一元二次方程性质特点及练习

一元二次方程的解法【知识点归纳与总结】一、概念：一元二次方程的一般形式为：ax 2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

二、基本思路与方法: 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

1 用直接开平方法解形如 (x-m)2=n (n≥0) 的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）75 (3x+1)2=7 （2）9x 2-24x+16=112．配方法：用配方法解方程ax 2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c 移到方程右边：ax 2+bx=-c 将二次项系数化为1：x 2+b a x=-ca方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x 2+b a x+(b 2a )2=-c a +(b2a)2方程左边成为一个完全平方式：(x+)2= 当b 2-4ac≥0时，x+=±∴ x= (这就是求根公式)例2．用配方法解方程 3x 2-4x-2=03．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b 2-4ac 的值，当b 2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c 的值代入求根公式x=(b 2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程 2x 2-8x=-54．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8(2) 2x2+3x=0(3) 6x2+5x-50=0(4)x2-2(+)x+4=0小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

二次根式小结与复习基础盘点1.二次根式的定义：一般地，我们把形如a （a ___0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根式.定义诠释：（1）二次根式的定义是以形式界定的，如4是二次根式； （2）形如a b （a ≥0）的式子也叫做二次根式；（3）二次根式a 中的被开方数a ，可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足a ≥0. 2.二次根式的基本性质（1）a _____0（a ___0）；（2）()2a ＝_____（a ___0）；（3）a a =2＝()()⎩⎨⎧0_____0_____a a ；（4）=_________（a ___0，b ___0）；（5=_________（a ___0，b ___0）.3.最简二次根式必须满足的条件为：（1）被开方数中不含___；（2）被开方数中所有因式的幂的指数都_____.4.二次根式的乘、除法则：（1）=______（a ___0，b ___0）；（2）=_______（a ___0，b ___0）.复习提示：（1）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用==a a 2()()⎩⎨⎧<-≥00a aa a 进行化简，即将根号内能够开的尽方的数移到根号外； （2）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简.5.同类二次根式：几个二次根式化成______后，如果_____相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.6.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成_____，然后把_______进行合并. 复习提示：（1）二次根式的加减分为两个步骤：第一步是_____，第二步是____，在合并时，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变；（2）不是同类二次根式的不能合并，如：53+≠8；（3）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算. 7.二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先_，再__，最后__，有括号的先_内的. 复习提示：（1）在运算过程中，有理数（式）中的运算律，在二次根式中仍然适用，有理数（式）中的乘法公式在二次根式中仍然适用； （2）二次根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根式，一定要化成最简二次根式. 8.二次根式的实际应用利用二次根式的运算解决实际问题，主要从实际问题中列出算式，然后根据运算的性质进行计算，注意最后的结果有时需要取近似值.1 二次根式有意义的条件例1 若式子43-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A.x ≥34B.x ＞34C.x ≥43D.x ＞43方法总结：判断含有字母的二次根式是否有意义，就是看根号内的被开方数是不是非负数，如果是，就有意义，否则就没有意义，当二次根式含有分母时，分母不能为0.2 二次根式的性质例2 下列各式中，正确的是（ ）A.()332-=- B.332-=- C.()332±=± D.332±=方法总结：()a a =2成立的条件是a ≥0，而在化简()2a 时，先要判断a 的正负情况.3 二次根式的非负性例3 已知32552--+-=x x y ，则xy 2的值为（ ）A.—15B.15C.215-D.215 方法总结：二次根式a （a ≥0）具有双重非负性，即a ≥0、a ≥0. 4 最简二次根式例4 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A.51B.5.0C.5D.50 方法总结：在进行二次根式化简时，一些同学不知道化到什么程度为止，切记，一定要化到最简二次根式为止. 5 二次根式的运算 例5 计算1824-×31＝____.方法总结：二次根式的加减运算，一定要先化简才能得知算式中哪些二次根式可以合并，除法运算先化为乘法再运算，混合运算时要正确使用运算法则.6 二次根式的化简求值例6若120142013-=m，则34520132mmm--的值是_____.方法总结：解决此类问题应注意代数式的变形和整体思想的运用.一元二次方程1、一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

