弹塑性力学第05章

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弹塑性力学第05章弹性力学问题的建立和一般原理

假设其余应力分量全为零，并且由图中的几何关系，于是可得下列一组应力分量
应力分量
M O
τ xz = −αGy ，τ yz = αGx σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
代入平衡微分方程
τ zy
ϕ
τ
x
τ zx
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + + + Fbx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xy ∂σ y ∂τ zy + + + Fby = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z + + + Fbz = 0 ∂x ∂y ∂z
假设弹性体受已知体力作用，在物体的边界上，或者面力已知，或者位移已知，或者一部分上面力已知，而另一部分上位移已知，则弹性体平衡时，体内各点的应力分量与应变分量是唯一的，对于后两种情形，位移也是唯一的。
这一定理以这样一个假设为依据：当物体不受外力作用时，体内的应变能为零，应力分量和应变分量也全为零。当
∫∫τ
∫∫τ
zx
dxdy = 0
dxdy = 0
M O
τ zy
ϕ
τ
x
zy
M = ∫∫ (xτ zy − yτ zx )dxdy
将应力分量代入
τ zx
τ yz = αGx
y
τ xz = −αGy
σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
∫∫τ zx dxdy = 0
∫∫τ
zy
τ xz = −αGy
1 ε ij = (1 +ν )σ ij −νσ kk δ ij E
或
[
]
σ ij = λε kk δ ij + 2Gε ij

弹塑性力学习题集

第二章应力
第四章本构关系
讨论:
s
σ3
h 3
h s
ε2
时，s 44h 本构方程为:
ε
σE =时，s )
1()
(111E
E
E E s s s -+=-+=σεεεσσs
εs
σ3
h 3
h
P
三杆均处于弹3
h 3h
P
03
h 3h
P
3
h 3
h
P
在弹塑性阶段，１杆虽然进入塑性状态，但由于其余两杆仍处于弹性阶段，１杆的塑性变形受到限制，整个桁架的变形仍限制在弹性变形的量级，这个阶段可称为约束的塑性变形阶段．在塑性阶段，三杆都进入塑性状态，桁架的变形大于弹性变形量
级．一般说来，所有的弹塑性结构在外力的作用下，都会有这样三个变形的阶段．
3
h 3
h
P
扭和内压作用，有应力分量
求：
比例从零开
多大时开始进入屈服？z ϕϕτ3=（２）开始屈服后，继续给以应力增量，满足0
=d γMises ：
屈服准则为
21=z f σz z ϕϕτσσ32==代入上式得到屈服后，增量本构关系为：
z
z
z z d E G d d σστσλϕ898=
=
第五章弹塑性力学问题的提法
第六章弹塑性平面问题
试求其应力分量。

图6.7 局部受均布载荷简支粱
的增大而迅速衰减。

弹塑性力学讲义第一章绪论

i 1 j 1

3

每个分量用一个标量（具有两个下标）与两个并在一起基矢量（并矢），称为二阶张量。矢量可称为一阶张量，标量为零阶张量。 5.2 求和约定在张量表示说明中，看到张量分量表示是一组符号之和，很长，特别是高阶张量，为了书写简捷，采用求和约定。求和约定：当在同一项中，有一个下标字母出现两次时，则表示该项在该指标的取值范围内遍历求和，且称此种在同一项重复出现一次的下标为哑标。如：
e1 e2 a2 b2 e3
a b ai ei b j e j ai b j eijk ek ai b j ekij ek ，则
c c k eijk ai b j ekij ai b j ， a b a1 b1
ij
自动消失。ij 也称为换标符号。
eijk ( i,j,k =1,2,3)
定义： eijk
共有 27 个元素。
1 若(i , j , k ) (1,2,3)或 ( 2,3,1)或 (3,1,2)时正排列顺序－1 若(i , j , k ) ( 2,1,3)或（1， 3， 2）或（3， 2， 1）时逆排列顺序 0 若 i , j , k中任意两指标相同时
(i=1,2,3)，用 ri 表示矢径；
同样位移矢量 u，用 ui 表示位移，ij 表示应力

张量。
xi aij y j
i

x1 a11 y1 a12 y2 a13 y3 x2 a21 y1 a22 y2 a23 y3 x a y a y a y 31 1 32 2 33 3 3
矢量场的拉普拉斯算子定义为矢量场的梯度的散度：是一个向量

