高三数学证明题推理方法

高中数学解题技巧一、“构造法+函数法”的结合而且本题还可以从另一个思路进行解答，就是运用复数模的概念，将相联系的数据和看成一个模函数，仍然可以得到所求的结果。

二、转换法这种方法是体现学生的想象力及创新能力的方法，也是数学解题技巧中最富有挑战性的方法，能将复杂的题型辅以转换的功能，成为简单的、易被理解的题型。

比如，一个正方体平面为ABCB和A1B1C1D1，在正方体的棱长D1C1和C1B1分别设置两点E和F为中点，AC与BD相交于P点，A1C1于EF相交于Q点，求证：（1）点D、B、F、B在同一平面上；（2）如果线段A1C通过平面DBFE，交点到R点，那么P、R、Q三点共线？解题（1）：由题可知：线段EF是△D1B1C1的中位线，所以，EF与B1D1平行，在正方体AC1中，线段B1D1与BD平行，相应得出：线段EF与线段BD相平行，由此得出线段EF和BD在一个平面，所以可以求得点D、B、F、E在同一个平面。

解题（2）：假设平面A1ACC1为x，平面BDEF为y，由于Q点在平面AC，所以Q点也属于平面x，为x和y的交点，同属两个平面的点。

同理可得，点P也属x、y的公共点，而R点是平面A1C与平面y的交点，所以，可以得到P、Q、R 三点共线。

三、反证法任何事物的结果有时顺着程序去思考，往往不得要领，倘若从结果向事物开始的方向或用假设的反方向去推理，反倒会“一片洞天”。

数学解题技巧也是如此。

首先，假设命题结论相反的答案，顺理演绎地解答，得出假设的矛盾结果，从另一侧面论证了正确答案。

例如，苏教版教材必修1《函数》章节，已知函数f（x）是一项正负无限大范围内的增函数，a、b都为实数，求证：（1）假设：（a+b）≥0，则函数式表示为：f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）成立；（2）求证（1）问中逆命题是否正确。

解题分析：（1）因为（a+b）≥0，移项后，可得：a≥-b，由于函数为单调递增函数，则：f（a）≥f（-b），又（a+b）≥0，移项后，可得：b≥-a，f（b）≥f（-a）；两个方程相加，得：f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），由此证明完毕。

高三数学常见难题分析高三是学生们备战高考的重要阶段，数学作为其中一门关键科目，在学生中常常被认为是最具挑战性的科目之一。

在高三数学学习过程中，学生们往往会遇到一些常见的难题，这些问题可能涉及不同的数学概念和技巧。

本文将对高三数学常见难题进行分析和解析，帮助学生们更好地应对挑战。

1. 初等数论问题初等数论是高中数学中的一个重要分支，也是高考数学中的难点。

学生们常常会遇到与整数性质、因数分解、最大公约数、最小公倍数等相关的问题。

其中，一些常见的难题包括：（1）求证题：要求学生运用相关的数学定理或性质，通过逻辑推理来证明某一数学命题的正确性。

这类题目需要学生具备较强的逻辑思维能力和推理能力。

（2）整数方程求解：要求学生解决形如 ax + by = c 的整数方程，其中 a、b、c 为已知整数。

这类题目需要学生掌握一定的数学方法和技巧，如贝祖定理、辗转相除法等。

（3）整数性质应用题：要求学生基于整数的性质恰当运用相关方法，解决实际问题。

这类题目需要学生将抽象的数学知识与实际问题相结合，思维灵活。

2. 函数与导数问题函数与导数是高三数学中的另一个难点，也是高考数学中的热点。

学生们常常会遇到与函数图像、函数性质、函数极值、导数运算等相关的问题。

其中，一些常见的难题包括：（1）函数图像分析题：要求学生根据函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等来分析函数图像的性质。

