高中数学第二章推理与证明2.1.3推理案例赏析学案苏教选修1_2

2.1.3 推理案例赏析[学习目标] 1.通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的联系.2.尝试用合情推理和演绎推理研究某些数学问题，提高分析问题、探究问题的能力．[知识链接]1．归纳推理的结论是否正确？它在数学活动中有什么作用？答 归纳推理的结论具有猜测的性质，结论不一定正确；它可以为数学活动的结论提供目标和方向． 2．类比推理的结论是否一定正确？答 从类比推理的思维过程可以看出：类比的前提是观察、比较和联想，其结论只是一种直觉的、经验式的推测，它还只是一种猜想，结论的正确与否，有待于进一步论证． 3．合情推理与演绎推理有何异同之处？答 合情推理是从特殊到一般，思维开放，富于创造性，但结论不一定正确，是一种或然推理．演绎推理是从一般到特殊，思维收敛，较少创造性，当前提和推理形式都正确时，结论一定正确，是一种必然推理．合情推理为演绎推理确定了目标和方向，而演绎推理又论证了合情推理结论的正误，二者相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程． [预习导引] 1．数学活动与探索数学发现活动是一个探索创造的过程，是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程． 2．合情推理和演绎推理的联系在数学活动中，合情推理具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用，演绎推理为合情推理提供了前提，对猜想作出“判决”或证明，从而为调控探索活动提供依据．要点一 运用归纳推理探求结论例1 已知数列的前4项为32，1，710，917，试写出这个数列的一个通项公式．解 把已知4项改写为32，55，710，917，记此数列的第n 项为a n ，则有a 1＝2×1＋112＋1，a 2＝2×2＋122＋1，a 3＝2×3＋132＋1，a 4＝2×4＋142＋1，…. 据此猜测a n ＝2n ＋1n 2＋1.规律方法 运用归纳推理猜测一般结论，关键在于挖掘事物的变化规律和相互关系，可以对式子或命题进行适当转换，使其中的规律明晰化．跟踪演练1 下列各图均由全等的小等边三角形组成，观察规律，归纳出第n 个图形中小等边三角形的个数为________．答案 n 2解析 前4个图中小等边三角形的个数分别为1,4,9,16. 猜测：第n 个图形中小等边三角形的个数为n 2. 要点二 运用类比推理探求结论例2 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，则BC 2＝BD ·BA (如图甲)．类比这一定理，在三条侧棱两两垂直的三棱锥P －ABC (如图乙)中，可得到什么结论？解 如图，在三棱锥P －ABC 中，作PO ⊥平面ABC ，连结OB ，OC ，猜想下列结论：S 2△PBC ＝S △OBC ·S △ABC .证明：连结AO ，并延长交BC 于D ，连结PD .PA ⊥PB ，PA ⊥PC ⇒PA ⊥平面PBC .∵PD ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴PA ⊥PD ，PA ⊥BC .∵PO ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PO ⊥AD ，PO ⊥BC .∴BC ⊥平面PAD . ∴BC ⊥AD ，BC ⊥PD .S 2△PBC ＝(12BC ·PD )2＝14BC 2·PD 2，S △OBC ·S △ABC ＝12BC ·OD ·12BC ·AD＝14BC 2·OD ·AD . ∵PD 2＝OD ·AD ， ∴S 2△PBC ＝S △OBC ·S △ABC .规律方法 在类比推理中，要提炼两类事物的共同属性．一般而言，提炼的共同属性越本质，则猜想的结论越可靠．跟踪演练2 如图，设△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，BC 边上的高AD ＝h .扇形A 1B 1C 1中，＝l ，半径为R ，△ABC 的面积可通过下列公式计算：(1)S ＝12ah ；(2)S ＝12bc sin ∠BAC .运用类比的方法，猜想扇形A 1B 1C 1的面积公式，并指出其真假．(1)________________________________________________________________________； (2)________________________________________________________________________． 答案 (1)S ＝12lR 真命题(2)S ＝12R 2sin A 1 假命题要点三 运用演绎推理证明结论的正确性例3 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *. (1)求证数列{a n －n }是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)求证不等式S n ＋1≤4S n 恒成立(n ∈N *)．11B C(1)证明 由a n ＋1＝4a n －3n ＋1， 得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *. ∴a n ＋1－(n ＋1)a n －n＝4 (n ∈N *)．∴数列{a n －n }是以a 1－1，即2－1＝1为首项，以4为公比的等比数列． (2)解 由(1)可知a n －n ＝4n －1，∴a n ＝n ＋4n －1.∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(1＋40)＋(2＋41)＋…＋(n ＋4n －1) ＝(1＋2＋…＋n )＋(1＋4＋…＋4n －1)＝n (n ＋1)2＋13·4n－13. (3)证明 由(2)知，S n ＋1－4S n ＝(n ＋1)(n ＋2)2＋13·4n ＋1－13－4[n (n ＋1)2＋13·4n －13]＝(n ＋1)(n ＋2)2－2n (n ＋1)＋1＝－(n －1)(3n ＋4)2≤0，∴S n ＋1≤4S n 恒成立(n ∈N *)．规律方法 演绎推理的一般形式是三段论，证题时要明确三段论的大前提、小前提和结论，写步骤时常省略大前提或小前提．跟踪演练3 已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调增函数． 证明 设x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2，则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)， ∴x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0，∵x 1<x 2，∴f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 2)>f (x 1)． ∴y ＝f (x )为R 上的单调增函数.1．一个数列的第2项到第4项分别是3，15，21，据此可以猜想这个数列的第一项是________． 答案3解析 ∵a 2＝9＝6×2－3，a 3＝15＝6×3－3， a 4＝21＝6×4－3，∴猜想a 1＝6×1－3＝ 3.2．在平面中，圆内接平行四边形一定是矩形．运用类比，可猜想在空间有如下命题：________________________________________________________________________. 答案 球内接平行六面体一定是长方体3．设x i >0 (i ∈N *)，有下列不等式成立，x 1＋x 2≥2x 1x 2；x 1＋x 2＋x 3≥33x 1x 2x 3，…类比上述结论，对于n 个正数x 1，x 2，…，x n ，猜想有下述结论________________________________． 答案 x 1＋x 2＋…＋x n ≥n nx 1x 2…x n4．已知a ，b ∈N *，f (a ＋b )＝f (a )f (b )，f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2015)f (2014)＝________. 答案 4028解析 令b ＝1，则f (a ＋1)＝f (a )f (1)， ∴f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝2. ∴f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2015)f (2014)＝2＋2＋…＋2＝2×2014＝4028.1.数学活动中，合情推理和演绎推理相辅相成，共同推动发现活动的进程．2．合情推理中要对已有事实进行分析，作出猜想，猜想的结论为演绎推理提供了目标和方向．一、基础达标1．有两种花色的正六边形地板砖，按下面的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有底纹的正六边形的个数是________．答案 31解析 有底纹的正六边形的个数组成等差数列a 1＝6，d ＝5，∴a 6＝6＋(6－1)×5＝31.2．观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，… 由此猜测第n 个等式为________________________________________________________________________(n ∈N *)． 答案 1＋12＋13＋…＋12n －1>n23．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋1.则此数列的前4项分别为a 1＝________，a 2＝________，a 3＝________，a 4＝________.据此猜测，数列{a n }的通项公式为a n ＝______________________.答案 2 3 5 7 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n －1，n ≥24．正方形ABCD 中，对角线AC ⊥BD .运用类比的方法，猜想正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，相关结论：______________________. 答案 对角面AA 1C 1C ⊥面BB 1D 1D5．如果函数f (x )是奇函数，那么f (0)＝0.因为函数f (x )＝1x是奇函数，所以f (0)＝0.这段演绎推理错误的原因是__________________． 答案 大前提错误6．已知△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，三边是a ，b ，c ，则有a ＝c cos B ＋b cos C ；类比上述推理结论，写出下列条件下的结论：四面体P －ABC 中，△ABC ，△PAB ，△PBC ，△PCA 的面积分别是S ，S 1，S 2，S 3，二面角P －AB －C ，P －BC －A ，P －AC －B 的度数分别是α，β，γ，则S ＝__________________________. 答案 S 1cos α＋S 2cos β＋S 3cos γ7．