大学物理 质点和质点系的动量定理

合外力的冲量
系统末动量 系统初动量
质点系动量定理 作用于质点系的合外力的冲量等于系 统动量的增量.
说明
(1) 内力的作用不改变系统的总动量, 但内力做功却
可以改变系统的总动能. (2) 变质量物体的运动方程:
d(mv)
dm
u
F
dt dt
大学物理学（第三版）电子教案
第四章·动量定理与动量守恒定律
例1 如图用传送带A输送煤粉, 料斗口在A上方高h=0.5m处， 煤粉自料斗口自由落在A上. 设料斗口连续卸煤的流量为 q=40kg/s, A以v = 2.0m/s的水平速度匀速向右移动. 求装煤的 过程中, 煤粉对A的作用力的大小和方向. (不计相对传送带静 止的煤粉质量.)
h A
v
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t
I z t0 Fzdt mvz mvz0
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第四章·动量定理与动量守恒定律
(3) 在碰撞或冲击问题中, 牛顿定律无法直接应用, 而动 量定理的优点在于避开了细节而只讨论过程的总体效果.
(4) 动量定理仅适用于惯性系, 且与惯性系的选择无关.
例 如图, 一重锤从高度为h =1.5m的地方由 静止下落，锤与被加工的工件的碰撞后的 末速度为零. 若打击时间分别为10-1s, 10-2s, 10-3s, 10-4s，试计算这几种情形下平均冲力 与重力的比值.
定义 系统所受合外力为零时,系统的总动量保持不变.
F (e)
Fi(e) 0
p
pi
恒矢量
说明
i
i
(1) 系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系统内
任一物体的动量是可变的, 各物体的动量必须相对于同

t2 v v I 外 = ∫ F外力dt t1
当系统所受合外力为零时， 当系统所受合外力为零时，即F外=0时，系统的 时 动量的增量为零， 动量的增量为零，即系统的总动量保持不变
v 若: F外 = 0
v n v P＝∑ m i v i = 恒矢量
i =1
v n v P＝∑ m i v i = 恒矢量 :是矢量式 应用时写成分量式 是矢量式,应用时写成 是矢量式 应用时写成分量式
三种 情况 （1）不受外力 ）不受外力; （2）受外力 外力矢量和为零 ）受外力,外力矢量和为零 （3）内力远远大于外力 ） (打击,碰撞,爆炸等) 打击,碰撞,爆炸等)
分动量守恒: 分动量守恒
动量守恒可在某一方向上成立。 合外力不为零, 动量守恒可在某一方向上成立。 合外力不为零, 但若沿某一方向合外力为零, 但若沿某一方向合外力为零,则该方向的动量守恒
r r r ∆p = 0 − m0 (v0 i + 2 gh j )
分析：这是由于外力 车厢的反作用力和重力共同作用的 分析：这是由于外力---车厢的反作用力和重力共同作用的 结果。在煤陆续到达车厢后速度变为零这一极短时间内， 结果。在煤陆续到达车厢后速度变为零这一极短时间内， 车厢反作用力为一冲力， 车厢反作用力为一冲力，与它相比重力可以忽略不计
一、关于质点系
几个相互作用的质点组成质点系 系统所受的力分为外力和内力 系统所受的力分为外力和内力
外力: 外力
系统外的物体作用于 系统内各质点的力
内力: 内力:
系统内各质点之间的 相互作用力
注:
系统的内力对于系统内的每一质点均属于外力 系统内的所有内力总是由一对对的 作用力和反作用力组成 对于系统: 对于系统
v v0

