新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结

高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数1．函数的平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；6、常见的导数和定积分运算公式:若()g x均可导（可积），则有：f x，().用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数'()f x②令'()f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令'()f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。

(2) 求函数f(x)的导数'()f x(3)求方程'()f x=0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如检查/()果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

归纳推理与类比推理异同点比较合情推理是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．在解决问题的过程中，合情推理具有猜侧和发表结论，探索和提供思路的作用．有利于创新意识的培养．在能力高考的要求下，推理方法就显得更加重要．在复习中要把推理方法形成自己的解决问题的意识，使得问题的解决有章有法，得心应手．合情推理包括归纳推理和类比推理.一.归纳推理和类比推理的联系:归纳推理与类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．由这两种推理得到的结论都不一定正确,其正确性有待进一步证明.二.归纳推理和类比推理的区别:(一) 归纳推理1.归纳推理定义: 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．说明：归纳推理的思维过程大致如下：2.归纳推理的特点:（1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具．(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模型，归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法.3.归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同本质；②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题．说明：归纳推理基于观察和实验，像“瑞雪兆丰年”等农谚一样，是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果．物理学中的波义耳—马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中开普勒行星运动定律等，也都是在实验和观察的基础上，通过归纳发现的．(二).类比推理（以下简称类比）1.类比推理定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．3.说明：类比推理的思维过程大致如下图所示：类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．类比推理不象归纳推理那样局限于同类事物, 同时,类比推理比归纳推理更富于想像,因而也就更具有创造性. 人类在科学研究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理，公式都是通过类比提出来的,工程技术中许多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的．因此，类比推理已成为人类发现发明的重要工具.例1. 如图，①，②，③，…是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n个图形中的花盆数a n= ．【答案】 a n=3n2-3n+1.【解析】仔细观察发现:图案①的花盆数为:1个, a1=1; 图案②的花盆中间数为3,上下两行都是2个, a2=2+3+2; 图案③的花盆中间数为5,上面两行由下到上分别递减1个,而且关于中间行上下对称, a3=3+4+5+4+3;……;可以猜想: 第n个图形中的花盆中间数为2n-1,上面每行由下到上分别递减1个,最上面有n个,而且关于中间行上下对称,因此a n=n+(n+1)+…+(2n-1)+…+(n+1) + n=3n2-3n+1.【评析】上例是利用归纳推理解决问题的.归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的．观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一.例2.如图，过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点．求证：++为定值．分析考虑平面上的类似命题：“过△ABC（底）边 AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC、AC于A1、B1，求证+为定值”．这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1．另外，过A、O分别作BC垂线，过B、O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1．于是类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1．证明：如图，设平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB=L，则有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△ LCV．得++=++。

