《弹塑性力学》第十章 弹性力学的能量原理

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§10-1 几个基本概念和术语
应变能、应变余能的计算举例
l
P
o
x
解：
（1） =E
图示等截面杆，承受轴 向荷载 P 作用。杆截 面面积为 A,材料应 力—应变关系分别为
（1） =E ，(2)
=E 1/2. 试计算外力功T 、应变
能U 和应变余能Uc。
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§10-1 几个基本概念和术语
P
Cx
C’
l
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§10-1 几个基本概念和术语
1.2可能位移 ui(k) 和可能应变 ij(k)：
可能位移ui(k)：在V内连续且可微，在
su上 满足 ： ui(k) ui
可能应变ij(k)：由ui(k)通过几何方程导出的
(k) ij
12(ui(,kj)
u(jk,i))
§10-1 几个基本概念和术语
1.5 虚应力 ij ：
ij = ij(k1)-ij(k2)
在V内：
ij,j = 0
在s 上:
njij = 0；
满足齐次静力方程。
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§10-2 虚功方程
2.1虚功方程
在给定体力、面力和约束情 况下，如果找到两种状态:
S
第一种状态：
Su
在介绍能量原理以前，先介绍几个基本概 念和术语。
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§10-1 几个基本概念和术语
1.1应变能U和应变余能Uc：
应变能 U 在第四章中
已定义过：
ij
UVWdVU(ij)
ij dij
应变能密度
Wij 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱij
ijW( ij)
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§10-1 几个基本概念和术语
的外力虚功等于第一种状态可能应力在第二
l
P
o
x
U
2P3l 3E2 A2
P 3l 3E 2A2
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§10-1 几个基本概念和术语
作业：图示结构各杆等截
面杆，截面面积为A,结点 A
C承受荷载P作用,材料应
力—应变关系分别为（1） l
y
=E ，(2) =E 1/2 。
试计算结构的应变能U 和 B
应变余能Uc。
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§10-1 几个基本概念和术语
1.3可能应力 ij(k)： 可能应力 ij(k)：在V内满足
ij,j(k)+fi =0
(a)
在s上满足
Xi
nj
(k) ij
(b)
满足式(a)、（b) —— 满足静力方程
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§10-1 几个基本概念和术语
1.4虚位移 ui和虚应变 ij ：
两种可能位移ui(k1)和ui(k2)之差称为虚位移
ui，而由两种可能位移状态对应的可能应 变 ij(k1) 、ij(k2)之差称为虚应变ij 。
ij =(ui,j +uj,i )/2 在V内 ui =0 在su上齐次位移边界条件。
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ij
W
ij
——弹性关系
如果将几何关系引入应变能, U、W 为位
移的函数。
应变余能（类似应变能）定义
Uc VWcdV
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§10-1 几个基本概念和术语
应变余能密度
Wc
ij
0
ijij
dij ij
——单位体积的应变余能
Wc 与积分路径无关，只与 终止状态和初始状态有关。
在前面各章中就围绕平面问题、扭转问题 和空间轴对称问题进行了具体分析和研究。
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第十章 弹性力学的能量原理
弹性力学问题的解法还有另一种解 法：以能量形来建立弹性力学求解方 程——能量法（从数学意义上说也可认 为变分法）。
本章主要介绍几个基本能量原理以及基于能量 原理的近似解法。
将几何关系引入上式
U=U( ui ) 应变能是位移的函数
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§10-1 几个基本概念和术语
各向同性线性材料的应力应变关系
ijE 1(1)ijk kij
代入Uc表达式
Uc
1 2
VijijdV
1
U c2EV
(1)i2 j
kklldV
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§10-1 几个基本概念和术语
材料为线弹性时
WWc 12ijij
但
UUc
1 2
VijijdV
WW(ij) Wc Wc(ij)
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§10-1 几个基本概念和术语
各向同性线性材料的应力应变关系
ij1 Eij12kkij
U 1 2
VijijdV
U2(1E )V ij21 2 kkll dV
在给定的体力 fi和面力 可能应力状态ij(k1)
X
，已知（找到）
i
在V内：
ij(k1)+fi =0 ;
在s =s :
Xi nji(jk1)
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§10-2 虚功方程
第二种状态：
弹性体处于可能变形状态 ui(k2) 、ij(k2)
在s =su:
ui(k2) ui
则第一种状态外力在第二种状态可能位移作
1
T=U ( E 2d)dV o 0
P x
23 E32dxdy23 E d0lz32Adx
2EAl
3 2
2EA l 32
3
3l
2EAl 3
3
E
2P 3l 3E 2A2
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§10-1 几个基本概念和术语
Uc =P l –U =P l -U
P 2l U E
第十章 弹性力学的能量原理
§10-1 几个基本概念和术语 §10-2 虚功方程 §10-3 功的互等定理 §10-4 虚位移原理和最小势能原理 §10-5 虚应力原理和最小余能原理 §10-6 基于能量原理的近似解法
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第十章 弹性力学的能量原理
弹性力学的解法之一为弹性力学边值问题 求解体系——静力法。
ij dij
Wc=ijij 为全微分
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§10-1 几个基本概念和术语
ij
W c
ij
——逆弹性关系
dij
且
W+Wc= ijij
ij
W ij 0
d ij ij
ij dij
d ij ij ij 0 ij ij
ij
ij Wc
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l o
P
T = U =Uc= P l/2
x
P = N = lEA/l,
l= Pl/(EA)
U = l 2EA/(2l), Uc = P 2 l/(2EA), （2） =E 1/2
1
T = U = WdV(d)dV(E 2d)dV
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§10-1 几个基本概念和术语
l