第五章弹塑性力学问题的提法优秀课件

在一般情况下,屈服条件和所考虑的应力状态有关
f (ij) 0
屈服函数. 表示在一个六维应力空间内的超曲面.
超曲面上的任一点(称为应力点)都表示一个屈服应力
状态. 所以又称屈服面.
对于各向同性材料,坐标轴的转动不应当影响材料的屈服,因而可以取三个应力主轴为坐标轴.屈服函数改写为
f(1,2,3)0
第一类边值问题在全部边界上给定体力和面力，求在平衡状态下的应力场和位移场，称这类问题为应力边值问题。
边界称为自由边界，属应力边界的特殊情况。如果边界上有集中力，应转换为作用在微小面积上的均布面力；集中力偶则应转换为作用在微小面积上的非均布面力。
第二类边值问题给定物体力和在物体表面各点的位移，求在平衡状态下的应力场和位移场，称这类问题为位移边值问题。
当物体处于弹塑性状态时，同样有3个平衡方程，6个几何方程以及6个本构方程。但在此情况下多引进了一个参数
d ，不过也增加了一个屈服条件 f (ij) 0
只有在应力满足屈服条件时，d 才不等于零。
在研究弹塑性小变形平衡问题范围内时，以上弹塑性力学问题的解还必须满足的边界条件。边界条件一般可分为三类，即
球形应力状态只引起弹性体积变化,而不影响材料的屈服.
屈服函数只包含应力偏量,即
f (sij) 0
这样,屈服函数为应力偏量的函数,而且可以在主应力1，2，3所构成的空间,即主应力空间内来讨论.
4 德鲁克公设与伊留申公设
Drucker公设:
对于处于在某一状态下的材料质点（或试件），借助一个外部作用，在其原有的应力状态之上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在这附加应力的施加和卸除的循环内，外部作用所做的功是非负的。
由此可见，弹性力学的基本方程组一般地反映物体内部的应力、应变和位移之间相互关系的普遍规律，而定解条件具体给定了每一个边值问题的特定规律。因此，每一个具体问题反映在各自的边界条件上。所以，弹性力学问题的基本方程组和边界条件共同构成弹力学问题严格而完整的提法。

弹塑性力学-05 弹性本构

2. 正交各向异性
介质有三个相互垂直的弹性对称面弹性主方向：与对称面垂直的方向
5.2 各向异性弹性理论
2. 正交各向异性
沿一个方向拉压时，微元体变形后仍为正六面体，只产生边长的伸长或缩短，面间的夹角保持不变即剪应变为零。若取弹性主方向为坐标轴，则正应力和剪应变之间、正应变和剪应力之间不耦合。
xzy
a 对
b a
0 0 c
0 0 0
0
y
0 0
xzy
之间具有某个确定的关系，故独立弹性常数只
yz
zx
称
c
0
y
z
有2个。
c zx
5.3 各向同性弹性理论
2. 广义Hooke定律
G E
在线弹性条件下，叠加原理成立
2(1 )
x
1 E
[ x
(
y
z)]
y
1 E
5.2 各向异性弹性理论
2. 正交各向异性独立的弹性常数剩下9个
x c11 c12 c13 0 0 0 x
y
c22 c23 0
0
0
y
xzy
c33 0 0
对
c44 0
0 0
xzy
yz
zx
称
c55
0
yz
c66 zx
5.2 各向异性弹性理论
3. 横观各向同性介质有一个对称轴 z 轴
xy xy
yz
yz
zx
zx )
1 2
ij ij
U
W d
1 2
ijijd
线弹性本构理论
5.1 弹性应变能 5.2 各向异性弹性理论 5.3 各向同性弹性理论

