正方体展开图和三视图的初步认识

专题13 三视图与展开图
1.视图：当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。

2.物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。

（1）主视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图,能反映物体的前面形状。

（2）俯视图：从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图，能反映物体的上面形状。

（3）左视图：从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图，能反映物体的左面形状，有时也叫做侧视图。

物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影.正投影面上的正投影就是主视图，水平投影面上的正投影就是俯视图，侧投影面上的正投影就是左视图
在画三视图时，三个三视图不要随意乱放，应做到俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右边，三个视图之间保持：长对正，高平齐，宽相等。

3.展开图：
平面图形有三角形、四边形、圆等.立体图形有棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形。

【例题1】（2019•四川省达州市）如图是由7个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，这个几何体的左视图是（）
A．B．C．D．。

学科教师辅导讲义班级：年 级： 五年级 辅导科目：小学思维学科教师：上课时间授课主题 立体几何拓展----三视图一．三视图在观察物体的时候，我们往往可以从不同的角度进行观察．角度不同，看到的风景就会不同．比如：我们可以从正面看，上面看，左面看，看到的图形分别称为正视图，俯视图和左视图．并且容易发现：正面看和后面看，上面看和下面看，左面看和右面看得到的图形是知识图谱错题回顾三视图知识精讲相同的．对于较复杂的立体图形，通过三视图法往往可以很方便地计算出表面积． 二．正方体的展开图我们采用不同的剪开方法，共可以得到下面11种展开图．三．长方体的展开图观察上图可以发现，长方体的展开图由6个长方形组成，相对面的面积相等，即上面=下面=长×宽，左面=右面=宽×高，前面=后面=长×高． 四．判断图形折叠后能否围成长方体或正方体的方法．判断一个图形折叠后能否围成正方体或长方体，首先，要依据它们各自展开图的特点判断；其次，可以运用空间想象或实际操作进一步判断．重难点：展开图、三视图及三视图求个数和表面积．上 后 前右左下 展开后由上、下、左、右、前、后六个正方形面组成，这六个正方形面的面积都相等．高宽长右面左面 后面下面 前面 上面三点剖析题模精选题模一：展开图与对立面例1.1.1 一个正方体的六个面上分别写着A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母．请你根据图中的三种摆放情况，判断每个字母的对面是______________，______________，______________【答案】 B 与D 相对，E 与A 相对，C 与F 相对 【解析】 由于正方体的6个面上写了6个不同的字母，那么每个字母在正方体的面上只能出现1次，如果2个字母在相邻的面上出现，那么它们一定不能相对．第一步，先看前2种摆放情况：在这2种摆放情况中，只有字母B 出现了2次，那么由第一种摆放可知，B 不与A 相对，也不与F 相对；由第二种摆放可知，B 不与C 相对，也不与E 相对．那么在所有的字母中，B 只能与D 相对．第二步，再看后2种摆放情况：在这2种摆放情况中，只有字母E 出现了2次，那么由第二种摆放可知，E 不与B 相对，也不与C 相对；由第三种摆放可知，E 不与D 相对，也不与F 相对．那么在所有的字母中，E 只能与A 相对．正方体有三个对面，因B 与D 相对，E 与A 相对，那么第三组对面上一定是C 与F 相对．例1.1.2 图中的四个正方体标字母的方式是完全相同的，请你利用图中已知的信息，判断A 、B 、C 的对面分别标的是哪个字母？【答案】 A 的对面标有D ，B 的对面标有F ，C 的对面标有E【解析】 由已知条件，标有C ，D 的两个面不能相对，那么或A 的对面标有D ，或B 的对面标有D ．如果标有D ，A 的两个面相对，那么“标有C ，D 的两个面不能相对”，“标有E ，A 的两个面也不能相对”这两个条件都可以满足．注意到当D 在朝右的面，E 在朝上的面时，F 在朝前的面上，那么只能是标有E ，C 的两个面相对，而标有F ，B 的两个面相对．经检验，这种情况满足题目要求．