12终边相同的角2

【学生版】微专题：任意角和角的度量1、角的概念的推广（1）定义：角可以看成平面内的一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； （2）任意角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角；②按终边位置不同分为象限角和非象限角； （3）终边相同的角及其集合表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S ＝{β|β＝k ·360°+α，k ∈Z }或S ＝{β|β＝2kπ+α，k ∈Z } 【注意】两种度量制度不要混用； 2、角度制、弧度制的定义和相关公式 （1）定义：①把长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad ；②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．【说明】角度制：规定周角的360分之一为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。

注意“度”是单位，而非“1度”，因为单位的定义是计量事物标准量的名称。

（2）弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．（3）扇形弧长与面积：记扇形的半径为r ，圆心角为α弧度，弧长为l ，面积为S ，则有 由定义，在弧度制中，半径为r ，弧度数为rad α的弧长r l α=；在角度制中，半径为r 、圆心角为n 的弧长r n r n l 1802360ππ=⋅=； 在弧度制中，半径为r ，弧度数为rad α的扇形面积r l r r S 2121222==⋅=αππα；扇形中弦长公式2sin 2r α； 在角度制中，半径为r ，圆心角为n 的扇形面积22360360r n r n S ππ=⋅=； 【典例】考点1、对任意角概念的理解例1、下列说法正确的是（ ）（均指在平面直角坐标系中，角的始边在x 轴正半轴上）A ．第一象限角一定是锐角B ．终边相同的角一定相等C ．小于90°的角一定是锐角D ．钝角的终边在第二象限 【提示】【答案】 【解析】 【说明】考点2、象限角的判定例2、若角α是第二象限角，则α2是第________象限角考点3、区域角的表示 例3、集合{|,}42a k k k Z πππαπ+≤≤+∈中的角所表示的范围（阴影部分）是( )考点4、角度制与弧度制的运算例4、（1）把1480-写成2,k k Z απ+∈的形式，其中02απ≤≤；（2）若[]4,0βπ∈-，且β与（1）中α的终边相同，求：β；考点5、扇形面积、弧长公式的应用例5、【一题多变】（1）一扇形的圆心角α＝π3，半径R ＝10 cm ，求该扇形的面积；（2）若（1）条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；（3）若将（1）已知条件改为：“扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？考点6、对称性问题例6、已知角α的终边与120︒角的终边关于x 轴对称，求：α。

