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高三数学直线与圆提优复习讲义知 识 梳 理解析几何涉及 直线与圆中的几个重要结论： 1、斜率公式 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.2、直线的五种方程（这里只列了常用的三种） （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）截距式1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （3）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).3、两条直线间的位置与斜率关系：若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+121212||,l l k k b b ⇔=≠； 12121l l k k ⊥⇔=-；1212120l l l l x y k k ⇒+=、倾斜角互补(常见：、关于轴或轴对称)4、圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y )5、两个距离公式：点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离是：0022|0|Ax By C d A B++==+1122:0:0l Ax By C l Ax By C ++=++=与之间的距离是：1222||C C d A B-=+.（注意：当12l l 、斜率相等求距离时注意化,x y 的系数A,B 为一致）学员姓名 年 级 高三 上课时间辅导科目 数学学科教师课 题直线系与圆系方程题 型 分 类题型一 过定点直线系方程在解题中的应用例1．求过点(14)P -，且与圆22(2)(3)1x y -+-=相切的切线的方程．变式训练：过点(4,1)P -作圆22(2)(3)4x y ++-=的切线为l ，求切线l 的方程．总结：对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: 00()()0A x x B y y -+-=，注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．题型二 过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.例2．求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等 的直线方程.变式训练：1.直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点，求出定点坐标.2．直线(2)310mx m y x +-+-=恒过的定点是 .3．求出方程2(2)210a x ay x a +++++=恒过的定点。
专题四平面解析几何第12讲直线与圆的方程及应用解析几何是江苏高考必考题之一，它包含两个C级考点，正常情况下，考一小(填空)一大(解答)．小题常涉及直线方程及应用，圆锥曲线方程及其性质，有一定的计算量；大题往往与圆有关，涉及到方程，位置关系、定点、定值、定线等．圆与圆锥曲线的综合考查，对数学思想方法要求比较高，能灵活使用待定系数法、定义法等求方程，能用配方法、换元法等，结合图形将问题进行转化，通过函数、方程、不等式等思想来解决问题．1. 理解直线的斜率和倾斜角的概念；掌握过两点的直线斜率的计算公式；了解直线的倾斜角的范围；理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．2. 掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式)的特点与适用范围；能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系．3. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直．4. 了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系，体会数形结合思想；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．5. 掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用；会求两条平行直线间的距离．6. 掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化．7. 能根据直线与圆的方程判断其位置关系(相交、相切、相离)；能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系(外离、外切、相交、内切、内含)．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．1. 与直线x＋3y－1＝0垂直的直线的倾斜角为________．2.过点(2,1)且在两坐标轴截距相等的直线方程是________________．3.直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m＝________.4.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c ＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．【例1】已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为22，求过圆心且与直线l垂直的直线的方程．【例2】 如图，平面直角坐标系xOy 中，△AOB 和△COD 为两等腰直角三角形，A(－2,0)，C(a,0)(a>0)．△AOB 和△COD 的外接圆圆心分别为M ，N.(1) 若⊙M 与直线CD 相切，求直线CD 的方程；(2) 若直线AB 截⊙N 所得弦长为4，求⊙N 的标准方程；(3) 是否存在这样的⊙N ，使得⊙N 上有且只有三个点到直线AB 的距离为2，若存在，求此时⊙N 的标准方程；若不存在，说明理由．【例3】 已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，一动直线l 过点A(－1,0)与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 的中点，l 与直线m ：x ＋3y ＋6＝0相交于点N.(1) 求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ；(2) 当PQ ＝23时，求直线l 的方程；(3) 探索AM →·AN →的值是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．