x －52＝±212， 所以x 1＝5＋212，x 2＝5－212.(2)3(x －2)2＝x(x －2)；解：3(x －2)2－x(x －2)＝0，(x －2)(3x －6－x)＝0，所以x 1＝2，x 2＝3.(3)2x 2－22x －5＝0(用公式法)；解：Δ＝(－22)2－4×2×(－5)＝48，x ＝22±482×2＝22±434＝2±232， 所以x 1＝2＋232，x 2＝2－232.(4)(y ＋2)2＝(3y －1)2.解：(y ＋2)2－(3y －1)2＝0， (y ＋2＋3y －1)(y ＋2－3y ＋1)＝0，y ＋2＋3y －1＝0或y ＋2－3y ＋1＝0，所以y 1＝－14，y 2＝32.13．(2016·毕节)为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6 000万元.2016年投入教育经费8 640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元． 解：(1)设该县投入教育经费的年平均增长率为x.则6 000(1＋x)2＝8 640.解得x 1＝0.2，x 2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：这两年该县投入教育经费的年平均增长率为20%.(2)8 640×(1＋0.2)＝10 368(万元)．答：预算2017年该县投入教育经费10 368万元．14.已知x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．(1)求a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0有两个实数根，∴Δ＝4a 2－4(a －6)·a≥0，且a －6≠0.解得a≥0，且a≠6.(2)∵x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根，∴由根与系数的关系可知，x 1x 2＝a a －6， x 1＋x 2＝－2a a －6. 由－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2得x 1x 2＝4＋x 1＋x 2，即a a －6＝4－2a a －6. 解得a ＝24＞0，且a －6≠0. ∴存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立，a 的值是24.15．(2016·潍坊)关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋sin α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于( B )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°16．(2015·广州)已知2是关于x 的方程x 2－2mx ＋3m ＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为( B )A ．10B ．14C ．10或14D ．8或1017．(2016·烟台)若x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个根，则x 21－x 1＋x 2的值为( D )A ．－1B ．0C ．2D ．318．(2014·巴中)某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个．定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个．商店若准备获利2 000元，则应进货多少个？定价多少元？ 解：设定价为x 元，则进货为(700－10x)个．由题意得(x －40)(700－10x)＝2 000.解得x 1＝50，x 2＝60.∵每批次进货个数不得超过180个，∴700－10x≤180.∴x ≥52.∴x ＝60.当x ＝60时，700－10x ＝700－10×60＝100.答：商店若准备获利2 000元，应进货100个，定价为60元．19．方程x(x －1)＝2(x －1)2的解为x 1＝1，x 2＝2．。

第7课时一元二次方程及其应用|夯实基础|1.[2019·山西]一元二次方程x2-4x-1=0配方后可化为()A.(x+2)2=3B.(x+2)2=5C.(x-2)2=3D.(x-2)2=52.[2019·河南]一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根3.[2019·自贡]关于x的一元二次方程x2-2x+m=0无实数根,则实数m的取值范围是()A.m<1B.m≥1C.m≤1D.m>14.[2019·遂宁]已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一个根为0,则a的值为()A.0B.±1C.1D.-15.[2019·衡阳]国家实施“精准扶贫”政策以来,很多贫困人口走向了致富的道路,某地区2016年底有贫困人口9万人,通过社会各界的努力,2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x,根据题意列方程得()A.9(1-2x)=1B.9(1-x)2=1C.9(1+2x)=1D.9(1+x)2=16.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2-4x+3=0的根,则该三角形的周长是()A.5B.7C.5或7D.10÷1--的值为()7.[2019·包头样题一]若x是方程x2+x-6=0的根,则--A.或-1B.C.或1D.8.[2019·新疆]若关于x的一元二次方程(k-1)x2+x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是()A.k≤B.k>C.k<且k≠1D.k≤且k≠19.[2019·聊城]若关于x的一元二次方程(k-2)x2-2kx+k=6有实数根,则k的取值范围为()A.k≥0B.k≥0且k≠2C.k≥D.k≥且k≠210.[2019·新疆]在某篮球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛36场.设有x个队参赛,根据题意,可列方程为 ()A.x(x-1)=36B.x(x+1)=36C.x(x-1)=36D.x(x+1)=3611.