专题44 任意角1．角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．2．角的表示如图，(1)始边：射线的起始位置OA ，(2)终边：射线的终止位置OB ，(3)顶点：射线的端点O . 这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．3．角的分类按旋转方向，角可以分为三类：4．象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的． (3)nα所在象限的判断方法：确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可． (4)αn 所在象限的判断方法：已知角α所在象限，要确定角αn所在象限，有两种方法： ①用不等式表示出角αn 的范围，然后对k 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；…；被n除余n －1.从而得出结论．②作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是α的终边所n所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．落在的区域．如此，αn5．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．(5)终边相同的角常用的三个结论①终边相同的角之间相差360°的整数倍；②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．提示：(1)关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.(2)关于y轴对称：若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.(4)关于直线y＝x对称：若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.题型一角的有关概念的判断1．下列说法正确的是()A．终边相同的角一定相等B．钝角一定是第二象限角C．第一象限角一定不是负角D．小于90°的角都是锐角2．给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．3．下列结论：①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③钝角比第三象限角小；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的结论为________(填序号)．4．下列说法正确的是()A．三角形的内角一定是第一、二象限角B．钝角不一定是第二象限角C．终边与始边重合的角是零角D．钟表的时针旋转而成的角是负角5．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是() A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C6．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有() A．B C A B．B A C C．D(A∩C) D．C∩D＝B7．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个8．下列说法正确的是()A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B．第四象限的角一定是负角C．60°角与600°角是终边相同的角D．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为60°9．下列命题正确的是()A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角10．若将钟表拨慢10分钟，则时针转了______度，分针转了________度．11．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°.②855°.③－510°.题型二终边相同的角的表示及应用1．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是________．2．下列各个角中与2 019°终边相同的是()A．－149°B．679°C．319°D．219°3．下面与－850°12′终边相同的角是()A．230°12′B．229°48′C．129°48′D．130°12′4．已知0°≤α＜360°，且α与600°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角．5．角－870°的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．在－360°～0°范围内与角1 250°终边相同的角是()A．170°B．190°C．－190°D．－170°7．与600°角终边相同的角可表示为()A．k·360°＋220°(k∈Z) B．k·360°＋240°(k∈Z)C．k·360°＋60°(k∈Z) D．k·360°＋260°(k∈Z)8．已知角α＝－3000°，则与角α终边相同的最小正角是________．9．与2019°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．10．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.11．写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．12．在－360°～360°之间找出所有与下列各角终边相同的角，并判断各角所在的象限．①790°；②－20°.13．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：(1)－120°；(2)640°.14．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．(1)－120°；(2)660°；(3)－950°08′.15．已知角α＝2020°.(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.16．在与角1030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角．17．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角．18．在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角β.(1)最大的负角和最小的正角；(2)[360°，720°)内的角．19．已知角β为以O为顶点，x轴为始边，逆时针旋转60°所成的角．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素．20．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，(1)有几种终边不相同的角？(2)若－360°<α<360°，则集合中的α共有多少个？21．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M有几类终边不相同的角？(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(3)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．22．若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系是__________．23．若角α，β的终边相同，则α－β的终边在()A．x轴的非负半轴B．y轴的非负半轴C．x轴的非正半轴D．y轴的非正半轴24．已知角α的终边与角－690°的终边关于y轴对称，则角α＝___________.25．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为()A．α＋β＝k·360°，k∈Z B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z D．α－β＝k·360°，k∈Z26．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.27．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．28．终边在第一或第三象限的角的集合是________．29．终边在直线y＝－x上的所有角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z} B．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°＋225°，k∈Z} D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}30．终边落在直线y＝3x上的角的集合为________．31. 一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动，两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14 s时回到A 点，并且在第2 s时均位于第二象限，求α，β的值．题型三象限角的判定(任意角终边位置的确定和表示)1．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是()A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α2．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．3．若角α的终边在y轴的负半轴上，则角α－150°的终边在()A．第一象限B．第二象限C．y轴的正半轴上D．x轴的负半轴上4．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在象限是()A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限5．若β是第二象限角，则270°＋β是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角6．若α是第二象限角，则2α，α2分别是第几象限的角？7．已知α为第三象限角，则α2所在的象限是( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限8．若α是第一象限角，则2α，α2分别是第几象限角？9．(1)若α为第三象限角，试判断90°－α的终边所在的象限；(2)若α为第四象限角，试判断α2的终边所在的象限．10．若α是第一象限角，则－α2是( )A ．第一象限角B ．第一、四象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角11．已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是( )A ．第一象限角B ．第一、二象限角C ．第一、三象限角D ．第一、四象限角12．已知θ为第二象限角，那么θ3是( )A ．第一或第二象限角B ．第一或第四象限角C ．第二或第四象限角D ．第一、二或第四象限角13．已知α是第一象限角，则角α3的终边可能落在________．(填写所有正确的序号)①第一象限 ②第二象限 ③第三象限 ④第四象限题型四 区域角的表示1．已知，如图所示．分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．2．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．3．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.4．如图，终边落在阴影部分的角的集合是( ) A ．{α|－45°≤α≤120°} B ．{α|120°≤α≤315°}C ．{α|k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z}D ．{α|k ·360°＋120°≤α≤k ·360°＋315°，k ∈Z}5．写出终边落在阴影部分的角的集合．6．写出角的终边在图中阴影区域的角的集合(包括边界)．7．写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角的集合．8．如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．9．如图，α，β分别是终边落在OA，OB位置上的两个角，且α＝60°，β＝315°.(1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角γ的集合；(2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在0°～360°范围内的角的集合．10．已知集合A＝{α|k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}．(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；(3)求A∩B.。