新高考高中数学知识点总结及公式大全包括以下内容
一、集合与常用逻辑用语
1.集合的运算：交集、并集、补集。

2.常用逻辑用语：充分条件、必要条件、充要条件。

二、复数
复数的概念、复数的四则运算。

三、平面向量
1.向量的概念及表示。

2.向量的运算（加减法、数乘法、数量积）。

3特殊向量（单位向量、零向量）。

四、算法、推理与证明
1.算法的概念与程序框图。

2.推理与证明的方法：直接证明、间接证明（反证法、同一法、归纳法等）。

五、不等式、线性规划
1.不等式的性质与解法。

2.线性规划的应用。

六、计数原理与二项式定理
1.计数原理（加法原理、乘法原理）。

2.二项式定理及其展开式。

七、函数、基本初等函数的图像与性质
1.函数的概念与性质（单调性、奇偶性、周期性）。

2.初等函数的图像与性质（幂函数、指数函数、对数函数等）。

八、函数与方程、函数模型及其应用
1.函数与方程的思想（求方程的解）。

2.函数模型的应用（线性回归、曲线拟合等）。

九、导数及其应用
1.导数的概念与性质（极限思想、变化率等）。

2.导数的应用（单调性判别、极值计算等）。

十、三角函数的图形与性质
1.三角函数的图像与性质（正弦函数、余弦函数等）。

2.三角恒等变换（和差倍角公式、正弦定理等）。

3.解三角形（正弦定理、余弦定理等）。

4.三角函数的图象与性质在生活中的应用。

B.3(2n＋2) D.(n＋2)(n＋3)
索引
解析 由已知中的图形可以得到： 当n＝1时，图形的顶点个数为12＝3×4， 当n＝2时，图形的顶点个数为20＝4×5， 当n＝3时，图形的顶点个数为30＝5×6， 当n＝4时，图形的顶点个数为42＝6×7，…… 由此可以推断：第n个图形的顶点个数为(n＋2)(n＋3).
索引
5.(2022·延边质检)有三张卡片，分别写有1和2、1和3、2和3，甲、乙、丙三人 各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”；乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”；丙说：
“我的卡片上的数字之和不是5”，则下列说法中正确的是( A )
A.甲的卡片上的数字是1和3 B.甲的卡片上的数字是2和3 C.乙的卡片上的数字是1和3 D丙的卡片上的数字是1和3
执果索因
框图表示 P⇒Q1 → Q1⇒Q2 →…→ Qn⇒Q
Q⇐P1 → P1⇐P2 →… 得到一个明显
→ 成立的条件
因为……所以…… 文字语言
或由……得……
要证……只需证…… 即证……
索引
4.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证 明方法. (1)反证法的定义：假设原命题__不__成__立__ (即在原命题的条件下，结论不成 立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了 __原__命__题__成__立__的证明方法. (2) 用 反 证 法 证 明 的 一 般 步 骤 ： ① 反 设 —— 假 设 命 题 的 结 论 不 成 立 ； ② 归 谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立， 从而肯定原命题的结论成立.
，则8 771用算筹应表示

2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3 猜想 an= 2n -1 当n=3时,a3= 7 当n=4时,a4= 15
2
1
3
歌德巴赫猜想的提出过程：
…
这种由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概栝出一般结论 的推理,称为归纳推理.(简称;归纳) 归纳推理的几个特点;
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳 所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚 属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观 察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分 析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明
这就是著的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说， 他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问 题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引 起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都 不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体 的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一 一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚 待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成 千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴 赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了 20世纪20年代，才有人开始向它靠近。

理与证明
处添加文本具体内容，简明扼要地阐述你的观点。单击此处添加正文，文字是您思想的 请尽量言简意赅的阐述观点。
高中数学课程标准 北师大版教材编写组
一、教材编 写的基本结
构
知识结构（理）
一、教材编写 的基本结构
CONTENTS
01
二．
章节目录（理）
○
第一章 推理与证明
○
1归纳与类比
单击添加文本具体内容
系列2 的课程中要讲 授一种特殊的演绎思 路——数学归纳法， 系列1不讲。其他方 面的要求相同。
四、教学中 需要注意的
问题
在教学中，要重视培养学生归纳推理的能力， 要帮助学生理解归纳推理在学习和研究数学 中的作用，演绎推理可以帮助我们验证问题， 归纳推理可以帮助我们发现、猜想一些新的 结果，在创新意识培养中归纳推理是非常重 要的思维方式。
○
第三章 推理与证明
○
1归纳与类比
单击添加文本具体内容
03
一．
类比推理
○
2数学证明
○
3综合法与分析法
单击添加文本具体内容
05 三 ． 分 析 法 4反正法 单击添加文本具体内容
02 归 纳 推 理
单击添加文本具体内容
04 综 合 法
单击添加文本具体内容
二、教材编 写特色
在教材编写中，通过大量的实例，帮助学生 梳理清楚数学的两种基本思维方式：归纳推 理和演绎推理，并在此基础上介绍了归纳推 理和演绎推理的几种常见思路，这也是在证 明数学问题中的常见思路。并帮助学生通过 一些具体问题理解这两种不同思维方式的基 本特点和作用。
四、教学中 需要注意的
问题
在教授综合法、分析法、反证法、数学归纳法以及 归纳、类比等数学思想方法时，应反复强调这些方 法仅仅是一种思维的模式，我们应该了解这种思维 的模式、掌握这种思维的模式，但是，在证明数学 问题中，必须认真的分析问题本身，才能获得这个 问题的证明，机械的套用这种方法作用不大。

