新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结

高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数1．函数的平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；6、常见的导数和定积分运算公式:若()g x均可导（可积），则有：f x，().用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数'()f x②令'()f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令'()f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。

(2) 求函数f(x)的导数'()f x(3)求方程'()f x=0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如检查/()果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

归纳推理与类比推理异同点比较合情推理是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．在解决问题的过程中，合情推理具有猜侧和发表结论，探索和提供思路的作用．有利于创新意识的培养．在能力高考的要求下，推理方法就显得更加重要．在复习中要把推理方法形成自己的解决问题的意识，使得问题的解决有章有法，得心应手．合情推理包括归纳推理和类比推理.一.归纳推理和类比推理的联系:归纳推理与类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．由这两种推理得到的结论都不一定正确,其正确性有待进一步证明.二.归纳推理和类比推理的区别:(一) 归纳推理1.归纳推理定义: 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．说明：归纳推理的思维过程大致如下：2.归纳推理的特点:（1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具．(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模型，归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法.3.归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同本质；②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题．说明：归纳推理基于观察和实验，像“瑞雪兆丰年”等农谚一样，是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果．物理学中的波义耳—马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中开普勒行星运动定律等，也都是在实验和观察的基础上，通过归纳发现的．(二).类比推理（以下简称类比）1.类比推理定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．3.说明：类比推理的思维过程大致如下图所示：类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．类比推理不象归纳推理那样局限于同类事物, 同时,类比推理比归纳推理更富于想像,因而也就更具有创造性. 人类在科学研究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理，公式都是通过类比提出来的,工程技术中许多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的．因此，类比推理已成为人类发现发明的重要工具.例1. 如图，①，②，③，…是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n个图形中的花盆数a n= ．【答案】 a n=3n2-3n+1.【解析】仔细观察发现:图案①的花盆数为:1个, a1=1; 图案②的花盆中间数为3,上下两行都是2个, a2=2+3+2; 图案③的花盆中间数为5,上面两行由下到上分别递减1个,而且关于中间行上下对称, a3=3+4+5+4+3;……;可以猜想: 第n个图形中的花盆中间数为2n-1,上面每行由下到上分别递减1个,最上面有n个,而且关于中间行上下对称,因此a n=n+(n+1)+…+(2n-1)+…+(n+1) + n=3n2-3n+1.【评析】上例是利用归纳推理解决问题的.归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的．观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一.例2.如图，过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点．求证：++为定值．分析考虑平面上的类似命题：“过△ABC（底）边 AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC、AC于A1、B1，求证+为定值”．这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1．另外，过A、O分别作BC垂线，过B、O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1．于是类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1．证明：如图，设平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB=L，则有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△ LCV．得++=++。