弹塑性力学-05厚壁圆筒ppt课件

u(1 2 E )r 2r2 b s b2(12)r2 =1/2
u 3r 2 s
4Er
精选课件PPT
18
五、位移分量（平面应变状态）
2. 弹塑性阶段：
（2）塑性区：a r r
ez 0 ,q 0 ,er eq 0
连续条件：
du u 0 dr r
u C r
ue rrup rr
C(1 2 E )r22 b s b2(12)r2
一内外半径比为一内外半径比为bbab的封闭厚壁圆筒受内压的封闭厚壁圆筒受内压p和扭矩和扭矩tt同时作用该材料服从同时作用该材料服从misesmises屈服条件求内外表面同时达到屈服条件求内外表面同时达到屈服时的屈服时的tp试比较内半径为试比较内半径为aa外半径为外半径为2a2a的单层两层四层八层的单层两层四层八层厚壁圆筒的弹性极限压力和塑性极限压力
3ei 2i
z
m
假设2
εz 0
zm1 3rqz
z m12r q
精选课件PPT
22
❖几何方程：（轴对称问题）
du
u
εr
, dr
εθ
r
εz 0
εr
εθ
ez
0,1
2
du u 0 dr r
du dr
u
r
lu n lr n C u C r
C ε r r2
C εq r2
εz 0
εq
r
q
s
2
rb22
12lnrr
精选课件PPT
11
三、全塑性分析
r ＝b
pl
s
lnb a
ps
2
1rb22
2lnra
塑性极限压力

弹塑性力学第五章简单弹塑性力学问题1

利用 2 ij ij ，以上各式易改写为张量形式
ij ,kl kl ,ij ik , jl jl ,ik
这六个方程的几何意义是被分割后的微分单元体在受力变形后能重新拼合成连续体，即不会出现“撕裂”或 “套叠”等现象。如图（这里略）
(5.17)
F cos 2 1 2 A (1 2cos3 ) F 1 3 A (1 2cos3 )
(5.18)
由式(5.18)可见 3 1 ，当F增加时，杆3将首先屈服。显然，当 3 s 时，桁架开始初始屈服，由式（5.18)可求得桁架初始屈服时对应的荷载值 Fe
3.本构方程 1）弹性阶段，即
f ( ij ) 0或f ( ij ) 0, df 0
本构方程可表示为两种可相互转换的形式：（1）应力表示应变；（2）应变表示应力
或
1 ij ij kk ij E E
(5.4)
ij kk ij 2G ij
为
1

因此，有变形协调关系
1 2 3 cos
2
(5.16)
1、弹性阶段——弹性解和弹性极限荷载
当荷载F足够小时，各杆应力都小于屈服应力，整个桁架处于弹性阶段。由2 3 E 3
联立式(5.14)、(5.15)和(5.17)并求解，得
5.5 叠加原理（线弹性体）
考虑同一边界条件下作用在同一固体上的两组荷载情况:第 ' ' 一组体力 X i 和面力 X i' ,第二组为体力 X i''和面力 .设它 X i' ' ' 们引起的应力场、应变场和位移场分别为 ij、ij、ui ， '' '' '' 和 ij、ij、ui ，则在线弹性和小变形情况下两组荷载共同作用时产生的应力场、应变场和位移场，等于各自单独作用时引起的相应场之和，即

工程弹塑性力学-浙大-05

e e1 e2 e3
例如： l0 1.5l0 1.8l0 2l0
e1
1.5l0 l0 l0
0.5;
e2
1.8l0 1.5l0 1.5l0
0.2;
e2
2l0 1.8l0 1.8l0
0.11;
e 2l0 l0 1.0。
l0
e e1 e2 e3
5.3 应变的表示法
• 工程应变与自然应变的关系：
• 一般应力-应变曲线： s =Ee ， e < es (屈服前：线弹性) s =(e) ，e > es (屈服后)
5.2 应力应变简化模型
1. 理想弹塑性模型（软钢或强化率较低的材料）
s
加载: s ds 0, e s / E signs
ss
为一个大于或
等于零的参数
卸载: s ds 0, de ds / E
工程弹塑性力学
浙江大学建筑工程学院
第五章简单应力状态的弹塑性问题
5.1 基本实验资料 5.2 应力－应变的简化模型 5.3 应变的表示法 5.4 理想弹塑性材料的简单桁架 5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架 5.6 加载路径对桁架内应力和应变的影响
5.1 基本实验资料
拉伸试验和静水压力试验是塑性力学中的两个基本试验，塑性应力应变关系的建立是以这些实验资料为基础。
E
O
es
| s | s s ,
e s /E
符号函
数: 1, s 0
e
sign s
0,
s 0
1, s 0
5.2 应力应变简化模型
1. 理想弹塑性模型
用应变表示的加载准则：
s
加载: s de 0, s s s sign e

