2019届高三高考数学二轮复习备考策略讲座

答题技巧第2讲稳得填空题考向预测填空题具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点.根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：(1)定量型：要求考生填写数值、数集或数量关系,如方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等；(2)定性型:要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质,如填写给定二次曲线的焦点坐标、离心率等.解答填空题时，由于不反映过程,只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格。

《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速".为此在解填空题时要做到：快-—运算要快，力戒小题大做;稳——变形要稳，不可操之过急；全—-答案要全，力避残缺不齐;活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意.知识与技巧的梳理1.方法一直接法它是直接从题设出发，利用有关性质或结论,通过巧妙地变形，直接得到结果的方法。

要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题.2。

方法二特殊值法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理,从而得出探求的结论.为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例.3。

方法三数形结合法(图解法）一些含有几何背景的填空题，若能“数中思形”“以形助数”,则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形.4。

方法四构造法构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程，构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式）形式上的特点，然后积极调动思维,联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景（几何背景、代数背景）,从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的。

课时作业（二十九）第29讲等差数列及其前n项和时间/ 45分钟分值/ 100分■基础热身1. 已知数列｛a n｝是等差数列,at3+a13=20a b=-2则a15=（）A. 20B.24C.28D.342. 在等差数列｛a^｝中若a3+a4+a5=3,a8=8则耳2的值是（）A. 15B.30C.31D.64312018-张家界三模］在等差数列｛a h｝中,a3+a5=12-a7,则a1+a9=（）A.8B.12C.16D.204.在等差数列｛a n｝中若前10项的和00=60且萨7则a4=（）A. 4B. -4C. 5D. -55•已知S n是等差数列佝｝的前n项和若0=5耳-10贝擞列｛编的公差为.■能力提升6. ［2018 •青海西宁一模］我国古代数学名著《九章算术》第六章“均输”中记载了这样一个问题；“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？' 其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱（“钱”是古代一种重量单位）,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱这个问题中，等差数列的通项公式为（）A. - n+ (n€ N*,n W5)B. n+ (n € N*,n< 5)C. n+ (n€ N*,n w 5)D. - n+-(n € N*,n W 5)7. 若干个连续奇数的和3+5+7+…+(4 n-1)= ( )A .2n2+n B.n2+2nC.4n2+2nD.4n2-18. [2018 •山西运城康杰中学模拟]已知数列g｝,｛b n｝满足b n=a n+a n+i则“数列｛a n｝为等差数列”是“数列｛b n｝为等差数列”的()A .充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D .既不充分也不必要条件9. [2018•河南濮阳二模]已知等差数列｛a｝一共有9项若前4项的和为3最后3项的和为4则中间1项的值为()A- B-C.1 D-10. [2018 •黑龙江普通高等学校模拟]在数列｛a｝中，若a1=2且对任意正整数m,总有a m+=a m+a成立则｛a n｝的前n项和S=( )A.n(3n-1)B. -------C.n(n+1)D. ----------11. [2018-四川资阳三诊]已知等差数列｛a n｝的前n项和为5若3=9,05=1,则使得Si>0成立的最大的自然数n为_________ .12. [2018 •河北武邑中学模拟]设正项等差数列｛S h｝的前n项和为S若$017=6051则一+——的最小值为________ .13. [2018 •合肥三模]已知数列｛s n｝的前n项和为久且数列一为等差数列若S?= 1，S2018-S2016=5则S?018=14(10分)已知等差数列｛s n｝的前n项和为5且S6+a17+a18=a9=-36.(1)求S的最小值,并求出S取得最小值时n的值;(2)若T n=|a 1|+|a 2I+ …+|a n|，求T n.15. (10分)已知5为等差数列｛咄的前n项和且a1=1,S9=81记b n=[log5a.],其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0,[lg 99=1.(1) 求6卜1』61的值;(2) 求数列｛b n｝的前200项和.■难点突破16. (15分)[2018-哈尔滨六中模拟]已知S n为数列佝｝的前n项和，且2S b=na n+n(n € N*).(1) 求证;｛a n｝是等差数列；(2) 若a2=2,b n = ------ ,T n 是｛b n｝的前n 项和，求T n.课时作业（二十九）1. B 解析］设数列｛a｝的公差为d,由已知，得at+a i3=2a8=20,A a b=10又&=-2, /. d=2, A a15=a2+ 13d=-2+ 13X2=24.2. A 解析］设数列｛a｝的公差为d,由a3+a4+a5=3a4=3得比=1又a8= 8=a4+4d, 则d=，故a i2= 8+4d=15.3A ［解析］由等差数列的性质得,a3+a5+a7= 3a5=12则爲=4所以a1+a9=2a5=8. 故选A.4.C ［解析］由等差数列的性质得a1+a10=a7+a4,v S0= ---------- =60,A a1+a10=12. 又命=7,.理=5故选C.5.2 解析］设数列｛a n｝的公差为d,由等差数列的前n项和公式，可得&= ------X5=5a结合题意有5爸10=5為二5@-鬼)=10，即5d=10,：d=2.6. D 懈析］依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,由题意可知a-2d+a-d=a+a+d+a+2d所以a=-6d,又a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5, 所以a=1所以此数列的首项为-,公差为-,故通项公式为a n=- n+ (n€ N*,n W 5), 故选D.7. D ［解析］方法一把原式加1减1变成1 + 3+5+7+…+(4n-3)+(4n-1)-1，即4+12+20+…+ (8n-4)-1,则原式等价于首项a1=4，公差d=8的等差数列的前n项和减1,则原式=4n+——X8-仁4n+4n2-4 n-仁4n2-1.方法二用特殊值检验法.当n=1时和为3可排除C;当n=2时和为15可排除A,B.故选D.8A ［解析］若数列｛a n｝是等差数列，设其公差为d［，则b n+1-b n=(a h+1+a n+2)-(a n+a n+1)=a n+2-a h=2d1 所以数列｛b n｝是等差数列，充分性成立；若数列｛b n｝是等差数列，设其公差为d2则b n+1-b n=(a n+1+a n+2)-(Q+a n+1)=a n+2-a h=d2, 不能推出数列｛a n｝是等差数列，必要性不成立.故选A.9. D 懈析］设数列｛a n｝的公差为d,由a1+a2+a3+a4=4a1+6d=3,a7+a8+a9=3a1+21d=4,可得a(=—,d=—,等差数列｛亦一共有9项，所以中间1项为狂=印+钿=一,故选D.10. C 解析］因为a m+=a m+a所以令=1,可得a m+i=a m+a i=a m+2即a m+i-a m=2 恒成立，据此可知，数列｛a n｝是一个首项a i=2公差d=2的等差数列，故其前n项和時门&+— d=2n+——x 2=n(n +1).11.9 ［解析］因为a = 9&=1 所以公差d=—=-2所以S n=9n+-n(n-1)x(-2)=-n2+10n，令S>0得0<n<10,因此使得S>0成立的最大的自然数n为9.12.- ［解析］因为氐17=6051所以一(a+a2017)=6051 所以a+a2°17=6所以au+a2014=6.故一+ -- =-(a4+a2014)(—+ --- )=」5+ ----- + ----- )>-x (5+ 4)=_,当且仅当4=2越014=4时取等号.13.3027 解析］•.•数列一为等差数列J可设一=an+b，整理得S=an2+bn.v S2= 1,S>018-S>016=5,A 4a+2b= 1,a x 201g+2018b-a x 2016-2018=5 解得a= ,b=——，则S>018=——X201&+——X2018= 3027.14.解;(1)因为a16+a17+a18= 3a17=-36所以a7=-12则公差d=— =—=3所以ai n=a9+ (n-9) • d=3n~63,^^以S?0=S21= =-630,所以当n=20或21时S取得最小值-630.⑵由(1)知，数列｛a n｝的前20项均小于0第21项等于0,以后各项均为正数.当n W 21 时,T n=-S n二 ------ =-n2+一n;当n>21时,T n=S n-2$= --------- - 2S21= n2-—n +126Q-_ —€综上,T n=--——€15解；(1)设等差数列｛a n｝的公差为d,根据等差数列的性质可知S)= 9a5=9(a1+4d)=81,A a1+4d=9.-ai=1,—d=2,. • a)=2n-1• b i=[log51]=0,b i4= [Iog527]= 2,b6i=[1。