[2019·包头一模]若2是关于x的方程x2-(m-1)x+m+2=0的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边的长,则△ABC的周长为()A.7或10B.9或12C.12D.912.[2017·呼和浩特] 关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为()A.2B.0C.1D.2或013.[2019·鄂州]关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的两实数根分别为x1,x2,且x1+3x2=5,则m的值为()A.B.C.D.014.[2019·陇南]关于x的一元二次方程x2+x+1=0有两个相等的实数根,则m的取值为.15.[2019·包头样题二]方程3x2-5x+2=0的一个根是a,则-6a2+10a+2015=.16.[2019·济宁]已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根,则方程的另一个根是.17.[2019·南京]已知2+是关于x的方程x2-4x+m=0的一个根,则m=.18.[2019·眉山]设a,b是方程x2+x-2019=0的两个实数根,则(a-1)(b-1)的值为.19.解方程:(1)2y2=y;(2)-3x2+22x-24=0;(3)(x+8)(x+1)=-12;(4)16x2=(2x-3)2.20.[2019·衡阳]关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根,求此时m的值.21.[2019·孝感]已知关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根x1,x2.(1)若a为正整数,求a的值;(2)若x1,x2满足1222-x1x2=16,求a的值.22.[2019·襄阳]改善小区环境,争创文明家园.如图7-3所示,某社区决定在一块长(AD)16 m,宽(AB)9 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路,其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112 m2,则小路的宽应为多少?图7-323.[2018·盐城] 一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售量,增加盈利,该店采取了降价措施.在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.(1)若降价3元,则平均每天的销售数量为件;(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天的销售利润为1200元?|拓展提升|24.[2019·烟台]当b+c=5时,关于x的一元二次方程3x2+bx-c=0的根的情况为()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定25.[2019·淄博]若x1+x2=3,=5,则以x1,x2为根的一元二次方程是 ()A.x2-3x+2=0B.x2+3x-2=0C.x2+3x+2=0D.x2-3x-2=026.[2018·包头] 已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两个实数根,m为正整数,且该方程的根都是整数,则符合条件的所有正整数m的和为()A.6B.5C.4D.327.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根.(1)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值;(2)已知等腰三角形ABC的一边长为7,若x1,x2恰好是△ABC另外两边的长,求这个三角形的周长.【参考答案】1.D2.A3.D4.D5.B6.B7.B8.D[解析]∵关于x的一元二次方程(k-1)x2+x+1=0有两个实数根,∴Δ≥0,即12-4×(k-1)×1≥0,解得k≤.又∵k-1≠0,∴k≠1.∴k的取值范围为k≤且k≠1.9.D[解析]∵原方程是一元二次方程,∴k-2≠0,∴k≠2.∵方程有实数根,∴(-2k)2-4(k-2)(k-6)≥0,解得k≥,∴k的取值范围为k≥且k≠2,故选D.10.A[解析]因为有x个队参赛,则每个队都要跟其余的(x-1)个队进行比赛,但两个队之间只比赛一场,故可列方程为x(x-1)=36.11.C[解析] ∵x=2是方程x2-(m-1)x+m+2=0的一个根,∴22-2(m-1)+m+2=0,解得m=8,则一元二次方程为x2-7x+10=0,即(x-2)(x-5)=0,故一元二次方程的另一个根为x=5.当等腰三角形腰为2时,∵2+2<5,故无法构成三角形,舍去;当等腰三角形腰为5时,任意两边之和都大于第三边,故此时△ABC的周长为5+5+2=12.故选C.12.B[解析]根据根与系数的关系得x1+x2=-,∴-(a2-2a)=0,解得a1=0,a2=2.∵当a=2时,原方程为x2+1=0无解,∴a=0.13.A[解析]∵x1+x2=4,∴x1+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=5,∴x2=,把x2=代入x2-4x+m=0,得2-4×+m=0,解得m=.14.415.201916.-2[解析]方法1:把x=1代入方程得1+b-2=0,解得b=1,所以方程是x2+x-2=0,解得x1=1,x2=-2.方法2:设方程的另一个根为m,由根与系数的关系知1×m=-2.∴m=-2.17.1[解析]把x=2+代入方程得(2+)2-4(2+)+m=0,解得m=1.18.-2017[解析]根据题意,得a+b=-1,ab=-2019,∴(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1=-2019+1+1=-2017.19.解:(1)y1=0,y2=.(2)x1=6,x2=.(3)x1=-5,x2=-4.(4)x1=-,x2=.20.解:(1)由一元二次方程x2-3x+k=0有实数根,得b2-4ac=9-4k≥0,∴k≤.(2)k可取的最大整数为2,∴方程可化为x2-3x+2=0,该方程的根为1和2.∵方程x2-3x+k=0与一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0有一个相同的根,∴当x=1时,方程为(m-1)+1+m-3=0,解得m=;当x=2时,方程为(m-1)×22+2+m-3=0,解得m=1(不合题意).故m=.21.