这类题目需要学生善于利用函数的基本性质进行观察和推理。

（2）极限计算题：要求学生计算函数特定点的极限值。

这类题目需要学生熟练运用极限的基本性质和计算方法，准确推导极限值。

（3）导数应用题：要求学生根据导数的定义和性质，解决实际问题。

这类题目需要学生将导数的概念与实际问题相结合，进行推理和分析。

3. 几何证明问题几何证明是高三数学中的重点和难点，也是高考数学中的重要部分。

学生们常常会遇到与直线、三角形、圆等几何概念和性质相关的问题。

其中，一些常见的难题包括：（1）反证法证明题：要求学生通过反证法证明某一几何命题的正确性。

高三数学不等式证明试题答案及解析1.已知均为正数，证明：．【答案】证明见解析.【解析】不等式是对称式，特别是本题中不等式成立的条件是，因此我们可以用基本不等式，注意对称式的应用，如，对应的有，，这样可得①，同样方法可得，因此有②，①②相加，再应用基本不等式就可证明本题不等式了.因为a，b，c均为正数，由均值不等式得a2＋b2≥2ab， b2＋c2≥2bc， c2＋a2≥2ac．所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac．同理，故a2＋b2＋c2＋≥ab＋bc＋ac＋≥6．所以原不等式成立． 10分【考点】不等式的证明.2.已知a,b均为正数，且a+b=1,证明：（1）（2）【答案】见解析【解析】（1）因为a+b=1,所以，a-1=-b,b-1=-a,故=,当且仅当a=b时等号成立。

（2）==当且仅当a=b时等号成立。

3.在中，不等式成立；在凸四边形ABCD中，不等式成立；在凸五边形ABCDE中，不等式成立，，依此类推，在凸n边形中，不等式__ ___成立.【答案】【解析】我们可以利用归纳推理的方法得到不等式，从而得出结论．【考点】归纳推理.4.已知a,b,x,y均为正数且>,x>y.求证:>.【答案】见解析【解析】证明：∵-=,又>且a,b均为正数,∴b>a>0.又x>y>0,∴bx>ay.∴>0,即>.5.若a,b,c为不全相等的正数,求证:lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.【答案】见解析【解析】证明：由a,b,c为正数,得lg≥lg;lg≥lg;lg≥lg.而a,b,c不全相等,所以lg+lg+lg>lg+lg+lg="lg" (abc)=lga+lgb+lgc.即lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.6.下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第个图形中有个正三角形中所有小正三角形边上黑点的总数为.图1 图2 图3 图4（Ⅰ）求出,,,;（Ⅱ）找出与的关系，并求出的表达式；（Ⅲ）求证：().【答案】（Ⅰ）12,27,48,75. （Ⅱ），．（Ⅲ）详见解析．【解析】（Ⅰ）求出,,,，第二个图形的黑点个数为第一个图形的黑点个数加上外面的三角形上的黑点个数，即，第三个图形的黑点个数为第二个图形的黑点个数加上外面的三角形上的黑点个数，即，以此类推可求出,；（Ⅱ）观察,,,可得到，后一个图形的黑点个数是前一个图形外多加一个三角形，而且每一条边都比内一个三角形多两个黑点，即，即，求出的表达式，像这种关系可用叠加法，即写出，，，，，把这个式子叠加，即可得出的表达式；（Ⅲ）求证：()，先求出的关系式，得，由于求证的不等式右边是常数，可考虑利用放缩法，即，这样既可证明．试题解析：（Ⅰ）由题意有，，，，，．（Ⅱ）由题意及（Ⅰ）知，，即，所以，，，， 5分将上面个式子相加，得：6分又，所以． 7分（Ⅲ），∴． 9分当时，，原不等式成立． 10分当时，，原不等式成立． 11分当时，，原不等式成立． 13分综上所述，对于任意，原不等式成立． 14分【考点】归纳推理，放缩法证明不等式．7.设正有理数是的一个近似值，令.（Ⅰ）若，求证：；（Ⅱ）比较与哪一个更接近，请说明理由.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）比更接近．【解析】（Ⅰ）若，求证：，只需证即可，即；（Ⅱ）比较与哪一个更接近，只需比较它们与差的绝对值的大小，像这一类题，可采用作差比较法．试题解析：(Ⅰ),,.（Ⅱ），，，而，，所以比更接近．【考点】作差法证明不等式.8.设实数满足，求证：．【答案】详见解析.【解析】作差，分解因式，配方，判断符号.试题解析：作差得 1分4分． 6分因为，所以不同时为0，故，，所以，即有． 10分【考点】不等式的证明.9.设f(x)＝lnx＋－1，证明：（1）当x>1时，f(x)< (x－1)；（2）当1<x<3时，f(x)<.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）(证法一)记g(x)＝lnx＋－1－ (x－1).则当x>1时，g′(x)＝＋－<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减.又g（1）＝0，有g(x)<0，即f(x)< (x－1).(证法二)由均值不等式，当x>1时，2<x＋1，故<＋.①令k(x)＝lnx－x＋1，则k（1）＝0，k′(x)＝－1<0，故k(x)<0，即lnx<x－1.②由①②得，当x>1时，f(x)< (x－1).（2）(证法一)记h(x)＝f(x)－，由（1）得h′(x)＝＋－＝－<－＝.令g(x)＝(x＋5)3－216x，则当1<x<3时，g′(x)＝3(x＋5)2－216<0.因此g(x)在(1,3)内是递减函数，又由g（1）＝0，得g(x)<0，所以h′(x)<0.因此h(x)在(1,3)内是递减函数，又由h（1）＝0，得h(x)<0.于是当1<x<3时，f(x)<. (证法二)记h(x)＝(x＋5)f(x)－9(x－1)，则当1<x<3时，由（1）得h′(x)＝f(x)＋(x＋5)f′(x)－9< (x－1)＋(x＋5)－9＝ [3x(x－1)＋(x＋5)(2＋)－18x]<＝ (7x2－32x＋25)<0.因此h(x)在(1,3)内单调递减，又，所以，即.10.( 本小题满分12分)已知集合中的元素都是正整数，且，对任意的且，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）对于，试给出一个满足条件的集合【答案】(Ⅰ) 证明：见解析；（Ⅱ）证明：见解析；（Ⅲ）．【解析】（1）因为，对任意的且，有．所以两边分别相加得.即.（2）由(Ⅰ)可得；同理，所以，即.（3）由（1）知，令，可取大于1的任意整数，令；同理令；；，则，令，则，令，则，令，则，令.就得到满足条件的一个集合.(Ⅰ) 证明：依题意有，又，因此．可得．所以．即．…………………4分（Ⅱ）证明：由(Ⅰ)可得．又，可得，因此．同理，可知．又，可得，所以均成立．当时，取，则，可知．又当时，．所以．……………………………………………………8分（Ⅲ）解：对于任意，，由可知，，即．因此，只需对，成立即可．因为；；；，因此可设；；；；．由，可得，取．由，可得，取．由，可得，取．由，可得，取．所以满足条件的一个集合．……………12分其它解法，请酌情给分.11.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知实数满足，且，求证：【答案】见解析。