弹塑性力学(浙大通用课件)通用课件

塑性力学
研究材料在塑性状态下应力和应变行为的科学。
塑性力学的基本假设
塑性变形是连续的，且不改变物质的性质。塑性变形过程中，应力和应变之间存在单值关系，且该关系是连续的。塑性变形过程中，材料内部的应力状态是稳定的，不会出现应力振荡或波动。
塑性力学的基本方程
应力平衡方程
在塑性状态下，物体的内部应力场满足平衡方程，即合力为零。
应变协调方程
本构方程
在塑性状态下，应力和应变之间的关系由本构方程描述，该方程反映了材料的塑性行为特性。
在塑性状态下，物体的应变状态满足应变协调方程，即应变是连续的。
塑性力学的边值问题
01
塑性力学中的边值问题是指给定物体的边界条件和初始条件，求解物体内部的应力和应变状态的问题。
02
边值问题可以通过求解微分方程或积分方程来解决，具体方法取决于问题的具体形式和条件。
04
材料弹塑性性质
材料弹性性质
弹性模量
材料在弹性变形阶段所表现出的刚度，反映了材料抵抗弹性变形
的能力。
泊松比
描述材料在受到压力时横向膨胀的程度，反映了材料在弹性变形
阶段的横向变形特性。
弹性极限
材料在弹性变形阶段所能承受的最大应力，超过该应力值材料将
发生不可逆的塑性变形。
材料塑性性质
屈服点
解析法的优点是精度高、理论严谨，但缺点是适用范围较窄，对
于复杂问题难以得到解析解。
有限元法
有限元法是一种将连续的求解域离散化为有限个小的单元，通过求解这些小单元的解来逼近原问题的求解方法。
它适用于各种复杂的几何形状和边界条件，能够处理大规模的问题，并且可以方便地处理非线性问题。

弹塑性力学-陈明祥版的-课后习题答案++

◆ 分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们当时对客观事物的认识水平有关，会影响问题的求解与表述。
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明
的物理量，统称为标量。例如温度、质量、功等。
◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向
的物理量，称为矢量。例如速度、加速度等。
x j xk
（I-25）
4.张量的分解
张量一般是非对称的。若张量 ai的j 分量满足
aij a ji
（I-27）
则 aij称为对称张量。如果的分ai量j 满足
aij a ji
（I-28）
则称为反对称张量。显然反对称张量中标号重复的
分量(也即主对角元素)为零，即 a11 a22 。a33 0
弹塑性力学与材料力学同属固体力学的分支学科，它们在分析问题解决问题的基本思路上都是一致的，但在研究问题的基本方法上各不相同。其基本思路如下：
(1) 受力分析及静力平衡条件 (力的分析)
物体受力作用处于平衡状态，应当满足的条件是什么？（静力平衡条件）
(2) 变形的几何相容条件 (几何分析)
材料是均匀连续的，在受力变形后仍应是连续的。固体内既不产生“裂隙”，也不产生“重叠 ”，此时材料变形应满足的条件是什么？（几何相容条件）
建立起普遍适用的理论与解法。
1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解
法的严密性和普遍适用性为特点；
2、弹塑性的工程解答一般认为是精确的；
3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠
进行度量。
四、弹塑性力学的基本任务
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法，以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力，提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。

塑性力学第五章(2)-简单的弹塑性问题(二)

