工程力学_________03剪力图和弯矩图

◆ 横截面上的
弯矩 在数值上等于此横截面的 左侧 或 右侧 梁
外力（包括外力偶） 段上的 外力（包括外力偶）对该截面形心的力矩之代数和 。外 力矩的正负号规定与弯矩的正负号规定相同。 力矩的正负号规定与弯矩的正负号规定相同。
弯矩符号：当横截面上的弯矩使考虑的脱离体凹向上弯曲（ 弯矩符号：当横截面上的弯矩使考虑的脱离体凹向上弯曲（下 半部受拉，上半部受压） 半部受拉，上半部受压）时，横截面上的弯矩为正；反之凹向 横截面上的弯矩为正； 下弯曲（上半部受拉，下半部受压）为负。 下弯曲（上半部受拉，下半部受压）为负。
梁的变形计算问题，早在13世纪纳莫尔（ 梁的变形计算问题，早在13世纪纳莫尔（Nemore J 13世纪纳莫尔 de）已经提出，此后雅科布·伯努利 丹尼尔·伯努利 伯努利、 de）已经提出，此后雅科布 伯努利、丹尼尔 伯努利 Bernoulli）、欧拉（ ）、欧拉 L） （Daniel Bernoulli）、欧拉（Euler L）等人都曾经研 究过这一问题。1826年纳维在他材料力学讲义中得出了正 究过这一问题。1826年纳维在他材料力学讲义中得出了正 确的挠曲线微分方程式及梁的弯曲强度的正确公式， 确的挠曲线微分方程式及梁的弯曲强度的正确公式，为梁 的变形与强度计算问题奠定了正确的理论基础。 的变形与强度计算问题奠定了正确的理论基础。
A
x
m
M
P
m
FB
M
FS m
B
2、FS 和 M 的正负号的规定 、 （1）剪力 FS 的符号 ） 的错动为 剪力 FS 使 梁的微段发生 “ 左上右下 ” 的错动为 正。 考虑的脱离体有顺时针转动趋势的剪力为 有顺时针转动趋势的剪力为正 或使 考虑的脱离体有顺时针转动趋势的剪力为正。
+
FS FS
dx
2KN 12KN.m
1 2 2 3 3
A
1
B
4 4
2m
2m
2m
FA
FB
解：求支座反力，取整体为研究对象 求支座反力，
F A = 4KN (↓), FB = 6KN (↑)
2KN 12KN.m
1 2 2 3 3
A
1
B
4 4
2m
2m
2m
FA
1
FB M1
FA
1
FS1
横截面上的内力（假设剪力和弯矩为正 剪力和弯矩为正）。 求 1-1 横截面上的内力（假设剪力和弯矩为正）。
梁在弯曲变形时， 梁在弯曲变形时，沿长度方向的纤维中有一层既不伸长 也不缩短者，称为中性层 早在1620 中性层。 1620年荷兰物理学家和力学 也不缩短者，称为中性层。早在1620年荷兰物理学家和力学 家比克门（ I）发现，梁弯曲时一侧纤维伸长、 家比克门（Beeckman I）发现，梁弯曲时一侧纤维伸长、另 一侧纤维缩短，必然存在既不伸长也不缩短的中性层。 一侧纤维缩短，必然存在既不伸长也不缩短的中性层。英国 科学家胡克（ R） 1678年也阐述了同样的现象 年也阐述了同样的现象， 科学家胡克（Hooke R）于1678年也阐述了同样的现象，但他 们都没有述及中性层位置问题。 们都没有述及中性层位置问题。首先论及中性层位置的是法 国科学家马略特（ 1680年）。其后莱布尼兹 国科学家马略特（Mariotte E, 1680年）。其后莱布尼兹 W）、雅科布·伯努利 ）、雅科布 伯努利（ Bernoulli， （Leibniz G W）、雅科布 伯努利（Jakob Bernoulli， 1694）、伐里农（ ）、伐里农 1702年 1694）、伐里农（Varignon D, 1702年）等人及其他学者的 研究工作尽管都涉及了这一问题，但都没有得出正确的结论。 研究工作尽管都涉及了这一问题，但都没有得出正确的结论。 18世纪初 法国学者帕伦（ 世纪初， A） 18世纪初，法国学者帕伦（Parent A）对这一问题的研究取 得了突破性的进展。直到1826年纳维（Navier， 1826年纳维 得了突破性的进展。直到1826年纳维（Navier，C. －L. －M. 才在他的材料力学讲义中给出正确的结论： －H）才在他的材料力学讲义中给出正确的结论：中性层过横 截面的形心。 截面的形心。
∑F y = 0, −F A − FS1 = 0 ∑MC = 0, F A× 2 + M1 = 0
FS1 = −4KN (−), M1 = −8KN.m (−)
2KN 12KN.m
1 1 2 2 3 3
A
B
4 4
2m
2m
2m
FA
12KN.m
2
FB M2
FA
2
FS1 = −4KN (−), M1 = −8KN.m (−)
不论在截面的 左侧 或 右侧 向上的外力均将引起 的弯矩， 的弯矩。 正值 的弯矩，而向下 的外力则引起 负值 的弯矩。