热点一 分段函数的性质、图象以及应用新课标下高考数学题中以分段函数为载体，考查函数的图像、性质等知识的习题倍受青睐.所谓的分段函数是指自变量X 在不同的取值范围内对应关系不同的函数，由分段函数本身的特点，使得一个函数在各段上有不同的解析式，所以可将一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、抽象函数融合在一个题目之中，考查多个知识点.因而分段函数已成为高考命题的一个热点.纵观近几年高考对于分段函数的性质、图象的考查，重点放在函数的奇偶性、周期性以及函数的零点问题与分段函数结合上；要求学生有较强的抽象思维能力、作图能力以及准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握比较模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目本身就是压轴题确实不易之外，主要是学生的作图能力普遍较弱，还有就是没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1 分段函数与函数值分段函数:定义域中各段的x 与y 的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集.分段函数中的问题一般是求解析式、值域或最值，讨论奇偶性、单调性等.分段函数的处理方法:分段函数分段研究.一般将具体函数或与抽象函数结合，通过考查对数、指数的运算形成的函数求值问题． 例 1【山东省枣庄第八中学2019届高三1月考前测试】已知函数（ ）A ．8B ．6C ．3D ．1 【答案】C 【解析】 由函数,可得，则，解得.所以.故选C.2 分段函数与图象：分段函数的图象分段画.例 2.已知函数，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，则，化简得，因g x在上都是增函数.又，故选B.此()3 分段函数与方程已知函数值求自变量x或其它参数的值的问题，一般按自变量x的取值范围分类讨论，通过解方程而得到.数形结合是解答此类问题的重要方法.例3【河北省衡水中学2019届高三上学期五调】已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意函数恰有2个零点，即是方程有两不等实根，即是两函数与有两不同交点，作出函数图像如下图，易得当时，有两交点，即函数恰有2个零点.故选B.4 分段函数与不等式将分段函数与不等式结合，考查函数单调性及解不等式知识，体现分类讨论思想.例4【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟】已知函数若，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴或即或即∴的取值范围是故选：B5 分段函数与零点解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．讨论参数、数形结合是解答此类问题的重要方法.例5【2019年上海市普陀区高考一模】设是定义在R上的周期为4的函数，且，记，若则函数在区间上零点的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】由图可知：直线与在区间上的交点有8个，故选：D ．6 分段函数与解析式分段函数是定义域中各段的x 与y 的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.因此求解析式时，也是分段求解析式的.例 6【2018届湖南省株洲市高三教学质量统一检测（一）】已知()f x 是定义在R 上的奇函数.当0x >时，，则不等式()0f x >的解集用区间表示为（ ）A. ()1,1-B.C.D.【答案】D【解析】f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴f （0）=0．设x ＜0，则-x ＞0，∵当x ＞0时，f （x ）=x 2-x ， ∴f （-x ）=x 2+x ，又f （-x ）=x 2+x=-f （x ），∴f （x ）=-x 2-x ，x ＜0．当x ＞0时，由f （x ）＞0得x 2-x ＞0，解得x ＞1或x ＜0（舍去），此时x ＞1． 当x=0时，f （0）＞0不成立．当x ＜0时，由f （x ）＞0得-x 2-x ＞0，解得-1＜x ＜0． 综上x ∈（-1，0）∪（1，+∞）． 故选D.7 分段函数与周期和最值分段函数的值域是各段值域的并集，最大值是各段最大值中的最大者是函数的最大值，最小值是各段最小值中的最小者，一般可借助于图像来解决.例 7【2018届山西省太原十二中高三1月月考】已知8m n -<<，函数若()f x 的值域为[]1,3-，则n m -的最大值与最小值之积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B点睛：这是一个动态变化的问题，注意到函数在区间[)8,m -有最大值3，但无最小值，故函数的最小值1-只能在[],m n 取得，但是，因此[]1,m n ∈且12m ≤-，再根据()f x 的最大值为3，得到，所以n m -的最小值为32，最大值为4，它们的乘积为6. 例 8【2018届贵州省贵阳市第一中学高三12月月考】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足，当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，，则函数在区间3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】A【解析】由已知()f x 是定义在R 上的奇函数，所以，又，所以()f x。

第3讲立体几何中的向量方法[真题再现]1．（2018·课标Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD，BC的中点,以DF为折痕把△DFC使点C到达点P的位置，且PF⊥BF。