高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数1．函数的平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；5、常见的函数导数 函数 导函数 (1)y c ='y =0 (2)n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= (3)x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a =(4)x y e ='x y e =(5)log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1'ln y x a =(6)ln y x = 1'y x=(7)sin y x = 'cos y x =(8)cos y x = 'sin y x =-6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 和差的导数运算[]'''()()()()f x g x f x g x ±=± 积的导数运算[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±特别地：()()''Cf x Cf x =⎡⎤⎣⎦商的导数运算[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 特别地：()()21'()'g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦复合函数的导数x u x y y u '''=⋅微积分基本定理()baf x dx =⎰F(a)--F(b)（其中()()'F x f x =）和差的积分运算1212[()()]()()b bbaaaf x f x dx f x dx f x dx±=±⎰⎰⎰ 特别地：()()()bb aakf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数积分的区间可加性()()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中.用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f (x )的导数'()f x②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

高中数学的解析数学证明与推理的方法与技巧在高中数学的学习过程中，解析数学证明与推理是非常重要的一个部分。

通过学习解析数学证明与推理的方法与技巧，学生可以培养自己的逻辑思维能力，提高解题能力，更好地理解和应用数学知识。

本文将介绍几种常用的解析数学证明与推理的方法与技巧，帮助高中生更好地掌握这一重要的学习内容。

一、直接证明法直接证明法是最常用的一种证明方法。

在使用直接证明法时，我们以已知条件为基础，通过逻辑推理得出结论。

具体步骤如下：1. 根据题目给出的已知条件，确定待证结论。

2. 基于已知条件进行逻辑推理，使用数学定义、定理等知识，逐步推导出待证结论。

3. 最后，使用数学符号和语言，将证明过程清晰地呈现出来。

二、反证法反证法是另一种常用的证明方法。

在使用反证法时，我们先假设待证结论不成立，然后通过逻辑推理得出矛盾，从而证明待证结论是成立的。

具体步骤如下：1. 假设待证结论不成立，即假设逆否命题成立。

2. 基于这一假设，通过逻辑推理得出矛盾的结论。

3. 根据引理或定理，得出与已知条件矛盾的结论。

4. 由于矛盾的存在，假设不成立，即待证结论成立。

三、归纳法归纳法是一种通过对特殊情况的证明来推导出一般性结论的方法。

具体步骤如下：1. 首先，通过具体例子对待证结论进行验证。

2. 然后，假设待证结论在某个特定情况下成立。

3. 利用这个特定情况，进行逻辑推理和数学运算，推导出待证结论在下一种情况下也成立。

4. 重复上述步骤，逐步推导出待证结论在所有情况下成立。

四、数学归纳法数学归纳法是一种常用的数学证明方法，适用于证明正整数性质或数列的性质。

数学归纳法分为两个步骤：基础步骤和归纳步骤。

1. 基础步骤：首先证明待证结论在某个初始情况下成立。

2. 归纳步骤：假设待证结论在某个正整数情况下成立，然后通过逻辑推理和数学运算，证明待证结论在下一个正整数情况下也成立。

3. 结论：根据数学归纳法的原理，可以得出待证结论在所有正整数情况下成立。

3.1.1 归纳推理自主整理1.根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断这类事物中每一个都有这种属性,我们把这种推理方式称为_____________.2.归纳推理是由_____________到_____________,由_____________到_____________的推理.3.归纳推理得出的结论_____________(填“一定”或“不一定”)正确.高手笔记1.欧拉公式:一个凸多面体中,多面体的面数(F)、棱数(E)、顶点数(V),它们之间的关系为:V-E+F=2.2.归纳推理的一般步骤:(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题,并且在一般情况下,如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的一般性结论也就越可靠,学习中通过实例去分析、归纳问题的一般性命题,加强应用.特别注意,由归纳推理所获得的结论,仅仅是一种猜测,并不一定可靠,其可靠性需要通过证明.3.