如果标有D ，B 的两个面相对，那么由于标有E ，A 的两个面也不能相对，于是标有A 的对面就是标有F 的面，而标有C 的对面就是标有E 的面．此时D 在朝后的面上，E 在朝左的面上，F 在朝下的面上．我们把六面体旋转，把D 转到朝右的面，并把E 转到朝上的面，BFA EBC FED A BCD CCEAEF D此时朝前的面上标的是A ，而朝后的面上标的是F ，与题意不符．综上所述，满足题意的答案只有一个：A 的对面标有D ，B 的对面标有F ，C 的对面标有E ．例1.1.3 如图，第1个方格内放着一个正方体木块，木块六个面上分别写着ABCDEF 六个字母．其中A 与D 相对，B 与E 相对，C 与F 相对．现在将木块标有字母A 的那个面朝上，标有字母D 的那个面朝下放在第1个方格内，然后让木块按照箭头指向，沿着图中方格滚动，当木块滚到21格时，木块向上的面上写的是哪个字母？【答案】 字母A【解析】 发现木块向左滚4格后，各个面上标的字母与初始时的情况完全一致．那么木块朝其它方向滚时也有类似的情况，即木块向任意方向连滚4格，它的各个面上标的字母不变． 所以木块向左滚4格到第5格时，各个面上标的字母与在第1格时的情况完全一致．再向下滚4格到第9格，再向右滚4格到第13格，再向下滚4格到第17格，最后向左滚4格到第21格，每次都是朝同一方向滚4格，因此在第5格，第9格，第13格，第17格，第21格木块向上的面上总是写的字母A ．例1.1.4 如图，在一个正方体的表面上写着1~6这6个自然数，并且1对着4，2对着5，3对着6．现在将正方体的一些棱剪开，使它的表面展开图如图所示．如果只知道1和2所在的面，那么6应该在哪个面上（写出字母代号）？【答案】 A【解析】 对于立方体展开图，我们可以把任一个面当作底面，把它还原成立方体的表面．如图1，观察虚线圈住的部分，可以发现写有1，A ，B 的三个面两两相邻；再观察图2的虚线圈住的部分，发现写有A ，B ，C 的三个面也两两相邻．此时，写有1的面与A 面，B 面都相邻，C 面也与A 面，B 面都相邻，因此写有1的面与C 面相对，即C 面上写的是4．1 AB C 2D 3 121A B C 2D1A B C 2D1与C 相对，C 面上写的是421 5920 19观察图3中的虚线圈住的部分，容易看出写有2的面与B 面相对，因此B 面上写的是5．则立方体展开图就如图4所示．还剩下A 面与D 面上的数字没有确定，这两个面上分别写有3和6．由于写有1的面，写有5的面与A 面两两相邻，把这三个面还原到立方体中．在图2所示的立方体中，5与2相对，在立方体朝左的侧面上；1在朝前的侧面上．在展开图中以写有1的面为朝前的侧面，A 面为下底面，则写有5的面恰好在朝左的侧面上．此时写有1的面，写有5的面都对齐了，而原立方体中下底面写有数字6，因此A 面上就是6．例1.1.5 下图是正方体，四边形APQC 是表示用平面截正方体的截面，截面的线表现在展开图的哪里呢？把大致的图形在右面展开图里画出来．【答案】 见解析【解析】 截线在展开图中如图所示：例1.1.6 右图是一个立体图形的平面展开图，图中的每个小方格都是边长为1的正方形．现在将其沿实线．．．折叠，还原成原来的立体图形，那么立体图形的体积等于_________． 图3 1A B 4 2D2与B 相对， B 面上写的是5图41 A 54 2DBPEAD CB GHQFAEDCB HGFA ． 3B ． 4C ． 5D ． 6 【答案】B【解析】 根据实线还原，体积为4． 题模二：三视图求表面积例1.2.1 下图是由5个相同的正方体木块搭成的，从上面看到的图形是（ ）．A ． A 图B ． B 图C ． C 图D ． D 图【答案】C【解析】 5个在原图均已看到，易知C 符合要求．例1.2.2 右图是由18个棱长为1cm 的小正方形拼成的立体图形，它的表面积是（ ）平方厘米．A ． 44B ． 46C ． 48D ． 50【答案】C【解析】 从正面、左面、上面分别可看见8、7、9块，故表面积为()21879248cm ⨯++⨯=．例1.2.3 右图中的一些积木是由16块棱长为2cm 的正方体堆成的，它的表面积是________2cm ．【答案】 200D ．B ．C ．A ．【解析】 从前到后的3面依次有2块、5块、7块，因此还剩162572---=块，为可看见的1块与其下方的1块．由此易知正视图、俯视图、左视图分别能看到7块、9块、8块，此外离我们最近的2块有两个面从6个方向均无法看到，综上共可看到()7982250++⨯+=个面，表面积为22250200cm ⨯=．例 1.2.4 图中的立体是由大小相同的若干单位正方体积木搭成的．这样的积木一共有多少【答案】 37；三视图如下图所示；102【解析】 将此图分为从左到右的5层，分别有16、9、5、6、1块，故共有16956137++++=块．三视图见答案，分别可看见17、15、16块，其中左视图有3块“被遮挡”，因此表面积为()17151632102+++⨯=⎡⎤⎣⎦．