(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．[解］(1）证明：由已知可得BF⊥PF,BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD。

（2)解：如图，作PH⊥EF，垂足为H.由（1)得，PH⊥平面ABFD。

以H为坐标原点，错误!的方向为y轴正方向,|错误!｜为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H.xyz.由（1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1,所以PE＝错误!.又PF＝1，EF＝2，所以PE⊥PF.所以PH＝错误!，EH＝错误!.则H（0，0,0），P错误!，D错误!，错误!＝错误!,错误!＝错误!.又错误!为平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成角为θ，则sin θ＝错误!＝错误!＝错误!。

所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为错误!.2．（2018·课标Ⅱ）如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明:PO⊥平面ABC；(2）若点M在棱BC上，且二面角M。

P A-C为30°，求PC与平面P AM所成角的正弦值[解］(1）证明：因为P A＝PC＝AC＝4,O为AC的中点,所以OP⊥AC，且OP＝2错误!.如图，连接OB.因为AB＝BC＝错误!AC,所以△ABC为等腰直角三角形，且OB ⊥AC,OB＝错误!AC＝2。

由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC,OB∩AC＝O，得PO⊥平面ABC.（2）解:如图，以O为坐标原点，错误!的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O。

xyz。

由已知得O（0，0,0）,B（2，0，0)，A（0,－2，0）,C(0,2,0)，P(0,0，2错误!），错误!＝（0,2,2错误!)．取平面P AC的一个法向量错误!＝(2，0，0）．设M (a ，2－a,0）（0≤a ≤2)，则错误!＝(a ，4－a,0)．设平面P AM 的法向量为n ＝(x ,y ,z ）．由AP ，→·n ＝0，错误!·n ＝0得错误!可取y ＝错误!a ,得平面P AM 的一个法向量为n ＝(错误!（a －4），错误!a ，－a ）,所以cos 错误!，n ＝错误!。