对于数列的通项公式和前n项和的求法,常用归纳猜想.4.归纳推理是我们探求数学问题的一种重要方法和途径,通过归纳推理发现许多未知的内容是科学前沿结论的重要手段.名师解惑1.归纳推理得到的结论一定正确吗?剖析:归纳推理是根据已经知道的个别事例具有的属性推断出所有这类事物所具有的共性,有时结论正确,有时结论不正确.在归纳结论时,要对大量的个体进行观察,其正确性还需要通过严格的证明,不正确的结论只需举出一个特例不符合即可.讲练互动【例1】如下图是由一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=…=1,记OA1、OA2、OA3、…、OA8、…、OAn的长度所成的数列为{ln}(n∈N),(1)写出数列的前4项; (2)求{l n }的通项公式.分析:(1)利用勾股定理可逐项求出前4项; (2)观察归纳规律得通项公式. 解:(1)∵l 1=OA 1=1,由勾股定理得l 2=121+l =112+=2.l 3=122+l =1)2(2+=3. l 4=123+l =1)3(2+=2.(2)观察{l n }的前n 项,可以发现数列的项恰好是序号n 的算术平方根. ∴通项公式a n =n . 绿色通道本题目显然有l n+1=12+n l ,∴l n+12=l n 2+1,{l n 2}为等差数列,首项为1, ∴l n 2=1+(n-1)=n.∴l n =n .数列问题可通过求得前n 项、观察得到通项公式. 变式训练1.根据所给数列前几项的值32,154,356,638,9910,…,猜想数列的通项公式. 解:32=3112⨯⨯,154=5322⨯⨯,7532356⨯⨯=,9742638⨯⨯=,119529910⨯⨯=,…… 于是猜想该数列的通项公式为a n =1)1)(2n -(2n n2+.【例2】已知数列{a n }满足a n+1=a n 2-na n +1(n=1,2,3,…), 当a 1=2时,求a 2、a 3、a 4,并由此猜想出a n 的一个通项公式. 分析:本题主要考查猜想、归纳推理及分析和解决问题的能力,先求出a 2、a 3、a 4,并结合a 1,观察它们之间有什么共同的特征,然后猜想通项公式.解:由a 1=2,得a 2=3,由a 2=3,得a 3=4,由a 3=4,得a 4=5,由此猜想a n =n+1(n≥1且n∈N +). 绿色通道解决此类问题,要写出前几项,通过观察、分析、比较找出规律,从而猜测出可能的结果. 变式训练2.已知数列{a n }的第1项a 1=1,且a n+1=nna a +1(n=1,2,…),试归纳出这个数列的通项公式.解:当n=1时,a 1=1,a 2=21111=+a a ,a 3=21121+=31,a 4=31131+=41.观察可得a n =n 1.【例3】在平面内观察:凸四边形有2条对角线, 凸五边形有5条对角线, 凸六边形有9条对角线, ……由此猜想凸n 边形有几条对角线?分析:在找规律时,尽量发现对角线的条数与凸n 边形的边数n 之间的直接关系,或寻找与前面n-1边形的对角线条数之间的关系. 解:凸四边形有2条对角线.凸五边形的对角线比凸四边形多3条. 凸六边形的对角线比凸五边形多4条. ……于是猜想凸n 边形的对角线条数比凸n-1边形多n-2条对角线,由此凸n 边形对角线条数为2+3+4+5+…+(n-2)=21n(n-3)(n≥4,n∈N +). 绿色通道在归纳推理的过程中,应注意探求前后联系,如本题中随多边形边数及对角线条数的共变现象作定量分析,才能发现其对角线条数的增加规律.变式训练3.平面内有n 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,试归纳它们的交点个数.解:n=2时,交点个数f(2)=1, n=3时,交点个数f(3)=3=1+2, n=4时,交点个数f(4)=6=3+3=1+2+3, n=5时,交点个数f(5)=10=6+4=1+2+3+4. ……猜出f(n)=1+2+3+…+n-1=2)1(-n n (n≥2). 【例4】猜想不等式1+21+31+…+n1>1+n 满足什么条件成立?分析:不等式的左边不能合并,但当n 取较小的自然数时,可以合并,n 可从1开始取值进行探讨.解:当n=1时,左边=1,右边=11+=2,不等式不成立. 当n=2时,左边=1+21=222+,右边=21+=3=212. ∵2+2<12,∴左边<右边,不等式不成立.当n=3时,左边=1+21+31=632236++,右边=13+=2, 左边>38.667.14.136=⨯⨯+>2=右边. ∴不等式成立.猜想当n∈N 且n≥3时不等式成立. 绿色通道有些结论是在某些条件下成立,不一定恒成立,需探究其成立的条件. 变式训练4.zf(n)=n 2+n+41,n∈N +，计算f(1),f(2),…,f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确.解：f(1)=12+1+41=43,f(2)=22+2+41=47,f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61,f(5)=52+5+41=71,f(6)=62+6+41=83,f(7)=72+7+41=97,f(8)=82+8+41=113,f(9)=92+9+41=131,f(10)=102+10+41=151.∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都是质数, ∴归纳猜想f(n)=n2+n+41的值都为质数.当n=40时,f(40)=402+40+41=40×41+41=41×41,∴f(40)是合数.∴上面归纳推理得到的猜想不正确.。