一元二次方程求解方法及常见练习题一元二次方程求解方法
一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c
是已知常数，且a ≠ 0。

求解一元二次方程需要使用以下两种方法：方法一：公式法
一元二次方程的解可以通过使用求根公式得到。

求根公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)
其中 ±表示两个解，√ 表示开平方根。

方法二：配方法
配方法通过对一元二次方程进行配方来求解。

具体步骤如下：
1. 将方程形式转换为 a(x + p)^2 + q = 0 的形式，其中 p 和 q 是需要求解的常数；
2. 根据配方法公式，其中 A = a，B = 2ap，C = ap^2 + q，求解方程 Ax^2 + Bx + C = 0；
3. 求解完方程后，根据 (x + p)^2 = 0 的性质，得到一元二次方程的解。

常见练题
以下是一些常见的一元二次方程练题：
1. 求解方程 x^2 - 5x + 6 = 0；
2. 求解方程 2x^2 + 3x - 2 = 0；
3. 求解方程 4x^2 - 12x + 9 = 0；
4. 求解方程 x^2 + 4 = 0；
5. 求解方程 5x^2 - 2x + 1 = 0。

以上练题可以使用公式法或配方法来求解，根据个人喜好和题目特点选择合适的方法进行求解。

希望以上内容对你解决一元二次方程求解的问题有所帮助！。

一元二次方程概念专项练习知识梳理：1.一元二次方程的一般形式：a x2＋bx＋c=0(a≠0)2.一元二次方程的特点：①整式方程②a不为0③只含有一个未知数④未知数的最高次数为23.重点：一元二次方程的识别与判断4.难点：题目不表明所需要判断的方程是一元二次方程还是一元一次方程时，需要分类讨论一、选择题1、在下列方程中是一元二次方程的是（）A．x2－2xy+y2=0 B．x(x+3)=x2－1 C．x2－2x=3 D．x+ =02、下列方程为一元二次方程的是 ( )A. B. C. D.3、下列方程中，一元二次方程个数（）①、；②、；③、；④、；⑤、.A、5个B、4个C、3个D、2个4、已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥25、以1，-2为根的一元二次方程是A.x2+x-2=0B.x2-x+2=0C.x2-x-2=0D.x2+x+2=06、已知x=0是二次方程（m +1）x2+ mx + 4m2- 4 = 0的一个解，那么m的值是（）A．0 B．1 C．- 1 D．7、若c（c≠0）为关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的根，则c+b的值为（）A．1 B．-1 C．2 D．-28、若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于A．1 B．2 C．1或2 D．09、定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．10、若为方程的解，则的值为（）A.12B.6C.9D.16二、填空题11、如果,则一元二次方程必有一个根是.12、已知是方程的解，则代数式的值为 .13、已知，则的值是 .14、某中学摄影兴趣小组的学生，将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张，全组共互赠了182张，若全组有名学生，则根据题意列出的方程是。

实际问题与一元二次方程知识点总结及重难点精析一、知识点总结1.在九年级数学中，实际问题与一元二次方程这一章知识点主要包括：一元二次方程的基本概念、性质及其在实际问题中的应用。

2.一元二次方程的基本概念：一元二次方程是一个含有未知数x 的整式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0(a≠0)。

其中a、b、c为常数，a≠0.且x的最高次数为2.3.一元二次方程的性质：一元二次方程有四个性质，分别是：(1) 有两个解，即x1和x2;(2) 两解的和为-b/a;(3) 两解的积为c/a;(4) 判别式△=b²-4ac，当△>0时，方程有两个不相等的实数解;当△=0时，方程有两个相等的实数解;当△<0时，方程没有实数解。