2
ε = 0.707σ s
1 τ= 3
σs ε2 + γ2
1 3
γ = 0.408σ s
附一：附一：
理想弹塑性材料的 Prandtl
理想弹塑性力学模型
— Reuss 理论
σ σs
Eε σ = σ s
ε ≤ εs ε > εs
εs εp εe ε
在塑性区，在塑性区，应变增量由弹性和塑性两部分组成。性两部分组成。
简单的弹塑性问题(二) 二
薄壁圆筒的拉扭联合变形增量理论全量理论
不可压缩（v=0.5）理想弹塑性材料的薄壁圆管受轴向拉力和扭矩作用，不可压缩（v=0.5）理想弹塑性材料的薄壁圆管受轴向拉力和扭矩作用，使用Mises条件。使用Mises条件。条件应力路径：（1）先拉至 ε s = ：（1 应力路径：（（2）先扭后拉。先扭后拉。
th
σs
σs
σ =
ch
σs
3G γ
σs
γ =
σs
3G
⇒
σ = 0 .648 σ s , τ = 0 .439 σ s
（2）先扭后拉）
γ
σs
3G
τ
B C
σ
3
A
s
B
C A
O
σs
3G
ε
O
σ
σ
s
dγ = 0
dW d = σ d ε + τd γ = σ d ε
3Gd ε = dσ 1−
dσ σ 2 dε dε = + 3G σ s2
σ = 0 .707 σ s τ = 0 .408 σ s
σ 2 + 3τ 2 = σ s2

弹塑性力学-05

E Ev ij ij ij e 1 v 1 2v 1 v
其中
e ii
6
塑性阶段，应力满足屈服函数根据增量理论有
f ij 0 ，在此条件下，
1 1 d x dsx ds x , d xy d xy d xy 2G G 1 1 d y ds y ds y , d yz d yz d yz 2G G 1 1 d z dsz ds z , d zx d zx d zx 2G G
或者
ij, j Fbi 0
(i, j x, y, z )
3
几何方程
应变位移关系导出的应变协调方程
2 x y
2
u u v x , xy x y x v v w y , yz y z y w w u z , zx z x z
上式称为拉梅-纳维方程
16
e 2 u Fbx 0 x e 2 v Fby 0 y e 2 w Fbz 0 z
方程组是基本方程的综合（包括平衡方程、几何方程及本构方程）、方程组含有三个未知函数。此外，边界条件也要用位移表示，当给定位移边界条件时，问题自然简单。如给定应力边界条件，则需将边界条件加以变换，改用位移表示。
14
弹性力学问题的基本解法解的惟一性
位移法--位移作为基本未知量，必须将泛定方程改用位移来
u v ve u x 2G , xy G x 1 2v y x v v w ve y 2G y 1 2v , yz G z y ve w w u z 2G , zx G z 1 2v x z 代入平衡方程

弹塑性力学课程基本教学内容目录

几何变形理论(应变理论) 第三章几何变形理论(应变理论)
§3—1 位移 · 应变的概念 · 几何方程 · 转角方程 1 §3—2 位移边界条件 2 §3—3 一点应变状态的应变分量转换方程 3 §3—4 一点应变状态的主应变 · 应变主方向 · 最 4 大（最小）剪应变最小） §3—5 应变张量的分解 · 应变偏量不变量 · 等效 5 应变 §3—6 变形连续性条件(应变协调方程) 6 变形连续性条件(应变协调方程) §3—7 应变速率 · 应变增量 · 应变莫尔圆 7
弹塑性力学课程基本教学内容目录
第一章绪
§1—1 1 §1—2 2 §1—3 3 本任务
论
弹塑性力学的研究对象、研究方法和基弹塑性力学的研究对象、弹塑性力学的基本假设弹塑性力学的发展概况
第二章应力理论
§2—1 应力的概念应力状态的概念 1 应力的概念·应力状态的概念 §2—2 一点应力状态的应力分量转换方程 2 §2—3 一点应力状态的主应力 · 应力主方向 · 应 3 力张量不变量 §2—4 最大（最小）剪应力 · 空间应力圆 · 应力 4 最大（最小）椭球体 §2—5 应力张量的分解 5 应力张量的分解——球应力张量与偏应力球应力张量与偏应力张量 §2—6 主偏应力 · 应力偏量不变量 6 §2—7 八面体应力 · 等效应力 7 §2—8 平衡（或运动）微分方程 8 平衡（或运动） §2—9 静力边界条件 9
第章
弹性变形·塑性变形本构方程弹性变形塑性变形·本构方程塑性变形
§4—1 概述 1 §4—2 弹性变形与塑性变形的特点 · 塑性力学 2 的附加假设 §4—3 弹塑性力学中常用的简化力学模型 3 §4—4 广义虎克定律 · 弹性应变能函数 · 弹性 4 常数间的关系 §4—5 应力张量与应变张量分解的物理意义 5 §4—6 屈服函数 · 主应力空间 · 常用屈服条件 6 加载曲面·加载方式 §4—7 加载准则加载曲面加载方式 7 加载准则·加载曲面 §4—8 弹塑性应变增量应变偏量增量间的关系 8 弹塑性应变增量·应变偏量增量间的关系 §4—9 塑性变形本构方程——增量理论（流动 9 塑性变形本构方程增量理论（增量理论理论）理论）全量理论（ §4—10 塑性变形本构方程 10 塑性变形本构方程——全量理论（形变全量理论理论）理论） §4—11 岩土材料的变形模型与强度准则 11