新高考数学必考知识点归纳新高考数学作为高中数学教育的重要组成部分，其必考知识点覆盖了基础数学的多个领域。

以下是对新高考数学必考知识点的归纳：一、函数与导数- 函数的定义、性质、图像- 一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数- 函数的单调性、奇偶性、周期性- 导数的定义、几何意义、运算法则- 基本导数公式、复合函数的求导法则- 高阶导数、隐函数求导、参数方程求导二、三角函数与解三角形- 三角函数的定义、图像、性质- 正弦定理、余弦定理、正切定理- 三角恒等变换、和差化积、积化和差- 三角函数的反函数、同角三角函数关系三、不等式与方程- 不等式的基本性质、解法- 一元一次不等式、一元二次不等式- 分式不等式、绝对值不等式- 线性方程组、非线性方程组的解法- 一元高次方程的解法四、数列- 数列的概念、分类- 等差数列、等比数列的定义、通项公式、求和公式- 数列的极限、无穷等比数列的求和- 数列的单调性、有界性五、解析几何- 点、线、面的基本性质- 直线的方程、圆的方程、椭圆、双曲线、抛物线的方程- 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系- 圆锥曲线的参数方程、极坐标方程六、立体几何- 空间直线、平面的基本性质- 空间向量、向量积- 空间直线与平面的位置关系- 多面体、旋转体的体积、表面积七、概率与统计初步- 随机事件的概率、概率的加法公式、乘法公式- 条件概率、独立事件- 离散型随机变量及其分布列、期望、方差- 统计数据的收集、整理、描述八、复数- 复数的概念、复数的运算- 复数的几何意义、复平面- 复数的共轭、模、辐角九、逻辑推理与证明- 逻辑推理的基本形式、演绎推理- 直接证明、反证法、数学归纳法十、数学思想与方法- 数学建模、数学思维- 解题策略、数学方法论新高考数学的备考需要对这些知识点有深入的理解和熟练的运用能力。