【例4】 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点P(2，2)，设椭圆E的右准线l 与x 轴的交点为A ，椭圆的上顶点为B ，直线AB 被以原点为圆心的圆O 所截得的弦长为455.(1) 求椭圆E 的方程及圆O 的方程；(2) 若M 是准线l 上纵坐标为t 的点，求证：存在一个异于M 的点Q ，对于圆O 上的任意一点N ，有MNNQ为定值；且当M 在直线l 上运动时，点Q 在一个定圆上．1. (2011·安徽)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为________．2.(2011·重庆)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．3.(2011·湖北)过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则直线l的斜率为________．4.(2010·江西)直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥23，则实数k的取值范围是________．5.(2011·福建理) 已知直线l：y＝x＋m，m∈R.(1) 若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； (2) 若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．6.(2011·陕西)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上投影，M 为PD 上一点，且|MD|＝45|PD|.(1) 当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2) 求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．(2011·南京三模)(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知定点A(－4,0)、B(4,0)，动点P 与A 、B 两点连线的斜率之积为－14.(1) 求点P 的轨迹方程；(2) 设点P 的轨迹与y 轴负半轴交于点C.半径为r 的圆M 的圆心M 在线段AC 的垂直平分线上，且在y 轴右侧，圆M 被y 轴截得的弦长为3r.① 求⊙M 的方程；② 当r 变化时，是否存在定直线l 与动圆M 均相切？如果存在，求出定直线l 的方程；如果不存在，说明理由．解：(1) 设P(x ，y)，则直线PA 、PB 的斜率分别为k 1＝y x ＋4、k 2＝yx －4.(2分) 由题意知y x ＋4·y x －4＝－14，即x 216＋y 24＝1(x ≠±4)．所以动点P 的轨迹方程是x 216＋y 24＝1(x ≠±4)．(4分)(说明：没有范围扣1分)(2) ①由题意知C(0，－2)，A(－4,0)，所以线段AC 的垂直平分线方程为y ＝2x ＋3.(6分)设M(a,2a ＋3)(a ＞0)，则⊙M 的方程为(x －a)2＋(y －2a －3)2＝r 2. 圆心M 到y 轴的距离d ＝a ，由r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫3r 22，得a ＝r 2.所以⊙M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －r22＋(y －r －3)2＝r 2.(10分) ② 假设存在定直线l 与动圆M 均相切．当定直线的斜率不存在时，不合题意． 当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋b ， 则⎪⎪⎪⎪k ×r 2－r －3＋b 1＋k 2＝r 对任意r ＞0恒成立．(12分)由⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫k 2－1r ＋(b －3)＝r 1＋k 2， 得⎝⎛⎭⎫k 2－12r 2＋(k －2)(b －3)r ＋(b －3)2＝(1＋k 2)r 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫k2－12＝1＋k 2，(k －2)(b －3)＝0，(b －3)2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝3.所以存在两条直线y ＝3和4x ＋3y －9＝0与动圆M 均相切．(16分)第12讲 直线与圆的方程及应用1. 已知实数x ，y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为________． 【答案】 52. 圆x 2＋y 2＝1与直线kx ＋y －k ＝0(k ∈R 为常数)的位置关系是________． 【答案】 相交3. 若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是________． 【答案】 [1－22，3] 解析：本题考查数形结合思想. 曲线方程可化简为(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)，即表示圆心为(2,3)半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y ＝x ＋b 与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y ＝x ＋b 距离等于2，解得b ＝1＋22或1－22，因为是下半圆故可得b ≠1＋22，当直线过(0,3)时，解得b ＝3，故1－22≤b ≤3.4. 已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．(1) 如果|AB|＝423，求直线MQ 的方程； (2) 求动弦|AB|的最小值． 解： (1)设Q(q,0)，因为M(0,2)，所以|MQ|＝q 2＋22＝q 2＋4，而|MA|＝r ＝1，从而在Rt △AMQ 中，|AQ|＝|MQ|2－|MA|2＝q 2＋4－1＝q 2＋3. 又由题意和对称性可得，Rt △AMQ 斜边MQ 边上的高为h ＝12|AB|＝223.由等面积法得223·q 2＋4＝q 2＋3，解得q ＝±5，所以Q(±5，0)，将M ，Q 的坐标代入直线的两点式方程整理得到直线MQ 的方程为2x±5y 25＝0. (2) 由(1)知，利用等面积法得12|AB|·q 2＋4＝q 2＋312|AB|＝q 2＋3q 2＋4＝1－1q 2＋4，从而当q ＝0时，动弦|AB|取到最小值 3.5. (2011·盐城二模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 由圆弧C 1和圆弧C 2相接而成，两相接点M 、N 均在直线x ＝5上．圆弧C 1的圆心是坐标原点O ，半径为13；圆弧C 2过点A(29,0)．