弹塑性力学简答题 第一章 应力 1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？ 物体边界点的平衡条件。 3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系？ 相同。110220330 S S S σσσσσσ=+=+=+。 4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？ 不规则，内部受力不一样。 5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？ 保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点？ 该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0，为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。 固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？ 第二章 应变 1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。 从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。 2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？ 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。 3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？ 不可以。保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量，问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？ 满足。根据几何方程求出各应变分量，则变形协调方程自然满足，因为变形协调方程本身是从几何方程中推导出来的。 5、应变协调方程的物理意义是什么？ 对于单连通体，协调方程是保证由几何方程积分出单值连续的充分条件。多于多连通体，除满足协调方程方程外，还应补充保证切口处位移单值连续的附加条件。 6、已知物体内一组单值连续的位移，试问通过几何方程给出的应变一定满足变形协调方程吗？为什么？
弹塑性力学 第四章 弹性力学的基本方程与解法 一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件 对于在空间占有体积域V 的线弹性体在外加恒定载荷和固定几何约束条件下引起 的小变形问题，若以, , u εσ作为求解变量，则可以建立如下偏微分方程边值问题： 几何方程 ()1,,2ij i j j i u u ε= + ()12?+?u u ε= (1a) 广义胡克定律 ij ijkl kl E σε= :E σ=ε (1b) 平衡方程 ,0ij j i f σ+= ??+=f 0σ V ?∈x (1c) 以上方程均要求在域内各点均满足。 边界条件 u u i i = ?∈x S ui (2a) n t j ji i σ= ?∈x S ti (2b)对于适定问题，即不仅要求保证解存在唯一，而且有较好的稳定性。当载荷或边界条件给定值有微小摄动时，应能保证问题解的变化也是微小的。对于边界条件的提法就有严格的要求。即要求： S S S S S ui ti ui ti U I ==? (2c) 对于各向同性材料，其广义胡克定律可具体写成 σλεδεij kk ij ij G =+2 ()tr 2G λ+I σ=εε (3a) ()11ij ij kk ij E ενσνσδ??=+??? ()()1tr E νν=????I ε1+σ?σ (3b)以上就域内方程来说，一共是对于u ,,σ ε的15个独立分量u i ij ij ,, σε的15个方程。对于边界条件来说，三维问题每点有三个边界条件，而且是在三个正交方向上每个方向有一个边界条件，这个边界条件或者给定位移、或者给定面力。这三个正交
弹塑性力学理论及其在工程上的应用 摘要：弹塑性力学理论在工程中应用十分的广泛，是工程中分析问题的一个重要手段，本文首先是对弹塑性力学理论进行了阐述，然后讨论了它在工程上面的应用。 关键词：弹塑性力学；工程；应用 第一章 弹塑性力学的基本理论 （一）应力理论 1、 应力和应力张量 在外力作用下，物体将产生应力和变形，即物体中诸元素之间的相对位置发生变化，由于这种变化，便产生了企图恢复其初始状态的附加相互作用力。用以描述物体在受力后任何部位的内力和变形的力学量是应力和应变。本章将讨论应力矢量和某一点处的应力状态。 为了说明应力的概念，假想把受—组平衡力系作 用的物体用一平面A 分成A 和B 两部分(图1.1)。如 将B 部分移去，则B 对A 的作用应代之以B 部分对A 部分的作用力。这种力在B 移去以前是物体内A 与B 之间在截面C 的内力，且为分布力。如从C 面上点P 处取出一包括P 点在内的微小面积元素S ?，而S ?上 的内力矢量为F ?，则内力的平均集度为F ?／S ?， 如令S ?无限缩小而趋于点P ，则在内力连续分布的条件下F ?／S ?趋于一定的极限σo ，即 σ=??→?S F S 0lim 2、二维应力状态与平面问题的平衡微分方程式 上节中讨论应力概念时，是从三维受力物体出发的，其中点P 是从一个三维空间中取出来约点。为简单起见，首先讨论平面问题。掌提了平面问题以后．再讨论空间问题就比较容易了。