通过不断的练习和总结，考生可以提高解题速度和准确率，为高考取得优异成绩打下坚实的基础。

专题28 推理与证明命题规律内容典型１以断臂维纳斯为素材考查合情推理2019年高考全国I卷文数２以天体的星等与亮度为背景考查演绎推理2019年高考北京卷文数３以金石文化为背景考查归纳推理与演绎推理2019年高考全国II卷文数命题规律一以断臂维纳斯为素材考查合情推理【解决之道】此类问题的解决之道为，通过适当的估算、合适的推理即可得出结论.【三年高考】1.【2019年高考全国I卷文数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是（）A．165 cm B．175 cmC．185 cm D．190 cm命题规律二以天体的星等与亮度为背景考查演绎推理【解决之道】此类问题解决之道为，认证阅读题目，理清问题涉及的理论知识，利用理论知识和演绎推理形式进行合理推理即可得出结论.1.【2019年高考北京卷文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=52lg21EE，其中星等为m k的星的亮度为E k（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10–10.1命题规律三以金石文化为背景考查归纳推理与演绎推理【解决之道】要解决此类问题，首先认真阅读材料，仔细观察归纳规律，即可归纳出结论，其次，理清问题涉及的理论知识，利用理论知识和演绎推理形式进行合理推理即可推出正确结论.【三年高考】1.【2019年高考全国II卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）。

第二课时 利用数学归纳法证明几何、整除等问题 [对应学生用书P50] 利用数学归纳法证明几何问题 [例1] 平面内有n(n∈N*)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，用数学归纳法证明：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分． [思路点拨] 分清当n从k变到k＋1时，增加了几部分． [精解详析] (1)当n＝1时，f(1)＝12－1＋2＝2， 一个圆把平面分成两部分，命题成立． (2)假设n＝k(k∈N*)时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分． 当n＝k＋1时，第k＋1个圆与其他k个圆相交于2k个点． 第k＋1个圆被分成2k条弧，而每条弧把原区域分成2块，因此这个平面被分成的总区域数增加了2k块， 即f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2， 故当n＝k＋1时命题也成立． 根据(1)和(2)，可知命题对任何n∈N*都成立． [一点通] 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成(k＋1)个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．

1．几个半圆的圆心在同一条直线l上，这几个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，求证这些半圆被所有的交点最多分成的圆弧段数为f(n)＝n2.(n≥2，n∈N*)． 证明：

(1)如图，n＝2时，两个半圆交于一点， 则分成4段圆弧，故f(2)＝4＝22. (2)假设n＝k时，f(k)＝k2成立， 当n＝k＋1时，第k＋1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k＋1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧， 这样就多出k条圆弧，另外原k个半圆把k＋1个半圆分成k＋1段，这样又多出了k＋1段圆弧． 所以f(k＋1)＝k2＋k＋(k＋1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2. 由(1)，(2)可知命题得证． 利用数学归纳法证明整除问题 [例2] 用数学归纳法证明f(n)＝3×52n＋1＋23n＋1对任意正整数n，都能被17整除． [思路点拨] 证明整除性问题的关键是在命题f(k＋1)中拼凑出f(k)的表达式，分析其余项能被17整除就可以了． [精解详析] (1)当n＝1时， f(1)＝3×53＋24＝17×23，能被17整除，命题成立．