(1) 求圆弧C 2的方程； (2) 曲线C 上是否存在点P ，满足PA ＝30PO ？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；(3) 已知直线l ：x －my －14＝0与曲线C 交于E 、F 两点，当EF ＝33时，求坐标原点O 到直线l 的距离．解：(1) 圆弧C 1所在圆的方程为x 2＋y 2＝169，令x ＝5，解得M(5,12)，N(5，－12)． 则线段AM 中垂线的方程为y －6＝2(x －17)， 令y ＝0，得圆弧C 2所在圆的圆心为O 2(14,0)． 又圆弧C 2所在圆的半径为r 2＝29－14＝15， 所以圆弧C 2的方程为(x －14)2＋y 2＝225(x ≥5)．(2) 假设存在这样的点P(x ，y)，则由PA ＝30PO ，得x 2＋y 2＋2x －29＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，x 2＋y 2＝169(－13≤x ≤5)， 解得x ＝－70(舍)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，(x －14)2＋y 2＝225(5≤x ≤29)，解得x ＝0(舍)， 综上知，这样的点P 不存在．(3) 因为EF ＞r 2，EF ＞r 1，所以E 、F 两点分别在两个圆弧上．设点O 到直线l 的距离为d ，因为直线l 恒过圆弧C 2所在圆的圆心(14,0)，所以EF ＝15＋132－d 2＋142－d 2， 即132－d 2＋142－d 2＝18，解得d 2＝1 61516，所以点O 到直线l 的距离为 1 6154.基础训练1. π32. x －2y ＝0或x ＋y －3＝03. 3或－3 34. (－13,13) 解析：圆的半径为2，圆心(0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离小于1，即|c|13＜1，c 的取值范围是(－13,13)．例题选讲例1 解：由题意可设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.例2 点拨：直线与圆相交的问题，要利用图形转化为圆心到直线的距离问题． 解： (1) 圆心M(－1.1)．∴ 圆M 方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2， ∴ 直线CD 方程为x ＋y －a ＝0. ∵ ⊙M 与直线CD 相切，∴ 圆心M 到直线CD 的距离d ＝|－a|2＝2，化简得：a ＝±2(舍去负值)．∴ 直线CD 的方程为x ＋y －2＝0.(2) 直线AB 方程为：x －y ＋2＝0，圆心N ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2.∴ 圆心N 到直线AB 距离为⎪⎪⎪⎪a 2－a 2＋22＝ 2.∵ 直线AB 截⊙N 所得弦长为4，∴ 22＋(2)2＝a 22.∴ a ＝±23(舍去负值)． ∴ ⊙N 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝6.(3) 存在．由(2)知，圆心N 到直线AB 距离为2(定值)，且AB ⊥CD 始终成立，∴ 当且仅当圆N 半径a2＝22，即a ＝4时，⊙N 上有且只有三个点到直线AB 的距离为 2.此时，⊙N 的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8.变式训练 已知m ∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0. (1) 求直线l 斜率的取值范围；(2) 直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？点拨：直线与圆相交，用圆心到直线距离. 已知直线将圆分割弧长的比值，转化为所对的圆心角的比值，过圆心作弦的垂线，则垂线段长可求，用圆心到直线的距离即可．解： (1) 直线l 的方程可化为y ＝mm 2＋1x －4mm 2＋1， 直线l 的斜率k ＝mm 2＋1，∵ |m|≤12(m 2＋1)，∴ |k|＝|m|m 2＋1≤12，当且仅当|m|＝1时等号成立．∴ 斜率k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. (2) 不能．由(1)知l 的方程为y ＝k(x －4)，其中|k|≤12.圆C 的圆心C(4，－2)，半径r ＝2.圆心C 到直线l 的距离d ＝21＋k 2. 由|k|≤12，得d ≥45＞1，即d ＞r2.从而若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3.所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧．例3 (1) 证明：因为l 与m 垂直，且k m ＝－13，则k l ＝3，故直线l ：y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0.显然圆心(0,3)在直线l 上，即当l 与m 垂直时，l 必过圆心C.(2) 解：①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意． ② 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，因为PQ＝23，所以CM ＝4－3＝1，则由CM ＝|－3＋k|k 2＋1＝1，得k ＝43.所以直线l 的方程为4x －3y ＋4＝0.从而所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.(3) 解：∵ CM ⊥MN, ∴ AM →·AN →＝(AC →＋CM →)·AN →＝AC →·AN →＋CM →·AN →＝AC →·AN →. ① 当l 与x 轴垂直时有N ⎝⎛⎭⎫－1，－53，∴ AN →＝⎝⎛⎭⎫0，－53， 又AC →＝(1,3), ∴ AM →·AN →＝AC →·AN →＝－5.② 当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x ＋3y ＋6＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ＋61＋3k ，－5k 1＋3k ，则AN →＝⎝⎛⎭⎫－51＋3k ，－5k 1＋3k . 所以AM →·AN →＝AC →·AN →＝－5.综上，可知AM →·AN →的值与直线l 的斜率无关，因此与倾斜角也无关，且AM →·AN →＝－5. 变式训练 已知直线m 的方程为x ＋y －1＝0，⊙C 的方程为x 2－2x ＋y 2－2y －3＝0，⊙C 关于直线m 的对称的⊙D 与直线l 相交于A 、B 两点，若在⊙D 上存在点P 使得OP →＝OA →＋OB →＝λa ，又知a ＝(－1,2)．(1) 求⊙D 的方程； (2) 求点P 的坐标； (3)求直线l 的方程．