三角函数【考点讲解】1..终边相同的角的公式: 终边相同的角相差()0360k k Z ∈练习1. 写出终边在y 轴上的角的集合．练习2.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角： ⑴ 405°； ⑵ -165°； ⑶ 1563°． 2.角度与弧度的换算 :0180π= L rα=练习1： 把下列各角从角度化为弧度：15°= ；30°= ；45°= ； 60°= ；90°= ；120°= ；180°= ；270°=练习2： 把下列各角从弧度化为角度：．π= ；π2= ；π4= ； π8= ； 2π3= ； π3= ； π6= ； π12= ．练习3．填空：⑴ 若扇形的半径为10cm ，圆心角为60°，则该扇形的弧长l = ，扇形面积S = ．练习4. 已知1°的圆心角所对的弧长为1m ，那么这个圆的半径是 m ． 3.三角函数的概念 :例题1、已知角α的终边经过点(2,3)P -，求角α的正弦、余弦、正切值．练习1、已知角α的终边上的点P 的座标如下，分别求出角α的正弦、余弦、正切值：⑴ ()3,4P -； ⑵ ()1,2P -；⑶ 1,2P ⎛ ⎝⎭． 4.各象限角的三角函数值的正负号口诀：一全正二正弦三正切四余弦练习1. 判定下列角的各三角函数正负号：（1）4327º ；（2）-235 º； （3）275π．（4）3π-4{|360,}S k k Z ββα==+⋅∈{|2,}k k Z ββαπ==+∈练习2．根据条件sin 0θ<且tan 0θ<,确定θ是第几象限的角.． 练习3、已知α为第三象限角，则所在的象限是A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限 5.界限角的三角函数值练习1. 求值：5cos1803sin902tan 06sin 270-+-； 练习2.计算：213cos tan tan sin cos 24332ππππ-+-+π． 练习3．求下列三角函数的值：（1）sin 1485°（2）cos9π4 （3）tan （- 11π6） (09 湖南)4.的值为（ ）A.B. C.D. (12 湖南)14．已知角α的终边与单位圆的交点坐标为（23,21），则αcos = ．6.sin120的值为 B.1-(14 湖南)6.sin120的值为（） A.2 B.1- C. 2 D. 2-6. 同角三角函数的基本关系式 商数关系 sin tan cos y x ααα== 平方关系 222sin cos 1r αα+==． 例题1. 已知4sin 5α=，且α是第二象限的角, 求cos α和tan α．练习1．已知1cos 2α=，且α是第四象限的角， 求sin α和tan α．练习2．已知3sin 5α=-，且α是第三象限的角， 求cos α和tan α．练习3 已知tan 5α=，求sin 4cos 2sin 3cos αααα--的值．4cos4sinππ2122422(10 湖南)7.化简：()2sin cos a a +=（ ）.A. 1sin 2a +B. 1sin a -C. 1sin 2a -D. 1sin a + 7.三角函数的诱导公式练习1.求下列各三角函数值：(1) 9cos4π； (2) sin 780； (3) 11tan()6π-．练习2 求下列三角函数值：(1) sin(60)-； (2) 19cos()3π-； (3) tan(30)-． 练习3 求下列各三角函数值：(1) 9cos 4π； (2) 8tan 3π； (3) cos870； (4) sin 690． 8.三角函数的图像与性质 ①三角函数的图像sin y x =图像cos y x =图像②.定义域(R)、值域、单调性与最值sin y x =当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=- ()k ∈Z 时，min 1y =-．sin y x = 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数． cos y x =当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =- cos y x = 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．练习1、利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： （1）)18sin(π-与)10sin(π-； （2）)523cos(π-与)417cos(π-； （3）85sin π与9cos π2、函数sin 1y a x =+的最大值是3，则它的最小值______________________ 1. 函数x x y sin cos 2-=的值域是 （ ） A 、[]1,1-B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,1C 、[]2,0D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-45,11. 函数x x y sin cos 2-=的值域是 （ ）A 、[]1,1-B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,1C 、[]2,0D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-45,1公式1 απαsin )2sin(=+k απαcos )2cos(=+k απαt an )2t an(=+k 公式2：ααπ-sin sin(=+）ααπ-cos cos(=+）ααπt an t an(=+）公ααπsin sin(=-）ααπ-cos cos(=-）ααπt an t an(-=-）公αα-sin sin(=-）ααcos cos(=-）ααt an t an(-=-）③.周期性与奇偶性 周期：奇偶性：sin y x =是奇函数；cos y x =是偶函数1、下列函数中，周期是，又是偶函数的是A ．y=sinxB ．y=cosxC ．y=sin2xD ．y=cos2x 2、函数的最小正周期为2，则实数3、函数的最小正周期是____________________．4、函数在其定义域上是A.奇函数B. 偶函数C. 增函数D. 减函数10、函数的图象①、由函数的图象通过变换得到的图象。