当受载物体所受的面力和体力以及其应力都与某—个坐标轴(例如z 轴)无 关。平面问题又分为平面应力问题与平面应变问题。 （1） 平面应力问题 如果考虑如图所示物体是一个很薄的 平板，荷载只作用在板边，且平行于板面，即 xy 平面，z 方向的体力分量Z 及面力分量z F 均 为零，则板面上(2/δ±=z 处)应力分量为 0) (2=±=δσz z 0)()(22==±=±=δ δ ττz zy z zx 图2.2平面应力问题 因板的厚度很小，外荷载又沿厚度均匀分布， 所以可以近似地认为应力沿厚度均匀分布。由此， 在垂直于z 轴的任一微小面积上均有 0=z σ， 0==zy zx ττ 根据切应力互等定理，即应力张量的对称性，必然有0==xz yx ττ。因而对于平面应力状态的应力张量为 ???? ??????=00000y yx xy x ij σττσσ 如果z 方向的尺寸为有限量，仍假设0=z σ，0==zy zx ττ，且认为x σ，y σ和xy τ(yx τ)为沿厚度的平均值，则这类问题称为广义平面应力问题。 （2）平面应变问题 如果物体纵轴方向(oz 坐标方向)的尺寸很长，外荷载及体力为沿z 轴均匀分 布地作用在垂直于oz 方向，如图1.4所示的水坝是这类问题的典型例子。忽略端部效应，则因外载沿z 轴方向为一常数，因而可以认为，沿纵轴方向各点的位
应力应变关系 弹性模量 ||广义虎克定律 1.弹性模量 对于应力分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常用的弹性常数包括: a 弹性模量单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比,即 b 切变模量切应力与相应的切应变之比,即 c 体积弹性模量三向平均应力 与体积应变θ(=εx+εy+εz)之比,即 d 泊松比单向正应力引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比,即 此外还有拉梅常数λ。对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独立的。常用弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。室温下弹性常数的典型值见表3-2 弹性常数的典型值。 2.广义虎克定律 线弹性材料在复杂应力状态下的应力应变关系称为广义虎克定律。它是由实验确定，通常称为物性方程，反映弹性体变形的物理本质。 A 各向同性材料的广义虎克定律表达式（见表3-3 广义胡克定律表达式）对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应力公式中的x 、y、z分别用r、θ、z和r、θ、φ代替。对于平面极坐标，表中平面应力和平面应变公式中的x、y、z用r、θ、z代替。 B 用偏量形式和体积弹性定律表示的广义虎克定律应力和应变张量分解为球张量和偏张量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式，即 体积弹性定律 应力偏量与应变偏量关系式 在直角坐标中，i,j=x,y,z；在圆柱坐标中，i,j=r,θ,z,在球坐标中i,j=r,θ,φ。
弹性力学基本方程及其解法 弹性力学基本方程 || 边界条件 || 按位移求解的弹性力学基本方法 || 按应力求解的弹性力学基本方程 || 平面问题的基本方程 || 基本方程的解法 || 二维和三维问题常用的应力、位移公式 1.弹性力学基本方程 在弹性力学一般问题中，需要确定15个未知量，即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。这15个未知量可由15个线性方程确定，即 (1)3个平衡方程[式（2-1-22）]，或用脚标形式简写为 (2)6个变形几何方程[式（2-1-29）]，或简写为 (3)6个物性方程[式（3-5）或式（3-6）]，简写为 或 2.边界条件 弹性力学一般问题的解，在物体内部满足上述线性方程组，在边界上必须满足给定的边界条件。弹性力学问题按边界条件分为三类。 a 应力边界问题在边界Sσ表面上作用的表面力分量为F x、F y、F z.。面力与该点在物体内的应力分量之间的关系，即力的边界条件为 式中，l nj=cos(n,j)为边界上一点的外法线n对j轴的方向余弦。 这一类问题中体积力和表面力是已知的，求解体内各点的位移、应变和应力。 b 位移边界问题在边界S x上给定的几何边界条件为
第十一章 习题答案 11.3使用静力法和机动法求出图示超静定梁的极限载荷。 解1：（1）静力法 首先该超静定梁（a ）化为静定结构（b ）、（c ）。分别求出其弯矩图，然后叠加，得该超静定梁的弯矩图（f ） 在极限情况下 ,A s B s M M M M =-= 设C 点支反力为C R ，则： 12C s R l Pl M -=- 1(2)C s R l l M -= 由上二式得() ()111 42p M l l P l l l * -= - 当P 值达到上述数值时，结构形成破坏机构，故P 为该梁的完全解。 （2）机动法 设破坏机构如图（g ），并设B 点挠度为δ，则： 11,(2)A C l l l θδθδ==- () 1122B A C l l l l δ θθθ=+= - 外力功e W P δ=
内力功() 1 1142i A A B B s l l W M M M l l l θθδ-=+= - 由e i W W =，可得极限载荷上限为 () 1 1142s l l P M l l l *-= - 由于在P *作用下，()s s M M x M -≤≤，故上式所示载荷为完全解的极限载荷。 解2：（1）静力法 先将该超静定梁化为静定梁（b ）、（c ），分别作弯矩图，叠加得该超静定梁的弯矩图（f ） 设A 点为坐标原点，此时弯矩方程为： ()()()2 12 B M x R l x q l x =--- 在极限状态时，有 ()0,0s x M M ==- ()11,s x x M x M == 令 () 0dM x dx =得1()B q l x R -= （1） 而21 2 B s R l ql M -=- （2） ()()2 1112 B s R l x q l x M ---= （3） 联立解（1）、（2）、（3）得 2 1 22s s M qM ql l ??=- ??? 解得21122s M q l ?= ?