解:(1)∵原方程有两个不相等的实数根,∴Δ=[-2(a-1)]2-4(a2-a-2)>0,整理得a2-2a+1-a2+a+2>0,-a+3>0,∴a<3,∵a为正整数,∴a=1或2.(2)∵x1+x2=2(a-1),x1x2=a2-a-2,又-x1x2=16,则(x1+x2)2-3x1x2=16,∴[2(a-1)]2-3(a2-a-2)=16,4a2-8a+4-3a2+3a+6=16,整理得a2-5a-6=0,解得a1=-1,a2=6,∵a<3,∴a=6舍去,∴a=-1.22.解:设小路的宽应为x m,由题意可得方程为:(16-2x)(9-x)=112,解得:x1=1,x2=16,x2=16>9,不合题意,舍去,∴x=1,答:小路的宽应为1 m.23.解:(1)26(2)设当每件商品降价x元时,该商店每天的销售利润为1200元.由题意,得(40-x)(20+2x)=1200.整理,得x2-30x+200=0.解得x 1=10,x 2=20. 又每件盈利不少于25元, ∴x =20不合题意舍去.答:当每件商品降价10元时,该商店每天的销售利润为1200元.24.A [解析]因为b +c =5,所以c =5-b ,因为Δ=b 2-4×3×(-c )=b 2+4×3×(5-b )=(b -6)2+24>0,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根.25.A [解析](x 1+x 2)2=+2x 1·x 2, 又∵x 1+x 2=3, =5,∴2x 1·x 2=(x 1+x 2)2-()=9-5=4,∴x 1x 2=2, ∴以x 1,x 2为根的一元二次方程是x 2-3x +2=0.故选A . 26.B [解析]根据题意得Δ=4-4(m -2)≥0,解得m ≤3, 由m 为正整数,得m =1或2或3. 利用求根公式表示出方程的根为x =- ( - )=-1± - .∵方程的根为整数, ∴3-m 为完全平方数,则m 的值为2或3,2+3=5.故选择B .27.解:(1)∵x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2-2(m +1)x +m 2+5=0的两个实数根,∴ ( ),. 又∵(x 1-1)(x 2-1)=28,∴(x 1-1)(x 2-1)=x 1x 2-x 1-x 2+1=x 1x 2-(x 1+x 2)+1=m 2+5-2(m +1)+1=m 2+5-2m -2+1=m 2-2m +4=28, 即m 2-2m -24=0,∴m =-4或m =6.又∵Δ=[-2(m +1)]2-4(m 2+5)=4(m +1)2-4(m 2+5)=4m 2+8m +4-4m 2-20=8m -16≥0, ∴m ≥2,∴m =6.(2)若x 1,x 2中有一个为7,代入方程x 2-2(m +1)x +m 2+5=0,得49-14(m +1)+m 2+5=0,解得m =4或m =10.当m =4时,方程为x 2-10x +21=0,解得x 1=3,x 2=7,三角形的周长为3+7+7=17;当m =10时,方程为x 2-22x +105=0,解得x =7或x =15,∵7+7<15,不符合三角形三边关系,故舍去.若x 1,x 2为等腰三角形的腰长,则方程x 2-2(m +1)x +m 2+5=0有两个相等的实数根,由(1)得Δ=8m -16,∴8m -16=0,∴m =2,此时方程为x 2-6x +9=0,解得x 1=x 2=3,∵3+3<7,不符合三角形三边关系,故舍去. 综上,这个三角形的周长为17.。

课时训练(七)一元一次不等式(组)及其应用(限时:35分钟)|夯实基础|1.[2019·广安]若m>n,下列不等式不一定成立的是()A.m+3>n+3B.-3m<-3nC.>D.m2>n22.[2019·陇南]不等式2x+9≥ (x+2)的解集是()A.x≤B.x≤-3C.x≥D.x≥-33.[2018·益阳]不等式组211-2的解集在数轴上表示正确的是 ()图K7-14.[2019·德州]不等式组2(-112-1-2的所有非负整数解的和是()A.10B.7C.6D.05.[2019·南充]若关于x的不等式2x+a≤1只有2个正整数解,则a的取值范围为 ()A.-5<a<-3B.- ≤a<-3C.-5<a≤-3D.- ≤a≤-36.[2019·聊城]若不等式组12-1无解,则m的取值范围为()A.m≤2B.m<2C.m≥2D.m>27.[2019·重庆B卷]某次知识竞赛共有20题,答对一题得10分,答错或不答扣5分,小华得分超过120分,他至少要答对的题的个数为()A.13B.14C.15D.168.[2019·绵阳]红星商店计划用不超过4200元的资金购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件,据市场行情,销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元,两种商品均售完.若所获利润大于750元,则该店进货方案有()A.3种B.4种C.5种D.6种9.[2019·株洲]若a 为有理数,且2-a 的值大于1,则a 的取值范围为 . 10.[2019·益阳]不等式组-1 0 -的解集为 .11.[2019·大庆]已知x=4是不等式ax -3a -1<0的解,x=2不是不等式ax -3a -1<0的解,则实数a 的取值范围是 . 12.[2019·包头]已知不等式组 2 9 - 1 - 1的解集为x>-1,则k 的取值范围是 .13.[2019·宜宾]若关于x 的不等式组-2-12 - 2- 有且只有两个整数解,则m 的取值范围是 .14.[2018·山西]2018年国内航空公司规定:旅客乘机时,免费携带行李箱的长,宽,高之和不超过115 cm .某厂家生产符合该规定的行李箱,已知行李箱的宽为20 cm,长与高的比为8∶11,则符合此规定的行李箱的高的最大值为cm .15.(1)解不等式:4(x -1)-12<x.(2)[2019·新疆]解不等式组: 2 ( -2 ①22 -②并把解集在数轴上表示出来.16.若不等式组2112(-的整数解是关于x的方程2x-4=ax的解,求a的值.17.[2019·荆州]为拓宽学生视野,促进书本知识与生活实践的深度融合,荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动.在此次活动中,若每位老师带队14名学生,则还剩10名学生没老师带;若每位老师带队15名学生,就有一位老师少带6名学生.现有甲、乙两种大型客车,它们的载客量和租金如表所示:2名老师.(1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人?