5．2．2同角三角函数的基本关系(人教A 版普通高中教科书数学必修第一册第五章)一、内容和内容解析1．内容同角三角函数的基本关系及其应用．2．内容解析本节课要学的内容同角三角函数的关系，指的是正弦、余弦、正切函数三者之间的关系．本单元前面学生已经学过三角函数的定义并从定义出发发现了三角函数值的符号规律，此外还从终边相同的角的三角函数的关系入手发现了公式一，本节课同角三角函数的关系就是在此基础上的发展．由于本节课的内容还与后面的诱导公式有重要的联系，在三角函数的学习中占有重要地位，对于后面的内容有着基础性的作用，是本章的重点内容．同角三角函数的基本关系是在前面三角函数概念的基础上学习的，是对三角函数的复习巩固，又是后续内容如诱导公式、两角和差公式推导的基础，所以起到承上启下的作用，并且应用也比较广泛，因此是一节非常重要的课，应使学生熟练掌握．基于以上分析，确定本节课的教学重点：同角三角函数的基本关系式22sin cos 1x x +=和sin tan cos x x x=． 二、目标和目标解析1．目标（1）理解同角三角函数的基本关系式22sin cos 1x x +=，sin tan cos x x x=，体会三角函数的内在联系性．（2）通过运用基本关系式进行三角恒等变换，发展数学运算素养．2．目标解析达成上述目标的标志是：（1）学生能利用三角函数定义以及单位圆上点的横、纵坐标之间的关系，发现并得出“同角三角函数的基本关系”，并能用于三角恒等变换．（2）能运用同角三角函数的基本关系进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．三、教学问题诊断分析本节课学生可能遇到的问题是在同角三角函数的基本关系式变形中有点难度，产生这一问题的原因学生没有考虑角的符号问题，要解决这一问题教师就要借助平面直角坐标系，分析角所在的象限，关键是理解角在每个象限上的符号．本节课的学习难点是对三角函数内在联系性的认识．出现这个难点的主要原因在于三角函 数联系方式的特殊性，学生在已有的基本初等函数的学习中没有这种经验，以及学生从联系的观点看问题的经验不足，对“如何发现函数的性质”的认识不充分等而导致的发现和提出性质的能力不强．为此，教学中应在思想方法上加强引导．例如，可以通过问题“对于给定的角α，点P αα（cos ，sin ）是α的终边与单位圆的交点，而tan α则是点P 的纵坐标与橫坐标之比，因此这三个函数之间一定有内在联系．你能从定义出发，研究一下它们有怎样的联系吗”引导学生探究同角三角函数的基本关系．四、教学支持条件分析在本节课同角三角函数的基本关系的教学中，准备使用板书教学．因为使用板书教学，有利于培养学生的动手能力、活跃学生思维．五、教学过程设计（一）同角三角函数的基本关系导入语：此前我们学习了三角函数的定义，并从定义出发发现了三角函数值的符号规律，我们还从终边相同的角的三角函数的关系入手发现了公式一．公式一表明，终边相同的角的同一三角函数的值相等．因为三个三角函数的值都是由角的终边与单位圆的交点坐标所唯一确定的，所以它们之间一定有内在联系．那么，终边相同的角的三个三角函数之间有什么关系呢？ 师生活动：教师引导学生讨论，利用公式一先把问题转化为“同一个角的三个三角函数之间的关系”；然后让学生自主探究，得出同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1αα+=，sin tan cos ααα=．这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1， 商等于角α的正切． 设计意图：“终边相同的角的三个三角函数的值都由单位圆上同一点的坐标所唯一确定，它们之间一定有内在联系”是发现问题的关键思想；由“终边相同的角的同一三角函数的值相等”引出“终边相同的角的不同三角函数之间有什么关系”的问题，再转化为“同一个角的三个三角函数之间关系”的研究，可以培养学生发现和提出问题的能力．