第八章理想刚塑性的平面应变问题
8.5 典型的滑移线场
8.6 滑移线场的数值求解
8.7 楔体的单边受压
8.8 刚性压模的冲压问题
8.9圆形切口板条的极限拉力
8.10板条的抽拉拉
利用非线性的塑性本构关系求解问题，而是在研究了平面应变状态下塑性变形的一些特点后，将问题转为建立研究了滑移线的某些性质研究了滑移线的某些性质，建立了滑移线与塑性变形规律之间的联系，从而为求解工程实际问题提供了必要的依据。
解决塑性加工工艺中的题提供了有用的参考数据并为等课题的研究提供了有利的条件。
(4)与变形平面相平行的各层之间没有相对错动物体的各点位移发生在xoy 平面内：
(,)(,u u x y v v x y ==,x u x εε∂=
∂xy v x γ∂∂=+∂∂由(8.1)得应变分量:
3中间主应力
01(2z x σσσ==+因此，在平面塑性应变条件下，垂直于变形平面的法向应力等于平均应力。
min z σσσσ
==任意一点的应力状态都可以用平均应力τ来表示，最大剪应力所作用的面与应力主平面成45
3
s
k σ=
(σσ−x y 使用Tresa(特雷斯卡)屈服条件时，主应力表达式为：
121(22
x y σσσσσ+=±
2
s
k σ=
(σσ−x y 可见在塑性平面应变问题中，两种屈服条件的形式是
相同的，只是σs 前面的系数不同。
e
α
σn
a
y
στx
σx σ
O 1
σ3
σ1
σ2
滑移线法的原理及应用
3. 不同应力状态下莫尔圆的圆心坐标不同：
0z σσσ
==τ
3
σk
k
σ
o
大圆的直径为2k ，圆心的横坐标为σ。
由图中可见，最大切应力平面上正应力等于平均压力σ，即在塑性平面应变情况下，应力由σ和k 确定。
由于k 对于理想塑性材料是常数，因此只要找到平均应力σ，一点的应力状态便可以确定。
1
σ
滑移线法的原理及应用
4. 用平均应力σ与最大剪应力和x 轴夹角θ表示应力状态：
x
σ根据单元法线方向的平衡条件：
1
σ2
σϕ
τϕϕ22121
2
12121cos 21cos 2cos sin 22
11
()()cos 2cos 222
x ϕϕ
σσϕσϕσσσσσσϕστϕ+−=+=+=++−=+由垂直于法线方向上力的平衡条件得：
12cos sin cos sin ϕτσϕϕσϕϕ
=−121
()sin 2sin 2
σσϕτ=−=上述两式平方相加得：
22()x ϕσστ−+=
cos2x σσκ=+cos 2y σσκϕ=−i 上述两式平方相加得：
22()x ϕσστ−+=sin 2xy τκϕ
=cos 2xy τκθ
=1σσκ=+2σσκ=−z σσ
=X方向是主应力方向
位移分量：
(,)u u x y v ==,x u x εε∂=
∂xy v x γ∂∂=+∂∂几何分量：
(20ij y ε
=⎢∂∂⎢⎢&⎢⎣
由塑性增量理论的Levy—Mises 关系得：
(),(x x y ελσσελσ=−=&&&&ij ij
ελε=&&
y x
∂∂x v ∂∂+x ∂由材料的体积不可压缩性可得：
在塑性区由5个方程求5两个平衡方程(8.8)，屈服条件(8.10)，位移速度表示的本构方程将塑性区内各点最大剪应力的方向连接起来并绘成连续的曲线，则可以得到两族正交的曲线，这两族正交的曲线称为方向不同，一族曲线称为αα线
β顺时针
逆时针
(3)若应力场不同，则滑移线场亦不同。
滑移线场分布于整个变形体中，而且可以一直延伸到变形体的边界。
(4)在滑移线场中，任意点的最大剪应力都等于相同的值，即但是各点的平均正应力σ则不同。
利用滑移线场求解问题时，需要求出平均正应力σ和α族滑移线上切线与ctg dx βθ⎪
=−⎪⎭
族:
2(cos 2x x σθκθ∂∂−∂∂2(sin 2y x
σθκθ∂∂−∂∂dy
tg dx α=沿线:
积分
dy
dx β=−沿线: αβ沿线:
沿线:
写成改变量形式
xy x γ=∂(x x xy
xy σσσττ⎧=⎪
⎨