专题11 推理与证明江苏省太仓高级中学钱华【课标要求】1．课程目标通过推理与证明的教学，使学生通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及两者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，包括直接证明（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯．2．复习要求（1）教学中应通过实例引导学生运用合情推理去探索、猜想一些数学结论，并用演绎推理证明所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想.教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，而不追求对概念的抽象表述．（2）本节的数学证明是对学生学过的基本证明方法的总结．在教学中，应通过实例引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性，对证明的技巧性不宜作过高的要求．（3）对数学归纳法的要求不宜过高．3．复习建议（1）归纳推理和类比推理应贯彻在平时的教学过程中，使学生自觉养成探索的习惯，而不是做足针对的训练，所以这部分内容只供相关参考．（2）合情推理的证明不作要求，但平时练习最好养成证明的习惯，很多推理是在证明过程中发现的，况且方法上的类比本身也是一种较难的推理．（3）直接证明与间接证明也应注重平时教学中的贯彻与提炼，不可以追求方法本身，而是要注重数学思想方法的渗透．（4）本专题内容具有综合性，包罗高中数学的各方面知识，对思维要求较高，对能力不强的同学具有一定难度，在高考中不一定单独命题，但会渗透在具体的题目中．【典型例题】例1．填空题（1）观察下式：1=1，1-4=-(1+2)，1-4+9=1+2+3，1-4+9-16=-(1+2+3+4)，…，推测第n个式子为____________________．解析：1-22+32+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1(1+2+3+…+n) (n∈N*)．（2）观察下列式子：1+122<32，1+122+132<53，1+122+132+142<74，…，根据上述不等式，归纳出一个一般的结论是_______________________． 解析：1+122+132+…+1(n +1)2<2n +1n +1 (n ∈N *)． （3）已知函数f (x )= x1+x，若f 1(x )=f (x )，f n +1(x )=f [f n (x )]，则f n (x )=________ ． 解析：易得：f 2(x )=x 1+2x ，f 3(x )= x 1+3x ，f 4(x )= x 1+4x ，归纳得f (x )= x 1+nx(n ∈N *)． （4）平面内n 个圆两两相交，且任意三圆不过同一点，则这n 个圆将平面分成_______个区域．解析：列举得：n =1时，2个区域；n =2时，4个区域；n =3时，8个区域；n =4时，14个区域；…；归纳一般情况有n 2-n +2 (n ∈N *)．（5）面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i=1,2,3,4)此四边形内任一点P 到第条i 边的距离记为h i (i=1,2,3,4)，若a 11=a 22 =a 33 =a 44 =k ，则∑4i=1(ih i )=2Sk ，类比以上性质，体积为V 三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i=1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i个面的距离记为H i (i=1,2,3,4)，若S 11 = S 22 =S 33 = S 44 =k ，则∑4i=1(iH i )=___________．解析：3Vk，面积法→体积法． （6）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB 、AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB 2+AC 2=BC 2.若三棱锥A -BC D 的三个侧面ABC 、AC D 、A D B 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足关系______________________．解析：S 2△BC D = S 2△ABC + S 2△AC D+ S 2△A D B ；注意形式上的类比与思想方法上的类比． （7）已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m =a ，a n =b (m ≠n ,m,n ∈N *)，则a m+n =bn -amn -m．现已知数列{b n }(b n >0,n ∈N *)为等比数列，且b m =a ,b n =b (m ≠n ,m,n ∈N *)，若类比上述结论，则可得到b m+n =_____． 解析：设{a n }公差为d ，则d =a n -a m n -m =b -a n -m ，∴a m+n =a m +nd =a +n ·b -a n -m = bn -amn -m． 类比此推导方法易知：设{b n }公比为q ，由m n m n q b b -=知，m n aq b -=，∴mn abq -=，∴m n m nm n nm nm a b a a b b b --+⋅=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=．故应填m n m n a b -．（8）在等差数列{a n }中，若a 10=0，则有等式a 1+a 2+…+a n =a 1+a 2+…+a 19-n (n ∈N *)成立，类比上述性质，相应地在等比数列{b n }中，若b 9=1，则有等式_______________成立．解析：b 1b 2…b n =b 1b 2…b 17-n ，用一般到特殊的思考方法。