借助单位圆上点的坐标的意义，由三角函数定义可以直接得出“同角三角函数的基本关系”．（二）同角三角函数的基本关系的应用例1 已知3sin 5α=-，求cos α，tan α的值． 变式：已知5cos 13α=-，α为第三象限角，求sin α，tan α的值. 师生活动：学生思考后给出解答．对于本例在学生给出答案后，应该要求学生总结解题步骤，明确这类题目应该先根据条件判断角所在的象限，确定各三角函数值的符号，再利用基本关系求解．在此基础上，可以让学生归纳用同角三角函数的基本关系求值的问题类型．设计意图：进一步加强学生对三角函数值在各象限的符号的认识以及对同角三角函数的基本关系的理解．例2 化简：（1） cos tan θθ； （2）222cos 112sin αα--； （3） 221tan cos αα+()． 设计意图：考査学生利用同角三角函数的基本关系进行简单的三角恒等变换的能力． 例3 求证cos 1sin 1sin cos x x x x+=-． 师生活动：学生可能根据此前用到的分析法进行证明，也可以用综合法直接给出证明，教师板书证明过程．设计意图：本例实际上是22sin cos 1x x +=的变形，采用分析法、综合法都可以证明，还可以从不同方向进行推导，可以要求学生至少给出两种证明方法．例4 已知tan 2α=，求sin cos sin cos αααα+-的值． 变式：已知tan 2tan 1αα=-，求22222sin 3cos 2sin 3cos (1)(2)4sin 9cos 4sin 9cos αααααααα----的值． 师生活动：学生经过思考给出思路，可以利用同角三角函数的基本关系由22sin cos 1αα+=和sin 2cos αα=解出2sin α和2cos α的值，但是由于无法确定α所在象限，因此无法判断sin α和cos α的正负，若要求出代数式的值，需要进行分类讨论．教师在肯定了这个思路后进行追问．追问：有没有其它的方法可以避免谈论sin α和cos α的符号，直接用到已知tan α的取值来求出分式的值呢？师生活动：学生经过思考回答，可以利用sin tan cos ααα=将代数式中sin α和cos α转化为tan α和常数．教师给予肯定并指出所求分式的结构特点，可利用“齐次式”的特征对此类分式进行化简后求值．设计意图：通过本例了解“齐次式”的结构特点，并能利用特定的方法进行化简．通过以上几道例题加深了学生对三角函数基本性质的理解，通过灵活运用性质的训练，提升数学运算素养．（三）课时小结教师引导学生回顾本课时的内容，并回答下面的问题：（1）同角三角函数的基本关系是什么？（2）在利用同角三角函数的基本关系进行化简、求值及证明时要注意哪些问题？（3）结合前一课时内容，你能说说我们是从哪些角度入手发现三角函数的性质的？ 师生活动：学生思考后给出解答．（1）同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1x x +=，sin tan cos x x x=． （2）在三角求值时，应注意：①注意角所在象限；②一般涉及到开方运算时要分类讨论．在化简时，应注意化简结果：①涉及的三角函数名称要相对较少；②表达形式较简单．证明恒等式时常用以下方法：①从一边开始，证明它等于另一边；②证明左右两边等于同一个式子；③分析法，寻找等式成立的条件．证明的指向一般是“由繁到简”．（3）借助单位圆，从三角函数的定义出发，我们从三角函数值的符号规律、终边相同的角的三角函数的关系入手发现了公式一和同角三角函数的基本关系．设计意图：引导学生回顾总结本课时的学习内容和学习方法．在小结中，要注意引导学生体会研究和发现三角函数性质的过程，为后续诱导公式二～五的学习做好铺垫．（六）布置作业教科书习题5.2 第6，11，12，13，14题．。

