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高中数学北师大版选修2-2课件：1 类比推理

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【高中课件】北师大版选修22高考数学1.1归纳与类比课件ppt.ppt

【高中课件】北师大版选修22高考数学1.1归纳与类比课件ppt.ppt
归纳推理的特点: (1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理; (2)归纳推理的前提是部分的、个别的事实,因此,归纳推理的结论超出 了前提所界定的范围,其前提和结论之间的联系不是必然性的,而是或然性 的,所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的; (3)人们在进行归纳推理的时候,先搜集一定的事实材料,有个别性的、 特殊性的事实作为前提,然后才能进行归纳推理,因此,归纳推理要在观察和 实验的基础上进行; (4)归纳推理能够发现新事实、获得新结论,是科学发现的重要手段.
答案:B
点评
归纳推理是立足于观察、经验或实验的基础上的,认真全面地分析已知 条件是得出正确结论的关键.
探究一
探究二
探究三
������变式训练 1������观察下列等式:
1=1,
13=1,
1+2=3,
13+23=9,
1+2+3=6, 13+23+33=36,
1+2+3+4=10, 13+23+33+43=100,
质为
.
解析:圆心类比椭圆焦点,圆外一点类比椭圆外一点,圆的切线类比椭圆
的切线,∠POA=∠POB 类比∠PFA=∠PFB,于是可得类比结论为:过椭圆
������2 ������2
+
������������22=1(a>b>0)外一点
P
作椭圆的两条切线
PA,PB,其中
A,B
为切点,若
F
为椭圆的一个焦点,则∠PFA=∠PFB.
探究三
探究二类比推理
1.类比推理的一般步骤: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题 (猜想). 2.类比推理得到的结论不一定正确,所以我们要进行验证或证明.

优课系列高中数学北师大版选修22 1.1.2类比推理 课件(14张)

优课系列高中数学北师大版选修22 1.1.2类比推理 课件(14张)

1 h2
1 a2
1 b2
，
由此类比：三棱锥S-ABC中的三条侧棱
SA,SB,SC两两垂直，且长度分别为a,b,c ,设
棱锥底面ABC上的高为h，则（
）
1 111 h2 a2 b2 c2
聪明哦
帮你学好立体几何：利用圆的性质类比得出球的性质
圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR
圆的面积 S =πR2
圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦
对比归纳推理
2.归纳推理的一般思维过程:
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
丝毛草和锯子都有锯齿 锯子可以锯开木板
对比得:推理的思维过程与归纳推理相
对
似,也是通过实验观察，概括推广，猜 测一般性结论
比
对比归纳推理 对
3.归纳推理的特点
比
1.归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚 属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围。
对比归纳推理
1.什么是归纳推理？
由一类事物中的个别事物具有的特征通过观察、概括、 归纳出这类事物都具有的特征的推理叫做归纳推理
问题：视频中“鲁班发明锯子” 中有几类事物？
结论：两类不同的事物 问题：这两类事物有什么共同之处？
对
比 结论：这两类事物有 “锯齿状” 共同的特征
归纳推理是同一类事物由特殊到到一般的推理； 对比得：这种推理是两类事物由特殊到特殊的推理
类比推理的几个特点
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的 事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属 性. 3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.

【高中课件】高中数学北师大版选修22第1章1归纳与类比课件ppt.ppt

【高中课件】高中数学北师大版选修22第1章1归纳与类比课件ppt.ppt
• [答案] C • [解析] 结合实数的运算律知C是正确的．
• 3．下列平面图形中，与空间图形中的平行六面体作 为类比对象较合适的是( )
• A．三角形
B．梯形
• C．平行四边形 D．矩形
• [答案] C
• [解析] 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关
系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面 体的类比对象较为合适．
• 区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理 是由个别到个别的推理或是由一般到一般的推理．
• 联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论 都可真或可假.
• 1.如图是2015年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋 转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈 现出来的图形是( )
• [答案] A • [解析] 观察题干中的三个图形，前一个图形以中心
• ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得 出一个明确的命题(或猜想)．
• 一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多， 相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得 出的结论就越可靠．类比推理的结论既可能真，也 可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有 十分重要的实用价值．
• 3．归纳推理与类比推理的区别与联系
为原点沿顺时针旋转144°得到后一图形，类比可知 选A．
2．下面类比推理中恰当的是( ) A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a ＝b” B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc” C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“a＋c b＝ac＋bc(c≠0)” D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”
• 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．