已知等式：3tan30°·tan30°＋tan30°＋tan30°＝3， 3tan20°·tan40°＋tan20°＋tan40°＝3， 3tan15°·tan45°＋tan15°＋tan45°＝ 3. 据此猜想出一个一般性命题，并证明你的猜想． 解 猜想：3tan α·tan β＋tan α＋tan β＝3， 其中α＋β＝60°.证明：∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β，即3＝tan α＋tan β1－tan α·tan β.整理，得3tan α·tan β＋tan α＋tan β＝ 3. 二、能力提升8．已知等式：(tan5°＋1)(tan40°＋1)＝2；(tan15°＋1)·(tan30°＋1)＝2；(tan25°＋1)(tan20°＋1)＝2.据此可猜想出一个一般性命题：________________________________________________________________________. 答案 (tan α＋1)[tan(45°－α)＋1]＝29．设M 是具有以下性质的函数f (x )的全体：对于任意s >0，t >0，都有f (s )＋f (t )<f (s ＋t )．给出函数f 1(x )＝log 2x ，f 2(x )＝2x－1.下列判断正确的是________． ①f 1(x )∈M ；②f 1(x )∉M ；③f 2(x )∈M ；④f 2(x )∉M . 答案 ②③解析 对于f 1(x )＝log 2x ；log 22＋log 24>log 2(2＋4)，所以f 1(x )∉M .对于f 2(x )＝2x－1：2s－1＋2t－1－(2s ＋t－1)＝－(2s －1)(2t－1)<0，f 2(x )∈M .10．已知命题：平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1(m >n >0，p ＝m 2－n 2)上，椭圆的离心率是e ，则sin A ＋sin C sin B ＝1e .将该命题类比到双曲线中，给出一个命题：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________.答案 平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m ，n >0，p ＝m 2＋n 2)上，双曲线的离心率为e ，则|sin A －sin C |sin B ＝1e11．已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律． 解 (1)∵a 1＝5，d ＝2， ∴S n ＝5n ＋n (n －1)2×2＝n (n ＋4)．(2)∵T n ＝n (2a n －5)＝n [2(2n ＋3)－5]＝4n 2＋n . ∴T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32＋3＝39，T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105.S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21， S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45.由此可知S 1＝T 1，当2≤n ≤5，n ∈N 时，S n <T n .归纳猜想：当n ＝1时，S n ＝T n ；当n ≥2，n ∈N 时，S n <T n .12．在平面中有命题：等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高．把此结论类比到空间的正三棱锥，猜想并证明相关结论．解 猜想结论：正三棱锥底面上任一点到三个侧面的距离之和等于以侧面为底时三棱锥的高．证明如下：设P 为正三棱锥A －BCD 底面上任一点，点P 到平面ABC ，ACD ，ABD 的距离分别为h 1，h 2，h 3，以侧面ABC 为底时对应的高为h ，则： V P －ABC ＋V P －ACD ＋V P －ABD ＝V D －ABC .即：13S △ABC ·h 1＋13S △ACD ·h 2＋13S △ABD ·h 3＝13S △ABC ·h . ∵S △ABC ＝S △ACD ＝S △ABD ，∴h 1＋h 2＋h 3＝h ，此即要证的结论． 三、探究与创新13．记S n 为数列{a n }的前n 项和，给出两个数列： (Ⅰ)5,3,1，－1，－3，－5，－7，… (Ⅱ)－14，－10，－6，－2,2,6,10,14,18，…(1)对于数列(Ⅰ)，计算S 1，S 2，S 4，S 5；对于数列(Ⅱ)，计算S 1，S 3，S 5，S 7；(2)根据上述结果，对于存在正整数k ，满足a k ＋a k ＋1＝0的这一类等差数列{a n }的和的规律，猜想一个正确的结论，并加以说明．解 (1)对于数列(Ⅰ)，S 1＝S 5＝5，S 2＝S 4＝8；对于数列(Ⅱ)，S 1＝S 7＝－14，S 3＝S 5＝－30. (2)对于等差数列{a n }，当a k ＋a k ＋1＝0时，猜想S n ＝S 2k －n (n ≤2k ，n ，k ∈N *)． 下面给出证明：设等差数列{a n }的前项为a 1，公差为d . ∵a k ＋a k ＋1＝0，∴a 1＋(k －1)d ＋a 1＋kd ＝0， ∴2a 1＝(1－2k )d .又S 2k －n －S n ＝(2k －n )a 1＋(2k －n )(2k －n －1)2d －na 1－n (n －1)2d＝[(k －n )(1－2k )＋(2k －n )(2k －n －1)2－n (n －1)2]d ＝0.∴S 2k －n ＝S n ，猜想正确．。