弹塑性力学-05厚壁圆筒

σθ
r
r b2 p a2 1 + 2 σ s 1 + ln − 2 2 a b −a r = σ sρ 2 a 2 p b2 2b 2 − b 2 − a 2 1 + r 2

ρ ＝b
b p l = σ s ln a
r σ r = σ s ln b
σ θ = σ s 1 + ln
r b
p=
σs
ρ 1 − 2 + 2 ln 2 b a
ρ2
塑性极限压力
σθ
σs σr
p
a
b
12
讨论：讨论：
Mises 条件条件:
(σ r − σ θ )2 + (σ θ
14
四、残余应力
结构经历弹塑性变形历史后零外载对应的应力。结构经历弹塑性变形历史后零外载对应的应力。初次加载( 时的应力：初次加载 p*>pe ) 时的应力：σij 卸除的应力：卸除的应力：σij e 残余应力：残余应力：σij r
σ ij = σ ij − σ
r
e ij
15
σr = −
2. 弹塑性分析
弹性区：ρ≤ r ≤ b 弹性区： σ r = C 1 + C 2 r −2 σ θ = C 1 − C 2 r −2
边界条件： σ 边界条件：
r r=b
ρ: 弹塑性分界面的半径。弹塑性分界面的半径。 σs
σθ a b
σr
=0
p
屈服条件：屈服条件： σθ – σr）r=ρ = σs （

a≤r≤ ρ
ρ ≤r≤b

弹塑性力学及其应用05

第5章厚壁圆筒的分析厚壁圆筒的弹塑性分析厚壁圆筒的残余应力厚壁圆球的分析厚壁圆筒：外半径b 与内半径a 之比b/a >1.2。

它的几何形状对称于中心轴它的几何形状对称于中心轴，，且沿筒体轴向无变化且沿筒体轴向无变化，，圆筒的载荷分布亦对称于中心轴圆筒的载荷分布亦对称于中心轴，，并沿轴向均相同并沿轴向均相同。

——平面轴对称问题在这类问题中在这类问题中，，应力应力、、应变和位移量均与切向坐标应变和位移量均与切向坐标θθ无关无关，，而仅是径向坐标r 的函数的函数。

厚壁圆筒简介工程实例高压容器冷挤压用的凹模和凸模火炮身管厚壁圆筒简介采用极坐标( r ,θ)表示各应力分量表示各应力分量。

轴对称性（应力轴对称应力轴对称））0=θτr 径向应力与切向应力仅是r 的函数的函数，，与θ无关无关，，)(),(r r r θσσ)(),(r r r θεε由于轴对称性由于轴对称性，，筒体只产生沿半径方向的均匀膨胀和收缩和收缩，，即只产生径向位移)(r u 轴向位移仅与z 有关有关，，即)(z w厚壁圆筒简介基本方程平衡方程平衡方程：：0=−+r dr d r r θσσσ几何方程几何方程：：rudr du r ==θεε,物理方程物理方程：：（平面应力平面应力））)(1)(1r r r EE µσσεµσσεθθθ−=−=)(1)(122r r r EEµεεµσµεεµσθθθ+−=+−=边界条件边界条件：：uu S F S uS u rS r ==上在位移上在力的边界边界σσσ（平面应变平面应变））)1()1(2µµµµµ−=′→−=′→E E E 5-1厚壁圆筒的弹性分析位移解法几何方程物理方程)(1)(122drdur u E r udr du E r µµσµµσθ+−=+−=平衡方程01222=−+r udr du r dr u d 0])(1[=drru d r dr d rBAr u +=1p 2p 5-1厚壁圆筒的弹性分析])1()1[(1])1()1[(12222rBAE r BA E r µµµσµµµσθ−++−=−−+−=const A Er =−=+µσσθ1)]([1θσσµσε+−=r z z E当（平面应力平面应力））或（广义平面应力广义平面应力））时，可得，即轴向应变为常量即轴向应变为常量。