正弦、余弦、正切的诱导公式【知识点精析】1. 三角函数的诱导公式 诱导公式（一）： sin()sin 2k παα+= cos()cos 2k παα+= tan()tan 2k παα+=cot()cot 2k παα+=公式含义：终边相同的角的正弦、余弦、正切、余切值相等。

公式作用：把任意角的三角函数化为0°～360°（或0～2π）内的三角函数。

其方法是：先在0°～360°（或0～2π）内找出与角α终边相同的角，再将它分成诱导公式（一）的形式，然后得出结果。

如coscos()cos 25646632ππππ=+==诱导公式（二）： sin()sin παα+=- cos()cos παα+=- tan()tan παα+=cot()cot παα+=公式结构特征：①同名函数关系②符号规律：右边符号是将α看作锐角时，πα+是第三象限角的原函数值符号。

即：“函数名不变，符号看象限”。

公式作用：可以把180°～270°（或ππ~32）内的角的三角函数转化为锐角三角函数。

例：sin210°＝sin （180°+30°）＝－sin30°＝-12cos cos()cos 433312ππππ=+=-=- 诱导公式（三）： sin()sin -=-ααcos()cos -=αα tan()tan -=-ααcot()cot -=-αα公式结构特征：①同名函数关系②符号规律：右边符号是将α看作锐角时，-α是第四象限角原函数值的符号。

即：“函数名不变，符号看象限”。

公式的作用：可以把负角的三角函数转化为正角三角函数。

例：sin()sin-=-=-ππ4422cos()cos -==606012诱导公式（四）： sin()sin παα-= cos()cos παα-=-tan()tan παα-=-cot()cot παα-=-公式结构特征： ①同名函数关系②符号规律：右边符号是将α看作锐角时，πα-是第二象限角的原函数值的符号。

5.2弧度制【教学目标】知识与技能：理解弧度制的定义，建立弧度制的概念；掌握角度制与弧度制的换算公式并能熟练地进行角度制与弧度制之间的换算.过程与方法：通过弧度制定义的学习过程，培养学生主动探索、勇于发现的精神.情感态度价值观：通过弧度制与角度制之间的联系及转化，渗透广泛联系及由特殊到一般的数学思想方法.【教学重点】弧度与角度的换算．【教学难点】弧度角的含义．【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．【教学过程】由于运算进制非十进制，总给我们带来不少困难。

那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加减运算与十进制下的加减法运算一样呢？今天我们就来常识研究这种新单位制---弧度制. 概念：弧度制：就是以“弧度”为单位来度量角的制度.弧度又是怎样的一种单位呢？我们规定 ： 在一个圆中，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记做rad.若AB =r ，则∠AOB=1(rad),；若AC =2r ，则∠AOC=2(rad),；若AD =1/2r ，则∠AOB=1/2(rad), 归纳发现：公式 |α|=lr规定：正角的弧度数为正数；负角的弧度数为负数；零角的弧度数为零所以360°=2π rad 180°= π rad 弧度与度的换算公式：1o =π180rad; 1rad =180oπ应用：填写下列特殊角的度数和弧度数的对应表： 度 0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o 弧度π6π4π3π2π3π22π2,r r π半径为的圆的周长为故周角的弧度为)(2)(2rad rad rrππ=。