4.一元二次方程的应用：在实际问题中，一元二次方程通常用于解决一些二次关系的问题，比如物体的运动轨迹、建筑物的面积和体积、经济利润最大化等问题。

二、重难点精析在本章节中，重难点主要包括如何将实际问题转化为数学问题、一元二次方程的解法以及根的性质和应用。

1.如何将实际问题转化为数学问题：在解决实际问题时，需要从题目中提取出有用的信息，并转化为数学语言。

这需要学生具备一定的阅读理解能力和数学建模能力。

2.一元二次方程的解法：一元二次方程的解法有公式法和因式分解法两种。

公式法是通过公式直接求解，但需要学生记忆公式。

因式分解法是通过将方程左边分解成两个一次因式的乘积，再分别令每个因式等于0来求解。

这种方法更直观易懂，但需要学生掌握因式分解的技巧。

3.根的性质和应用：根的性质包括前面提到的两个解的和、积和判别式。

这些性质在解决实际问题时具有重要应用。

例如，利用判别式可以判断方程是否有实数解，从而确定实际问题是否有解;利用两解的和可以计算实际问题的某些物理量，如位移等。

三、总结通过以上知识点总结和重难点精析，我们可以看到实际问题与一元二次方程这一章知识点的重要性和应用价值。

一元二次方程的定义与解法知识点一 一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

注：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2。

同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

例 下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？⑴3522=+x ；⑵062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。

其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

注：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。

例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）x x 2752=； （2）()()832=+-x x ； （3）()()()22343+=+-x x x例2 已知关于x 的方程()()021122=-+--+x m x m m 是一元二次方程时，则=m知识点三 一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解例 1 关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 有一个根为0，则=a例 2 已知关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有一个根为1，一个根为1-，则=++c b a ，=+-c b a例3 已知c 为实数，并且关于x 的一元二次方程032=+-c x x 的一个根的相反数是方程032=-+c x x 的一个根，求方程032=-+c x x 的根及c 的值。

一元二次方程22.1 一元二次方程【知识点】1、一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程。

一般形式：ax 2﹢bx ﹢c ＝0 （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）其中，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。

注意，系数是包括前面的符号的。

一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

2、单循环比赛公式：2)1(-n n 双循环比赛公式：n （n ﹣1）【练习】1. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项。

（1）x x4152=- （2）8142=x （3）25)2(4=+x x （4）38)1)(23(-=+-x x x2. 根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x ；（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x ；（3）把长为1的木条分成两段，使较短的一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x ；（4）一个直角三角形的斜边长为10 cm ，两条直角边相差2 cm ，求较长的直角边长x 。

3. 如图，有一块长方形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。

如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？4. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。

根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【习题】一元二次方程【复习巩固】1. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次性系数及常数项：2. 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：（1）一个圆的面积是6.28 m2，求半径。