高中数学北师大版选修2-2第1章 高考中的类比推理

高中数学北师大版选修2-2第1章 高考中的类比推理

高考中的类比推理大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。

”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。

类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。

例1、（2006湖北）半径为r 的圆的面积2)(r r S ⋅=π，周长r r C ⋅=π2)(，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ⋅=⋅ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

对于半径为R 的球，若将R 看作看作),0(+∞上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________.解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立，,34)(3R R V π=24)(R r S π=. 答案：①)'34(3R π.42R π= ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比例2．（2000年上海高考第12题）在等差数列｛a n ｝中，若a 10=0，则有等式a 1＋a 2＋……＋a n =a 1＋a 2＋……＋a 19－n （n ＜19，n ∈N *）成立。

类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9=1，则有等式 成立。

分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。

在等差数列｛a n ｝前19项中，其中间一项a 10=0，则a 1＋a 19= a 2＋a 18=……= a n ＋a 20－n = a n ＋1＋a 19－n =2a 10=0，所以a 1＋a 2＋……＋a n ＋……＋a 19=0，即a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1=－a 19， a 2=－a 18，…，a 19－n =－a n ＋1，∴ a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1= a 1＋a 2＋…＋a 19－n 。

1.1.2《类比推理》课件(北师大版选修2-2)

1.1.2《类比推理》课件(北师大版选修2-2)

(A)一条中线上的点，但不是重心
(B)一条垂线上的点，但不是垂心 (C)一条角平分线上的点，但不是内心 (D)中心 提示：选D.∵平面内的正三角形类比空间中正四面体，平面内
的圆类比空间中的球，正三角形各边中点类比空间正四面体各
面中心，因此选D.
典型例题精析
知能巩固提高
【解以 看成是四个三角形的面积之和，
类比此方法，我们可以采用等体积法解决三棱锥的相应性质： 如图，H1，H2，H3，H4依次是三棱锥Q-BCD、Q-ADC、Q-ABD和 Q-ABC的高，三棱锥的体积可以看成是这四个三棱锥的体积 之和.
所以S1=K,S2=2K,S3=3K,S4=4K,
数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，_____，_______， T16 成等 T12 比数列. 【解题提示】等差数列与等比数列中的类比是“和”类比
到“积”，“差”类比到“商”.
【解析】
答案：
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.通过计算可得下列等式：
23-13=3×12+3×1+1;33-23=3×22+3×2+1;
二、填空题（每题5分，共10分） 4.现有一个关于平面图形的命题： 如图所示，同一个平面内有两个 边长都是a的正方形，其中一个
的某顶点在另一个的中心，则这
a 2 .类比到空间，有两个棱 两个正方形重叠部分的面积恒为 4 长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这
两个正方体重叠部分的体积恒为______.
一、选择题（每题5分，共15分）
1.（2010·莆田高二检测）下面使用类比推理正确的是（ ）
(A)“若a·3=b·3，则a=b”,类比推出“若a·0=b·0,则a=b” (B)“若(a+b)c=ac+bc”,类比推出“(a·b)c=ac·bc” (C)“若(a+b)c=ac+bc”,类比推出“ a b a b (c≠0)” c c c n=anbn”,类比推出“(a+b)n=an+bn” (D)“(ab) 【解析】选C.由类比推理的形式结合代数式的运算律可知C正确.