第1讲 三个“二次”的问题1. “三个二次”在历年高考中都有考查，体现出二次函数、二次方程和二次不等式之间有密不可分的联系，即函数的研究离不开方程和不等式；方程和不等式的解的讨论同样要结合函数的图象和性质．2. 主要涉及的题型有：一是求二次函数的解析式；二是求二次函数的值域或最值，考查二次函数和一元二次方程、一元二次不等式的综合应用；三是考查一元二次不等式的解法及“三个二次”间的关系问题；四是从实际情景中抽象出一元二次不等式模型；五是以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题．1. 不等式(1＋x)(1－x)>0的解集是________． 答案：{x|－1<x<1}解析：原式可化为(x ＋1)(x －1)<0，所以不等式的解集为－1<x<1.2. (2018·海安第一次学业质量测试)关于x 的不等式x ＋ax＋b≤0(a，b ∈R )的解集为{x |3≤x ≤4}，则a ＋b 的值为________．答案：5解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3＋a3＋b ＝0，4＋a 4＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－7，所以a ＋b ＝5.3. (2018·镇江期末)已知函数f(x)＝x 2－kx ＋4，对任意的x∈[1，3]，不等式f(x)≥0恒成立，则实数k 的最大值为________．答案：4解析：由题意知x 2－kx ＋4≥0，x ∈[1，3]，所以k≤x ＋4x对任意的x∈[1，3]恒成立．因为x ＋4x≥4(当且仅当x ＝2时取等号)，所以k≤4，故实数k 的最大值为4.4. (2018·昆山中学月考)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案：[－1，4]解析：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a≤4., 一)一元二次不等式的求解, 1)已知f(x)＝－3x 2＋a(6－a)x ＋b.(1) 解关于a 的不等式f(1)＞0；(2) 当不等式f(x)＞0的解集为(－1，3)时，求实数a ，b 的值．解：(1) f(1)＝－3＋a(6－a)＋b ＝－a 2＋6a ＋b －3.因为f(1)＞0，所以a 2－6a ＋3－b ＜0.Δ＝24＋4b ，当Δ≤0，即b≤－6时，f(1)＞0的解集为∅；当Δ＞0，即b ＞－6时，3－b ＋6＜a ＜3＋b ＋6，所以b ＞－6时，f(1)＞0的解集为{a|3－b ＋6＜a ＜3＋b ＋6}．(2) 因为不等式－3x 2＋a(6－a)x ＋b ＞0的解集为(－1，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝a （6－a ）3，－3＝b －3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝9.(2018·苏北四市一模)已知函数f(x)＝ ⎩⎪⎨⎪⎧2－|x ＋1|，x≤1，（x －1）2，x ＞1.若函数g(x)＝f(x)＋f(－x)，则不等式g(x)≤2的解集为________.答案：[－2，2] 解析：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ，x ＜－1，－x ＋1，－1≤x≤1，（x －1）2，x>1， 所以f(－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x<－1，x ＋1，－1≤x≤1，－x ＋3，x ＞1，所以g(x)＝f(x)＋f(－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋3x ＋4，x<－1 ①，2，－1≤x≤1 ②，x2－3x ＋4，x>1 ③.由不等式g(x)≤2，解得①⎩⎪⎨⎪⎧x<－1，x2＋3x ＋4≤2⇒－2≤x<－1；②⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x≤1，2≤2⇒－1≤x≤1；③⎩⎪⎨⎪⎧x>1，x2－3x ＋4≤2⇒1<x ≤2.综上所述，不等式g(x)≤2的解集为[－2，2]．, 二)二次函数与二次不等式, 2)(2018·北京朝阳统考)已知函数f(x)＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R .(1) 若a ＝2，试求函数y ＝f （x ）x(x >0)的最小值；(2) 对于任意的x ∈[0，2]，不等式f (x )≤a 恒成立，试求a 的取值范围．解：(1) 依题意得y ＝f （x ）x ＝x2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝f （x ）x的最小值为－2.(2) 因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0，2]，不等式f (x )≤a 恒成立”，只要“x 2－2ax －1≤0在[0，2]上恒成立”． 不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0，2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g （0）≤0，g （2）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34，则a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a >0)在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记f (x )＝g (|x |)．