例1.2.5 图中的立体图形由11个棱长为1的立方块搭成，这个立体图形的表面积为_______．【答案】34【解析】 按一定的顺序，从不同的角度来看这个立体图形的表面的面积． 题模三：已知三视图反推个数例1.3.1 这个图形最少是由（ ）个正方体整齐堆放而成的．正视图 俯视图 左视图A．12B．13C．14D．15【答案】B【解析】从上面看下去，最少需要：122412113++++++=．例1.3.2此图是某几何体从正面和左面看到的图形．若该几何体是由若干个棱长为1的正方体垒成的，则这个几何体的体积最小是________．【答案】6【解析】根据正视图，理论上最少需要6块．而6块可以构造出来，例如，其俯视图如下图所示．因此，体积最小为3166⨯=．例 1.3.3一个立体图形，从前面，上面，右边三个方向看到的图形都如图所示，是一个样的，那么该立体图形最多由__________块小立方体组成．【答案】23【解析】按由上到下逐层分析，各层的小立方体数目分别不超过1个、4个、8个、10个，所以该立体图形最多由23个小立方体组成．例 1.3.4有一些大小相同的正方形木块堆成一堆，从上往下看是图3-1，从前往后看是图3-2，从左往右看是图3-3，那么这堆木块最多有多少块？最少有多少块？1412212从正面看从左面看【答案】16，13【解析】43416+⨯=块，424113+⨯+=块．这堆木块最多有16块，最少有13块．例1.3.5地上有一堆小立方体，从上面看时如图1所示，从前面看时如图2所示，从左边看时如图3所示．这一堆立方体一共有几个？如果每个小立方体的棱长为1厘米，那么这堆立方体所堆成的立体图形表面积为多少平方厘米？【答案】10个；42平方厘米【解析】采用在俯视图上标数的方法来求解，只要知道俯视图上的每格有几块小立方体，就可以很轻松的得到这堆立方体所形成的立体图形的样子．首先从俯视图很容易看出，有3个格子里是没有小立方体的，而其他6个格子里至少有一个小立方体．如下图，将所得信息填入俯视图中．结合俯视图和主视图，不难看出，有两格只有1块小立方体．将所得信息填入俯视图中．同样的，结合俯视图和左视图，又可以知道有一格只有1块小立方体．将所得信息填入俯视图中．图1 图2 图3从前面看1001我们来继续考虑，左视图中最左边一排有2块小立方体，所以俯视图左上角处有2块小立方体．将所得信息填入俯视图中．同理，主视图最右边一排有2块小立方体，所以俯视图最右边中间处有2块小立方体．将所得信息填入俯视图中．不难看出，俯视图中最后剩下的那块有3个小立方体，所以俯视图中每格的小立方体数如下：于是这一堆立方体一共有21321110+++++=个． 接着很容易得到这个立体图形的样子，如下图．上下各能看到6个面，前后各能看到6个面，左右各能看到6个面，同时注意到立体图形的中间共有6个会互相遮挡的面，所以表面积是()2666642⨯+++=平方厘米．从左边看1 0 0 012 1 0 0 012 1 0 0 2 0 112 1 03 0 2 011随练1.1将一正方体纸盒沿右图所示的粗实线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为（）．A．A图B．B图C．C图D．D图【答案】B【解析】竖向只剪了1刀，故前、后、左、右四个面应在一条线上，排除A、D．易知上、下两面不在一条线上，排除C，故选B．随练1.2水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示．如下图，是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面．则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的________________________．【答案】后面、上面、左面【解析】易知你、程相对，前、锦相对，祝、似相对，因此“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的后面、上面、左面．随练1.3小明把五颗完全相同的骰子拼摆成一排（如图），那么这五颗骰子底面上的点数之和是__________．【答案】16【解析】根据已知推出(4,5)(1,3)(2,6)互为对立面，所以这五颗骰子底面上的点数之和是6152216++++=．随练1.4右图是由八个相同的小正方体组成而成的几何体，则从正面观察，得到的平面图随堂练习形是__________．序号）【答案】 ②【解析】 从正面看到图②，从上面看到图①，从右面看到图③．所以正确答案是图②．随练1.5 由棱长为1的正方体搭成如图所示的图形，共有__________个正方体，它的表面积是__________．【答案】 10；34【解析】 第一层有8个，第二层有2个，共10个．其三视图分别能看到4、5、8个，故表面积为()11458234⨯⨯++⨯=．