第二章推理与证明2.1.1合情推理1.归纳推理学习目标1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

学习过程：一、课前预习：1、称为推理2、通过对本节引言的三个推理案例的预习，思考几个推理各有什么特点？3、（1）蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

（2）三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒.由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n-⨯︒（3）221222221,,,331332333+++<<<+++，由此我们猜想：a a mb b m+<+（,,a b m均为正实数）这种的推理,称为归纳推理.(简称：归纳)归纳推理的一般步骤：（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；（2）提出带有规律性的结论，即猜想；（3）检验猜想。

二、课堂训练：例1已知数列{}n a 的通项公式21()(1)n a n N n +=∈+，12()(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值。

例2:已知数列{a n }的第1项a 1=1且nn n a a a +=+11(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式例3:数一数图中的凸多面体的面数F 、顶点数V 和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.三、练习：1. 观察下列等式，并从中归纳出一般的结论：（1） (5)42011216121,431216121,326121,2121=+++=++=+=（2）1＝1，1-4＝－（1+2），1-4+9＝1+2+3，1-4+9-16＝－（1+2+3+4），……2、凸n 边形有多少条对角线？凸四边形有2条对角线凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；……凸n 边形有多少条对角线？猜想：3.在同一平面内，两条直线相交，有一个交点；三条直线相交，最多有几个交点？四条直线相交，最多有几个交点？……六条直线相交，最多有几个交点？n 条直线相交，最多有几个交点？b a __b __===⋅⋅⋅===4均为实数），请推测总结：归纳推理的几个特点：1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论.四、课后巩固：1、已知111()1()23f n n N n +=+++⋅⋅⋅+∈，经计算: 35(2),(4)2,(8),22f f f =>> (16)3,f >7(32)2f >，推测当2n ≥时，有__________________________. 2、已知：2223sin 30sin 90sin 1502++=，2223sin 5sin 65sin 1252++=。