(1) 求实数a ，b 的值；(2) 若不等式f (log 2k )>f (2)成立，求实数k 的取值范围；(3) 定义在[p ，q ]上的一个函数m (x )，用分法T ：p ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝q 将区间[p ，q ]任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数M >0，使得和式错误!f(x i )＝f(x 1)＋f(x 2)＋…＋f(x n ))解：(1) g(x)＝a(x －1)2＋1＋b －a ，因为a>0，所以g(x)在区间[2，3]上是增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧g （2）＝1，g （3）＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.(2) 由已知可得f(x)＝g(|x|)＝x 2－2|x|＋1为偶函数，所以不等式f(log 2k )>f (2)可化为|log 2k |>2，解得k >4或0<k <14，故实数k 的取值范围是(0，14)∪(4，＋∞)．(3) 设函数f (x )为[1，3]上的有界变差函数．因为函数f (x )为[1，3]上的单调递增函数， 且对任意划分T ：1＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝3， 有f (1)＝f (x 0)<f (x 1)<…<f (x n －1)<f (x n )＝f (3)，所以错误!|m(x i )－m(x i －1)|≤M 恒成立，所以M 的最小值为4., 三)二次方程与二次不等式, 3)对于函数f(x)，若f(x 0)＝x 0，则称x 0为函数f(x)的“不动点”；若f(f(x 0))＝x 0，则称x 0为函数f(x)的“稳定点”．如果f(x)＝x 2＋a(a∈R )的“稳定点”恰是它的“不动点”，求实数a 的取值范围．解：(解法1)因为函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，由f (f (x ))＝x ，可得(x 2＋a )2＋a ＝x .方程可化为(x 2－x ＋a )(x 2＋x ＋a ＋1)＝0，所以方程x 2－x ＋a ＝0有解，且方程x 2＋x ＋a ＋1＝0无解或其解都是x 2－x ＋a ＝0的解，由方程x 2－x ＋a ＝0有解，得Δ1＝1－4a ≥0，解得a ≤14.由方程x 2＋x ＋a ＋1＝0无解，得Δ2＝1－4(a ＋1)<0，解得a >－34.若方程x 2＋x ＋a ＋1＝0有解且都是x 2－x ＋a ＝0的解．因为方程x 2－x ＋a ＝0与方程x 2＋x ＋a ＋1＝0不可能同解， 所以方程x 2＋x ＋a ＋1＝0必有两个相等的实根且是方程x 2－x ＋a ＝0的解，此时，Δ2＝1－4(a ＋1)＝0，解得a ＝－34，经检验，符合题意．综上，a 的取值范围是[－34，14]．(解法2)显然，函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，所以f (x )＝x 有解，但方程组⎩⎪⎨⎪⎧f （x1）＝x2，f （x2）＝x1(x 1≠x 2)无解．由f (x )＝x ，得x 2－x ＋a ＝0有解，所以1－4a ≥0，解得a ≤14.由⎩⎪⎨⎪⎧f （x1）＝x2，f （x2）＝x1，得⎩⎪⎨⎪⎧x21＋a ＝x 2，x 2＋a ＝x 1，两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝x 2－x 1.因为x 1≠x 2，所以x 2＝－x 1－1，两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝x 2－x 1.因为x 1≠x 2，所以x 2＝－x 1－1， 代入消去x 2，得x 21＋x 1＋a ＋1＝0.因为方程x 21＋x 1＋a ＋1＝0无解或仅有两个相等的实根，所以1－4(a ＋1)≤0，解得a ≥－34，故a 的取值范围是[－34，14]．定义：关于x 的两个不等式f (x )<0和g (x )<0的解集分别为(a ，b )和(1b ，1a)，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式x 2－43x cos θ＋2<0与不等式x 2＋2x sin θ＋1<0为对偶不等式，且θ∈(π2，π)，则θ＝________．答案：2π3解析：由题意知不等式x 2－43x cos θ＋2<0的解集为(a ，b )，所以a ＋b ＝43cos θ，ab ＝2.又不等式x 2＋2x sin θ＋1<0的解集为(1b ，1a)，所以1b ＋1a＝－2sin θ.又1b ＋1a ＝a ＋b ab ＝43cos θ2＝－2sin θ，所以tan θ＝－3. 又θ∈(π2，π)，所以θ＝2π3., 四)三个“二次”的综合问题, 4)设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R )，且f (1)＝－a2，3a >2c >2b ，求证：(1) a >0且－3<b a <－34；(2) 函数f (x )在区间(0，2)内至少有一个零点；(3) 若x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，则2≤|x 1－x 2|＜574.证明：(1) 因为f (1)＝a ＋b ＋c ＝－a2，所以3a ＋2b ＋2c ＝0.