h
T
2H g
取铅垂轴y向上为正，根据动量定理有：
mv2 mv1 p
p 0。则有 由题意知， v1 0 ，经过（T+t）秒后，
p Nt Q(T t ) 0
由此得
1 T N Q( 1) Q t t 2H 1 g
1 2 1.5 16.9 KN N 300 1 0.01 9.8
e i
质点系外力： R
e
Fi
e
2、内力：所研究得质点系内部的各质点之间的相互 i 作用力；用 F i 表示。
质点系内力： R
i
Fi
i
质点系内力系的主矩、主矢为：
R Fi 0
i
i
M o mo Fi i 0
i
结论：
质点系质心的运动，是可以看成为一个质点的运 动，同时假想地把整个质点系的质量集中于这一点， 作用于质点系的全部外力也都集中于这一点。 同时：质点系的内力不影响质心的运动，只有外 力才能改变质心的运动。
例1、锤重Q=300N，从高度H=1.5m处自由落到锻 件上，如图所示，锻件发生变形，历时t=0.01s. 求锤对锻件的平均压力。 解：取锤为研究对象。作用在锤 上的力有重力Q锤与锻件接触后 锻件的反力。但锻件的反力是变 力。设平均反力为N. 锤下落高度H所需时间T为：
i i
§11－3 质心运动定理 1、质心：质点系的质量中心 质点系的运动不仅与各质点质量有关，而且与质 量的分布情况有关。 2、质心的确定
直角坐标下的质心计算公式：
mi xi xC M
mi yi yC M
mi zi zC M

Fdt (m dm)v (mv dm 0) vdm vkdt
F k v 200 4 8 10
2
N
12
3-9 一小船质量M=100kg，船头到船尾长度l=3.6m。现 有一质量m=50kg的人从船尾走到船头时，船头将移动多 少距离？假定水的阻力不计。
Fi外
Fij
j
i
内力-----是质点系内各质点间的作用力； 外力------是质点系外物体对质点系内质点的力。
由牛顿第三定律，内力必定是成对出现，且每对内力 都沿两质点连线的方向。
3
i质点合力

t2
t1
( Fi外 f ji )dt mi vi 2 mi vi1
j 1
n 1
F i外 f
9
n
例2.5 一弹性球，质量m＝0.20kg，速度 v＝5m/s， 与墙碰撞后弹回.设弹回时速度大小不变，碰撞前后的 运动方向和墙的法线所夹的角都是α，设球和墙碰撞 的时间Δt＝0.05s，α＝60°，求在碰撞时间内，球和 墙的平均相互作用力. 解：以球为研究对象.设墙对 球的平均作用力为 f ，球在 碰撞前后的速度为 v1和 v 2 ， 由动量定理可得
2
t1 t2
Fx dt mv2 x mv1x
Iy Iz

t1 t2
Fy dt mv2 y mv1 y Fz dt mv2 z mv1z
2
t1
3
二 质点系的动量定理
如果研究的对象为多个质 点，则称为质点系 对质点系，受力可分为 “内力”和“外力”。
质点系
Fj外
Fji
§2.2 动量 动量守恒定律
力对时间的累积效应

与轨道的摩擦忽略不计）
解： m：表示t时刻煤车和 已落入煤车的煤的总质量；
dm：表示t时刻后dt时间内
F 又落入煤车的煤的质量。
t时刻此系统的水平总量，mv+dm×0=mv t+dt时刻此系统的水平总量，(m+dm)v
Fdt=dp= (m+dm)v—mv=dm v F=dm/dt v=500×3=1500(N)
质点系动量定理 （微分形式）
注意
t2
t1
F外
dt
P2
P1
质点系动量定理 （积分形式）
系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。
用质点系动量定理处理问题可避开内力。
大学 物理学
例2.10一辆装煤车以的v=3m/s速率从煤斗下面通过，
每秒钟落入车厢的煤为△m=500kg，如果使车厢的
速率保持不变，应用多大的牵引力拉车厢？（车厢
大学 物理学
解题步骤： 1．选好系统和过程； 2．进行受力分析，判断守恒条件； 3．确定系统的任意时刻的动量、初动量 或末动量； 4．建立坐标系，列方程求解；
大学
物理学 例2.11 一枚返回式火箭以 2.5103 m·s-1 的
速率相对惯性系S沿水平方向飞行．空气阻
力不计．现使火箭分离为两部分, 前方的仪
大学
物理学 3.严格不受外力或外力矢量和为零的系统 是很少见的，但 a.当外力<<内力 且作用时间极短时（如碰撞）， 可认为动量近似守恒。 b.若某个方向上合外力为零，则该方向上动
量守恒，尽管总动量可能并不守恒。
4.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本 的定律，它在宏观和微观领域均适用。 5.用守恒定律作题，应注意分析 过程、系统 和条件。