⎪=⎩0
z ε=dt ⎡∂1(2x ij v y ε⎢∂⎢
⎢∂=⎢∂⎢⎢⎢⎣
&应变率张量
中间主应力
2
z σσ==xz yz ττ==0,未知的应力分量只有注意到：(x x x s σσσ=−=−12222()2x y xy J s s s s ′=++=塑性区：刚性区：
y x v v y x
∂∂+∂∂在塑性区由5个方程求若采用Tresca 屈服条件其表达式与Mises 屈服条件相同。
n
τ+n
τΓn
σ−图8.1 刚塑性交界线
两侧应力间断值
sin 2cos 22
x y
nt xy σστϕτϕ
−=+τ若x,y方向为主方向
sin 2nt τκϕ
=cos2x σσκϕ=+cos 2y σσκϕ=−sin 2xy τκϕ
=n,t ⇒x,y
45°在与主应力σ1成45角的方向上：
(8.18)
x σσ
=y σσ=xy τκ
=2(sin 2cos y x
σθκθ∂∂−−∂∂O
x y
2
s 1
s L
取活动坐标∂∂∂∂
dy
tg dx α=沿线:
积分
dy
dx β=−沿线: αβ沿线:
沿线:
写成改变量形式
y x
∂∂0θ=代入
0,x
v x ∂=∂
x αβθ=∂∂
(sin cos )0v v y αβθθθ=+=∂0v v x x αβθ
∂∂−=∂∂0v v y y
βα
θ
∂∂+=∂∂或
θb
θa
θ图8.5 压力变化与角度变化之间的关系
1
()
21
C C αβσ⎨=+⎪⎪()4C C βαθκ
=
−⎪⎩(8.29)
,,,C C αβσθ过同一点的关系式
如果β1线沿任意α线转到β2线,同样可得:
11 2.1 1.222θθθθ⋅⋅−=−11 2.1 1.222
σσσσ⋅
⋅−=−(8.29)∼(8.32)表示单元网格四个结点上的应力和倾斜角的相互关系
1C β可算出
B 2
C σκθ−=α线:
B B α沿1线1
-2C C C ασκθ=1C α可算出
C σ即算出
同理，滑移线场内任何点的2C βσκθ+=如果在某些区域中两族滑移线是直线,则在这种区域中的应力是均匀分布的,并且参数C
说明A’B’亦
ABB A′′
在的全部区域中
z滑移先场由两族彼此正交的滑移线构成，布满整个塑性变形区。
y
α
−n
−θ
θψ
T
S 边界O
ψ图8.11 应力边界条件
2(θψ1t σσκ=+⎫
⎬
2t σσκ=−⎭
若:AB 边拉力<BC 边拉力
σ⇒0,sin 2()1ψθψ=⇒⇒=−−
:v
α=
刚性区域
:,
v v
αβ
塑性区域不全为
O
D
A
C
B
814
二、简单应力滑移场
图8.14 均匀应力和简单应力滑移线OBC区域:
紧接着均匀应力区的塑性区
和均匀应力场连接处应力导数发生跳跃;
点O处的σ是不确定的。
x
图8.15 轴对称应力滑移场
边界上r=R 处的ϕ角,在σϕ>σ例:图中A 点:0ϕγ=−ϕ=⇒沿α线:2,d d σκθθϕ==±;22d d d d d θϕσκθκϕ===
0σσσκ==+=二、求出各点的应力值及确定塑性极限荷载在OA边：1n 在边：沿BC线：
2d d σκθ
=−从点B到点C：22
d π
θγ=−s n D
p σσ
κ−==−在OD边：
沿α线：0
dv v d αβθ−=d 0
v α=ABCD边沿β线：0
dv v d βαθ=−=0
v α≡OD边
0,2
v ds d x αα≡=2(2v v dV x β
β∂∂==−2s x
d x α∂∂四、校核刚性区的条件
3
2,(8.47)4
γπ<对情形只能算是p 3
2,4
γπ≥对情形求出的解是完全解
x α速度场:
2AB A B A A ′′′+=⇒⇒速度要降低一半,即AB段速度的向上分量是V/2
ACB ⇒⇒区域的速度分布sin y v v v αθ=+
BCA 区域的速度场：
2v α=AB B A ′+两个完全解的滑移场的大小可以不同，而在两者都是塑性区的地方应力分布是相同的，对应的极限荷载也相同，但速度场有差别。