《工程弹塑性力学》习题 1、（1）试分析下列应力函数可解什么样的平面应力问题： 2232 343y q c xy xy c F +???? ??-=? （2）为使函数φ(r ，z)＝C(r 2十z 2)n 能够作为轴对称情况下的应力函数，式中n 应为何值? 2、已知下列应力状态： Pa ij 5101138303835????? ??????=σ 试求八面体正应力与剪应力。 3、已知材料的真实应力应变曲线为：B T =σ? n 或 m T c εσ=，试证： n e m --=1 4、试证： ()dV u dS u n dV u u i V j ij i j s ij i j j i ij V ???????-=+,,,21σσσ 5、试证图示悬臂梁的应变能公式及泛函ΠP 为： ()dx w EJ U l 20 ''21?= 及 () ()()l Fw l Mw Pw dx w EJ l l P +--=∏??0'20''21 并说明其附加条件 6、试求图示斜坡的最大承载能力。 7、对Mises 屈服条件，证明 8、已知理想弹塑性材料的悬臂梁，一端受集中力P 作用，如此杆的截面ij ij ij s J f =σ??=σ??2
为矩形，其尺寸为h b 2?，弹性模量E ，屈服极限为s σ，试求作用点的挠度值。 9、试证明虚位移与虚应力原理是下列高斯散度定理的特殊情况： dS u T dS u T dV u F dV i S i i S i i V i ij V ij u T ????????++=εσ 10、名词解释 1、主平面、主应力、应力主方向 2、李兹法 3、工程应变 4、滑移线 5、Drucker 公设 6、伽辽金法 7、壳体、壳体的厚度、中曲面 8、屈服面、屈服函数 9、增量理论 10、完全解 11、简答题 1、什么是八面体及其特点？ 2、阐述弹性力学的平面问题的基本假设？ 3、矩形、圆形薄板弯曲的三类边界条件的区别？ 4、在大应变问题中，为什么只有用自由应变才能得出合理的结果？ 5、Tresca 和Mises 的屈服条件的比较？ 6、论述薄板小挠度弯曲理论的基本假定？ 7、各向均匀受压对金属材料体积的影响及写出Bridgman 提出p 与单位体积的关系式。 8、阐述弹性本构理论的特点？ 9、阐述滑移线的性质？ 12、（1）矩形薄板其边界条件见图，不受 横向载荷(q ＝0)，但在两个简支边上受有均 布弯矩M ，在两个自由边上受均布弯矩 μM ，证明：ω＝f(x)能满足一切条件，并求 出挠度、弯矩和反力。
第二章 应力状态理论 2.1 应力和应力张量 在外力作用下，物体将产生应力和变形，即物体中诸元素之间的相对位置发生变化，由于这种变化，便产生了企图恢复其初始状态的附加相互作用力。用以描述物体在受力后任何部位的内力和变形的力学量是应力和应变。本章将讨论应力矢量和某一点处的应力状态。 为了说明应力的概念，假想把受—组平衡力系作用的物体用一平面A 分成A 和B 两部分(图2.1)。如将B 部分移去，则B 对A 的作用应代之以B 部分对A 部分的作用力。这种力在B 移去以前是物体内A 与B 之间在截面C 的内力，且为分布力。如从C 面上点P 处取出一包括P 点在内的微小面积元素S ?，而S ?上的内力矢量为F ?，则内力的平均集度为F ?／S ?，如令S ?无限缩小而趋于点P ，则在内力连续分布的条件下F ?／S ?趋于一定的极限σ，即 σ=??→?S F S 0lim 这个极限矢量σ就是物体在过c 面上点P 处 的应力。由于S ?为标量，故，σ的方向与F ?的 极限方向一致。内力矢量F ?可分解为所在平面 的外法线方向和切线方向两个分量n F ?和s F ?。 同样，应力σ可分解为所在平面的外法线方向 和切线方向两个分量。沿应力所在平面 的外法线方向n 的应力分量称为正应力，记为n σ，沿切线方向的应力分量称为切应力，记为 n τ。此处脚注n 标明其所在面的外法线方向，由此， S ?面上的正应力和切应力分别为n σ和n τ。 在上面的讨论中，过点P 的平面C 是任选的。显然，过点P 可以做无穷多个这样的平面C ，也就是说，过点P 有无穷多个连续变化的n 方向。不同面上的应力是不同的。这样，就产生了如何描绘一点处的应力状态的问题。为了研究点P 处的应力状态，在点P 处沿坐标轴x ，y ，z 方向取一个微小的平行六面体(图2.2)，其六个面的外法线方向分别与三个坐标轴的正负方向重合，其边长分别为x ?，Δy ，Δz 。假定应力在各面上均匀分布，于是各面上的应力便可用作用在各面中心点的一个应力矢量来表示，每个面上的应力矢量又可分解关一个正应力和两个切应力分量，如图2.2所示。以后，对正应力只用一个字母的下标标记，对切应力则用两个字母标记*其中第一个字母表示应力所在面的外法线方向；第二个字母表示应力分量的指向。正应力的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。切应力的正负号规定分为两种情况：当其所在面的外法线与坐标轴的正方向一致时，则以沿坐标轴正方向的切应力为正，反之为负；当所在面的外法线与坐标袖的负方向一致时，则以沿坐标轴负方向的切应力为正，反之为负。图2.2中的各应力分量均 图2.1 应力矢量