2.1.1 合情推理知识梳理1.从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程为___________________，任何推理都包含_____________和_____________两部分._____________是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；______________________________是根据前提推得的命题，它告诉我们_______________________________________；2.从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为_________________________它的思维过程大致是_________________________________________________________________________________.3.根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理称为_____________________________________________.简称_________________________；它的思维过程大致是________________________________________________________________________________________.知识导学归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，即从所研究的对象全体中抽取一部分进行观测或试验以取得信息，从而对总体作出推断.由归纳推理所获得的结论，仅是一种猜测，不一定可靠，其可靠性需要通过证明.类比推理是由特殊到特殊的推理，由已解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比提出新问题和作出新发现.类比的结论具有或然性.即可能真，也可能假.疑难突破1.归纳推理的一般步骤是什么呢？（1）实验、观察.通过观察个别事物发现某些相同性质.（2）概括、推广：从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题，并且在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠.（3）猜测一般性结论：通过实例去分析、归纳问题的一般性命题.2.类比推理的一般步骤是什么呢？（1）找出两类事物之间的相似性或一致性.（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想），一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠.类比推理的结论具有或然性，即可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值，是一种合情推理.典题精讲【例1】写出下列推理的前提和结论：（1）对顶角相等；（2）a⊥b,b⊥ｃ则a⊥c.思路分析：先把问题改写成“如果……那么……”，“因为……所以……”的形式，再进行判断，写出前提和结论.解：（1）对顶角相等，可以写成如果两个角为对顶角，那么这两个角相等.由此可知，前提为两个角是对顶角，结论为两个角相等.（2）a⊥b,b⊥ｃ则a⊥ｃ改写成如果a⊥b,b⊥ｃ那么a⊥c，前提为a⊥b,b⊥c，结论为a⊥c.【变式训练】写出下列推理的前提和结论.（1）两直线平行，同位角相等；（2）a＞b,b＞c则a＞c.解：（1）条件：两条直线平行，结论：同位角相等.（2）条件为：a＞b,b＞c.结论为：a＞c.【例2】设f(n)=n2+n+41，n∈N*,计算f(1),f(2),f(3),f(4), …f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想的结论是否正确.思路分析：首先分析题目的条件，并对n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的结果进行归纳推理，发现它们之间的共同性质，猜想出一个明确的一般性命题：解：f(1)=12+1+41=43f(2)=22+2+41=47f(3)=32+3+41=53f(4)=42+4+41=61f(5)=52+5+41=71f(6)=62+6+41=83f(7)=72+7+41=97f(8)=82+8+41=113f(9)=92+9+41=131f(10)=102+10+41=151由此猜想，n为任何正整数时，f(n)=n2+n+41都是质数.当n=40时，f(40)=402+40+41=41×41;所以f(40)为合数，因此猜想的结论不正确.【变式训练】观察×(1×２-0×1)=1,×(2×３-1×2)=2,×(3×４-2×3)=3,×(4×５-3×4)=4,由上述事实你能得出怎样的结论？解：因为×(1×２-0×1)=1,×(2×３-1×2)=2,×(3×４-2×3)=3,×(4×５-3×4)=4,…由此猜想，前n(n∈N*)个式子的结果为：×［n×(n+1)-(n-1)×n］=n.【例3】找出三角形和空间四面体的相似性质，并用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质.（1）三角形的两边之和大于第三边；（2）三角形的中位线等于第三边的一半，并且平行于第三边；（3）三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心；（4）三角形的面积为S=（a+b+c)r（r为内切圆的半径）.思路分析：首先充分认识三角形、空间四面体的相同（或相似）之处，再进行类比，类比时要抓住本质，充分考虑两类事物之间的联系.解：三角形和四面体有下列共同性质.（1）三角形是平面内由线段围成的最简单的封闭图形，四面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形.（2）三角形可以看作平面上一条线段外一点及这条线段上的各点所形成的图形；四面体可以看作三角形外一点与这个三角形上各点的连线所围成的图形.根据三角形的性质可以推测空间四面体有如下性质：三角形四面体三角形的两边之和大于第三边[] 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积.三角形的中位线等于第三边的一半，并且平行于第三边. 四面体的中位面的面积第于第四个面面积的，且平行于第四个面.三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内切圆的圆心四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切线的球心三角形的面积为S=(a+b+c)r(r为三角形内切圆的半径) 四面体的体积为V=（S1+S2+S3+S4）r,S1、S2、S3、S4为四个面的面积，r为内切球的半径【变式训练】类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间四面体性质的猜想.解：如下图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°,设a、b、c分别表示3条边的长度，由勾股定理得c2=a2+b2,(1) (2)类似地，在四面体P—DEF中，∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°,设S1、S2、S3和S分别表示△PDF,△PDE,△EDF和△PEF的面积图（2），相应于图（1）中直角三角形的两条直角边a、b和1条斜边c，图（2）中的四面体有3个“直角面”，S1、S2、S3，和1个“斜面”S，于是，类比勾股定理的结论，我们猜想S2=成立.问题探究如图2-1-1所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.图2-1-11.每次只能移动1个金属片；2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？导思:我们从移动1，2，3，4个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动n个金属片所需的次数.探究:当n=1时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号（13）表示，共移动了1次. 当n=2时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动的顺序是：（1）把第1个金属片从1号针移到2号针；（2）把第2个金属片从1号针移到3号针；（3）把第1个金属片从2号针移到3号针.用符号表示为（12）（13）（23），共移动了3次.当n=3时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为n=2的情形，移动的顺序是：（1）把上面两个金属片从1号针移到2号针；（2）把第3个金属片从1号针移到3号针；（3）把上面3个金属片从1号针移到3号针.其中（1）和（3）都需要借助中间针，用符号表示为（13）（12）（32）（13）（21）（23）（13），共移动了7次.当n=4时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是：（1）把上面3个金属片从1号针移到2号针；（2）把第4个金属片从1号针移到3号针；（3）把上面3个金属片从2号针移到3号针.用符号表示为（12）（13）（23）（12）（31）（32）（12）（13）（23）（21）（31）（23）（12）（13）（23）.共移动了15次.至此，我们得到依次移动1，2，3，4个金属片所需次数构成的数列1，3，7，15.观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律：1=21-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1.由此我们猜想：若把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动a n次，则数列{a n}的通项公式为a n=2n-1(n∈N*).通过探究上述n=1,2,3,4时的移动方法，我们可以归纳出对n个金属片都适用的移动方法.当移动n个金属片时，可分为下列3个步骤：（1）将上面（n-1)个金属片从1号针移到2号针；（2）将第n个金属片从1号针移到3号针；（3）将上面(n-1)个金属片从2号针移到3号针.这样就把移动n个金属片的任务.转化为移动两次（n-1)个金属片和移动一次第n个金属片的任务.而移动（n-1)个金属片需要移动两次（n-2)个金属片和移动一次第（n-1)个金属片，移动（n-2)个金属片需要移动两次（n-3)个金属片和移动一次第（n-2)个金属片……如此继续，直到转化为移动1个金属片的情形.根据这个过程，可得递推公式从这个递推公式出发，可以证明上述通项公式是正确的.。