O
φ
化简即得单摆的运动微分方程
g 微幅摆动时，sin , 并令 n 2
d 2 g sin 0 2 dt l
v
A
0
2 n
l
0 0) 则运动方程 解微分方程,并代入初始条件 (t 0, 0 ,
0 cos
g t ，摆动周期 l
第十二章 §12–1
动量矩定理
质点与质点系的动量矩
§12–2
§12–3 §12–4 §12–5 §12–6
动量矩定理
刚体定轴转动微分方程 刚体对轴的转动惯量 质点系相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程
1
质点 动量定理： 质点系 动量的改变
外力（外力系主矢）
质心运动定理：质心的运动外力（外力系主矢） 物体在移动时运动与受力之间的关系 －动量定理。
将表达式 (b) 和 (c) 代入方程 (a)，即得
(c)
PA 2 PB 2 d (JO r r ) ( PA PB )r g g dt
从而求出定滑轮的角加速度

d dt
方向为逆钟向。
PA PB r PA 2 PA 2 JO r r g g
21
例题
动量矩定理
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。 若 若
M O (F ) 0
(M z ( F ) 0).
则 则
M O (mv ) 常矢量
(M z (mv ) 常量)
称为质点的动量矩守恒。
左边交换求和与导数运算的顺序: L O M O ( mi vi ), 而:

其中:Fi外为系统外的物体对质点i的作用力,称外力.
Fi内为系统内的质点对质点i的作 用力, 称内力.
Fi内 fij
fi
整
个
i j
系统
的
总
动
量:
p

pi
i f ij

f ji

j
i


F

dp

dt
i
dpi dt
Fi
i


Fi外 Fi内
（1）动量守恒定律的条件：

( F外 0)
系统与外界没有相互作用。
外
(或外界的作用相互抵消)
（2）结论：
pi

mivi
常 矢 量
i
i
（3）应用动量守恒定律时的注意事项：
对于一切惯性系动量守恒定律都成
立，但在解决具体问题时各质点的动量
都应该相对于同一惯性系。
*动量守恒定律的意义：
是自然界中最重要的基本规律之一。 20
剩长度为z 时，地面
对这段绳子的作用力。
柔绳落地
14
§3.7 质点系的动量定理和质心运动定理
[解法一] 将绳子当作质点系，则质心的高
度与速度为：
zc

1 m
zm z dz 0l

z2 2l
vc

dzc dt

z l
dz dt

zv l
z
m
l
z
lz
v 2g(l z),
dz
fz
而 dv g
间隔内作用在 分量式
t1

t1)
F t1
F
注意
(t2 t1)
O
t t t
1
2
t
在 p一定时 t 越小，则 F 越大 .例如人从高处跳下、飞机与鸟相撞、
打桩等碰撞事件中，作用时间很短，冲力很大 .
青岛理工大学
例1 一篮球质量0.58kg，从2.0m高度下落，到达地面后，以同 样速率反弹，接触时间仅0.019s.
v1
m 2m v3
o
x
0 2mv 3 sin mv 2
m
v2
青岛理工大学
2mv 3 cos mv 1 （1）
2mv 3 sin mv 2 （2） v1
v3

1 2
v12

v
2 2
1 800 2 600 2 2
500 m/s
方向：tg v2 36.9
y s v y' s' v'
o
o'
x x'
z
z'
青岛理工大学
解：设仪器舱和火箭容器的速度分别为v1 , v2 分离前速度为
v 2.5103 ms1
分离后，仪器舱相对火
y s v y' s' v'
箭容器的速度为
v' 1.0103 ms1
v1 v2 v'
o z
m2 m1
青岛理工大学
又如汽车从静止开始运动，加速到 20m/s如果牵引力大，所用时间短，如果 牵引力小所用的时间就长。
可以看出，当物体的状态变化一定 时，作用力越大，时间越短；作用力越 小，时间越长。
青岛理工大学
定义：力和力的作用时间的乘积称为冲量。I 矢量,同力的方向