解： (1) ⊙C 方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5，设D(a ，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋12＋b ＋12－1＝0，b －1a －1＝1， ∴ a ＝0，b ＝0，∴ ⊙D 方程为x 2＋y 2＝5.(2) 由题意可知P(－λ，2λ)，∵ P 在圆D 上， ∴ λ2＋4λ2＝5，∴ λ＝±1.∴ P(－1,2)或P(1，－2)．(3) ∵ OP →＝OA →＋OB →，P 、A 、B 均在圆上，∴ OP ⊥AB ，∠AOB ＝120°，∴ 圆心D 到直线AB 的距离是52. 当P 的坐标为(－1,2)时，k l ＝12，设直线l 的方程是x －2y ＋c ＝0，d ＝|c|5＝52， ∴ c ＝±52，由图形位置可知c ＝52，此时直线l 的方程是2x －4y ＋5＝0. 同理可知，当P 坐标为(1，－2)时，直线l 的方程是2x －4y －5＝0.例4 (1) 解：⎩⎨⎧c a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4，故椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1， ∵ A(4,0)，B(0,2)，∴直线AB 方程为x ＋2y －4＝0，则O 到AB 距离为45， ∴ 圆O 的半径r ＝⎝⎛⎭⎫452＋⎝⎛⎭⎫12×252＝2， 故圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2) 证明：l 的方程为x ＝4，∴ M 点坐标为M(4，t)．在圆O 上任取一点N(x 0，y 0)，定点Q(x ，y)．∵ NM 与NQ 的比值为常数且Q 不同于M ，∴ NQ 2＝λNM 2，λ>0且λ≠1，λ为常数，即(x 0－x)2＋(y 0－y)2＝λ[(x 0－4)2＋(y 0－t)2]，∴ x 02＋y 02－2xx 0－2yy 0＋x 2＋y 2＝λ(x 02＋y 02－8x 0－2y 0t ＋16＋t 2)，将x 02＋y 02＝4代入上式，则－2xx 0－2yy 0＋x 2＋y 2＋4＝－8λx 0－2λy 0t ＋(20＋t 2)λ，由于N 是圆O 上任意一点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －4λ，①y ＝4λ，②x 2＋y 2＋4＝(20＋t 2)λ，③将①②代入③得(16＋t 2)λ2－(20＋t 2)λ＋4＝0∴ (λ－1)[(16＋t 2)λ－4]＝0，∵ λ≠1，∴ λ＝416＋t 2， 即存在一个定点Q(不同于点M)，使得对于圆O 上的任意一点N ，均有MN NQ 为定值，又16＋t 2＝4λ代入③得x 2＋y 2＝4λ， 于是有x 2＋y 2＝x ，即⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14，故点Q 在圆心为⎝⎛⎭⎫12，0，半径为12的定圆上． 高考回顾1. 1 解析：本题考查直线与圆的位置关系，属容易题．2. 102 解析：由题意AC 为径，设圆心为F ，则FE ⊥BD ，圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，故F(1,3)，由此易得：AC ＝210，又k EF ＝2，所以BD 的方程为y ＝－12x ＋1，F 到BD 的距离为|－12＋1－3|52＝5，由此得BD ＝25，所以四边形ABCD 的面积为12AC·BD ＝12×25×210＝10 2. 3. 1或1774. ⎣⎡⎦⎤－33，33 解析：因为直线过定点(0,3)且该点在圆上，设此点为M ，圆心(2,3)到此直线距离为d ，所以由4－d 2≥(3)2d ≤1，又d ＝|2k －3＋3|1＋k 2≤1，∴ k 2≤13，∴ －33≤k ≤33.5. 点拨：本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．解：(解法1)(1) 依题意，点P 的坐标为(0，m)，因为MP ⊥l ，所以0－m 2－0×1＝－1， 解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)，从而圆的半径r ＝|MP|＝(2－0)2＋(0－2)2＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.(2) 因为直线l 的方程为y ＝x ＋m 所以直线l ′的方程为y ＝－x －m.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －m ，x 2＝4y ，得x 2＋4x ＋4m ＝0，Δ＝42－4×4m ＝16(1－m)． ① 当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切．② 当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切． (解法2)(1) 设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2，依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P(0，m)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋m 2＝r 2，|2－0＋m|2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2) 同解法1.6. 点拨： (1)动点M 通过点P 与已知圆相联系，所以把点P 的坐标用点M 的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；(2)直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；结合两点的距离公式计算．解： (1) 设点M 的坐标是(x ，y)，P 的坐标是(x p ，x p )，∵ 点D 是P 在x 轴上投影，M 为PD 上一点，且|MD|＝45|PD|， ∴ x p ＝x ，且y p ＝54y ， ∵ P 在圆x 2＋y 2＝25上，∴ x 2＋⎝⎛⎭⎫54y 2＝25，整理得x 225＋y 216＝1， 即C 的方程是x 225＋y 216＝1. (2) 过点(3,0)且斜率为45的直线方程是y ＝45(x －3)，设此直线与C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程x 225＋y 216＝1得：x 225＋(x －3)225＝1，化简得x 2－3x －8＝0，∴ x 1＝3－412，x 2＝3＋412， ∴ |AB|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋1625(x 1－x 2)2＝4125×41＝415，即所截线段的长度是415.。