随练1.6 如图，有9个边长为1米的正方体，如图所示堆成一个立体图形．该立体图形的表面积等于__________平方米．【答案】 38【解析】 利用三视图．从前面、右面、上面看依次如图所示．所以该立体图形的表面积是()26672138++⨯⨯=平方米．随练1.7 如图6，用若干个棱长为1的小正方体堆成一个大的几何体，这个几何体的表面积（含底面积）是__________．① ② ③ ④【答案】90【解析】根据三视图，大的几何体的表面积等于正视图面积+俯视图面积+右视图面积的2倍，所以是()2++⨯⨯=．1415162190随练 1.8用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形，这个图形的表面积是__________平方厘米．【答案】46平方厘米【解析】如图1，从立体图形上方和下方看去，看到的都是9块小正方形．面积是9平方厘米．图1图2从四个侧面看去，看到的是图2形式的7块小正方形，面积是7平方厘米．所以立体图形的表面积为927446⨯+⨯=平方厘米．随练1.9把若干个棱长为1厘米的小正方体木块搭成一个图形，从上面和前面看到的都是如图所示的情形，这个图形最多需要__________个这样的小正方体，最少需要__________个这样的小正方体．【答案】9；7【解析】由从上方看到的结果可知第一层必有5个，且第二层至多5个；由从前面看到的结果可知共有2层，且第二层至少2个．再结合两个视图可知第二层至多4个．综上，最多9个，最少7个．作业1一个数学玩具的包装盒是正方体，其表面展开图如下．现在每方格内都填上相应的数字．已知将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面的两数之和为“3”，则填在A、B、C内的三个数字依次是_____________．【答案】3，1，2【解析】正方体的平面展开图中，相对面之间一定隔着一个正方形，所以在此正方体上与“A”相对的面上的数是“0”．与“B”相对的面上的数是“2”．与“C”相对的面上的数是“1”．所以A、B、C内的三个数字依次是3，1，2．作业2把1至6各一个分别写在正方形的六个面上，每个面只写一个数字，且1与4相对，2与5相对，3与6相对，从某个角度看到的三个面上的数字如图（a）所示，从另一个角度看到的三个面如图（b）所示，那么图（b）中的“？”代表的数字是___________．A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】如图，4对面是1，所以在图a中把4翻到底面，顶部变成了1，如图b，而5C 2B 0A 1自我总结课后作业对面是2,所以当6转到正面时，5在左侧，右侧自然是2了，故答案是2．．作业3下图由一个正五边形，五个长方形，五个等边三角形组成，它是一个立体图形的平面展开图，那么这个立体图形有__________条棱．【答案】20【解析】此立体图形，示意图如上：共20条棱．作业4用若干个棱长为1cm的小正方体码放成如图所示的立体，则这个立体的表面积（含下底面面积）等于___________2cm．【答案】60【解析】根据三视图，我们可知，此立体图形的前面与后面，左面与右面，上面与下面的表面积分别相等．所以我们只要知道前面有11个正方形，右面有8个正方形，上面有11个面，就可求出它露在外面的面共计()11811260++⨯=个正方形，所以它的表面积是2260160cm⨯=．作业5如图，把19个边长为1厘米正方体重叠起来堆成如图所示的立方体，这个立方体的表面积是______平方厘米．【答案】54【解析】从上下左右前后六个方向看，分别可以看到9、9、8、8、10、10个小正方形面，所以总的表面积为54平方厘米．作业6图中的立体是由大小相同的若干单位正方体积木搭成的．这样的积木一共有多少块？画出它的三视图，表面积是多少？【答案】30；三视图如下图所示；76【解析】将此图分为从左到右的4层，分别有11、7、5、7块，故共有1175730+++=块．三视图见答案，分别可看见13、12、11块，其中左视图有2块“被遮挡”，因此表面积为()1312112276+++⨯=⎡⎤⎣⎦．作业7由若干个相同的正方体木块搭成的立体，从正面和左面看到的图形都是右图，搭这样的立体，最少用（）个这样的木块．A．4B．5C．6D．8【答案】A【解析】按如图方式摆放即可．正视图俯视图左视图作业8由若干个棱长为1的正方体堆成的立体图形，其正视图、俯视图和左视图如下所示，请问这个立体图形体积是________．正视图俯视图左视图【答案】5【解析】由正视图和左视图可知共两层，且顶层只有1块，由俯视图可知底层有4块，故共有5块，体积为5．作业9一仓库里堆放着若干个完全相同的正方体货箱，这堆货箱的三视图如图所示，这堆真方体货箱共有______________个．【答案】9【解析】俯视图确定基座，分析每块上的高度．。