应力应变关系: 弹性模量 || 广义虎克定律 1.弹性模量 a 弹性模量 单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比,即 E σε = b 切变模量 切应力与相应的切应变 之比,即 G τγ= c 体积弹性模量 三向平均应力 0() 3 x y z σσσσ++= 与体积应变θ(=εx +εy +εz )之比, 即 K σθ= d 泊松比 单向正应力引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比,即 1 ε νε= 2.广义虎克定律 a.弹性力学基本方程 在弹性力学一般问题中，需要确定15个未知量，即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。这15个未知量可由15个线性方程确定，即 (1)3个平衡方程(或用脚标形式简)写 为: 22()0 j ij i i x u f t σρ??++-=?? (,,,)i j x y z = (2)6个变形几何方程,或简写为: 1()2j i ij j i u u E x x ??= +?? (,,,)i j x y z = (3)6个物性方程简写为: 0132ij ij E G E ν σσδ= - 2ij ij ij G σελθδ=+ (,,,)i j x y z = { 1() 0() () i j ij i j δ=≠= 2.边界条件 x x xx xy xy xz xz F l l l σττ=++ y yz xx y xy yz xz F l l l τσσ=++ z zz xx xy xy z xz F l l l ττσ=++ 式中，l nj =cos(n,j)为边界上一点的外 法线n 对j 轴的方向余弦 b 位移边界问题 在边界S x 上给定的几何边界条件为 *x x u u = * y y u u = *z z u u = 式中，u i 为表面上给定的位移分量 Cauchy 公式： T x = σ x l + τ xy m +τ zx n T y = τ xy l+σ y m +τ zy n T y =τ xz l+τ y z m +σ z n (n z n T n T στ= 边界条件： ()()()x xy xz s x xy y yz s y xz yz z s z l m n T l m n T l m n T στττστττσ++=++=++= 平衡微分方程： 000yx x zx x xy y zy y yz xz z z F x y z F x y z F x y z τσττστττσ???+++=??????+++=??????+++=??? 主应力、不变量，偏应力不变量 321231230 x y z x xy y z zx yz yx y zy xz x z x xy xz yx y yz zx zy z I I I I I I σσσσσσστσστττσττσσστττστττσ-+-==++=++ = 1231 ();3 m i i m s σσσσσσ=++=- ()()()1123222222230 16()6x y y z z x xy yz zx J s s s J J σσσσσστττ=++=??=-+-+-+++????=偏应力张量行列式的秩 八面体 812381 () 3σσσστ=++ 等效应力σ=体积应变x y z θεεε=++ 12312()E v v εσσσ-= ++ 几何方程： ;;;x xy y yz z xy u u v x y x v v w y z y w u w z z x εγεγεγ???= =+??????==+ ??????==+ ??? 1 2 ij ij εγ= 变形协调方程22 222y xy x xy y x ετε???+=??? 物理方程 ()()()12(1) ;12(1) ;12(1) ;x x y z xy xy y y x z yz yz z z y x zx zx v v E E v v E E v v E E εσσσγτεσσσγτεσσσγτ+??=-+=??+??=-+=??+??=-+=??