(2)既要保证所有师生都有车坐,又要保证每辆车上至少要有2名老师,可知租车总辆数为辆.(3)学校共有几种租车方案?最少租车费用是多少? |拓展提升|18.[2019·镇江]下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组2(2-1 -0的解集的是()图K7-219.[2019·重庆B卷]若数a使关于x的不等式组-21(--2(1-有且仅有三个整数解,且使关于y的分式方程1-2-11-=-3的解为正数,则所有满足条件的整数a的值之和是() A.-3 B.-2 C.-1 D.1【参考答案】1.D2.A3.A4.A [解析]解不等式5x +2>3(x -1),得x>-2;解不等式12x -1≤ -2x ,得x ≤ ; ∴不等式组的解集为-2<x ≤ .∴不等式组的非负整数解为0,1,2,3,4,这些非负整数解的和为10. 故选A .5.C [解析]解不等式2x +a ≤1 得:x ≤1-2, 不等式有两个正整数解,一定是1和2, 根据题意得:2≤1-2<3,解得:-5<a ≤-3. 故选C .6.A [解析]解不等式1 < 2-1,得x>8,当4m ≤8时,原不等式组无解,∴m ≤2 故选A . 7.C [解析] 设小华答对的题的个数为x 题,则答错或不答的题的个数为(20-x )题,可列不等式10x -5(20-x )>120,解得x>142,即他至少要答对的题的个数为15题.故选C . 8.C [解析]设该店购进甲种商品x 件,则购进乙种商品(50-x )件, 根据题意,得:0 100( 0- 200 10 20( 0- 0解得:20≤x<25,∵x 为整数,∴x=20,21,22,23,24, ∴该店进货方案有5种. 9.a<1 10.x<-311.a ≤-1 [解析]因为x=4是不等式ax -3a -1<0的解,所以4a -3a -1<0,a<1, 因为x=2不是不等式ax -3a -1<0的解, 所以2a -3a -1≥0 所以a ≤-1,所以a ≤-1.12.k ≤-2 [解析] 解2x +9>-6x +1得x>-1.解x -k>1得x>k +1.∵不等式组的解集为x>-1,∴k +1≤-1,解得k ≤-2.13.-2≤m<1 [解析]-2-1 ① 2 - 2- ② 解不等式①得:x>-2, 解不等式②得:x ≤2 ,∴不等式组的解集为-2<x ≤2,∵不等式组只有两个整数解, ∴0≤2 <1,解得:-2≤m<1,故答案为-2≤m<1.14.55 [解析] 设长为8x cm,高为11x cm,由题意可得20+8x +11x ≤11 解得:x ≤ .∴11x ≤ .15.解:(1)化简4(x -1)-12<x 得4x -4-12<x , ∴3x<92,∴x<2,∴原不等式的解集为x<2.(2)解不等式①,得:x<2. 解不等式②,得:x>1.所以,不等式组的解集为:1<x<2. 在数轴上表示如图所示:16.解:解不等式组得-1 -所以不等式组的解集为-3<x<-1, 则满足条件的整数解为-2,把x=-2代入方程2x -4=ax ,得-4-4=-2a ,解得a=4.17.[解析] (1)设参加此次研学活动的老师有x 人,学生有y 人,根据“若每位老师带队14名学生,则还剩10名学生没老师带;若每位老师带队15名学生,就有一位老师少带6名学生” 即可得出关于x ,y 的二元一次方程组,解之即可得出结论.(2)利用租车总辆数(至少)=师生人数÷ 结合每辆客车上至少要有2名老师,即可得出租车总辆数为8辆.(3)设租35座客车m 辆,则需租30座的客车(8-m )辆,根据8辆车的座位数不少于师生人数及租车总费用不超过3000元,即可得出关于m 的一元一次不等式组,解之即可得出m 的取值范围,结合m 为正整数即可得出租车方案数.设租车总费用为w 元,根据租车总费用= 00×租用35座客车的数量+ 20×租用30座客车的数量,即可得出w 关于m 的函数关系式,再利用一次函数的性质即可解决最值问题.解:(1)设参加此次研学活动的老师有x 人,学生有y 人, 依题意,得: 1 10 1 - 解得: 1 2答:参加此次研学活动的老师有16人,学生有234人.(2)8 [解析] ∵每辆车上至少要有2名老师,∴客车总数不超过8辆,又要保证所有师生都有车坐,∴客车总数不能小于2 1= 0 (取整为8)辆,综合起来可知租车总辆数为8辆.故答案为:8.(3)设租35座客车m 辆,则需租30座的客车(8-m )辆, 依题意,得: 0(8- 2 1 00 20(8- 000解得:2≤m ≤ 12.∵m 为正整数,∴m=2,3,4,5,∴共有4种租车方案. 设租车总费用为w 元,则w=400m +320(8-m )=80m +2560, ∵80>0,∴w 的值随m 值的增大而增大, ∴当m=2时,w 取得最小值,最小值为2720. ∴学校共有4种租车方案,最少租车费用是2720元. 18.B [解析]由x +2>a 得x>a -2,A .由数轴知x>-3,则a=-1,∴-3x -6<0,解得x>-2,与数轴不符;B .由数轴知x>0,则a=2,∴3x -6<0,解得x<2,与数轴相符合;C .由数轴知x>2,则a=4,∴7x -6<0,解得x<,与数轴不符;D .由数轴知x>-2,则a=0,∴-x -6<0,解得x>-6,与数轴不符;故选B . 19.A [解析] 第一部分:解一元一次不等式组 -2 1( - ①-2 (1- ② 解不等式①,得:x ≤ 解不等式②,得:x> 2 11. 因为有且仅有三个整数解, 所以三个整数解分别为:3,2,1. 所以2 11的范围为0≤2 11<1,解得-2. ≤a<3.第二部分:求分式方程1-2-11-=-3的解,得y=2-a ,根据分式方程的解为正数和分式方程的分母不能为零,得0 1 即 2-0 2- 1解得:a<2且a ≠1. 第三部分:根据第一部分a 的范围和第二部分a 的范围,找出a 的公共范围:-2. ≤a<2且a ≠1所以满足条件的整数a 为-2,-1,0. 它们的和为:-2-1+0=-3. 故选A .。