2.1.3 推理案例赏析1.进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的紧密联系.利用合情推理和演绎推理进行简单的推理.(重点、难点)2.两种推理形式的具体格式.(易混点)[小组合作型]归纳推理的应用观察如图2­1­14所示的“三角数阵”：图2­1­14记第n行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式.【精彩点拨】(1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果.(2)由数阵可直接写出答案.(3)写出a3-a2，a4-a3，a5-a4，从而归纳出(3)的结论.【自主解答】(1)由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数.【答案】6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4，∴由此归纳：a n＋1＝a n＋n.归纳推理的一般步骤归纳推理的思想过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论.该过程包括两个步骤：(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).[再练一题] 1.观察下列各式：13＋23＝1，73＋83＋103＋113＝12，163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，…. 则当n <m 且m ，n ∈N 时，3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m -23＋3m -13＝________.(最后结果用m ，n 表示)【解析】 当n ＝0，m ＝1时，对应第1个式子13＋23＝1，此时1＝12-0＝m 2-n 2；当n ＝2，m ＝4时，对应第2个式子73＋83＋103＋113＝12，此时12＝42-22＝m 2-n 2；当n ＝5，m ＝8时，对应第3个式子163＋173＋…＋233＝39，此时39＝82-52＝m 2-n 2.由归纳推理可知3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m -23＋3m -13＝m 2-n 2.【答案】 m 2-n 2类比推理的应用通过计算可得下列等式： 23-13＝3×12＋3×1＋1； 33-23＝3×22＋3×2＋1； 43-33＝3×32＋3×3＋1； …(n ＋1)3-n 3＝3×n 2＋3×n ＋1. 将以上各等式两边分别相加，得(n ＋1)3-13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n )＋n ， 即12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1).类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n 3的值.【精彩点拨】 解答本题要抓住各等式两边数的指数相类比. 【自主解答】 ∵24-14＝4×13＋6×12＋4×1＋1， 34-24＝4×23＋6×22＋4×2＋1， 44-34＝4×33＋6×32＋4×3＋1， … …(n ＋1)4-n 4＝4n 3＋6n 2＋4n ＋1.将以上各式两边分别相加，得(n ＋1)4-14＝4×(13＋23＋…＋n 3)＋6×(12＋22＋…＋n 2)＋4×(1＋2＋…＋n )＋n ， ∴13＋23＋…＋n 3＝14⎣⎢⎡n ＋14-14-6×16nn ＋1·2n ＋1-4×⎦⎥⎤n n ＋12-n ＝14n 2(n ＋1)2.1.解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比，从而产生解题方法的迁移，这是数学学习中很高的境界，需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法.2.类比推理的步骤与方法(1)弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别.(2)把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚.[再练一题]2.半径为r 的圆的面积S (r )＝π·r 2，周长C (r )＝2π·r ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(π·r 2)′＝2π·r ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子②：________；②式可用语言叙述为________.【导学号：97220015】【解析】 因为半径为R 的球的体积V (R )＝43πR 3，表面积S (R )＝4πR 2，类比(πr 2)′＝2πr ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2.因此②式应为：⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2.且②式用语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2球的体积函数的导数等于球的表面积函数[探究共研型]合情推理与演绎推理的综合应用探究1 我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义.【提示】 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积.探究2 若{a n }是等积数列，且首项a 1＝2，公积为6，试写出{a n }的通项公式及前n 项和公式.【提示】 由于{a n }是等积数列，且首项a 1＝2，公积为6，所以a 2＝3，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝2，a 6＝3，…，即{a n }的所有奇数项都等于2，所有偶数项都等于3，因此{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数.其前n 项和公式S n＝⎩⎪⎨⎪⎧5n2，n 为偶数，5n -12＋2＝5n -12，n 为奇数.探究3 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为A ，B ，C 三个城市中的哪一个？【提示】 由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A.如图2­1­17所示，三棱锥A ­BCD 的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两互相垂直，O 为点A 在底面BCD 上的射影.图2­1­17(1)求证：O 为△BCD 的垂心；(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明.【精彩点拨】 (1)利用线面垂直与线线垂直的转化证明O 为△BCD 的重心. (2)先利用类比推理猜想出一个结论，再用演绎推理给出证明. 【自主解答】 (1)证明：∵AB ⊥AD ，AC ⊥AD ， ∴AD ⊥平面ABC ， ∴AD ⊥BC ， 又∵AO ⊥平面BCD ， ∴AO ⊥BC ， ∵AD ∩AO ＝A ， ∴BC ⊥平面AOD ，∴BC ⊥DO ，同理可证CD ⊥BO ， ∴O 为△BCD 的垂心.(2)猜想：S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ABD ＝S 2△BCD . 证明：连接DO 并延长交BC 于E ，连接AE ，BO ，CO ， 由(1)知AD ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，∴AD ⊥AE ，又AO ⊥ED ， ∴AE 2＝EO ·ED ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·EO ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·ED ， 即S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD .同理可证：S 2△ACD ＝S △COD ·S △BCD ，S 2△ABD ＝S △BOD ·S △BCD .∴S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S △ABD ＝S △BCD ·(S △BOC ＋S △COD ＋S △BOD )＝S △BCD ·S △BCD ＝S 2△BCD .合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确前提和推理形式都正确的前提下.[再练一题]3.已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则数列b n ＝na 1a 2…a n (n ∈N *)也是等比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论.【解】 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是： 若数列{a n }是等差数列，则数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn也是等差数列.证明如下：设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn＝na 1＋n n -1d 2n＝a 1＋d2(n -1)，所以数列{b n }是以a 1为首项，d2为公差的等差数列.[构建·体系]1.设k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱对角面的个数为f (k ＋1)＝f (k )＋________. 【解析】 k 棱柱增加一条侧棱时，则这条侧棱和与之不相邻的k -2条侧棱可构成k -2个对角面，而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面.所以f (k ＋1)＝f (k )＋k -2＋1＝f (k )＋k -1. 【答案】 k -12.如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条.这些直线中共有f (n )对异面直线，则f (4)＝________；f (n )＝________.(答案用数字或含n 的式子表示)【解析】 所有顶点确定的直线共有：棱数＋底边数＋对角线数， 即n ＋n ＋n n -32＝n 2＋n2.f (4)＝4×2＋4×12×2＝12， f (n )＝n (n -2)＋n n -32×(n -2)＝n n -1n -22.【答案】n 2＋n212n n -1n -223.下面几种推理是合情推理的是________.(填序号) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n -2)·180°.【解析】 ①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理.所以①、②、④是合情推理. 【答案】 ①②④4.(2016·深圳二模)如图2­1­18所示，我们知道，圆环也可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S ＝π(R 2-r 2)＝(R -r )×2π×R ＋r2，图2­1­18所以，圆环的面积等于以AB ＝R -r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成圆的周长2π×R ＋r2为长的矩形面积.请你将上述想法拓展到空间，并解决以下问题：若将平面区域M ＝{(x ，y )|(x -d )2＋y 2≤r 2}(其中0<r <d )绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积为________.【解析】 已知图中圆环的面积等于以AB ＝R -r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成圆的周长2π×R ＋r2为长的矩形面积，由此拓展到空间，可知：将平面区域M ＝{(x ，y )|(x -d )2＋y 2≤r 2}(其中0<r <d )绕y 轴旋转一周所形成的旋转体积的体积应等于以圆(x -d )2＋y 2＝r 2围成的圆面为底面，以圆心(d,0)绕y 轴旋转一周所形成的圆的周长2π×d 为高的圆柱的体积.故该旋转体的体积V ＝πr 2·2πd ＝2π2r 2d .【答案】 2π2r 2d5.在△ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想.【解】 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P ­ABC 中，三个侧面PAB ，PBC ，PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1”.证明：设P 在平面ABC 的射影为O ，延长CO 交AB 于M ，记PO ＝h ， 由PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，得PC ⊥面PAB ， 从而PC ⊥PM ，又∠PMC ＝α，cos α＝sin∠PCO ＝hPC ，cos β＝h PA ，cos γ＝h PB. ∵V P ­ABC ＝16PA ·PB ·PC＝1312PA ·PB cos α＋12PB ·PC cos β＋12PC ·PA cos γ·h ， ∴⎝⎛⎭⎪⎫cos αPC ＋cos βPA ＋cos γPB h ＝1，即cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。