几何第38讲_三视图一．三视图在观察物体的时候，我们往往可以从不同的角度进行观察．角度不同，看到的风景就会不同．比如：我们可以从正面看，上面看，左面看，看到的图形分别称为正视图，俯视图和左视图．并且容易发现：正面看和后面看，上面看和下面看，左面看和右面看得到的图形是相同的．对于较复杂的立体图形，通过三视图法往往可以很方便地计算出表面积．二．正方体的展开图上后前右左下展开后由上、下、左、右、前、后六个正方形面组成，这六个正方形面的面积都相等．我们采用不同的剪开方法，共可以得到下面11种展开图．三．长方体的展开图高宽长右面左面后面下面前面上面观察上图可以发现，长方体的展开图由6个长方形组成，相对面的面积相等，即上面=下面=长×宽，左面=右面=宽×高，前面=后面=长×高．四．判断图形折叠后能否围成长方体或正方体的方法．判断一个图形折叠后能否围成正方体或长方体，首先，要依据它们各自展开图的特点判断；其次，可以运用空间想象或实际操作进一步判断．重难点：展开图、三视图及三视图求个数和表面积．题模一：展开图与对立面例1.1.1一个正方体的六个面上分别写着A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母．请你根据图中的三种摆放情况，判断每个字母的对面是______________，______________，______________BFA EBCFED例1.1.2图中的四个正方体标字母的方式是完全相同的，请你利用图中已知的信息，判断A 、B 、C 的对面分别标的是哪个字母？A BCDCCEAEFD例1.1.3如图，3个相同的正方体堆成一个“品”字．每个正方体的六个面上都分别标有小、学、希、望、杯、赛这六个汉字，并且每个正方体上的汉字的排列顺序完全相同．问：正方体中，希、望、杯这三个汉字的对面是哪个汉字？写出推理过程．例1.1.4如图，第1个方格内放着一个正方体木块，木块六个面上分别写着ABCDEF 六个字母．其中A 与D 相对，B 与E 相对，C 与F 相对．现在将木块标有字母A 的那个面朝上，标有字母D 的那个面朝下放在第1个方格内，然后让木块按照箭头指向，沿着图中方格滚动，当木块滚到21格时，木块向上的面上写的是哪个字母？21592019例1.1.5如图，在一个正方体的表面上写着1~6这6个自然数，并且1对着4，2对着5，3对着6．现在将正方体的一些棱剪开，使它的表面展开图如图所示．如果只知道1和2所在的面，那么6应该在哪个面上（写出字母代号）？1AB C 2D312例1.1.6下图是正方体，四边形APQC 是表示用平面截正方体的截面，截面的线表现在展开图的哪里呢？把大致的图形在右面展开图里画出来．BPEAD CB GHQFAEDCB HGF例1.1.7右图是一个立体图形的平面展开图，图中的每个小方格都是边长为1的正方形．现在将其沿实线．．．折叠，还原成原来的立体图形，那么立体图形的体积等于_________．A．3B．4C．5D．6题模二：三视图求表面积例1.2.1下图是由5个相同的正方体木块搭成的，从上面看到的图形是（）．A．A图B．B图C．C图D．D图例1.2.2右图是由18个棱长为1cm的小正方形拼成的立体图形，它的表面积是（）平方厘米．A．44B．46C．48D．50例1.2.3右图中的一些积木是由16块棱长为2cm的正方体堆成的，它的表面积是cm．________2例1.2.4图中的立体是由大小相同的若干单位正方体积木搭成的．这样的积木一共有多少块？画出它的三视图，表面积是多少？例1.2.5图中的立体图形由11个棱长为1的立方块搭成，这个立体图形的表面积为_______．例1.2.6已知某个集合体的三视图如下，根据图中标示的尺寸（单位：厘米），这个几何体的体积是______（立方厘米）．题模三：已知三视图反推个数例1.3.1这个图形最少是由（）个正方体整齐堆放而成的．A．12B．13C．14D．15例1.3.2此图是某几何体从正面和左面看到的图形．若该几何体是由若干个棱长为1的正方体垒成的，则这个几何体的体积最小是________．