第二节一元二次方程及应用1．(2016沈阳中考)一元二次方程x2－4x＝12的根是( B)A．x1＝2，x2＝－6 B．x1＝－2，x2＝6C．x1＝－2，x2＝－6 D．x1＝2，x2＝62．(2016金华中考)一元二次方程x2－3x－2＝0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是( C)A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝－2C．x1＋x2＝3 D．x1x2＝23．(2016自贡中考)已知关于x的一元二次方程x2＋2x－(m－2)＝0有实数根，则m的取值范围是( C) A．m＞1 B．m＜1C．m≥1 D．m≤14．(2016衢州中考)已知关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( D)A．k≥1 B．k＞1C．k≥－1 D．k＞－15．(2016雅安中考)已知关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为( D)A．4，－2 B．－4，－2C．4，2 D．－4，26．(2016莆田中考)关于x的一元二次方程x2＋ax－1＝0的根的情况是( D)A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根7．(2016台州中考)有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( A)A.12x(x－1)＝45 B.12x(x＋1)＝45C．x(x－1)＝45 D．x(x＋1)＝458．(2015宁夏中考)如图，某小区有一块长为18 m，宽为6 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60 m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x m，则可以列出关于x的方程是( C)A．x2＋9x－8＝0 B．x2－9x－8＝0C ．x 2－9x ＋8＝0D ．2x 2－9x ＋8＝09．(2016德州中考)方程2x 2－3x －1＝0的两根为x 1，x 2，则x 21＋x 22＝__134__．10．(2016遵义中考)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两根，则1x 1＋1x 2＝__－2__．11．(2016梅州中考)用一条长40 cm 的绳子围成一个面积为64 cm 2的矩形．设矩形的一边长为x cm ，则可列方程为__x(20－x)＝64__．12．(2015温州中考)某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m 宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m ，则能建成的饲养室总占地面积最大为__75__m 2.13．解方程． (1)x 2－5x ＋1＝0；解：x 1＝5＋212，x 2＝5－212；(2)3(x －2)2＝x －2； 解：x 1＝2，x 2＝73；(3)x 2－6x ＋9＝(5－2x)2. 解：x 1＝83，x 2＝2.14．(2016北京中考)关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－1＝0有两个不相等的实数根． (1)求m 的取值范围；(2)写出一个满足条件的m 的值，并求此时方程的根． 解：(1)由题意可知：Δ＝(2m ＋1)2－4(m 2－1)>0，∴m>－54；(2)取m ＝－1，方程为x 2－x ＝0，解得x ＝1或x ＝0.15．(2016梅州中考)关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不等实根x 1、x 2. (1)求实数k 的取值范围；(2)若方程两实根x 1、x 2满足x 1＋x 2＝－x 1·x 2，求k 的值． 解：(1)∵Δ＝(2k ＋1)2－4(k 2＋1)＝4k －3>0，∴k>34；(2)∵x 1＋x 2＝－(2k ＋1)，x 1x 2＝k 2＋1，x 1＋x 2＝－x 1x 2，∴－(2k ＋1)＝－(k 2＋1)，∴k ＝0或k ＝2，而k>34，∴k ＝2.16．(2015攀枝花中考)关于x 的一元二次方程(m －2)x 2＋(2m ＋1)x ＋m －2＝0有两个不相等的正实数根，则m 的取值范围是( D )A ．m>34B ．m>34且m≠2 C ．－12<m<2 D .34<m<217．(2015河北中考说明)关于x 的方程(a －1)x 2＋a ＋1x ＋1＝0是一元二次方程，则a 的取值范围是( B )A ．a ≥－1B ．a ≥－1且a≠1C ．a ≥1D ．a>118．(2015烟台中考)等腰三角形边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋n －1＝0的两根，则n 的值为( B )A ．9B ．10C ．9或10D ．8或1019．(2015南充中考)关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2n ＝0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y 2＋2ny ＋2m ＝0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；②(m－1)2＋(n －1)2≥2；③－1≤2m－2n≤1，其中正确结论的个数是( D )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个20．(2016乐山中考)若t 为实数，关于x 的方程x 2－4x ＋t －2＝0的两个非负实数根为a 、b ，则代数式(a 2－1)(b 2－1)的最小值是( A )A ．－15B ．－16C ．15D ．1621．(2016达州中考)设m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2 018＝0的两个实数根，则m 2＋3m ＋n ＝__2__016__．22．(2016黄石中考)关于x 的一元二次方程x 2＋2x －2m ＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是__m>12__．23．(2016原创)若一元二次方程ax 2＝b(ab>0)的两个根分别是m ＋1与2m －4，则b a＝__4__．24．(2016南京中考)设x 1，x 2是方程x 2－4x ＋m ＝0的两个根，且x 1＋x 2－x 1x 2＝1，则x 1＋x 2＝__4__，m ＝__3__．25．(2016南充中考)已知关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋(2m ＋1)＝0有实数根． (1)求m 的取值范围；(2)如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2＋x 1＋x 2≥20，求m 的取值范围．