塑性力学05-球对称与轴对称问题

解这个方程得到:
因为材料是理想弹塑性, 出口截面处的拉拔应力不能超过屈服应力, 所以有 A1 A1 这样得到 s ln s e A2 A2 那么最大减缩率为
1 Rmax 1 0.63 e
5-3 理想弹塑性材料的厚壁圆筒问题的描述: 分析内径为 a ,外径为 b 的厚壁圆筒,在其内表面受内压为 q .假定是不可压缩的理想弹塑性材料, 并限定为平面应变问题.取柱坐标,使 z 轴与筒轴线重合. 1)弹性状态 • 弹性应力解为(由于材料不可压缩 1/ 2 ): a 2 p1 b2 a 2 p1 b2 1 r 2 2 1 2 , 2 2 1 2 , z r b a r b a r 2 应力强度为 1 2 2 2 i 1 2 2 3 3 1 那么根据Mises屈 2 服条件得到弹性极 2 3 3b q 即限压力为: i r 2 b 2 r2 2 s a 1 2 qe 1 2 a b 3 因此可见最大应力强度发生在内壁处.
这里常数B可以按照内壁的半径条件 r r a q 来定.
2. 弹塑性状态当压力 q qe 时,球壳内壁开始屈服并向外扩展到半径 rs 处,如果材料是理想弹塑性, 在塑性区应力仍要满足平衡条件,此时考虑到屈服条件 r s ,因此有 d r 2 s 0 dr r 积分得到 r 2 s ln r C 根据边界条件 r |r a q 得到积分常数 C q 2 s ln a 得到塑性区的应力为 r r 2 s ln q a r s 1 2ln q a
z