第 11 讲 数学归纳法-证题原理及步骤（第1课时）数学归纳法⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧+==明探索性问题的猜想与证有关整除问题的证明等式或不等式证明数学归纳法的应用时命题成立推证时命题成立假设验证初始值数学归纳法证明的步骤推思想）数学归纳法的原理（递1k n k n n 重点：1．数学归纳法的原理与证题步骤；2．数学归纳法的应用。

难点：1．归纳、猜想、证明猜想；2．由k n =时的命题成立推证1+=k n 时的命题成立。

2．能进行一些探索性问题的归纳、猜想与证明,初步形成“观察→归纳→猜想→证明”的思维方法。

主要为证明不等式、恒等式以及整除这三个方面的应用，考题又常以数列问题为背景，将数学归纳法证与一些探索性问题综合起来考察。

⑴ 定义按下述步骤证明一个与自然数有关的数学命题的方法叫做数学归纳法： ① 验证当n 取第一个值时这个命题成立；② 假设当k n =，命题成立，然后证明当1+=k n ，命题也成立。

⑵ 数学归纳法与不完全归纳法的区别与联系 归纳是一种由特殊事例导出一般原理的思维方法。

归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。

不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。

完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。

数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在数学解题中有着广泛的应用。

它是一种递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n ＝1(或n 0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n ＝k 时命题成立，再证明n ＝k ＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。

这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n ≥n 0且n ∈N ）结论都正确”。

考纲要求:1．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理,体会合情推理在数学发现中的作用．2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”,能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．基础知识回顾:一、合情推理1．归纳推理(1）定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳)．(2）特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．2．类比推理(1)定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比）．(2）特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．3．合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理二、演绎推理1．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．“三段论”是演绎推理的一般模式（1)大前提--已知的一般原理；(2)小前提—-所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．应用举例:类型一、归纳推理1、形的推理例1．【湖南省五市十校教研教改共同体2018届高三12月联考】图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到。

图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1,则第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为( ）A 。

nB . 2nC . 1n -D 。

1n +【答案】D【解析】最大的正方形面积为1，当n =1时，由勾股定理知正方形面积的和为2，依次类推,可得所有正方形面积的和为1n +，选D 。

2、式的推理例2．已知f (x ）＝ 错误!，x ≥0，若 f 1(x ）＝f （x ），f n ＋1（x )＝f （f n (x ）），n ∈N ＋，则f 2 014（x )的表达式为__________________。