又3a >2c >2b ，所以3a >0，2b <0，所以a >0，b <0. 又2c ＝－3a －2b ，3a >2c >2b ，所以3a >－3a －2b >2b .因为a >0，所以－3<b a <－34.(2) 因为f (0)＝c ，f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝a －c ，①当c >0时，因为a >0，所以f (1)＝－a2<0，且f (0)＝c >0，所以函数f (x )在区间(0，1)内至少有一个零点；②当c ≤0时，因为a >0，所以f (1)＝－a2<0，且f (2)＝a －c >0，所以函数f (x )在区间(1，2)内至少有一个零点． 综合①②得函数f (x )在区间(0，2)内至少有一个零点．(3) 因为x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，则x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根．所以|x 1－x 2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（－b a ）2－4（－32－ba）＝（ba＋2）2＋2.因为－3<b a <－34，所以2≤|x 1－x 2|＜574.已知函数f (x )＝2x 2＋ax －1，g (log 2x )＝x 2－x2a －2.(1) 求函数g (x )的解析式，并写出当a ＝1时，不等式g (x )＜8的解集；(2) 若f (x )，g (x )同时满足下列两个条件：①∃t ∈[1，4]，使f (－t 2－3)＝f (4t )；②∀x ∈(－∞，a ]，使g (x )<8.求实数a 的取值范围．解：(1) 令t ＝log 2x ，则x ＝2t，由g (log 2x )＝x 2－x 2a －2，可得g (t )＝22t －2t ＋2－a，即g (x )＝22x －2x ＋2－a，当a ＝1时，不等式g (x )<8⇔22x－2x ＋1<8⇔(2x ＋2)(2x－4)<0，即2x<4，所以x <2，即不等式g (x )＜8的解集为(－∞，2)．(2) 因为f (x )＝2x 2＋ax －1，所以由①∃t ∈[1，4]，使f (－t 2－3)＝f (4t )，得∃t ∈[1，4]，(－t 2－3)＋4t ＝－a 2，即∃t ∈[1，4]，a ＝2(t －2)2－2，所以a ∈[－2，6]；由②∀x ∈(－∞，a ]，使g (x )<8得∀x ∈(－∞，a ]，42a >2x －82x，令μ＝2x ，x ∈(－∞，a ]，则y ＝2x－82x ＝μ－8μ，μ∈(0，2a]，易知函数y ＝μ－8μ在(0，2a ]上是增函数，y max ＝2a－82a，所以42a>2a－82a，所以2a<23，所以a <1＋12log 23.综上，实数a 的取值范围是[－2，1＋12log 23)．1. 函数y ＝3－2x －x2的定义域是 ________．答案：[－3，1]解析：要使函数有意义，必须有3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，所以－3≤x≤1.2. 设集合A ＝{x|x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x|2x －3>0}，则A∩B＝________．答案：(32，3)解析：集合A ＝(1，3)，B ＝(32，＋∞)，所以A∩B＝(32，3)．3. (2017·山东卷)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 2<b 2，则a <b .则命题p ∧綈q 的真假性为________．答案：真解析：易知命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以綈q 为真命题，由复合命题真值表知，p ∧綈q 为真命题．4. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x≤1，x ＋6x－6，x>1，则f (f (－2))＝________，f (x )的最小值是________．答案：－1226－6解析：f (－2)＝(－2)2＝4，所以f (f (－2))＝f (4)＝4＋64－6＝－12.当x ≤1时，f (x )≥0；当x >1时，f (x )≥26－6，当x ＝6时取等号，所以函数f (x )的最小值为26－6.5. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0，c>0)的图象与x 轴有两个不同的公共点，且f(c)＝0，当0<x<c 时，恒有f(x)>0. (1) 当a ＝13，c ＝2时，求不等式f(x)<0的解集；(2) 若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，且ac ＝12，求a 的值；(3) 若f(0)＝1，且f(x)≤m 2－2m ＋1对所有x∈[0，c]恒成立，求正实数m 的最小值．解：(1) 当a ＝13，c ＝2时，f(x)＝13x 2＋bx ＋2，f(x)的图象与x 轴有两个不同交点．因为f(2)＝0，设另一个根为x 1，则2x 1＝6，x 1＝3.则f(x)<0的解集为{x|2<x<3}．(2) 函数f(x)的图象与x 轴有两个交点，因为f(c)＝0，设另一个根为x 2，则cx 2＝c a ，于是x 2＝1a.又当0<x<c 时，恒有f(x)>0，则1a >c ，则三交点分别为(c ，0)，(1a，0)，(0，c)，以这三交点为顶点的三角形的面积为S ＝12(1a －c)c ＝8，且ac ＝12，解得a ＝18，c ＝4.