高三数学三角函数知识精讲一. 本周教学内容： 三角函数任意角的三角函数，三角函数线，同角三角函数关系与诱导公式，三角函数的图像和性质［基本知识点］1° 角的概念的推广（1）终边相同的角：{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}表示与角α终边相同的角的集合。

（2）象限角：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴正半轴重合，角的终边落在第几象限，就称这个角是第几象限角。

（3）坐标轴上的角：角的终边落在坐标轴上的角，也称轴限角，这个角不属于任何象限。

终边落在轴上的角，终边落在轴上的角，，x k k Z y k k Z {|}{|}ααπααππ=∈=+∈22° 弧度制（1）意义：圆周上弧长等长半径的弧所对的圆心角的大小为1弧度，它将任意角的集合与实数集合之间建立一一对应关系。

（2）弧度与角度的互换 180118011805718===≈πππ弧度弧度弧度，，()()'（3）弧度公式，扇形面积公式： l r =⋅||α S lr r 扇形==12122||α3° 任意角的三角函数（1）定义：设P(x ，y)是角α的终边上任意一点，且|PO|＝r ，则sin cos ααα===yr x r tg y x ，， csc sec ααα===ryr x ctg x y，， （2）三角函数的符号与角所在象限有关，如下表所示。

规律：一全正，二正弦，三双切，四余弦注意：角的范围的讨论及三角函数的定义的理解是三角的重要内容；而度数与弧度数的互化，弦长公式，扇形的面积公式的应用是难点内容，应注意熟练掌握。

（1）在讨论角的范围时，不要遗漏坐标轴上的角； （）角22α终边所在的位置与α终边的位置及k 的取值有关，要对k 的取值结合α的范围情况进行讨论。

（3）三角函数值的大小仅与角有关，而与终边上所取的P 点的位置无关，当角的终边所在象限不确定时，要分情况讨论。

三角函数知识点总结1. 角的概念的推广(1) 终边相同的角：所有与α角终边相同的角(连同α角在内)可以用式子k ⋅360︒+α，k ∈Z 来表示。

与α角终边相同的角的集合可记作：{β|β=k ⋅360︒+α，k ∈Z}或{β|β=2k π+α，k ∈Z}。

※ 角的集合表示形式不是唯一的；终边相同的角不一定相同，相同的角一定终边相同。

(2) 象限角：角的顶点与坐标轴原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几(1) 1弧度的角：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

(2) 度数与弧度数的换算： ①180︒=π弧度；②1801π=︒弧度； ③1弧度=O⎪⎭⎫⎝⎛π180。

(3) 有关扇形的一些计算公式：①R =α； ②R S 21=；③221R S α=；④C =(α+2)R ；⑤)sin (212αα-=-=∆R S S S 扇形弓。

3. 同角三角函数的基本关系(1) 商数关系：αααtg =cos sin ；(2) 平方关系：sin 2α+cos 2α=1，4. 三角函数的诱导公式：“奇变偶不变(2π的奇数倍还是偶数倍)，符号看象限(原三角函数名)”。

5. 两角和与差的三角函数公式 βαβαβαs i n c o s c o s s i n )s i n (±=±； βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s ( =±； βαβαβαtg tg tg tg tg 1)(±=± (变形：)1()(βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±)。

6. 倍角、半角公式 (1) 二倍角公式：sin2α=2sin αc os α，c os2α=c os 2α-sin 2α=2c os 2α-1=1-2sin 2α，α-α=α2tg 1tg 22tg ；7. 倍角、半角公式的功能(1) 并项功能：1±sin2α=(sin α±c os α)2 (类比：1+c os2α=2c os 2α，1-c os2α=2sin 2α)； (2) 升次功能：c os2α=c os 2α-sin 2α=2c os 2α-1=1-2sin 2α；(3) 降次功能：22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2αα-=。