2019-2020学年北师大版高中数学选修2-2同步配套课件：1.1 归纳与类比1.1.1

2019-2020学年北师大版高中数学选修2-2同步配套课件：1.1 归纳与类比1.1.1

目标导航
Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
【做一做】 观察下列不等式:
1+
1 22
<
3 2
,
1
+
1 22
+
1 32
<
5 3
,
1
+
1 22
+
1 32
+
1 42
<
7 4
,
…
…
照此规律,第五个不等式为 .
解析:观察不等式的左边发现,第 n 个不等式的左边为
数是
.
目标导航
Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三
解析:(1)(方法一)有菱形纹的正六边形地面砖的块数如下表:
由表可以看出有菱形纹的正六边形地面砖的块数依次组成一个
以6为首项,以5为公差的等差数列,所以第六个图案中有菱形纹的
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三
【变式训练2】 将自然数0,1,2,…按照如下形式进行摆放:
根据以上规律判定,从2 017到2 019的箭头方向是 ( )
解析:本题中的数及箭头方向都有一定的规律.箭头每经过四个 数就要重复出现,即以4为周期变化.2 016恰好是4的倍数,2 017应该 与1的起始位置相同.
=
2×23 23+2
=
1 2
=
24,

北师大版高中数学选修2-2课件第一章《推理与证明》分析法

北师大版高中数学选修2-2课件第一章《推理与证明》分析法

只需证明 (a b)(a b)2 0 ，
只需证明 (a b) 0且(a b)2 0 。 由于命题的条件“a，b是不相等的正数”，它保
证上式成立。这样就证明了命题的结论。
5
从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使 每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要 证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为 止，这种证明的方法叫做分析法．
x 只需证明对任意的 x1> 2 >3，有
f (x1 ) f (x2 ) (2x12 12x1 16)(2x22 12x2 16)

2 x12

2
x
2 2

(12x1

12 x2
)
2(x1 x2 )(x1 x2 ) 12(x1 x2 )
2(x1 x2 )(x1 x2 6) 0
8
x x ∵ x1> 2 >3 ∴ x1- 2 >0，且
x1+ x2 >6，它保证上式成立。
这样就证明了：函数 f (x) 2x2 12x 16
在区间（3，+∞）上是增加的。
例4、如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB 的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F, 求证AF⊥SC
9
证明:要证AF⊥SC
只需证:SC⊥平面AEF
只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC
只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
S
F E
A
C
B
因为:SA⊥平面ABC成立 所以.AF⊥SC成立
10
用P表示已知条件,定义,定理, 公理等,用Q表示要证的结论,则 上述过程可用框图表示为:

高中数学北师大版选修2-2课件：1 归纳推理

高中数学北师大版选修2-2课件：1 归纳推理

不完全归纳法
完全归纳法 ：每一个对象或
每一个类的考察
见课本第7页习题1-1 第3题。
17
例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动1个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测; 把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次? 解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3
以上三个推理有什么特征？
由部分到整体、由特殊到一般.
7
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著 名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥 德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除 的数）之和。 如6＝3＋3，12＝5＋7等等。 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)， 提出了以下的猜想: (a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。
上述3个案例的推理各有什么特点
4
二.新课： 1.推理 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 推理.任何推理都包含前提和结论两个部分.
5
2.例题： 例1.前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟 是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴 都是爬行动物，
结论： 所有的爬行动物都是用肺呼吸的.
2
一.引例：
1.当n=0,1,2,3,4,5时，计算n2-n+11的值，根据所计算得 的值，你能得到什么结论？ n 0 1 2 3 4 5

高中数学北师大版选修2-2第1章《类比推理》ppt参考课件

高中数学北师大版选修2-2第1章《类比推理》ppt参考课件
⑵ 用一类对象的性质去推测另一类对象的性质， 从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。
类比推理的一般步骤:
观察、比较
联想、类推
猜想新结论 10
例1、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的 点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集 合.
圆
球
弦
截面圆
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
直径 周长
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
24
谢谢欣赏！
面积
大圆 表面积 体积
11
利用圆的性质类比得出球的性质
圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR
圆的面积 S =πR2
圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR2
球的体积 V = 4πR3
3
球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等
9
类比推理的特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的 事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或 一致性）；