(3) 当0<x<c 时，恒有f(x)>0，则1a>c ，所以f(x)在[0，c]上是单调递减的，且在x ＝0处取到最大值1，要使f(x)≤m 2－2m ＋1对所有x∈[0，c]恒成立，必须f(x)max ＝1≤m 2－2m ＋1成立，即m 2－2m ＋1≥1，即m 2－2m ≥0，解得m ≥2或m ≤0，而m >0，所以m 的最小值为2.(本题模拟高考评分标准，满分16分)(2017·南通考前模拟)已知二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )．(1) 当a ＝－6时，函数f (x )的定义域和值域都是[1，b 2]，求b 的值；(2) 若函数f (x )在区间(0，1)上有两个零点，求b 2＋ab ＋b ＋1的取值范围．解：(1) 当a ＝－6时，f (x )＝x 2－6x ＋b ，函数的对称轴为直线x ＝3， 故f (x )在区间[1，3]上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增．(2分)①当2＜b ≤6时，f (x )在区间[1，b2]上单调递减；故⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝b2，f （b2）＝1，方程组无解；(4分)②当6＜b ≤10时，f (x )在区间[1，3]上单调递减，在(3，b 2]上单调递增，且f (1)≥f (b 2)，故⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝b 2，f （3）＝1，解得b ＝10；(6分)③当b >10时，f (x )在区间[1，3]上单调递减，在(3，b 2]上单调递增，且f (1)<f (b 2)，故⎩⎪⎨⎪⎧f （b 2）＝b 2，f （3）＝1，方程组无解．所以b 的值为10.(8分)(2) 设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点为x 1，x 2(0＜x 1<x 2＜1)，则f (x )＝(x －x 1)(x －x 2)．又f (0)＝b ＝x 1x 2>0，f (1)＝1＋a ＋b ＝(1－x 1)·(1－x 2)>0，(10分)所以b 2＋ab ＋b ＋1＝b (1＋a ＋b )＋1＝f (0)f (1)＋1，而0<f (0)f (1)＝x 1x 2(1－x 1)(1－x 2)≤(x1＋1－x12)2(x2＋1－x22)2＝116.(14分)由于x 1<x 2，故0<f (0)f (1)<116，则1<b 2＋ab ＋b ＋1<1716，即b 2＋ab ＋b ＋1的取值范围是(1，1716)．(16分)1. 在R 上定义运算：⎝ ⎛⎭⎪⎫ab cd ＝ad －bc ，若不等式⎝⎛⎭⎪⎫x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．答案：32解析：由定义知，不等式⎝⎛⎭⎪⎫x －1 a －2a ＋1 x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立．∵ x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.2. 已知f(x)＝－3x 2＋a(6－a)x ＋6.(1) 解关于a 的不等式f(1)>0；(2) 若不等式f(x)>b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值．解：(1) ∵ f(x)＝－3x 2＋a(6－a)x ＋6，∴ f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a 2＋6a ＋3>0，即a 2－6a －3<0，解得3－23<a<3＋23，∴不等式的解集为{a|3－23<a<3＋23}．(2) ∵ f(x)>b 的解集为(－1，3)， ∴方程－3x 2＋a(6－a)x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a （6－a ）3，－1×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.故a 的值为3＋3或3－3，b 的值为－3.3. 已知函数f(x)＝x2＋cax(x≠0，a ＞0，c ＜0)，当x ∈[1，3]时，函数f(x)的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，56. (1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ，12，n ＝(k 2＋k ＋2，3k ＋1)(k ＞－1)，解关于x 的不等式f (x )＜m ·n .解：(1) 因为c ＜0，f (x )＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋c x 在[1，3]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝－32，f （3）＝56，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝－4，故f (x )＝x2－42x .(2) 由题意，得x2－42x ＜－k2＋k ＋2x ＋3k ＋12，即x (x －2k )[x －(k ＋1)]＜0.①当－1＜k ＜0时，不等式的解集是(－∞，2k )∪(0，k ＋1)； ②当0≤k ＜1时，不等式的解集是(－∞，0)∪(2k ，k ＋1)；③当k ＝1时，不等式的解集是(－∞，0)；④当k ＞1时，不等式的解集是(－∞，0)∪(k ＋1，2k )．。