t1
即：作用在两质点组成的系统的合外力的冲量等于系统内两质点动量之和的增 量，即系统动量的增量。 2．推广：n 个质点的情况
t2 t2 n n n n F d t ＋ F d t m v mi vi 0 i外 i内 i i i 1 i 1 i 1 i 1 t1 t1
yv 2
同乘以 ydy，得
y 2 gdty y
积分 得
y
0
y
gdty
yvdt( yv)
0
1 3 1 gy ( yv) 2 3 2
因而链条下落的速度和落下的距离的关系为
2 v gy 3
1/ 2
7
第4讲
动量和冲量
考虑到内力总是成对出现的，且大小相等，方向相反，故其矢量和必为零， 即
F
i 0
n

i内
0

设作用在系统上的合外力用 F外力 表示，且系统的初动量和末动量分别用
5
第4讲
动量和冲量
P0 和 P 表示，则
t2 n n F d t m v mi vi 0 i i 外力 t1
F外 dt＝dPFra bibliotek力的效果 关系 适用对象 适用范围 解题分析
*动量定理与牛顿定律的关系 牛顿定律 动量定理 力的瞬时效果 力对时间的积累效果 牛顿定律是动量定理的 动量定理是牛顿定律的 微分形式 积分形式 质点 质点、质点系 惯性系 惯性系 必须研究质点在每时刻 只需研究质点（系）始末 的运动情况 两状态的变化
1
第4讲
动量和冲量
§3－1 质点和质点系的动量定理
实际上，力对物体的作用总要延续一段时间，在这段时间内，力的作用将 积累起来产生一个总效果。下面我们从力对时间的累积效应出发，介绍冲量、 动量的概念以及有关的规律，即动量守恒定律。 一、冲量 质点的动量定理 1．动量：Momentum——表示运动状态的物理量 1）引入：质量相同的物体，速度不同，速度大难停下来，速度小容易停下；速 度相同的物体，质量不同，质量大难停下来，质量小容易停下。 2）定义：物体的质量 m 与速度 v 的乘积叫做物体的动量，用 P 来表示 P=mv 3）说明：动量是矢量，大小为 mv，方向就是速度的方向；动量表征了物体的 运动状态 -1 4）单位：kg.m.s 5）牛顿第二定律的另外一种表示方法 F=dP/dt 2．冲量:Impulse 1）引入：使具有一定动量 P 的物体停下，所用的时间Δt 与所加的外力有关， 外力大，Δt 小；反之外力小，Δt 大。 2）定义： 作用在物体外力与力作用的时间Δt 的乘积叫做力对物体的冲量， 用 I 来表 示 I= FΔt 在一般情况下，冲量定义为

3–1 质点系的动量定理 1 注意
第三章动量和角动量
内力不改变质点系的动量
初始速度
v g 0 = v b 0 = 0 m b = 2m g
且方向相反
推开后速度 v g = 2 v b 推开前后系统动量不变
v v p = p0
v 则 p0 = 0 v 则 p =0
3–1 质点系的动量定理 1
第三章动量和角动量
3–1 质点系的动量定理 1 一 两个质点构成的系统 系统、外界、内力、外力 系统、外界、内力、 对 m1 应用动量定理
第三章动量和角动量 质点系
∫
∫
t2
t1
v v v v ( F1 + F12 )dt = m1v1 − m1v10
v v v v ( F2 + F21 )dt = m2 v2 − m2 v20
一柔软链条长为l,单位长度的质量为 链条放 单位长度的质量为λ 例 1 一柔软链条长为 单位长度的质量为λ.链条放 在桌上,桌上有一小孔 链条一端由小孔稍伸下,其余部分 桌上有一小孔,链条一端由小孔稍伸下 在桌上 桌上有一小孔 链条一端由小孔稍伸下 其余部分 堆在小孔周围.由于某种扰动 由于某种扰动,链条因自身重量开始落下 堆在小孔周围 由于某种扰动 链条因自身重量开始落下 . 求链条下落速度与落下距离之间的关系 . 设链与各处的 摩擦均略去不计,且认为链条软得可以自由伸开 摩擦均略去不计 且认为链条软得可以自由伸开 . 解 以竖直悬挂的链条 和桌面上的链条为一系统, 和桌面上的链条为一系统 建立如图坐标 由质点系动量定理得 m1 y m2
g ∫ y d y = ∫ yv d( yv)
y 2 yv 0 0
1 3 1 2 gy = ( yv) 3 2 2 12 v = gy 3