北师大版高中数学选修2-2同步配套课件：1.1 归纳与类比1.1.2

北师大版高中数学选修2-2同步配套课件：1.1 归纳与类比1.1.2

【例 3】 有对称中心的曲线叫作有心曲线,显然,椭圆、双曲线
都是有心曲线.过有心圆锥曲线中心的弦叫作有心圆锥曲线的直径. 定理:过圆 x2+y2=r2(r>0)上异于直径两端点的任意一点与这条
直径的两个端点连线,则两条连线所在直线的斜率之积为定值-1.
(1)写出定理在椭圆
������2 ������2
侧棱长分别为������, ������, ������”, 类比上述处理方法,
可得该三棱锥的外接球半径������ =
.
解析:由求直角三角形外接圆的半径的方法,通过类比得出求三
棱锥的外接球的半径的方法为:将三棱锥补全为长方体,而长方体的
对角线长就是三棱锥的外接球的直径,从而得出该三棱锥的外接球
半径 R=
1.2 类比推理
-1-
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
1.理解类比推理的概念,能利用类比推理进行简单的推理,掌握类 比推理解决问题的思维过程.
2.理解合情推理的含义,体会并认识合情推理在数学发展中的作 用.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三
题型一 等差数列与等比数列之间的类比
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
���������3���
于是 bmbnbp=b1qm-1·b1qn-1·b1qp-1=������ 13qm+n+p-3=������13q3r-3=(b1qr-1)3=���������3��� ,

北师大版高中数学选修2-2课件1.1.2类比推理课件4

北师大版高中数学选修2-2课件1.1.2类比推理课件4
• 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的 推理．
• 利用归纳推理得出的结论不一定是正确 的．一般地，如果归纳的个别情况越多，越 具有代表性，那么推广的一般性结论也就越 可靠．
• 2．类比推理的定义
• 由于两类不同对象具有某些类似的特征，在 此基础上，根据一类对象的其他特征，推断 另一类对象也 _具__有_类__似_的__其_他__特__征_____________，这种推理 方式称为类比推理(简称类比)．
(－1)n·nn2＋1 ，所以第n个式子可为12－22＋32－42 ＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·nn2＋1(n∈N＋)．
• 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图 (1)(2)(3)(4)为她们刺绣中最简单的四个 图案，这些图案都是由小正方形构成，小正
方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺 绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图 形包含f(n)个小正方形．
• 5．合情推理的特点及一般步骤：
• (1)合情推理是指“合乎情理”的推理，数 学研究中，得到一个新结论之前，合情推理 常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个 数学结论之前，合情推理常常能为我们提供 证明的思路和方向．
• (2)一般来说，由合情推理所获得的结论， 仅仅是一种猜想，未必可靠．
(3)合情推理的一般步骤概括为： 从具体问题出发 ―→ 观察、分析、比较、联想 ―→ 归纳、类比 ―→ 提出猜想
请运用类比思想，对于空间中的四面体V－BCD，存
在什么类似的结论？并用体积法证明．
• [分析] 考虑到用“面积法”证明结论时， 把O点与三角形的三个顶点连结，把三角形 分成三个三角形，利用面积相等来证明相应 结论．在证明四面体中类似结论时，可考虑 利用体积的方法相应结论．
[结论] 在四面体V－BCD中，任取一点O，连接

高中数学北师大版选修2-2第1章《归纳与类比》ppt参考课件

高中数学北师大版选修2-2第1章《归纳与类比》ppt参考课件
1.每次只能移动1个圆环；
2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上， 那么世界末日就来临了.
请你试着推测：把 n个圆环从1号针移到3号针,最少需要移
动多少次?
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时，a1 ＝ 第1个圆环从1到3.
例1:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和 棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.
多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥
面数(F)
4 5 5
立方体
正八面体
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
顶点数(V)
4 5 6
棱数(E)
6 8 9
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
a
c
s1 o s2 s3
Ｃb
Ａ
B
C
猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理 注意
以旧的知识为基础,推测新 的结果，具有发现的功能
类比推理的结论不一定成立
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
1
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时，a1 ＝1 第1个圆环从1到3. n＝2时，a2 ＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.