高中数学的解析分析数学推理与证明的基本方法与思路解析分析数学是高中数学中的一项重要内容，它是数学思维的核心和灵魂，也是培养学生分析问题、解决问题的关键方法之一。

在数学学习过程中，掌握合理的解析分析数学推理与证明的基本方法与思路，对于提高数学思维能力和解决实际问题具有重要意义。

一、观察与归纳解决数学问题的第一步是观察，通过观察题目中的条件、数据、关系等，了解问题的本质和特点。

在观察的基础上，进行归纳，总结问题中的规律和特点，找出一般性结论。

观察与归纳是解决数学问题的重要基础，它们在解析分析数学推理与证明中起着关键的作用。

二、假设与验证在解析分析数学推理与证明中，经常需要进行假设与验证。

通过假设一些条件或假设一种关系，然后利用已知条件对假设进行验证，从而得到结论。

假设与验证的过程可以通过逆向思维，即从结论出发通过逻辑推理逐步逆向推导，以验证该结论的正确性。

三、举反例证明在解析分析数学推理与证明中，通过举出反例可以证明某个结论不成立。

举反例法通过构造一个例子，使得该例子满足题目条件，但却得出与题目要求不符的结论，从而证明所给条件无法满足题目要求。

举反例证明的思路是通过一个具体的反例，推翻该结论的普遍性。

四、应用数学方法解析分析数学推理与证明中，还可以通过应用数学方法，如代数运算、几何推理、数列求和、函数图像分析等，对问题进行分析和推导。

例如，在证明某个定理时，可以运用恒等变形、方程证明、代数式推导等方法，以及几何图像的特性，进行推理和论证。

五、利用数学性质与定理在解析分析数学推理与证明中，可以灵活运用数学性质与定理，通过引入已知的结论和定理，与所给条件进行配合运用，最终得到结论。

例如，利用三角形的性质证明几何关系，利用数列的性质证明数学关系等。

熟练掌握数学知识，可以为解析分析数学推理与证明提供有效的依据和步骤。

六、逻辑推理与论证在解析分析数学推理与证明过程中，逻辑推理与论证是非常重要的。

逻辑推理通过合理的论证和推导，通过运用概念定义、假设命题、逆否命题、充分必要条件等方法，把握问题的关键特点和关系，建立起问题解决的逻辑链条，最终获得正确的结论。

数学归纳法高中知识点总结数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，它在高中数学中也是一个重点知识点。

在本文中，将对数学归纳法的概念、原理以及具体应用进行总结。

希望通过本文的阐述，能够帮助大家更好地理解和掌握数学归纳法的相关知识。

一、概念和原理数学归纳法是一种用于证明某个命题对于所有自然数都成立的方法。

它的基本思想是：首先证明当n=m时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，从而可以得出结论：对于任意自然数n，命题都成立。

数学归纳法的推理过程分为两步：归纳基础和归纳步骤。

归纳基础是证明当n=m时命题成立，通常情况下令m=1或m=0。

归纳步骤是证明当n=k+1时，命题也成立。

二、具体应用1. 证明数学等式或不等式的成立数学归纳法可以用来证明一些与自然数有关的等式或不等式的成立。

具体的做法是，首先证明当n=m时命题成立，再假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立，从而得出结论：对于任意自然数n，命题都成立。

例如，我们要证明1+2+3+...+n = n(n+1)/2对于任意正整数n成立。

首先当n=1时，显然等式两边相等。

然后假设当n=k时等式成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2。

我们需要证明当n=k+1时等式也成立。

根据归纳步骤，易知1+2+3+...+(k+1) = (k+1)(k+2)/2。

因此，通过数学归纳法，我们可以证明该等式对于任意正整数n成立。

2. 证明命题关于自然数集的成立数学归纳法还可以用于证明一些命题关于自然数集的成立。

通常情况下，我们需要在归纳步骤中利用归纳假设来进行推理。

例如，我们要证明命题P(n)：1+3+5+...+(2n-1) = n^2对于任意正整数n成立。

首先当n=1时，命题显然成立。

然后假设当n=k时命题成立，即1+3+5+...+(2k-1) = k^2。

我们需要证明当n=k+1时命题也成立。

根据归纳步骤，易知1+3+5+...+(2(k+1)-1) = (k+1)^2。

高二数学推理知识点大总结高中数学的推理要么不出，要么直接在出一个答题占据很多分数，但是做这个题目又很花费时间，原因是因为对知识点不清楚，小编在此整理了相关资料，希望能帮助到您。

一、知识网络二、合情推理(一)归纳推理1. 归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理。

简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。

2. 归纳推理的一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些相同的性质;第二步，从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想)。

题型1：用归纳推理发现规律(1)观察：对于任意正实数，试写出使成立的一个条件可以是 ____.点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故(2)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图。

其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数。

则【解题思路】找出的关系式[解析]总结：处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系(二)类比推理1. 类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理。

简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

2. 类比推理的一般步骤：第一步：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;第二步：用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想.题型2：用类比推理猜想新的命题(1)已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.【解题思路】从方法的类比入手[解析]原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法，即正四面体的内切球的半径是高总结：① 不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比。

② 类比推理常见的情形有：平面向空间类比;低维向高维类比;等差数列与等比数列类比;实数集的性质向复数集的性质类比;圆锥曲线间的类比等(三)合情推理1. 定义：归纳推理和类比推理都有是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。