a b A C x1 x2 FAY l FS Fb / l 图示简支梁C点受集中力作用。 B 试写出剪力和弯矩方程,并画 出剪力图和弯矩图。 FBY 解:1.确定约束力 M A=0, MB=0 FAy=Fb/l FBy=Fa/l 2.写出剪力和弯矩方程 Fa / l Fab/ l M x AC FS x1=Fb / l 0 x1 a (Internal Forces in Beams) 表 4-1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征 一段梁上 的外力情 况 向下的均布 荷载 q<0 无荷载 集中力 F C 集中力偶 m C 剪力图的特征 向下倾斜的 直线 水平直线 在C处有突变 在C处无变化 C 弯矩图的特征 上凸的二次 抛物线 一般斜直线 或 在C处有转折 在C处有突变 (Internal Forces in Beams) §4–4 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图 一、剪力方程和弯矩方程 (shear- force & bending-moment equations) 一般情况下,梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。 若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置,则我们可以用x的函数关 x FS x=qx 0 x l FS x ql M x=qx2 / 2 0 x l 依方程画出剪力图和弯矩图 x ql2 / 2 由剪力图、弯矩图可见。最 大剪力和弯矩分别为 ql 2 / 8 FS max=ql M max=ql 2 / 2 x 目录 (Internal Forces in Beams) 例题5-3 F 最大剪力可能发生在集 中力所在的截面上;或分布 载荷发生变化的区段上。 4、在集中力作用处剪力图有 突变,其突变值等于集中 力的值。弯矩图有转折。 dFs(x) = q(x) dx dM(x) = Fs(x) dx 2 d M(x) 2 = q(x) dx 5、在集中力偶作用处弯矩图有突变,其突变值等于集中力偶 的值,但剪力图无变化。 B x2 出剪力图和弯矩图。 FAY l M /l 解:1.确定约束力 FBY M A=0, MB=0 Ma / l FAy=M / l FBy= -M / l 2.写出剪力和弯矩方程 AC FS x1=M / l 0 x1 a M x1=Mx1 / l 0 x1 a Mb / l CB FS x2 =M / l 0 x2 b RA a Fb RB A B c x x l 值等于集中荷载F。弯矩 图在此点形成尖角,得到 弯矩值最大 。 Fb l + Fa l Fba + l FS M 4 (Internal Forces in Beams) 例题4-2 q 悬臂梁受均布载荷作用。 x l q 试写出剪力和弯矩方程,并 画出剪力图和弯矩图。 解:任选一截面x ,写出 M x 剪力和弯矩 方程 (Internal Forces in Beams) 画弯矩图和剪力图的前提是 剪力和弯矩的符号规定法则. 材料力学教材上规定如下:(恰 好与结构力学中的符号规定法 则相反) 在图4.8a所示情况下,截面 m-m的左段对右段向上相对错 动时,截面m-m上的剪力规定 为正;反之,为负(图4.8b)。 在图4.8c所示变形情况下,即 在截面m-m,处弯曲变形凸向 下时,截面m-m上的弯矩规定 为正;反之,为负(图4.8d) dFs(x) = q(x) dx dM(x) = Fs(x) dx 2 d M(x) 2 = q(x) dx Fs(x) o M(x) x M(x) o x o (Internal Forces in Beams) 3、梁上最大弯矩 Mmax可能 发生在Fs(x) = 0 的截面上; 或 发生在集中力所在的截面上; 或集中力偶作用处; m 最大弯矩所在截 面的可能位置 在Fs=0的截面 在剪力突变 的截面 在紧靠C的某 一侧截面 (Internal Forces in Beams) 船舶结构力学弯曲要素方向规定(符号规定法则) v 向下为正(与y、q、P同向)。 v 顺时针方向为正。 M EIv 在左断面逆时针方向为正,右断面顺时针方向 为正(使梁上拱为正)。 系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律, 1、剪力方程(shear- force equation ) Fs = Fs (x ) 2、弯矩方程(bending-moment equation) M = M(x) 上述函数关系,分别称作剪力方程和弯矩方程 。 (Internal Forces in Beams) 如图,该结构梁的弯矩方程如下: 1、梁上有向下的均布荷载,即 q(x) < 0 Fs(x)图为一向右下方倾斜的直线 M(x)图为一向上凸的二次抛物线 Fs(x) M(x) o x dFs(x) = q(x) dx dM(x) = Fs(x) dx 2 d M(x) 2 = q(x) dx (Internal Forces in Beams) 2、梁上无荷载区段,即 q(x) = 0 剪力图为一条水平直线 弯矩图为一斜直线 当 Fs(x) > 0 时,向右上方倾斜。 当 Fs(x) < 0 时,向右下方倾斜。 M (x) Fb x (0 x a) (2) l M (x) Fa (l x) (a x l) (4) l RA a A x 由(2),(4)式可知,AC, CB 两段梁的弯矩图各是一 条斜直线 F b c x l + ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱRB B Fba l (Internal Forces in Beams) 在集中荷载作用处的左, 右 两侧截面上剪力值(剪 力图上)有突变 。突变 M x1=Fbx1 / l 0 x1 a CB FS x2 = Fa / l a x2 l M x2 =Fal x2 / l a x2 l x 3. 依方程画出剪力图和弯矩图。 目录 (Internal Forces in Beams) 例题5-4 a b 图示简支梁C点受集中力偶作用。 M A C x1 试写出剪力和弯矩方程,并画 M x2 = Mx2 / l 0 x2 b 3. 依方程画出剪力图和弯矩图。 目录 (Internal Forces in Beams) 二、q(x)、Fs(x)图、 M(x)图三者间的关系 (relationships between load,shear force,and bending moment diagrams)