北师大版高中数学选修2-2课件1.1.2类比推理课件3

北师大版高中数学选修2-2课件1.1.2类比推理课件3

课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单 易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单 易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
菜 单
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单 易 错 易 误 辨 析
1．找准等差数列、等比数列之间项与项之间运算的类 比特征，是解决本题的关键． 2．等差数列与等比数列的定义、性质及一些重要的结 论都可进行相应的类比，运算类比规律为：和 ―→ 积，差 ―→商，乘―→乘方，除―→开方．
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
【思路探究】
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
从上述结论可以看出两个数列中各自运算的规律为： 和―→积，差―→商，乘―→乘方， (1)对于等差数列{an}，已知n，n1，n2，n3∈N*，若n1 ＋n2＋n3＝3n，则有an1＋an2＋an3＝3an.类比这一性质写出 等比数列{bn}类似的性质； (2)你能将(1)的结论分别在等差数列{an}和等比数列{bn} 中加以推广吗？

高中数学北师大版选修2-2第1章 类比推理应用中错误辨

高中数学北师大版选修2-2第1章 类比推理应用中错误辨

类比推理应用中错误辨析类比在数学思维中的作用主要表现为发觉问题、提出猜想、成立模型。

欧拉曾经说过，类比是伟大的引路人，他曾多次利用类比的方式做出重大的数学发觉。

但是，类比推理在所有的推理中是最不严格、最不肯定的，它是一种或然推理，其结论正确与否有待实践来证明。

本文所举几例正是学生在解题正不适当的利用类比致使解题失误。

应用类比推理时只有本质相同或相近的事物才能进行类比，若是把仅仅形式上相似而本质上都不相同的事物不分青红皂白的乱用类比，就会造成错误。

一、性质类比致误例一、函数|tan |x y =的最小正周期是____________.错解：因为函数y ＝tanx 的最小正周期是π，所以函数|tan |x y =的最小正周期是2π. 剖析：先前研究过函数|sin |x y =的周期性，由其图象（图1）可知它的最小正周期是y ＝sinx 周期的一半，由此类比；以为|tan |x y =的周期就是y ＝tanx 周期的一半。

现作出|tan |x y =的图象（图2），易见其最小正周期仍为π.二、方式类比致误例二、一张三角形纸片内有99个点，连同该三角形的极点共102个点，这些点无任何三点共线。

若以这些点为极点把三角形纸片剪成小三角形，可取得小三角形纸片（ ）个。

A 、399CB 、3102C C 、200 D199错解：从这99（或102）个点中任取3个点，能够取得三角形的个数为399C （或3102C ），因此选A （或B ）剖析：此题初看似几何组合问题，因此误用组合计数来计算结果。

但△DEC 显然不合要求（图3）是不是可用“去杂法”求解呢？事实证明这一想法也很难实现，下面给出两种正确解决方案：解法1：设△ABC 内有n 个点时所得符合条件的小三角形的个数我f （n ），当增加一个点H 后（图4），点H 将它所在的△BCF 又分成了3个小三角形：△BFH 、△BCH 、△CFH ，即每增加一个点后，小三角形的个数就增加两个，于是有fn ＋1）＝f （n ）＋2，所以f （n ）是公差为2的等差数列，且首项f （1）＝3，所以f （n ）＝2n ＋1，则f （99）＝2×99＋1＝199个，因此选D.解法2：将图3中△ABC 内各点全数“拎”起，使之成为一个凸多面体（图5），问题转化为：已知一个多面体的极点数V ＝102，每一个面都是三角形，求其面数F.因为楞数E ＝23F ，代入欧拉公式V ＋F ＝E ＋2得102＋F ＝23F ＋2，所以F ＝200，注意到△ABC 已被剪掉，所以正确结果我200－1＝199个，选D.点评：这一解法将平面图形类比到空间图形，转化为多面体的面数问题，进而利用欧拉公式来处置，手法之新颖令人击节称赏。