第3讲圆锥曲线中的定点与定值、范围与存在性问题[真题再现］1．(2017·课标Ⅱ)设O为坐标原点,动点M在椭圆C：错误!＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足错误!＝错误!错误!.（1）求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且错误!·错误!＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。

[解析](1）设P(x，y），M(x0，y0），设N(x0,0)，错误!＝（x－x0，y)，错误!＝（0，y0)．由NP，→＝ 2 错误!得x0＝x，y0＝错误!y0.因为M（x0,y0)在C上，所以错误!＋错误!＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)由题意知F（－1，0)．设Q（－3，t），P(m，n),则错误!＝（－3,t），错误!＝（－1－m,－n），错误!·错误!＝3＋3m－tn,错误!＝(m,n)，错误!＝(－3－m，t－n）．由错误!·错误!＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1,又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0。

所以错误!·错误!＝0，即错误!⊥错误!。

又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。

2．(2018·已知点P是y轴左侧（不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足P A,PB的中点均在C上．(1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2）若P是半椭圆x2＋错误!＝1（x<0)上的动点，求△P AB面积的取值范围．［解]（1）解：设P（x0,y0),A错误!,B错误!。

因为P A，PB的中点在抛物线上，所以y1,y2为方程错误!2＝4·错误!即y2－2y0y＋8x0－y错误!＝0的两个不同的实根．所以y1＋y2＝2y0，因此，PM垂直于y轴．（2）解:由(1)可知错误!所以|PM|＝错误!(y错误!＋y错误!)－x0＝错误!y错误!－3x0，|y1－y2|＝2错误!。