d
r

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基尔霍夫假设
• （1）直法线假设 • （2）σz引起的变形略去不计 • （3）中面内各点只有垂直位移w
基尔霍夫假设
• （1）变形前垂直于薄板中面的直线段（法线）在变形后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，且其长度不变，称为直法线假设，它与材料力学中梁弯曲问题的平面假设相似。若将板中面作为xOy坐标面，z轴垂直向下，则根据此假设，有 εz=0和γxz=γyz=0。
-vzw （5-1） y
x
u x
式（5-1）表示，薄板内坐标为（x,y,z） y 的任一点，分别在x和y方向的位移沿板厚
v y
方向呈线性分布，中面处位移为零，在上、下表面处位移最大。
利用式（a）的第一、第二和第四式，得应变分量的表示式
x x 2w 2z
y y 2w 2z
xy 2 x 2 w yz
y
y
E
1 2
y
x
xy
E
2 1
xy
x
Ez 1
2
z 1
2
2w y2
2w x 2
xy
Ez 1
2w xy
（5-3）
这是薄板小挠度弯曲时，主要应力σx，σy和τxy与挠度w的关系式。可见它们沿板的厚度也是呈线性分布，其在中面上为零，在上、下板面处达到极值。
第五章薄板的小挠度弯曲
•
板是工程中常用的构件，当外荷载作用方
向平行于板面且沿板厚均匀分布且不发生失稳
现象时，可以处理为平面应力问题；当外荷载
作用方向垂直于板面时，则属于弹性力学的空
间问题。由于数学上处理空间问题的复杂性，
要求得满足全部基本方程和边界条件的精确解
非常困难，这就需要引入简化计算的近似假设。
(Navier解) • §5-6 矩形薄板的三角级数解(Levy解) • §5-7 圆形薄板的弯曲
§5-1 基本概念与计算假定
• 板、板面、板边、板厚 • 薄膜 • 薄板：当板厚与板面内
最小特征尺寸之比在 1/80～1/5之间时 • 厚板 • 挠度 • 小挠度问题：挠度与板厚之比小于或等于1/5 • 大挠度问题
z
w z
0
再由式（a）的第五、第六式，有
uw vw z x z y
u-z w xf1x,y -v z w yf2x,y
由第三个假设：（u）z=0=0和（v）z=0=0
xy
v x
u y
（a）
yz
w y
v z
0
xz
u z
w x
0
可知，f1(x,y)=f2(x,y)=0，于是有
u-zw x
0
xz
yz
z
0
x y z
（c）
这里q为薄板单位面积内的横向荷载。
如体力分量FZ及下表面上的面力不等于零，对簿板来说，可以归入板上表面的面力，这样处理只会影响次要应力 σ ，于是板上、下表面的静z力边界条件为：
z x z h 0
2
z y z h 0 2
式（5-4）就是切应力τxz和τyz与挠度w的关系式，它们表明，剪应力τxz和τyz沿板厚方向呈抛物线分布，在中面处达最大值，这也与梁弯曲时剪应力沿梁高方向的变化规律相同。
σz沿板厚呈三次抛物线规律分布（图5-2）。
三、薄板横截面上的内力表示式
• 下面要建立这些合成内力与挠度之间的关系。
次要应力分量
• 按假设，σz，τxz和τyz应为零，实际上，它们只是远小于σx，σy和τxy的次要的应力分量，对于它们所引起的变形可略去不计，但对于维持平衡，它们不能不计。为了求得它们，现考虑不计体力的平衡微分方程：
x x
yx y
zx z
0
xy x
y y
zy z
h
Mx
2 h
z
xdz
2
h
My
2 h
z
ydz
2
h
Mxy
2 h
z
xydz
2
阴影微分面单位宽度上的正应力和切应力的主矢量分别为σxdz，σydz 和 τxy=τyxdz 。由于 σx ， σy ，沿板厚按线性规律分布，以及分布的反对称特性，所以，它们在板的全厚度上的主矢量为零。
称为挠度函数。
• 在上述假设基础上建立起来的弹性薄板的小挠度理论，属于薄板弯曲的经典理论，它在许多工程问题的分析计算中，已得到广泛的应用。
§5-2 薄板内力
• 根据§5-1中的三个基本假设，利用弹性力学的平衡微分方程、几何方程和物理方程，可以将薄板内任一点的位移分量、应变分量、应力分量和板横截面上的内力，都用挠度w来表示。下面就来建立这些基本关系式。
• 一、薄板中的位移分量和应变分量的表示式 • 二、薄板中的应力分量表示式 • 三、薄板横截面上的内力表示式
一、薄板中的位移分量和应变分量的表示式
u
根据上述第一假设，由几何方程知（a）式 x x
成立. 由式（a）的第三式可知，在板内所有的点，
y
v y
位移分量w只是x和y的函数而与z无关，故板内各点的位移分量w沿厚度方向是相同的。
z z h 0
2
z
z h 2
q
（d）
将式（5-3）代入方程（c），经积分后，利用边界条件（d）的前三式，不难得到以下结果:
zx
E
21 2
z2
h2 4
x
2
w
zy
E
21 2
z2
h2 4
y
2w
（5-4）
z61 E-h32 1 2h z21h z22w（5-5）
下面将通过引入这样的近似假设，建立薄板弯
曲问题的基本方程和基本关系式以及各种支承
情况下的边界条件，并讨论几种常用的薄板弯
曲问题。
第五章薄板的小挠度弯曲
• §5-1 基本概念与计算假定 • §5-2 薄板内力 • §5-3 薄板弯曲的基本方程 • §5-4 边界条件 • §5-5 四边简支矩形薄板的重三角级数解
（5-2）
z
w z
0
xy
v x
u y
w v yz y z
xz
u z
w x
0
0
(a)
由此可见，应变分量εx,εy,γxy也是沿板厚呈线性分布，在中面为零，在上、下板面处达极值。
二、薄板中的应力分量表示式
• 根据上述的第一个和第二个假设，物理方程简化为
x
E
1 2
x
基尔霍夫假设
• （以略2）去与不σ计x，。σy ， τxy等相比，σz很小，在计算变形时可
• （3）薄板中面内各点只有垂直位移w而无x方向和y方向的位移，即
• （u）z=0=0，（v）z=0=0，（w）z=0=w（x,y） • 根即据在这中个面假内设无，应中变面发内生的。应中变面分内量的εx位，移εy和函γ数xyw均（等x于,y零），

弹塑性力学第05章

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