从正面看从左面看例1.3.3一个立体图形，从前面，上面，右边三个方向看到的图形都如图所示，是一个样的，那么该立体图形最多由__________块小立方体组成．例1.3.4有一些大小相同的正方形木块堆成一堆，从上往下看是图3-1，从前往后看是图3-2，从左往右看是图3-3，那么这堆木块最多有多少块？最少有多少块？例1.3.5地上有一堆小立方体，从上面看时如图1所示，从前面看时如图2所示，从左边看时如图3所示．这一堆立方体一共有几个？如果每个小立方体的棱长为1厘米，那么这堆立方体所堆成的立体图形表面积为多少平方厘米？图1图2图3随练1.1将一正方体纸盒沿右图所示的粗实线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为（）．A ．A 图B ．B 图C ．C 图D ．D 图随练1.2水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示．如下图，是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面．则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的________________________．随练1.3小明把五颗完全相同的骰子拼摆成一排（如图），那么这五颗骰子底面上的点数之和是__________．随练1.4右图是由八个相同的小正方体组成而成的几何体，则从正面观察，得到的平面图形是__________．序号）①②③④随练1.5由棱长为1的正方体搭成如图所示的图形，共有__________个正方体，它的表面积是__________．随练1.6如图，有9个边长为1米的正方体，如图所示堆成一个立体图形．该立体图形的表面积等于__________平方米．随练1.7如图6，用若干个棱长为1的小正方体堆成一个大的几何体，这个几何体的表面积（含底面积）是__________．图6随练1.8用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形，这个图形的表面积是__________平方厘米．随练1.9把若干个棱长为1厘米的小正方体木块搭成一个图形，从上面和前面看到的都是如图所示的情形，这个图形最多需要__________个这样的小正方体，最少需要__________个这样的小正方体．作业1一个数学玩具的包装盒是正方体，其表面展开图如下．现在每方格内都填上相应的数字．已知将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面的两数之和为“3”，则填在A 、B 、C 内的三个数字依次是_____________．作业2把1至6各一个分别写在正方形的六个面上，每个面只写一个数字，且1与4相对，2与5相对，3与6相对，从某个角度看到的三个面上的数字如图（a ）所示，从另一个角度看到的三个面如图（b ）所示，那么图（b ）中的“？”代表的数字是___________．A．2B．3C．4D．5作业3下图由一个正五边形，五个长方形，五个等边三角形组成，它是一个立体图形的平面展开图，那么这个立体图形有__________条棱．作业4用若干个棱长为1cm的小正方体码放成如图所示的立体，则这个立体的表面积（含cm．下底面面积）等于___________2作业5如图，把19个边长为1厘米正方体重叠起来堆成如图所示的立方体，这个立方体的表面积是______平方厘米．作业6图中的立体是由大小相同的若干单位正方体积木搭成的．这样的积木一共有多少块？画出它的三视图，表面积是多少？作业7由若干个相同的正方体木块搭成的立体，从正面和左面看到的图形都是右图，搭这样的立体，最少用（）个这样的木块．A．4B．5C．6D．8作业8由若干个棱长为1的正方体堆成的立体图形，其正视图、俯视图和左视图如下所示，请问这个立体图形体积是________．作业9一仓库里堆放着若干个完全相同的正方体货箱，这堆货箱的三视图如图所示，这堆真方体货箱共有______________个．。