解：(1)∵方程x 2－6x ＋(2m ＋1)＝0有实数根，∴Δ＝(－6)2－4(2m ＋1)≥0，化简，得32－8m≥0，解不等式，得m≤4；(2)根据一元二次方程根与系数关系，得x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝2m ＋1.∵2x 1x 2＋x 1＋x 2≥20，∴2(2m ＋1)＋6≥20.解不等式，得m≥3.由(1)，得m≤4，∴m 的取值范围是3≤m≤4.26．(2016岳阳中考)已知关于x 的方程x 2－(2m ＋1)x ＋m(m ＋1)＝0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)已知方程的一个根为x ＝0，求代数式(2m －1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m －5的值．(要求先化简再求值) 解：(1)∵Δ＝[－(2m ＋1)]2－4m(m ＋1)＝1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；(2)解法一：∵x＝0是方程的根，∴m(m ＋1)＝0，解得m ＝0或m ＝－1，(2m －1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m －5＝3m 2＋3m ＋5，当m ＝0时，原式＝3×02＋3×0＋5＝5，当m ＝－1时，原式＝3×(－1)2＋3×(－1)＋5＝5.解法二：(2m －1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m －5＝3m 2＋3m ＋5＝3m(m ＋1)＋5.当m(m ＋1)＝0时，原式＝3×0＋5＝5.27．(2016孝感中考)已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求m 的取值范围；(2)当x 21＋x 22＝6x 1x 2时，求m 的值．解：(1)∵原方程有两个实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m －1)≥0，4－4m ＋4≥0，∴m ≤2；(2)∵x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝m －1，又x 21＋x 22＝6x 1x 2，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝6x 1x 2，(x 1＋x 2)2－8x 1x 2＝0，∴22－8(m －1)＝0，4－8m ＋8＝0，∴m ＝32.∵m ＝32＜2，∴符合条件的m 的值为32.28．(2017中考预测)设a ，b 是任意两个实数，规定a 与b 之间的一种运算“⊕”为：a⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b a（a>0），a －b （a≤0）.例如：1⊕(－3)＝－31＝－3，(－3)⊕2＝(－3)－2＝－5，(x 2＋1)⊕(x－1)＝x －1x 2＋1(因为x 2＋1>0)．参照材料，解答下列问题：(1)2⊕4＝__2__，(－2)⊕4＝__－6__；(2)若x>12，且满足(2x －1)⊕(4x 2－1)＝(－4)⊕(1－4x)，求x 的值．解：(2)∵x>12，∴2x －1>0，∴(2x －1)⊕(4x 2－1)＝4x 2－12x －1＝2x ＋1.又－4<0，∴(－4)⊕(1－4x)＝－4－(1－4x)＝－5＋4x.∴2x＋1＝－5＋4x ，解得x ＝3，∴x 的值为3.29．(2016宜昌中考)某蛋糕产销公司A 品牌产销线，2015年的销售量为9.5万份，平均每份获利1.9元，预计以后四年每年销售量按5 000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2014年底就投入资金10.89万元，新增一条B 品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求，B 品牌产销线2015年的销售量为1.8万份，平均每份获利3元，预计以后四年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增；这样，2016年，A 、B 两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B 品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数．(1)求A 品牌产销线2018年的销售量；(2)求B 品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数．解：(1)A 品牌产销线2018年的销售量为9.5－(2 018－2 015)×0.5＝8(万份)；(2)设A 品牌产销线平均每份获利的年递减百分数为x ，B 品牌产销线的年销售量递增相同的份数为k 万份．依题意可列⎩⎪⎨⎪⎧（9.5－0.5）＋（1.8＋k ）＝11.4，（1.8＋2k ）·3（1＋2x ）2＝10.89，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.6，x ＝5%或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.6，x ＝－105%.∵x>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.6，x ＝5%.∴2x ＝10%.即B 品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数为10%.。