我所认识的弹塑性力学 弹塑性力学作为固体力学的一门分支学科已有很长的发展历史，其理论与方法的体系基本完善，并在建筑工程、机械工程、水利工程、航空航天工程等诸多技术领域得到了成功的应用。 一绪论 1、弹塑性力学的概念和研究对象 弹塑性力学是研究物体在载荷（包括外力、温度变化或外界约束变动等）作用下产生的应力、变形和承载能力，包括弹性力学和塑性力学，分别用来研究弹性变形和塑性变形的力学问题。弹性变形指卸载后可以恢复和消失的变形，塑性变形时指卸载后不能恢复而残留下的变形。弹塑性力学的研究对象可以是各种固体，特别是各种结构，包括建筑结构、车身骨架、飞机机身、船舶结构等，也研究量的弯曲、住的扭转等问题。其基本任务在于针对实际问题构建力学模型和微分方程并设法求解它们，以获得结构在载荷作用下产生的变形，应力分布及结构强度等。 2、弹塑性简化模型及基本假定 在弹性理论中，实际固体的简化模型为理想弹性体，它的特征是：一定温度下，应力应变之间存在一一对应关系，而与加载过程以及时间无关。在塑性理论中，常用的简化模型为：理想塑性模型和强化模型。理想塑性模型又分为理想弹塑性模型和理想刚塑性模型；强化模型包括线性强化弹塑性模型、线性强化刚塑性模型和幂次强化模型。弹塑性力学有五个最基本的力学假定，分别为：连续性假定、均匀性
假定、各向同性假定、小变形假定和无初应力假定。 3、研究方法及其与初等力学理论的联系和区别 一般来说，弹塑性力学的求解方法有：经典方法、数值方法、试验方法和实验与数值分析相结合的方法。经典方法是采用数学分析方法求解，一般采用近似解法，例如，基于能量原理的Ritz法和伽辽金法；数值法常用的有差分法、有限元法及边界条件法；实验法是采用机电方法、光学方法、声学方法等来测定应力应变分布规律，如光弹性法和云纹法。 弹塑性力学与初等理论力学既有联系又有区别，如下表所示：表1、弹塑性力学与初等力学理论的联系和区别
应用弹塑性力学习题解答 目录 第二章习题答案 (2) 第三章习题答案 (6) 第四章习题答案 (9) 第五章习题答案 (26) 第六章习题答案 (37) 第七章习题答案 (49) 第八章习题答案 (54) 第九章习题答案 (57) 第十章习题答案 (59) 第十一章习题答案 (62)
第二章习题答案 2.6设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为 2.7利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。 解求出后，可求出及，再利用关系 可求得。 最终的结果为
2.8已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。 解求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系 代入数据得，， 2.9已知应力分量中，求三个主应力。 解在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记
2.10已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解先求平均应力，再求应力偏张量，， ，，，。由此求得 然后求得，，解出 然后按大小次序排列得到 ，， 2.11已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。 解特征方程为记，则其解为，，。对应于的方向余弦，，应满足下列关系 （a） （b） （c） 由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得 ，由此求得
第一章弹塑性力学基础 1.1什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 解：静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 1.2对照应力张量与偏应力张量，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系？ 解：两者主方向相同。。 1.3 简述应力和应变Lode参数定义及物理意义： 解：μσ的定义、物理意义：； 1) 表征S ij的形式；2) μσ相等，应力莫尔圆相似，S ij形式相同；3) 由μσ可确定S1：S2：S3。 1.4设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应 力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解：该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为：
1.5利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。 解：求出后，可求出及，再利用关系 可求得。 最终的结果为， 1.6 已知应力分量为，其特征方程为 三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式 ，求以及与的关系。 解：求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系
代入数据得，， 1.7已知应力分量中，求三个主应力。 解：在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记 1.8已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解：先求平均应力，再求应力偏张量，， ，，，。 由此求得： 然后求得：，，解出 然后按大小次序排列得到 ，， 1.9 已知应力分量中，求三个主应力，以及每个