新高考高中数学知识点总结及公式大全包括以下内容
一、集合与常用逻辑用语
1.集合的运算：交集、并集、补集。

2.常用逻辑用语：充分条件、必要条件、充要条件。

二、复数
复数的概念、复数的四则运算。

三、平面向量
1.向量的概念及表示。

2.向量的运算（加减法、数乘法、数量积）。

3特殊向量（单位向量、零向量）。

四、算法、推理与证明
1.算法的概念与程序框图。

2.推理与证明的方法：直接证明、间接证明（反证法、同一法、归纳法等）。

五、不等式、线性规划
1.不等式的性质与解法。

2.线性规划的应用。

六、计数原理与二项式定理
1.计数原理（加法原理、乘法原理）。

2.二项式定理及其展开式。

七、函数、基本初等函数的图像与性质
1.函数的概念与性质（单调性、奇偶性、周期性）。

2.初等函数的图像与性质（幂函数、指数函数、对数函数等）。

八、函数与方程、函数模型及其应用
1.函数与方程的思想（求方程的解）。

2.函数模型的应用（线性回归、曲线拟合等）。

九、导数及其应用
1.导数的概念与性质（极限思想、变化率等）。

2.导数的应用（单调性判别、极值计算等）。

十、三角函数的图形与性质
1.三角函数的图像与性质（正弦函数、余弦函数等）。

2.三角恒等变换（和差倍角公式、正弦定理等）。

3.解三角形（正弦定理、余弦定理等）。

4.三角函数的图象与性质在生活中的应用。

高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数1．函数的平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；5、常见的函数导数 函数 导函数 (1)y c ='y =0 (2)n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= (3)x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a =(4)x y e ='x y e =(5)log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1'ln y x a =(6)ln y x = 1'y x=(7)sin y x = 'cos y x =(8)cos y x = 'sin y x =-6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 和差的导数运算[]'''()()()()f x g x f x g x ±=± 积的导数运算[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±特别地：()()''Cf x Cf x =⎡⎤⎣⎦商的导数运算[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 特别地：()()21'()'g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦复合函数的导数x u x y y u '''=⋅微积分基本定理()baf x dx =⎰F(a)--F(b)（其中()()'F x f x =）和差的积分运算1212[()()]()()b bbaaaf x f x dx f x dx f x dx±=±⎰⎰⎰ 特别地：()()()bb aakf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数积分的区间可加性()()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中.用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f (x )的导数'()f x②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