演绎推理例1： 请你把不等式“若21,a a 是正实数，则有21122221a a a a a a +≥+”推广到一般情形，并证明你的结论。

答案： 推广的结论：若 n a a a ,,,21 都是正数， n n n n a a a a a a a a a a a ++≥+++-211212322221 证明： ∵n a a a ,,,21 都是正数 ∴ 122212a a a a ≥+，211222a a a a ≥+ ………，1212--≥+n n n n a a a a ，n n a a a a 2112≥+ n n n n a a a a a a a a a a a ++≥+++-211212322221例2：已知：23150sin 90sin 30sin 222=++ ； 23125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： _____________________________________________________=23 （ * ） 并给出（ * ）式的证明。

答案：一般形式: 23)120(sin )60(sin sin 222=++++ ααα 证明：左边 = 2)2402cos(12)1202cos(122cos 1 +-++-+-ααα = )]2402cos()1202cos(2[cos 2123 ++++-ααα = -+-+- 240cos 2cos 120sin 2sin 120cos 2cos 2[cos 2123ααα]240sin 2sin α = ]2sin 232cos 212sin 232cos 212[cos 2123ααααα+----= 右边=23 例3已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥--- 证明：a c a c a b b c a b b c a b b c a b b c ---+--+-+=+----224b c a b a b b c --=++≥+=--，()a b c >> 1144,.a c a c a b b c a b b c a c--∴+≥∴+≥----- 例4若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：∵a ，b ，c ∈R +，abc 成立．上式两边同取常用对数，得例5若定义在实数集R 上的函数()y f x =满足：①对于任意x R ∈，()()f x f x -=-；②函数()y f x =在[0,)+∞上递增求证：函数()y f x =在实数集上R 递增（定义法）证明：任取12,x x R ∈且12x x <（1）若120x x ≤<，则由②可知12()()f x f x <（2）若120x x <≤，则120x x ->-≥，由②可知12()()f x f x ->-由①可得12()()f x f x ->-，即12()()f x f x <（3）若120x x <<，则由前两种情况的证明可知，12()(0),(0)()f x f f f x <<∴12()()f x f x <综上，对于任意的12,x x R ∈且12x x <，总有12()()f x f x <成立∴函数()y f x =在实数集上R 递增课外练习基础题：1.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 b ⊆/平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误答案：A 。

高三数学教学中如何培养学生的逻辑推理能力数学作为一门逻辑性极强的学科，对于学生逻辑推理能力的培养至关重要。

特别是在高三阶段，学生面临高考的压力，培养他们的逻辑推理能力不仅有助于应对考试中的难题，更对其未来的学习和生活有着深远的影响。

那么，在高三数学教学中，如何有效地培养学生的逻辑推理能力呢？一、激发学生的学习兴趣兴趣是最好的老师，只有让学生对数学产生浓厚的兴趣，他们才会主动去思考、去推理。

教师可以通过引入实际生活中的数学问题，如金融投资、工程设计等，让学生感受到数学的实用性和趣味性。

例如，在讲解概率问题时，可以以彩票中奖的概率为例，引导学生分析其中的可能性和不确定性，从而激发他们的好奇心和求知欲。

此外，教师还可以采用多样化的教学方法，如小组讨论、数学实验、多媒体教学等，让学生在轻松愉快的氛围中学习数学。

比如，在教授立体几何时，可以利用多媒体展示各种立体图形的旋转、切割等过程，帮助学生直观地理解空间关系，进而培养他们的空间想象和逻辑推理能力。

二、夯实基础知识扎实的基础知识是培养逻辑推理能力的前提。

高三数学涵盖了众多的概念、定理和公式，学生只有熟练掌握这些基础知识，才能在解题过程中进行有效的推理。

教师要引导学生对基础知识进行系统的梳理和总结，形成清晰的知识框架。

比如，函数部分可以分为函数的概念、性质、图像以及常见的函数类型等，让学生明确各个知识点之间的内在联系。

同时，要加强对基础知识的练习和巩固，通过典型例题和习题，让学生深刻理解和运用基础知识。

例如，在讲解等差数列和等比数列时，要让学生熟练掌握通项公式和求和公式，并通过大量的练习题，让他们能够灵活运用公式进行推理和计算。

三、注重思维训练1、引导学生学会分析问题在教学过程中，教师要引导学生认真审题，分析题目中的条件和结论，找出解题的关键所在。

例如，对于一道综合性较强的数学题，教师可以带领学生逐步分析题目中的已知信息，明确所求的目标，然后引导学生思考如何将已知条件与所求目标联系起来，从而找到解题的思路。