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它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
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试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
(1) a=ba+c=b+c;
猜想不等式的性质：
(1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc;
(3) a=ba2=b2;等等。
(2) a＞b ac＞bc;
(3) a＞ba2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
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火星上是否有生命？
火星
地球
相似点: 相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部 分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。 地球上有生命 猜想 火星上可能有生命
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类比推理的定义:
由两类对象具有某些类似特征，和其
中一类对象的某些已知特征，推出另一类
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与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
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例3 试
类比平面内直角三角形的勾股定理, 给出空间中四面体性质的猜想．
直角三角形
∠C＝90° 3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边c
3个面两两垂直的四面体
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90° 4个面的面积S1，S2，S3和S
3个“直角面” S1，S2，S3 和1个“斜面” S
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例4
SPAB PA PB 由图(1)有面积关系: SPAB PA PB
VP ABC PA PB PC 则由图(2)有体积关系: PA PB PC VP ABC
B B
B
A
B
C
P
C
A
P
图(1)
A 图(2)
A
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例5.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P 为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc, pb pc 我们可以得到结论: pa
单位元
a+0=a
通过例1，例2你能得到类比推理的一般模式吗？
类比推理的一般模式:
A类事物具有性质a,b,c,d,
B类事物具有性质a’,b’,c’,
(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同） 所以B类事物可能具有性质d .
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’
类比推理举例
构成几何体的元素数目：四面体
三角形
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例3 间
类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空 中四面体性质的猜想．
圆
பைடு நூலகம்弦 直径 周长 面积
球
截面圆 大圆 表面积 体积
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利用圆的性质类比得出球的性质 圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
复习
1.什么是归纳推理? 部分 整体
特殊
一般
2.归纳推理的一般步骤: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的 一般性命题(猜想).
3
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后 人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林 中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒 霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；
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例2 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.
类比角度 运算结果 实数的加法 若a,b∈R,则a+b∈R 实数的乘法 若a,b∈R,则ab∈R ab=ba (ab)c=a(bc) 乘法的逆运算是除法, 使得ax=1有唯一解 x=1/a a· 1=a
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a+b=b+a 运算律 (交换律和 (a+b)+c=a+(b+c) 结合律) 逆运算 加法的逆运算是减法,使得 方程a+x=0有唯一解x=-a
北师大版高中数学选修2-2 第一章《推理与证明》
§1归纳与类比
1
一、教学目标：1、知识与技能：（1）结合已学过的数学实 例，了解类比推理的含义；（2）能利用类比进行简单的推理； （3）体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。 2、方法与过程：递进的了解、体会类比推理的思维过程； 体验类比法在探究活动中：类比的性质相似性越多，相似的 性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结 论就越可靠。3、情感态度与价值观：体会类比法在数学发现 中的基本作用：即通过类比，发现新问题、新结论；通过类 比，发现解决问题的新方法。培养分析问题的能力、学会解 决问题的方法；增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦； 体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力！同时培养学生 学数学、用数学，完善数学的正确数学意识。 二、教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单 的推理。 教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 2 四、教学过程
对象也具有这些特征的推理称为类比推理
（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比 数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的 推理是「自然奧妙的参与者」和自己「最好 引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类 的老师」 比问题.”
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类比推理的特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的 事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.
合情推理的应用
数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常 能帮助我们猜测和发现结论。 证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提 供证明的思路和方向
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作业:课本P7习题1-1中4、5 教学反思：
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3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或 一致性）； ⑵ 用一类对象的性质去推测另一类对象的性质， 从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。
类比推理的一般步骤:
观察、比较 联想、类推 猜想新结论 8
例1、试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定 长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点 的集合.
ha
平面上 图 形 结 论

hb

hc
A P
1
试通过类比,写出在空间中的类似结论.
空间中
A P pb pc pa B C
D C
B
pa pb pc 1 ha hb hc
pa pb pc pd 1 ha hb hc hd
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合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提 出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。 通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。