高中数学的解析数学证明与推理的方法与技巧在高中数学的学习过程中，解析数学证明与推理是非常重要的一个部分。

通过学习解析数学证明与推理的方法与技巧，学生可以培养自己的逻辑思维能力，提高解题能力，更好地理解和应用数学知识。

本文将介绍几种常用的解析数学证明与推理的方法与技巧，帮助高中生更好地掌握这一重要的学习内容。

一、直接证明法直接证明法是最常用的一种证明方法。

在使用直接证明法时，我们以已知条件为基础，通过逻辑推理得出结论。

具体步骤如下：1. 根据题目给出的已知条件，确定待证结论。

2. 基于已知条件进行逻辑推理，使用数学定义、定理等知识，逐步推导出待证结论。

3. 最后，使用数学符号和语言，将证明过程清晰地呈现出来。

二、反证法反证法是另一种常用的证明方法。

在使用反证法时，我们先假设待证结论不成立，然后通过逻辑推理得出矛盾，从而证明待证结论是成立的。

具体步骤如下：1. 假设待证结论不成立，即假设逆否命题成立。

2. 基于这一假设，通过逻辑推理得出矛盾的结论。

3. 根据引理或定理，得出与已知条件矛盾的结论。

4. 由于矛盾的存在，假设不成立，即待证结论成立。

三、归纳法归纳法是一种通过对特殊情况的证明来推导出一般性结论的方法。

具体步骤如下：1. 首先，通过具体例子对待证结论进行验证。

2. 然后，假设待证结论在某个特定情况下成立。

3. 利用这个特定情况，进行逻辑推理和数学运算，推导出待证结论在下一种情况下也成立。

4. 重复上述步骤，逐步推导出待证结论在所有情况下成立。

四、数学归纳法数学归纳法是一种常用的数学证明方法，适用于证明正整数性质或数列的性质。

数学归纳法分为两个步骤：基础步骤和归纳步骤。

1. 基础步骤：首先证明待证结论在某个初始情况下成立。

2. 归纳步骤：假设待证结论在某个正整数情况下成立，然后通过逻辑推理和数学运算，证明待证结论在下一个正整数情况下也成立。

3. 结论：根据数学归纳法的原理，可以得出待证结论在所有正整数情况下成立。

3.1.1 归纳推理自主整理1.根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断这类事物中每一个都有这种属性,我们把这种推理方式称为_____________.2.归纳推理是由_____________到_____________,由_____________到_____________的推理.3.归纳推理得出的结论_____________(填“一定”或“不一定”)正确.高手笔记1.欧拉公式:一个凸多面体中,多面体的面数(F)、棱数(E)、顶点数(V),它们之间的关系为:V-E+F=2.2.归纳推理的一般步骤:(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题,并且在一般情况下,如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的一般性结论也就越可靠,学习中通过实例去分析、归纳问题的一般性命题,加强应用.特别注意,由归纳推理所获得的结论,仅仅是一种猜测,并不一定可靠,其可靠性需要通过证明.3.对于数列的通项公式和前n项和的求法,常用归纳猜想.4.归纳推理是我们探求数学问题的一种重要方法和途径,通过归纳推理发现许多未知的内容是科学前沿结论的重要手段.名师解惑1.归纳推理得到的结论一定正确吗?剖析:归纳推理是根据已经知道的个别事例具有的属性推断出所有这类事物所具有的共性,有时结论正确,有时结论不正确.在归纳结论时,要对大量的个体进行观察,其正确性还需要通过严格的证明,不正确的结论只需举出一个特例不符合即可.讲练互动【例1】如下图是由一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=…=1,记OA1、OA2、OA3、…、OA8、…、OAn的长度所成的数列为{ln}(n∈N),(1)写出数列的前4项; (2)求{l n }的通项公式.分析:(1)利用勾股定理可逐项求出前4项; (2)观察归纳规律得通项公式. 解:(1)∵l 1=OA 1=1,由勾股定理得l 2=121+l =112+=2.l 3=122+l =1)2(2+=3. l 4=123+l =1)3(2+=2.(2)观察{l n }的前n 项,可以发现数列的项恰好是序号n 的算术平方根. ∴通项公式a n =n . 绿色通道本题目显然有l n+1=12+n l ,∴l n+12=l n 2+1,{l n 2}为等差数列,首项为1, ∴l n 2=1+(n-1)=n.∴l n =n .数列问题可通过求得前n 项、观察得到通项公式. 变式训练1.根据所给数列前几项的值32,154,356,638,9910,…,猜想数列的通项公式. 解:32=3112⨯⨯,154=5322⨯⨯,7532356⨯⨯=,9742638⨯⨯=,119529910⨯⨯=,…… 于是猜想该数列的通项公式为a n =1)1)(2n -(2n n2+.【例2】已知数列{a n }满足a n+1=a n 2-na n +1(n=1,2,3,…), 当a 1=2时,求a 2、a 3、a 4,并由此猜想出a n 的一个通项公式. 分析:本题主要考查猜想、归纳推理及分析和解决问题的能力,先求出a 2、a 3、a 4,并结合a 1,观察它们之间有什么共同的特征,然后猜想通项公式.解:由a 1=2,得a 2=3,由a 2=3,得a 3=4,由a 3=4,得a 4=5,由此猜想a n =n+1(n≥1且n∈N +). 绿色通道解决此类问题,要写出前几项,通过观察、分析、比较找出规律,从而猜测出可能的结果. 变式训练2.已知数列{a n }的第1项a 1=1,且a n+1=nna a +1(n=1,2,…),试归纳出这个数列的通项公式.解:当n=1时,a 1=1,a 2=21111=+a a ,a 3=21121+=31,a 4=31131+=41.观察可得a n =n 1.【例3】在平面内观察:凸四边形有2条对角线, 凸五边形有5条对角线, 凸六边形有9条对角线, ……由此猜想凸n 边形有几条对角线?分析:在找规律时,尽量发现对角线的条数与凸n 边形的边数n 之间的直接关系,或寻找与前面n-1边形的对角线条数之间的关系. 解:凸四边形有2条对角线.凸五边形的对角线比凸四边形多3条. 凸六边形的对角线比凸五边形多4条. ……于是猜想凸n 边形的对角线条数比凸n-1边形多n-2条对角线,由此凸n 边形对角线条数为2+3+4+5+…+(n-2)=21n(n-3)(n≥4,n∈N +). 绿色通道在归纳推理的过程中,应注意探求前后联系,如本题中随多边形边数及对角线条数的共变现象作定量分析,才能发现其对角线条数的增加规律.变式训练3.平面内有n 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,试归纳它们的交点个数.解:n=2时,交点个数f(2)=1, n=3时,交点个数f(3)=3=1+2, n=4时,交点个数f(4)=6=3+3=1+2+3, n=5时,交点个数f(5)=10=6+4=1+2+3+4. ……猜出f(n)=1+2+3+…+n-1=2)1(-n n (n≥2). 【例4】猜想不等式1+21+31+…+n1>1+n 满足什么条件成立?分析:不等式的左边不能合并,但当n 取较小的自然数时,可以合并,n 可从1开始取值进行探讨.解:当n=1时,左边=1,右边=11+=2,不等式不成立. 当n=2时,左边=1+21=222+,右边=21+=3=212. ∵2+2<12,∴左边<右边,不等式不成立.当n=3时,左边=1+21+31=632236++,右边=13+=2, 左边>38.667.14.136=⨯⨯+>2=右边. ∴不等式成立.猜想当n∈N 且n≥3时不等式成立. 绿色通道有些结论是在某些条件下成立,不一定恒成立,需探究其成立的条件. 变式训练4.zf(n)=n 2+n+41,n∈N +，计算f(1),f(2),…,f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确.解：f(1)=12+1+41=43,f(2)=22+2+41=47,f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61,f(5)=52+5+41=71,f(6)=62+6+41=83,f(7)=72+7+41=97,f(8)=82+8+41=113,f(9)=92+9+41=131,f(10)=102+10+41=151.∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都是质数, ∴归纳猜想f(n)=n2+n+41的值都为质数.当n=40时,f(40)=402+40+41=40×41+41=41×41,∴f(40)是合数.∴上面归纳推理得到的猜想不正确.。