课时训练(六)一元二次方程(限时:35分钟)|夯实基础|1.[2018·铜仁]关于x的一元二次方程x2-4x+3=0的解为()A.x1=-1,x2=3B.x1=1,x2=-3C.x1=1,x2=3D.x1=-1,x2=-32.[2017·泰安]一元二次方程x2-6x-6=0配方后化为()A.(x-3)2=15B.(x-3)2=3C.(x+3)2=15D.(x+3)2=33.[2018·河南]下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是()A.x2+6x+9=0B.x2=xC.x2+3=2xD.(x-1)2+1=04.[2017·益阳]关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1=1,x2=-1,那么下列结论一定成立的是()A.b2-4ac>0B.b2-4ac=0C.b2-4ac<0D.b2-4ac≤05.若方程3x2-4x-4=0的两个实数根分别为x1,x2,则x1+x2=()A.-4B.3C D6.[2018·泸州]已知关于x的一元二次方程x2-2x+k-1=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是()A.k≤2B.k≤0C.k<2D.k<07.[2018·眉山]我市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过连续两次下调后,决定以每平方米4860元的均价开盘销售,则平均每次下调的百分率是()A.8%B.9%C.10%D.11%8.[2017·庆阳]如图K6-1,某小区计划在一块长为32 m,宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570 m2,若设道路的宽为x m,则下面所列方程正确的是()图K6-1A.(32-2x)(20-x)=570B.32x+2×20x=32x×20-570C.(32-x)(20-x)=32×20-570D.32x+2×20x-2x2=5709.[2018·天水]关于x的一元二次方程(k-1)x2+6x+k2-k=0的一个根为0,则k的值是.10.[2018·威海]关于x的一元二次方程(m-5)·x2+2x+2=0有实根,则m的最大整数解是.11.解一元二次方程x2+2x-3=0时,可转化为解两个一元一次方程,请写出其中的一个一元一次方程:.12.[2018·德州]若x1,x2是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根,则x1+x2+x1x2= .13.[2018·黄冈]一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10x+21=0的根,则三角形的周长为.14.为增强学生身体素质,提高学生足球运动竞技水平,我市开展“市长杯”足球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).现计划安排21场比赛,应邀请多少个球队参赛?设邀请x个球队参赛,根据题意,可列方程为.15.解方程:(1)[2018·绍兴]x2-2x-1=0;(2)2x2-x-1=0;(3)[2018·齐齐哈尔] 2(x-3)=3x(x-3).16.[2017·北京]关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程有一根小于1,求k的取值范围.17.[2017·菏泽]某玩具厂生产一种玩具,按照控制固定成本降价促销的原则,使生产的玩具能够及时售出,据市场调查:每个玩具按480元销售时,每天可销售160个;若销售单价每降低1元,每天可多售出2个.已知每个玩具的固定成本为360元,问这种玩具的销售单价为多少元时,厂家每天可获利润20000元?|拓展提升|18.[2017·滨州]根据要求,解答下列问题.(1)解下列方程(直接写出方程的解即可):①方程x2-2x+1=0的解为;②方程x2-3x+2=0的解为;③方程x2-4x+3=0的解为;…(2)根据以上方程特征及其解的特征,请猜想:①方程x2-9x+8=0的解为;②关于x的方程的解为x1=1,x2=n.(3)请用配方法解方程x2-9x+8=0,以验证猜想结论的正确性.参考答案1.C2.A[解析] 根据配方的步骤:第一步移项得x2-6x=6;第二步配方,方程的左右两边都加上一次项系数一半的平方,得x2-6x+9=6+9;第三步整理,得(x-3)2=15.3.B[解析] 本题考查了用一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式Δ=b2-4ac来判断方程根的情况,当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根.选项A:Δ=b2-4ac=62-4×1×9=0;选项B:先将原方程转化为一般式:x2-x=0,则Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×0=1>0;选项C:将原方程转化为一般式:x2-2x+3=0,则Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8<0;选项D:将原方程转化为一般式:x2-2x+2=0,则Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×2=-4<0.故选项B正确.4.A[解析] 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1=1,x2=-1,说明该一元二次方程有两个不相等的实数根,所以b2-4ac>0,因此选A.5.D[解析] ∵方程3x2-4x-4=0的两个实数根分别为x1,x2,∴x1-x26.C[解析] 由题可知,Δ>0,即(-2)2-4(k-1)>0,解得k<2.7.C[解析] 设平均每次下调的百分率为x,则根据题意可得:6000(1-x)2=4860,解方程得:x1=0.1=10%,x2=-1.9(舍去).故答案为C.8.A[解析] 将两条纵向的道路向左平移,水平方向的道路向下平移,即可得草坪的长为(32-2x)m,宽为(20-x)m,由草坪面积为长与宽的乘积,即可列出方程(32-2x)(20-x)=570.故选A.9.0[解析] ∵关于x的一元二次方程(k-1)x2+6x+k2-k=0的一个根为0,∴k2-k=0,且k-1≠0,解得k=1或k=0,且k≠1,则k=0.10.4[解析] 因为关于x的一元二次方程有实数根,所以Δ=22-4(m-5)·2=4-8(m-5)≥0,且m-5≠0,解得m≤5.5且m≠5,这样的最大整数解为4.11.x+3=0(或x-1=0)12.-3[解析] 因为x1+x2=-1,x1x2=-2,所以x1+x2+x1x2=-3.13.16[解析] 解方程得x1=3,x2=7,因为两边长为3和6,所以第三边长x的范围为:6-3<x<6+3,即3<x<9,所以舍去x1=3,即三角形的第三边长为7,则三角形的周长为3+6+7=16.14(x-1)=21[解析] 由于每个队都要赛(x-1)场,但两队之间只有一场比赛,(x-1)=21,故答案为(x-1)=21.15.解:(1)x2-2x-1=0,a=1,b=-2,c=-1,b2-4ac=4+4=8>0,∴∴x1=1x2=1(2)把方程左边分解因式得(2x+1)(x-1)=0,∴x1x2=1.(3)2(x-3)=3x(x-3),2(x-3)-3x(x-3)=0,(x-3)(2-3x)=0,∴x=3或16.解:(1)证明:∵Δ=[-(k+3)]2-4(2k+2)=k2-2k+1=(k-1)2≥0,∴方程有两个实数根.(2)∵x2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1)=0,∴x1=2,x2=k+1,∵方程有一个根小于1,∴k+1<1,∴k<0,即k的取值范围为k<0.17.解:设销售单价为x元,由题意,得(x-360)[160+2(480-x)]=20000,整理,得x2-920x+211600=0,解得x1=x2=460,答:这种玩具的销售单价为460元时,厂家每天可获利润20000元.18.解:(1)①x1=1,x2=1②x1=1,x2=2③x1=1,x2=3(2)①x1=1,x2=8②x2-(1+n)x+n=0(3)x2-9x+8=0,x2-9x=-8,x2-982∴∴x1=1,x2=8.。