（2）一个直角三角形的两条直角边相乘3 cm，面积是9 cm2，求较长直角边的长。

题型1一元二次方程的概念问题例1 关于x的方程（m－）xm2-1－x+3=0是一元二次方程，则m的值为.解：根据一元二次方程的定义，得m2-1=2，m- ≠0.解之，得m=±，m≠ .所以m=- .点评：本题应注意两点：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不能为0.题型2一元二次方程的解法问题解一元二次方程时，首先考虑用因式分解法，这种方法最简捷；其次考虑用求根公式法，这种方法是万能的，它能解所有的一元二次方程；再次考虑用配方法，因为这种方法较为复杂.如果方程可以直接开平方，就用直接开平方法.例2 已知关于x的方程2x2-ax-a2=0的一个根为1，求另一个根.解：把1代入方程，得2-a-a2=0，即a2+a-2=0.分解因式，得（a+2）（a-1）=0，所以a=-2或a=1.当a=-2时，原方程为x2+x-2=0.解得x1=1，x2=-2，即另一个根为-2.当a=1时，原方程为2x2-x-1=0.解得x1=1，x2=- .即另一个根为- .故原方程的另一个根为-2或- .例3 已知（x2+y2）2-y2=x2+6，求x2+y2的值.解：原方程可化为（x2+y2）2-（x2+y2）-6=0.分解因式，可得（x2+y2+2）（x2+y2-3）=0.因x2+y2+2≠0，故x2+y2-3=0，即x2+y2=3.点评：一个方程两个未知数，想求出x，y的值后，再求x2+y2的值是不可能的.故我们可以把x2+y2看成一个整体元，将方程化为关于x2+y2的一元二次方程，通过解方程达到求值的目的.题型3一元二次方程根的判别式问题一元二次方程根的判别式δ=b2-4ac，只要知道它的值，不需要解方程便能判断方程根的情况.另外，它在解含有参数的一元二次方程中起着限制作用，即参数的取值要确保方程有实数根.例4 已知关于x的方程mx2-（2m+1）x+m+3=0.（1） m取何值时方程有两个不相等的实数根？（2） m取何值时方程有两个相等的实数根？（3） m取何值时方程没有实数根？解：δ=［-（2m+1）］2－4m（m+3）=-8m+1.（1）当-8m+1＞0且m≠0，即m＜且m≠0时，方程有两个不相等的实数根.（2）当-8m+1=0且m≠0，即m= 时，方程有两个相等的实数根.（3 ）当-8m+1＜0且m≠0，即m＞时，方程没有实数根.点评：这类问题的一般解法是：首先计算δ，然后根据题设列出不等式或方程，解方程或不等式求出参数的值或取值范围；当二次项系数含有参数时，还要注意二次项系数不能为零.例5 已知关于x的方程x2+2（2-m）x+3-6m=0，求证：无论m取什么实数，方程总有实数根.证明：δ=［2（2-m）］2-4（3-6m）=4m2+8m+4=4（m+1）2.∵无论m取什么实数，总有4（m+1）2≥0，即δ≥0，∴无论m取什么实数，方程总有实数根.题型4一元二次方程根与系数的关系问题一元二次方程根与系数的关系，也是中考的重点内容，与它有关的代数式计算变化多样，要引起重视.例6 已知方程x2-5x+7=0的两根为x1，x2，求下列代数式的值：（1）（x1-1）（x2-1）；（2）+ ；（3）+ .解：由根与系数的关系，得x1+x2=5，x1x2=7.（1）（x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1=7-5+1=3.（2）+ = = .（3）+ =（x1+x2）2-2x1x2=52-2×7=11.点评：运用根与系数的关系求参数的值时，所求参数的值一定要保证方程有实数根.因此，根与系数的关系要与判别式δ≥0结合起来用.题型5一元二次方程的应用问题列一元二次方程解应用题，关键是审清题意，发现题目中的等量关系，并将其“译”成数学式子.一般步骤是：①审题，明确已知与未知；②设未知数，可直接设或者间接设；③列方程，把等量关系转化为方程；④解方程，检验后写出答语.例7 一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大3，百位上的数字等于个位上数字的平方.若这个三位数比它的个位上的数字与十位上的数字之积的25倍大202，求这个三位数.解：设个位数字为x，则十位上的数字为x+3，百位上的数字为x2.由题意，得100x2+10（x+3）+x=25x（x+3）+202.整理，得75x2-64x-172=0. 解得x1=2，x2=- （不合题意，舍去）.∴x+3=5，x2=4.这个三位数是452.例8 某农具厂今年1月份生产一批甲、乙两种型号的新式农具，其中乙型农具16台.从2月份起，甲型农具每月增产10台，乙型农具按相同的增长率逐月递增.又知2月份甲、乙两种型号农具的产量之比为3∶2，3月份两种型号的农具产量之和为65台.求乙型农具每月的增长率和甲型农具1月份的产量.分析：本题要求的有两个未知数，间接的未知数有多个，但2月份的产量起承上启下的作用，因此可以设2月份甲型农具的产量为3x台，见下表.解：设2月份甲型号农具的产量为3x台.由题意，得（3x+10）+1+ &#8226;2x=65.整理，得x2＋12x－220＝0. 解得x1＝10，x2＝-22（不合题意，舍去）.∴×100％＝25％，3x-10＝20.答：乙型农具每月的增长率为25％，甲型农具1月份的产量为20台.注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以pdf格式阅读原文。