新高考数学必考知识点归纳新高考数学作为高中数学教育的重要组成部分，其必考知识点覆盖了基础数学的多个领域。

以下是对新高考数学必考知识点的归纳：一、函数与导数- 函数的定义、性质、图像- 一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数- 函数的单调性、奇偶性、周期性- 导数的定义、几何意义、运算法则- 基本导数公式、复合函数的求导法则- 高阶导数、隐函数求导、参数方程求导二、三角函数与解三角形- 三角函数的定义、图像、性质- 正弦定理、余弦定理、正切定理- 三角恒等变换、和差化积、积化和差- 三角函数的反函数、同角三角函数关系三、不等式与方程- 不等式的基本性质、解法- 一元一次不等式、一元二次不等式- 分式不等式、绝对值不等式- 线性方程组、非线性方程组的解法- 一元高次方程的解法四、数列- 数列的概念、分类- 等差数列、等比数列的定义、通项公式、求和公式- 数列的极限、无穷等比数列的求和- 数列的单调性、有界性五、解析几何- 点、线、面的基本性质- 直线的方程、圆的方程、椭圆、双曲线、抛物线的方程- 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系- 圆锥曲线的参数方程、极坐标方程六、立体几何- 空间直线、平面的基本性质- 空间向量、向量积- 空间直线与平面的位置关系- 多面体、旋转体的体积、表面积七、概率与统计初步- 随机事件的概率、概率的加法公式、乘法公式- 条件概率、独立事件- 离散型随机变量及其分布列、期望、方差- 统计数据的收集、整理、描述八、复数- 复数的概念、复数的运算- 复数的几何意义、复平面- 复数的共轭、模、辐角九、逻辑推理与证明- 逻辑推理的基本形式、演绎推理- 直接证明、反证法、数学归纳法十、数学思想与方法- 数学建模、数学思维- 解题策略、数学方法论新高考数学的备考需要对这些知识点有深入的理解和熟练的运用能力。

通过不断的练习和总结，考生可以提高解题速度和准确率，为高考取得优异成绩打下坚实的基础。