2.1.3 推理案例赏析1.进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的紧密联系.利用合情推理和演绎推理进行简单的推理.(重点、难点)2.两种推理形式的具体格式.(易混点)[小组合作型]图2-1-14记第n行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式.【精彩点拨】(1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果.(2)由数阵可直接写出答案.(3)写出a3-a2，a4-a3，a5-a4，从而归纳出(3)的结论.【自主解答】(1)由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数.【答案】6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4，∴由此归纳：a n＋1＝a n＋n.归纳推理的一般步骤归纳推理的思想过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论.该过程包括两个步骤：(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).[再练一题]1.观察下列各式：1 3＋23＝1，73＋83＋103＋113＝12，163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，….则当n<m且m，n∈N时，3n＋13＋3n＋23＋…＋3m-23＋3m-13＝________.(最后结果用m，n表示)【解析】当n＝0，m＝1时，对应第1个式子13＋23＝1，此时1＝12-0＝m2-n2；当n＝2，m＝4时，对应第2个式子73＋83＋103＋113＝12，此时12＝42-22＝m2-n2；当n＝5，m＝8时，对应第3个式子163＋173＋…＋233＝39，此时39＝82-52＝m2-n2.由归纳推理可知3n＋13＋3n＋23＋…＋3m-23＋3m-13＝m2-n2.。