一元二次方程方程定义：只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为2（即“次”）的 整式方程叫做一元二次方程。

标准形式：ax²+bx+c=0（a ，b ，c 为常数，x 为未知数，且a≠0）。

特点：(1)有且只含有一个未知数； (2)且未知数的最高次数是2； (3)是整式方程。

备注：要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程。

若是，再对它进行整理。

如果能整理为 ax ²+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。

一、选择题1．下列方程①21x y +=，②()253x x x x -=-，③211t t+=，④2560x x --=，⑤x ²－2=0⑥ax ²+bx+c=0 ⑦（m-1)x ²+4x+2=0 ⑧x ²-2=（x+3）²其中是一元二次方程的是（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个 2．已知2x =-是方程280x m +-=的根，则m 的值是（ ） A ．12B ．4C ．-4D ．0 3．已知关于x 的方程()2230mx m x m +--+=，则它是（ ） A ．一元二次方程B ．一元一次方程C ．一元二次方程或一元一次方程D ．无法讨论确定二、填空题1．若()2121m x mx --=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。

2．把方程2352x x =-化为一元二次方程的一般形式为 。

3．已知关于x 的方程260x mx +-=的一个根是2，则m = 。

4．（x-7)(2x+1)=7 中的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 。

5．已知x a =是方程250x x --=的一个根，则代数式2a a -= 。

6．已知2x =-246x x --= 。

三、解答题1． 135)32(12=+-++x x m m m 是一元二次方程，则m 为何值？2.关于x 的方程04)3()3(1=+++--x a x a a ，a 为何值时，（1）是一元一次方程（2）是一元二次方程?3.(m ²－1) x ²+( m －1) x －1=0是关于x 的一元一次方程，求m 的取值及方程的解。

一元二次方程解法及其配套练习定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项．解法一: ——直接开方法适用围：可解部分一元二次方程直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±√n我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，我们也可以用直接开方法来解方程。