弹塑性力学基本内容 本课程是以物体的应力、应变理论以及在工程中的应用主要对象的一门基础性、实践性很强的应用学科。 教学目标为在强化物体的应力、应变理论基础的同时，关注物体的弹性力学模型的建立、分析和应用，并兼顾塑性理论的建立。在深度和广度上力求体现学科专业发展的前沿，有利于研究生掌握弹性理论专门知识，了解塑性理论的思想和方法，并着重在基础理论和实践应用两方面进行科研能力的培养。其基本要求为：使学生掌握弹性理论的建立、分析、应用，初步掌握塑性力学理论，使其具有从事弹性力学分析的知识和初步能力。 （1）弹塑性力学的研究对象和内容、弹塑性力学的分析方法和体系、弹塑性力学的基本假定 应力矢量、应力张量、Cauchy公式、平衡微分方程、力边界条件、应力分量的坐标变换、主应力、应力张量不变量、最大切应力、Mohr应力圆、偏应力张量及其不变量、八面体上的应力和等效应力、主应力空间与π平面 （2）位移分量和应变分量、两者的关系、物体内无限邻近两点位置的变化、转动分量、转轴时应变分量的变换、应变张量、主应变应变张量不变量、应变协调方程、应力和应变的关系、应力率和应变增量 （3）弹性力学的基本方程及其边值问题、位移解法（以位移表示的平衡微分方程）、应力解法（以应力表示的应变协调方程）、解的唯一性定理、局部性原理、逆解法和半逆解法、几个简单问题的求解 （4）平面应变问题、平面应力问题、应力解法（把平面问题归结为双调和方程的边值问题）、用多项式解平面问题、悬臂梁一端受集中力作用、简支梁受均匀分布荷载作用（5）平面问题的极坐标方程、轴对称应力问题和对应的位移、圆筒受均匀压力作用、曲梁的纯弯曲、具有小圆孔的平板的均匀拉伸 （6）薄板弯曲的基本概念及基本假设、弹性曲面的基本公式、薄板横截面上的内力、边界条件、圆形薄板弯曲问题 （7）塑性力学的基本概念、材料在简单拉压时的实验结果、应力-应变关系的简化模型、轴向拉伸时的塑性失稳、塑性本构关系的主要内容和研究方法 （8）应变张量和应力张量、屈服条件、几个常用的屈服条件、屈服条件的实验验证、加载条件 （9）塑性应变增量、加卸载判别准则、Drucker公设和Ilyushin公设、加载面外凸性和正交流动法则、塑性势理论、简单弹塑性问题
弹塑性力学定理和公式
应力应变关系 弹性模量 ||广义虎克定律 1.弹性模量 对于应力分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常用的弹性常数包括: a 弹性模量单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比,即 b 切变模量切应力与相应的切应变之比,即 c 体积弹性模量三向平均应力 与体积应变θ(=εx+εy+εz)之比,即 d 泊松比单向正应力引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比,即 此外还有拉梅常数λ。对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独立的。常用弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。室温下弹性常数的典型值见表3-2 弹性常数的典型值。 2.广义虎克定律 线弹性材料在复杂应力状态下的应力应变关系称为广义虎克定律。它是由实验确定，通常称为物性方程，反映弹性体变形的物理本质。 A 各向同性材料的广义虎克定律表达式（见表3-3 广义胡克定律表达式）对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应力公式中的x 、y、z分别用r、θ、z和r、θ、φ代替。对于平面极坐标，表中平面应力和平面应变公式中的x、y、z用r、θ、z代替。 B 用偏量形式和体积弹性定律表示的广义虎克定律应力和应变张量分解为球张量和偏张量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式，即 体积弹性定律 应力偏量与应变偏量关系式 在直角坐标中，i,j=x,y,z；在圆柱坐标中，i,j=r,θ,z,在球坐标中i,j=r,θ,φ。 弹性力学基本方程及其解法 弹性力学基本方程 || 边界条件 || 按位移求解的弹性力学基本方法 || 按应力求解的弹性力学基本方程 || 平面问题的基本方程 || 基本方程的解法 || 二维和三维问题常用的应力、位移公式 1.弹性力学基本方程 在弹性力学一般问题中，需要确定15个未知量，即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。这15个未知量可由15个线性方程确定，即
弹塑性力学总结 弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。通过一学期的弹塑性力学的学习，对其内容总结如下： 一、弹性力学 1、弹性力学的基本假定 求解一个弹性力学问题，通常是已知物体的几何形状（即已知物体的边界），弹性常数，物体所受的外力，物体边界上所受的面力，以及边界上所受的约束；需要求解的是物体内部的应力分量、应变分量与位移分量。求解问题的方法是通过研究物体内部各点的应力与外力所满足的静力平衡关系，位移与应变的几何学关系以及应力与应变的物理学关系，建立一系列的方程组；再建立物体表面上给定面力的边界以及给定位移约束的边界上所给定的边界条件；最后化为求解一组偏分方程的边值问题。 在导出方程时，如果考虑所有各方面的因素，则导出的方程非常复杂，实际上不可能求解。因此，通常必须按照研究对象的性质，联系求解问题的范围，做出若干基本假定，从而略去一些暂不考虑的因素，使得方程的求解成为可能。 （1）假设物体是连续的。就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。 （2）假设物体是线弹性的。就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。 （3）假设物体是均匀的。就是说整个物体是由同一种质地均匀的材料组成的。这样，整个物体的所有部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性模量和泊松比才不随位置坐标而变。 （4）假设物体是各向同性的。也就是物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。