数学归纳法原理最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。

证明分下面两步：1. 证明当n= 1时命题成立。

2. 假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。

（m代表任意自然数）这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。

当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。

把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。

例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以：1. 证明第一张骨牌会倒。

2. 证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。

骨牌一个接一个倒下就如同一个值接下一个值那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。

解题要点数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中，第一步：验证n取第一个自然数时成立第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。

最后一步总结表述。

需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可，否则可能得到下面的荒谬证明：证明1：所有的马都是一种颜色首先，第一步，这个命题对n=1时成立，即，只有1匹马时，马的颜色只有一种。

第二步，假设这个命题对n成立，即假设任何n匹马都是一种颜色。

那么当我们有n+1匹马时，不妨把它们编好号：1, 2, 3……n, n+1对其中（1、2……n）这些马，由我们的假设可以得到，它们都是同一种颜色；对（2、3……n、n+1）这些马，我们也可以得到它们是一种颜色；由于这两组中都有（2、3、……n）这些马，所以可以得到，这n+1种马都是同一种颜色。

这个证明的错误来于推理的第二步：当n=1时，n+1=2，此时马的编号只有1、2，那么分的两组是（1）和（2）——它们没有交集，所以第二步的推论是错误的。

数学归纳法第二步要求n→n+1过程对n=1，2，3……的数都成立，而上面的证明就好比多米诺骨牌的第一块和第二块之间间隔太大，推倒了第一块，但它不会推倒第二块。

高三数学作文的论证思路在高三数学学习中，数学作文是一种重要的学习方式和评价方式。

通过数学作文，可以培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高他们的数学思维和创造力。

本文将论述高三数学作文的论证思路。

一、明确问题在撰写数学作文之前，首先需要明确问题。

问题的明确程度决定了数学作文的目标和内容。

在明确问题的同时，还需确定论证思路，即确定如何运用数学知识解决问题。

二、分析问题在明确问题后，需要对问题进行分析。

通过分析，可以发现问题的内在联系，确定关键点和关键方程，从而解决问题。

分析问题需要深入思考，理清问题的逻辑关系，找出问题的核心。

三、建立数学模型在分析问题的基础上，需要建立数学模型。

数学模型是数学作文的重要组成部分，是将实际问题转化为数学问题的工具。

建立数学模型需要运用数学知识和技巧，将问题转化为数学符号和方程，从而进行求解。

四、论证过程在建立数学模型后，需要进行论证过程。

论证过程是数学作文的核心部分，通过合理的推理和严密的论证，证明问题的正确性。

论证过程中要注重逻辑推理，严格证明，避免推理过程中的错误和漏洞。

五、总结归纳在完成数学作文的论证后，需要进行总结归纳。

总结归纳是数学论文的收尾部分，对解决问题的方法进行总结，评价解决方法的合理性和有效性，指出问题的不足之处，并提出改进的建议。

六、实例分析为了更好地理解高三数学作文的论证思路，以下以一个实际问题为例进行分析。

例题：某物体从离地面高度为H的高度自由落下，经过t秒后落地。

求解物体的高度与时间的关系。

解答思路：1. 确定问题：求解物体的高度与时间的关系。

2. 分析问题：物体自由落体是一个经典的物理问题，根据重力加速度g和时间t的关系可得到高度h与时间t的关系。

3. 建立数学模型：利用物体自由落体公式h = H - 1/2gt^2，将物体从初始高度H自由落体t秒的关系表示为h = f(t)。

4. 论证过程：根据物体自由落体公式进行推导，将h = H - 1/2gt^2表示为h = H - gt^2/2，并进行推理和证明。

高三数学隐藏题型归纳总结在高三数学的学习过程中，我们不可避免地会遇到一些隐藏题型。

这些题型可能在考试中出现的频率较低，但对于我们提高数学解题能力和应对考试至关重要。

因此，本文将对高三数学中的隐藏题型进行归纳和总结，帮助同学们更好地备考。

一、证明题1. 几何证明题几何证明题通常要求我们根据已知条件，通过推理和运用几何定理，证明一个结论。

在解决这类题目时，我们首先要明确所需证明的结论，然后利用已知条件和所学的几何知识，进行推理和演绎。

2. 数学归纳法证明题数学归纳法是通过证明从某个自然数n开始成立，再证明对于该自然数n成立时，与之相邻的下一自然数n+1也成立，从而得出所需证明的结论。

这种证明方法常见于数列、不等式等题型。

二、填空题填空题在高考中占据了很大比重，但其中也有一些隐藏题型需要我们掌握和熟练运用。

1. 函数性质判断题此类题目通常给定一个函数的定义域和值域的范围，我们需要根据这些条件判断函数的性质，如奇偶性、单调性等。

解决这类题目时，我们需要熟悉各种函数的性质，并通过分析给定条件来得出结论。