利用上述结论来计算某一截面上的内力是非常简便的， 利用上述结论来计算某一截面上的内力是非常简便的， 此时不需画脱离体的受力图和列平衡方程， 此时不需画脱离体的受力图和列平衡方程，只要梁上的 外力已知， 外力已知，任一截面上的内力均可根据梁上的外力逐项 写出。因此，这种求解内力的方法称为简便法。 写出。因此，这种求解内力的方法称为简便法 简便法。
（受压） 受压）
+
M
M
（受拉） 受拉）
横截面上的弯矩使考虑的脱离体上边受拉， 横截面上的弯矩使考虑的脱离体上边受拉，下边受压时为 负。 上的弯矩使考虑的脱离体上边受拉
（受拉） 受拉）
-
（受压） 受压）
例题： 横截面上的剪力和弯矩。 例题：求外伸梁 1-1，2-2，3-3，4-4 横截面上的剪力和弯矩。 ， ， ，
求剪力和弯矩的简便方法
◆ 横截面上的 剪力 在数值上等于此横截面的 左侧 或 右 侧 梁段上所有竖向 外力（包括斜向外力的竖向分力）的 外力（包括斜向外力的竖向分力） 外力正负号的规定与剪力正负号的规定相同。 代数和 。外力正负号的规定与剪力正负号的规定相同。
剪力符号： 剪力符号：当截面上的剪力使考虑的脱离体有顺时针转动 趋势时的剪力为正；反之为负。 趋势时的剪力为正；反之为负。
俄罗斯铁路工程师儒拉夫斯基（ЖуравскийДИ） 俄罗斯铁路工程师儒拉夫斯基（ЖуравскийДИ） 1855年得到横力弯曲时的切应力公式 30年后 年得到横力弯曲时的切应力公式。 年后， 于1855年得到横力弯曲时的切应力公式。30年后，他的同胞别 斯帕罗夫（ВеспаловД）开始使用弯矩图， 斯帕罗夫（ВеспаловД）开始使用弯矩图，被认为是 历史上第一个使用弯矩图的人。 弯矩图的人 历史上第一个使用弯矩图的人。
用截面法假想地在 横截面mm处把梁分 处把梁分 横截面
A
m
B
m x
为两段，先分析梁左段。 为两段，先分析梁左段。 由平衡方程得
∑y = 0
可得
F A − FS = 0
FA
y
m
FS = FA
FS FS 称为 剪力
A
x C m
x
a
P
由平衡方程
m
∑mC = 0
M − FAx = 0
可得 M = FAx
A
FS 4 = 2KN (+), M4 = −4KN.m (−)
2KN 12KN.m
1 1 2 2 3 3
A
B
4 4
2m
2m
2m
FA
FB
FS3 = −4KN (−), M3 = −4KN.m (−)
FS 4 = 2KN (+), M4 = −4KN.m (−)
在集中力两侧的相邻横截面上 , 剪力发生突变 , 且突变值等于 而弯矩保持不变。 集中力的数值 。而弯矩保持不变。
FS3 = −4KN (−), M3 = −4KN.m (−)
2KN 12KN.m
1 1 2 2 3 3
A
B
4 4
2m
2m
2m
FA
FB
2KN
M4
4
FS4
4
FS3 = −4KN (−), M3 = −4KN.m (−)
横截面上的内力（假设剪力和弯矩为正 剪力和弯矩为正）。 求 4-4 横截面上的内力（假设剪力和弯矩为正）。
第9章 弯
曲
§9-1 剪力和弯矩 •剪力图和弯矩图 剪力图和弯矩图 §9-2 剪力图和弯矩图的进一步研究 §9-3 弯曲正应力 §9-4 求惯性矩的平行移轴公式 §9-5 弯曲切应力 §9-6 梁的强度条件 §9-7 挠度和转角 §9-8 弯曲应变能 §9-9 斜弯曲 §9-10 超静定梁
材料力学发展大事记 —梁的弯曲问题 梁的弯曲问题 在《关于力学和局部运动的两门新科学的对话和数学证 一书中，伽利略讨论的第二个问题是梁的弯曲强度问 明》一书中，伽利略讨论的第二个问题是梁的弯曲强度问 按今天的科学结论， 题。按今天的科学结论，当时作者所得的弯曲正应力公式 并不完全正确， 并不完全正确，但该公式已反映了矩形截面梁的承载能力 分别为截面的宽度和高度）成正比， 和bh2（b、h分别为截面的宽度和高度）成正比，圆截面梁 承载能力和d 为横截面直径）成正比的正确结论。 承载能力和d3（d为横截面直径）成正比的正确结论。对于 空心梁承载能力的叙述则更为精彩，他说，空心梁“能大 空心梁承载能力的叙述则更为精彩，他说，空心梁“ 大提高强度而无需增加重量， 大提高强度而无需增加重量，所以在技术上得到广泛的应 在自然界就更为普遍了。 用。在自然界就更为普遍了。这样的例子在鸟类的骨骼和 各种芦苇中可以看到，它们既轻巧， 各种芦苇中可以看到，它们既轻巧，而又对弯曲和断裂具 有相当高的抵抗能力” 有相当高的抵抗能力”。
左下右上” 的错动为 剪力 FS 使 梁的微段发生 “ 左下右上” 的错动为负。 或使 考虑的脱离体有逆时针转动趋势的剪力为负。 考虑的脱离体有逆时针转动趋势的剪力为负 有逆时针转动趋势的剪力为