复习题 一、选择题 01．受力物体内一点处于空间应力状态（根据oxyz 坐标系），一般确定一点应力状态需（ ）独 立的应力分量。 A ．18个； B ．9个； C ．6个； D ．2个； 02．一点应力状态的最大（最小）剪应力作用截面上的正应力，其大小（ ）。 A ．一般不等于零； B ．等于极大值； C ．等于极小值； D ．必定等于零 ； 03．一点应力状态主应力作用截面和主剪应力作用截面间的夹角为（ ）。 A ．π/2； B ．π/4； C ．π/6； D ．π； 04．正八面体单元微截面上的正应力σ8为：（ ）。 A ．零； B ．任意值； C ．平均应力； D ．极值； 05．从应力的基本概念上讲，应力本质上是（ ）。 A ．集中力； B ．分布力； C ．外力； D ．内力； 06．若研究物体的变形，必须分析物体内各点的（ ）。 A ．线位移； B ．角位移； C ．刚性位移； D ．变形位移； 07．若物体内有位移u 、v 、w （u 、v 、w 分别为物体内一点位置坐标的函数），则该物体（ ）。 A ．一定产生变形； B ．不一定产生变形； C ．不可能产生变形； D ．一定有平动位移； 08．弹塑性力学中的几何方程一般是指联系（ ）的关系式。 A ．应力分量与应变分量； B ．面力分量与应力分量； C ．应变分量与位移分量； D ．位移分量和体力分量； 09．当受力物体内一点的应变状态确定后，一般情况下该点必有且只有三个主应变。求解主应变的方程可得出三个根。这三个根一定是（ ）。 A ．实数根； B ．实根或虚根； C ．大于零的根； D ．小于零的根； 10．固体材料受力产生了塑性变形。此变形过程（ ）。 A ．必定要消耗能量； B ．必定是可逆的过程； C ．不一定要消耗能量； D ．材料必定会强化； 11．理想弹塑性模型, 这一力学模型抓住了（ ）的主要特征。 A ．脆性材料； B ．金属材料； C ．岩土材料； D ．韧性材料； 12．幂强化力学模型的数学表达式为σ=A εn ，当指数n=1时，该力学模型即为（ ）。 A ．理想弹塑性力学模型； B ．理想线性强化弹塑性力学模型； C ．理想弹性模型； D ．理想刚塑性力学模型； 13．固体材料的弹性模E 和波桑比ν（即横向变形系数）的取值区间分别是：（ ）。 14．应力分量等于弹性势函数对相应的应变分量的一阶偏导数(0ij ij U σε?=?)此式是用于（ ）。 A ．刚体； B ．弹性体； C ．弹塑性体； D ．刚塑性体 ； 15．主应力空间π 平面上各点的（ ）为零。 A ．球应力状态m ij σδ； B ．偏斜应力状态ij s ； C ．应力状态ij σ； D ．应变状态ij ε； 16．在π 平面上屈服曲线具有的重要性质之一是（ ）。 A ．坐标原点被包围在内的一条封闭曲线； B ．一条封闭曲线； C ．坐标原点被包围在内一条开口曲线； D ．一条封闭折线； 17．Tresca 屈服条件表达式中的k 为表征材料屈服特征的参数，其确定方法为：若用简单拉伸试
3. STRAIN 3.1. Deformation and Strain tensor In present chapter we examine the deformation geometry of the deformable solid without regard for the actual forces required to produce it. The most obvious and direct method of describing the motion of a continuum solid is to consider the motion of each and every particle making up the solid. If the relative position of every particle is not changed, there is only rigid moving and rotation, then we may consider it as a rigid displacement. If the relative position of every particle is changed, in the same time the initial shape of the body is distorted, then we called there is a deformation. In the following, we will discuss the deformation of elastic-plastic body. Suppose the distance between two points P o(x o, y o) and P(x,y) is P o P in plane Oxy before deformation. After deformation the two ends of segment P o P moved to P o′(x o′y o′) and P′(x′, y′). Let P o P =s, P o′P′= s ′then the components of vectors s′and s along the x , y axes are: s x′=s x+ s x s y′=s y′+s y The displacement component at point P o is u o =x o′?x o v o =y o′?y o (3.1) Similarly, at point P the displacement component is(Fig.3.1): u =x′– x v =y′– y (3.2) Suppose