课时训练(六)一元二次方程(限时:40分钟)|夯实基础|1.用配方法解一元二次方程 x 2-4x+1=0时,以下变形正确的选项是()A(x- 2) 2 1B(x- 2) 2 5. =. = C .(x+2)2=3D .(x-2)2=32.若关于x 的一元二次方程(k-2)x 2-2kx+k=6有实数根,则k 的取值范围为 ()A .k ≥0B .k ≥0且k ≠2C .k ≥2 D .k ≥且k ≠223某商店购进一种商品,单价为30元 . 试销中发现这类商品每天的销售量(件)与每件的销售价 (元)满足关.Px系:P=100-2x.若商店在试销时期每天销售这类商品获取200 元的利润,依据题意,下边所列方程正确的选项是()A .(x-30)(100-2x )=200B .x (100-2x )=200C .(30-x )(100-2x )=200D .(x-30)(2x-100)=2004.要组织一次排球竞赛,参赛的每支球队之间都要竞赛一场 ,依据场所和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场竞赛.设竞赛组织者应邀请 x 支球队参赛,则x 满足的等式为()A .x (x+1)=28B .x (x-1)=2822C(1) 28 D ( x- 1) 28.x x+ =.x =5.x=1是关于x 的一元二次方程x 2+ax+2b=0的解,则2a+4b=()A .-2B .-3C .-1D .-66.如图K6-1,某小区计划在一块长为32m,宽为20m 的矩形空地上修建三条相同宽的道路,节余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570m 2,若设道路的宽为 x m,则下边所列方程正确的选项是( )图K61-A . (32-2x )(20-x )=570B .32x+2×20x=32×20-570C . (32-x )(20-x )=32×20-570D .32x+2×20x-2x 2=5707 方程22的解是. . x=x8. 已知x=1是方程x 2+bx-2=0 的一个根,则b 的值是,方程的另一个根是. 9. [209·旭日期末]若一元二次方程(k-1)x 2+3x+k 2-1=0有一个解为x=0,则k=.10.已知关于x 的方程x 2+px+q=0的两根为-3和-1,则p=,q=.11.[209·海淀期末]已知x=n 是关于x 的一元二次方程22求m 的值.mx-4x-5=0的一个根, 若mn-4n+m=6,12 . [209·平谷二模]已知关于 x 的一元二次方程 2(1)20有两个不相等的实数根 .x+k+ x+k= (1) 求k 的取值范围;(2) 当k 取最小整数时,求此时方程的解.13.[209·石景山二模]已知关于x 的一元二次方程(m-2)x 2+3x-1=0有两个不相等的实数根. (1) 求m 的取值范围;(2) 若方程的两个根都是有理数,请选择一个适合的m ,并求出此方程的根.214.[209·门头沟一模]已知:关于x 的方程mx+(3-m )x-3=0(m 为实数,m ≠0). (1)求证:此方程总有两个实数根;(2)假如此方程的两个实数根都为正整数,求整数m的值.15.[209·丰台一模]已知关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+m+2=0.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程两个根的绝对值相等,求此时m的值.|拓展提高|16.[209·旭日期末]可以用以下方法预计方程x2+2x-10的解.当x=2时,x2+2x-10=-2<0,当x=-5时,x2+2x-10=5>0,因此方程有一个根在-5和2之间.(1) 参照上边的方法,找到方程x2+2x-10=0的另一个根在哪两个连续整数之间;(2) 若方程x2+2x+c=0有一个根在0和1之间,求c的取值范围.【参照答案】1.D2.D3.A4.B[分析]每支球队都需要与其余球队赛(x-1)场,但两队之间只有1场竞赛,因此可列方程为x(x-1)=4×7. 应选B.5.A6.A7.x1=0,x2=8.1x=-29.-110.43[分析]依据一元二次方程的根与系数的关系,可知p=-(-3-1)=4,q=(-3)×(-1)=3.211.解:依题意,得mn-4n-5=0.2∴mn-4n=5.2∵mn-4n+m=6,∴5+m=6.∴m=1.12.解:( )∵关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+k2=0有两个不相等的实数根,∴=b2-4ac=(k+1)2-4×k2>0.∴2k+1>0.∴k>-.(2)∵k取最小整数,∴k=0.∴原方程整理为x2+x=0.∴方程的解为x1=0,x2=-1.13.解:(1)依题意,得( )( )解得:m>-且m≠2.(2)当m=0时,=1,-此方程的两个根x=都是有理数,方程的两个根为:x1=1,x2=.214.解:(1)证明:∵m≠0∴方程mx+(3-m)x-3=0为一元二次方程.依题意得=(3-m)2-4m×(-3)2=m-6m+9+12m2=m+6m+9=(m+3)2≥02∴方程mx+(3-m)x-3=0总有两个实数根. (2)由求根公式,得x=-(-)( ),∴x1=1,x2=-(m≠0).∵此方程的两个实数根都为正整数,∴整数m的值为-1或-3.15.解:(1)证明:∵=(m+3)2-4(m+2)=(m+1)2≥0∴方程总有两个实数根.(2)x=( )( ),∴x1=m+2,x2=1.∵方程两个根的绝对值相等,∴m+2=±1.∴m=-3或-1.16.解:( )∵当x=2时,x2+2x-10=-2<0,当x=3时,x2+2x-10=5>0,∴方程另一个根在2和3之间.(2)∵方程x2+2x+c=0有一个根在0和1之间, ∴或解得-3<c<0.。