例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．解：(2)由已知，得：（x+3）2=2直接开平方，得：x+3=即所以，方程的两根x1，x2例2．市政府计划2年将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．例3．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s•的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，•P、Q都从B点同C时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？解：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2 则PB=x，BQ=2x依题意，得：12x·2x=8x2=8根据平方根的意义，得x=±即x1，x2可以验证，和都是方程12x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以PBQ的面积等于8cm2．例4．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，•那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31把（1+x）当成一个数，配方得：（1+x+12）2=2.56，即（x+32）2=2．56x+32=±1.6，即x+32=1.6，x+32=-1.6方程的根为x1=10%，x2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．归纳小结：共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=p＜0则方程无解配套练习题一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-22．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根3．用配方法解方程x2-23x+1=0正确的解法是（）．A．（x-13）2=89，x=13B．（x-13）2=-89，原方程无解C ．（x-23）2=59，x 1=23x 2 D ．（x-23）2=1，x 1=53，x 2=-13二、填空题1．若8x 2-16=0，则x 的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a 、b 2-12b+36=0，那么ab 的值是_______．三、综合提高题1．解关于x 的方程（x+m ）2=n ．2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m ），•另三边用木栏围成，木栏长40m ．（1）鸡场的面积能达到180m 2吗？能达到200m 吗？（2）鸡场的面积能达到210m 2吗？3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，•并说明你制作的理由吗？解法二——配方法适用围：可解全部一元二次方程引例：要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m 2,场地的长和宽各是多少？ 列出方程化简后得：x 2+6x-16=0 x 2+6x-16=0移项→x 2+6x=16两边加（6/2）2使左边配成x 2+2bx+b 2的形式 → x 2+6x+32=16+9左边写成平方形式 → （x+3）2=25 降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5 解一次方程→x 1=2，x 2= -8可以验证：x 1=2，x 2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m ，常为8m. 像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边； （4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根．用配方法解一元二次方程小口诀 二次系数化为一 常数要往右边移 一次系数一半方两边加上最相当例1．用配方法解下列关于x的方程（1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-12=0分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．解：略例2．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B•两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，•几秒后△PCQ•的面积为Rt△ACB面积的一半．分析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．•根据已知列出等式．解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．根据题意，得：12（8-x）（6-x）=12×12×8×6整理，得：x2-14x+24=0（x-7）2=25即x1=12，x2=2x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．例3．解下列方程（1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．解：略例4．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=12（6x+7）+12，x+1=16（6x+7）-16，因此，方程就转化为y•的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．解：设6x+7=y则3x+4=12y+12，x+1=16y-16依题意，得：y2（12y+12）（16y-16）=6去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72 y2（y2-1）=72，y4-y2=72（y2-12）2=2894y2-12=±172y2=9或y2=-8（舍）∴y=±3当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-2 3当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-5 3所以，原方程的根为x1=-23，x2=-53CAQP例5. 求证:无论y 取何值时,代数式-3 y 2+8y-6恒小于0. 解：略配套练习题一、选择题1．配方法解方程2x 2-43x-2=0应把它先变形为（ ）． A ．（x-13）2=89 B ．（x-23）2=0C ．（x-13）2=89D ．（x-13）2=1092．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．A ．x 2+1=0 B ．（2x+1）2=0 C ．（2x+1）2+3=0 D ．（12x-a ）2=a 3．已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z 的值是（ ）． A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-24．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）．A ．（x-2）2+3B ．（x-2）2-3C ．（x+2）2+3D ．（x+2）2-35．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）．A ．x 2-8x+（-4）2=31B ．x 2-8x+（-4）2=1C ．x 2+8x+42=1D ．x 2-4x+4=-116．如果mx 2+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ）． A ．1 B ．-1 C ．1或9 D ．-1或9二、填空题1．方程x 2+4x-5=0的解是________．2．代数式2221x x x ---的值为0，则x 的值为________．3．已知（x+y ）（x+y+2）-8=0，求x+y 的值，若设x+y=z ，则原方程可变为_______，所以求出z 的值即为x+y 的值，所以x+y 的值为______．4．如果x 2+4x-5=0，则x=_______．5．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2-2x-4y+16的值总是_______数．6．如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________． 三、综合提高题1．用配方法解方程．（1）9y 2-18y-4=0 （2）x 2x2．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．3．如果x 2-4x+y 2，求（xy ）z的值．4．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500•元，•市场调研表明：•当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？ 5．已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求222x yx y-+的值．6．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，•为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，•如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件． ①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．解法三——公式法适用围：可解全部一元二次方程首先，要通过Δ=b 2-4ac 的根的判别式来判断一元二次方程有几个根 1.当Δ=b 2-4ac<0时 x 无实数根（初中）2.当Δ=b 2-4ac=0时 x 有两个相同的实数根 即x1=x2 3.当Δ=b 2-4ac>0时 x 有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：求根公式的推导用配方法解方程（1） ax 2－7x+3 =0 (2)a x 2+bx+3=0(3)如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0），试推导它的两个根x 1=2b a -+，x 2=2b a--(这个方程一定有解吗?什么情况下有解？)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a 配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a）2 即（x+2b a）2=2244b aca -∵4a 2>0，4a2＞0,当b 2-4ac ≥0时2244b aca-≥0∴（x+2b a）2)2直接开平方，得：x+2ba = 即∴x 1x 2 由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。