the displacement u and v are the single-value continuously functions of x and y, then we can expand the displacement at point P in an infinite Taylor series about point P o, that is: u = u o + s x + s y + 0 (s x2, s y2 ) v =v o + s x + s y+ 0(s x2, s y2) (3.3) Because point P is in the neighbourhood of the point P o, therefore the quantity s is sufficiently small, so that we obtain the formula s x =s x′–s x = (x′-x ) – (x o′-x o ) = s x+s y s y =s y′–s y = (y′-y) – (y o′-y o )= s x+ Using the indicial notation and summation convention, these equations
第十一章习题答案 11.3使用静力法和机动法求出图示超静定梁的极限载荷。 解1:（ 1）静力法 首先该超静定梁（a ）化为静定结构（b ）、（c ）。分别求出其弯矩图，然后叠 加，得该超静定梁的弯矩图（f ） 在极限情况下 M A M s , M B M s 设C 点支反力为R C ，贝U ： R C 2l Pl 1 当P 值达到上述数值时，结构形成破坏机构，故 P 为该梁的完全解。 （2）机动法 设破坏机构如图（g ）,并设B 点挠度为，则: C ,(2l l 1) 21 l 1 21 11 外力功W e P (I R c (2l h) M s 由上二式得 M p 41 l 1 2l l 1 l 1 k ——
41 l 内力功 W i M AA M B B —M l 1 21 l 1 由W e W ,可得极限载荷上限为 4l l i l i 2l l i 由于在P 作用下，M s M x M s ，故上式所示载荷为完全解的极限载荷。 解2：（ 1）静力法 先将该超静定梁化为静定梁（b ）、（c ），分别作弯矩图，叠加得该超静定梁的 弯矩图（f ） 设A 点为坐标原点，此时弯矩方程为: M x R B l x 在极限状态时，有 M s x x-1 ,M x 1 M s 令dM X dx 0 得 q(l X i ) R B 而 R B l iql 2 1 2q (1)、(2)、(3)得 M s 2 l R B l X i 联立解 2qM s i i ql M s M s (1) (2) (3) 解得q ii2 i44 i6 M s l 2
在以上q0值作用下，梁已形成破坏机构，故其解为完全解 （2）机动法如图（g） 设在A、C两点形成塑性铰A B 内力功为 外力功为 由虚功原理W i W 该解与完全解的误差为 3% q 解3：（1）静力法 设坐标原点在C点，此时弯矩方程为： BC 段（0 x L 2）M （x） R c x qx2 1 1 AB段（L 2 x l）M （x）&X - ql x T 2 4 取较大的值，可得q011.66 处，M为极大值，设在BC段，由 dM x dx 得R c q 0 R c q (1) M s M s g2 3M s l W e 2 02q x dx 4q 得：q 12M s q0 11.66^ l2 b ----------- ----------------- H
弹塑性力学基本理论及应用 刘士光著 华中科技大学
第一章绪论 1.1弹塑性力学的任务 固体力学是研究固体材料及其构成的物体结构在外部干扰(载荷、温度交化等)下的力学响应的科学，按其研究对象区分为不同的学科分支。弹性力学和塑性力学是固体力学的两个重要分支。弹性力学是研究固体材料及由其构成的物体结构在弹性变形阶段的力学行为，包括在外部干扰下弹性物体的内力(应力)、变形(应变)和位移的分布，以及与之相关的原理、理论和方法；塑性力学则研究它们在塑性变形阶段的力学响应。大多数材料都同时具有弹性和塑性性质，当外载较小时，材料呈现为弹性的或基本上是弹性的；当载荷渐增时，材料将进入塑性变形阶段，即材料的行为呈现为塑性的。所谓弹性和塑性，只是材料力学性质的流变学分类法中两个典型性质或理想模型；同一种材料在不同条件下可以主要表现为弹性的或塑性的。因此，所谓弹性材料或弹性物体是指在—定条件下主要呈现弹性性态的材料或物体。塑性材料或塑性物体的含义与此相类。如上所述。大多数材料往往都同时具有弹性和塑性性质，特别是在塑性变形阶段，变形中既有可恢复的弹性变形，又有不可恢复的塑性变形，因此有时又称为弹塑性材料。本书主要介绍分析弹塑性材料和结构在外部干扰下力学响应的基本原理、理论和方法。以及相应的“破坏”准则或失效准则。 以弹性分析为基础的结构设计是假定材料为理想弹性，相应于这种设计观点就以分析结果的实际适用范作为设计的失效准则，即认为应力(严柞地说是应力的某一函数值)到达一定限值(弹性界限)，将进入塑性变形阶段时、材料将破坏。结构中如果有一处或—部分材料“破坏”，则认为结构失效(丧失设计所规定的效用)。由于一般的结构都处于非均匀受力状态，当高应力点或高应力区的材料到达弹性界限时，类他的大部分材料仍处于弹性界限之内；而实际材料在应力超过弹性界限以后并不实际发生破坏，仍具有一定的继续承受应力(载荷)的能力，只 不过刚度相对地降低。因此弹性设计方法不能充分发挥材料的潜力，导致材料的某种浪费。实际上，当结构内的局部材料进入塑性变形阶段，在继续增加外载荷时，结构的内力(应力)分布规律与弹性阶段不同，即所谓内力(应力)重分布，这种重分布总的是使内力(应力)分布更趋均匀，使原来处于低应力区的材料承受更大的应力，从而更好地发挥材料的潜力，提高结构的承载能力。显然，以塑性分析为基础的设计比弹性设计更为优越。但是，塑性设计允许结构有更大约变形，