数学：第2章《推理与证明》教案（苏教版选修1-2）十五、推理与证明一、考点、要点、疑点：考点：1、理解合情推理与演绎推理； 2、了解分析法和综合法； 3、了解反证法。

要点：1、合情推理（归纳和类比）在数学发现中的作用。

2、演绎推理的基本模式（三段论）。

3、证明的三种基本方法（分析法、综合法、反证法）各自的思考过程、特点。

二、典型例题解析：例1、观察下列两等式的规律，请写出一个（包含下面两命题）一般性的命题：① ；②例2、中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，，则四面体的外接球半径____________．例3、已知表中的对数值有且只有两个是错误的．x1.53567891427lgx3a-b+c2a-ba+c1+a-b-c2(a+c)3(1-a -c）2(2a-b)1-a+2b3(2a-b)（1）假设上表中lg3=2a-b与lg5=a+c都是正确的，试判断lg6=1+a-b-c是否正确？给出判断过程；（2）试将两个错误的对数值均指出来并加以改正．（不要求证明）三、课堂练习：1、观察下列两等式的规律，请写出一个（包含下面两命题）一般性的命题：① ；②2、若三角形内切圆的半径为，三边长分别为，则三角形的面积。

根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别为，则四面体的体积。

3、设，则＝。

4、已知数列，则是该数列的第项。

5、设数列是公比为的等比数列，是它的前项和。

（1）求证：数列一定不是等比数列；（2）数列能是等差数列吗？请判断并说明理由。

6、我们知道：圆的任意一条弦的中点和圆心的连线与该弦垂直。

那么，若椭圆的一弦中点与原点连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请予以证明。

参考解答例题解析：1、2、3、（1）正确（2）课堂练习：1、2、 3、4、1285、（1）略（2）时，是；时，不是6、椭圆的弦中点与原点的连线及弦所在直线的斜率都存在，那么它们的斜率的积为或。