2. 空间几何题空间几何题中常涉及到平行四边形、多面体等几何图形的性质和计算空间中的距离、面积、体积等。

解决这类题目时，我们需要理解几何图形的性质，善于利用空间几何知识，按照给定的条件进行推理和计算。

三、选择题选择题是考试中常见的题型，但有时也包含一些隐藏题型。

1. 组合数学题组合数学题中包括排列组合、概率等内容。

这种题型需要我们通过分析和计算，选出符合条件的答案。

在解决这类题目时，我们需要对组合数学的性质和计算方法有一定的了解，并能将问题转化为排列组合的计算。

2. 函数图像题函数图像题通常给定一个函数的表达式，我们需要根据该函数的性质和给定的条件，选择正确的图像。

在解决这类题目时，我们需要对各种函数的图像有所了解，并通过分析函数的性质和给定的条件来确定正确的选项。

四、应用题应用题是数学学科中的实际问题解决题目，其中也存在一些隐藏题型。

高三数学不等式的证明（比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法）；不等式的应用知识精讲（一）不等式的证明1. 实数大小的性质（1）a b a b ->⇔>0；（2）a b a b -=⇔=0；（3）a b a b -<⇔<0。

2. 比较法证明的步骤（1）求差比较法步骤：作差——变形——判别差的符号，在运用求差比较法证明时其关键是变形，通常变形方法是分解因式、配方、利用判别式及把差化为若干个非负数的和。

（不能分解时证明有恒定符号可配方）（2）求商比较法步骤：作商——变形——判别商与1的大小，在运用求商比较法证明不等式时要根据已知条件灵活采用函数的单调性及基本不等式进行放缩。

3. 基本不等式定理1：如果a b R ，∈，那么a b ab 222+≥（当且仅当a b =时取等号）。

定理2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc 3333++≥（当且仅当a b c ==时取等号）。

推论1：如果a b R ，∈+，那么a b ab +≥2（当且仅当a b =时取“＝”号）。

推论2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc ++≥33（当且仅当a b c ==时取“＝”号）。

4. 综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种证明方法叫做综合法。

综合法的证明思路是：由因导果，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件替代前面的不等式，直到推导出要证的不等式。

5. 分析法：从求证的不等式出发分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。

这种证明方法叫做分析法。

分析法的证明思路是：“执果索因”，即从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止。

用分析法证明不等式要把握以下三点：（1）寻找使不等式成立的充分条件时，往往是先寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分。

高考数学（理）真题专题汇编：推理与证明一、选择题1.【来源】2017年高考真题——理科数学（全国Ⅱ卷）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 2.【来源】2014年高考真题理科数学（山东卷）用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（A ）方程20x ax b ++=没有实根（B ）方程20x ax b ++=至多有一个实根 （C ）方程20x ax b ++=至多有两个实根（D ）方程20x ax b ++=恰好有两个实根3.【来源】2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科） 设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈4.【来源】辽宁省大连24中2012届高三模拟考试理科数学 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线：已知直线bα平面，直线a α⊂平面，直线b ∥平面α，则b ∥a ”的结论显然是错误的，这是因为 A ．大前提错误 B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误5.【来源】2012年高考真题——理科数学（江西卷）观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=则1010a b+=A．28 B．76 C．123 D．1996.【来源】2012年高考真题——理科数学（湖北卷）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式316 9d V≈.人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159判断，下列近似公式中最精确的一个是A．316 9d V≈ B．32d V≈ C．3300 157d V≈ D．321 11d V≈7.【来源】2012年高考真题——理科数学（全国卷）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73.动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（A）16（B）14（C）12(D)108.【来源】2011年高考数学理（江西）如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点。