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题15 图形的基本认识【知识要点】考点知识一立体图形⏹立体图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。

常见的立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。

⏹平面图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。

常见的平面图形：线段、角、三角形、长方形、圆等【立体图形和平面的区别】1、所含平面数量不同。

平面图形是存在于一个平面上的图形。

立体图形是由一个或者多个平面形成的图形，各部分不在同一平面内，且不同的立体图形所含的平面数量不一定相同。

2、性质不同。

根据“点动成线，线动成面，面动成体”的原理可知，平面图形是由不同的点组成的，而立体图形是由不同的平面图形构成的。

由构成原理可知平面图形是构成立体图形的基础。

3、观察角度不同。

平面图形只能从一个角度观察，而立体图形可从不同的角度观察，如左视图，正视图、俯视图等，且观察结果不同。

4、具有属性不同。

平面图形只有长宽属性，没有高度；而立体图形具有长宽高的属性。

立方体图形平面展开图三视图及展开图三视图：从正面，左面，上面观察立体图形，并画出观察界面。

考察点：（1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图。

（2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型。

展开图：正方体展开图（难点）。

正方体展开图口诀（共计11种）：“一四一”“一三二”，“一”在同层可任意,“三个二”成阶梯,“二个三”“日”相连,异层必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此规律，运用定自如。

⏹点、线、面、体几何图形的组成：点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：几何体也简称体。

组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体。

考点知识二直线、射线、线段⏹直线、射线、线段的区别与联系：【射线的表示方法】表示射线时端点一定在左边，而且不能度量。

经过若干点画直线数量：1.经过两点有一条直线，并且只有一条直线（直线公理）。

教案教学内容几何体的三视图与展开图一、学习目标：1.初步体会从不同方向观察同一物体可能看到不一样的结果；2.能画出从不同方向看一些常见的立体图形所得到的平面图形；3.通过观察和动手操作，经历和体验平面图形和立体图形相互转换的过程；4.重点认识正方体、圆柱、圆锥、棱柱等立体图形及其展开图，培养空间想象力．二、知识回顾：1．什么是几何图形？几何图形分为哪两类？都包含哪些图形？从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形，几何图形分为平面图形和立体图形平面图形包括线段、角、三角形、四边形、平行四边形、矩形、正方形和圆等，立体图形包括长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱锥、球等.2．请欣赏漫画并思考，他们为什么会出现争执？从不同的方向看同一个物体时，可能会看到不同的图形．3. 欣赏《题西岭壁》，其中“横看成岭侧成峰”一句中，蕴含了怎样的数学道理？题西岭壁——苏轼横看成岭侧成峰，远近高低各不同.不识庐山正面目，只缘身在此山中.三、知识梳理：1．三视图主视图——从正面看到的图；左视图——从左面看到的图；俯视图——从上面看到的图．画物体的三视图时,要符合如下原则：大小：长对正（主视图与俯视图）,高平齐（主视图与左视图）,宽相等（左视图与俯视图）.虚实：在画图时,看的见部分的轮廓通常画成实线,看不见部分的轮廓线通常画成虚线.2．几种常见的几何体的三视图（1）圆柱、圆锥、球的三视图（2）棱柱、棱锥的三视图3．几何体的展开图有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．（1）圆柱的展开图上下底面为圆，侧面是矩形，矩形的长是圆柱的底面周长，宽是圆柱的高．（2）圆锥展开图底面是圆，侧面是扇形，扇形的弧长是底面圆的周长．（3）棱柱展开图上下底面是多边形，侧面都是矩形，且上下底面的两个多边形分别在侧面展开图的两侧．（4）棱锥展开图底面是多边形，侧面都是三角形，这些三角形的公共顶点就是棱锥的顶点．（5）正方体展开图将正方体展开后得到的由六个小正方形构成的平面图形就是正方体的展开图．正方体的11种展开图：类别特征图形中间4个正方形连排，两侧1-4-1型（6种）各有1个正方形中间3个正方形连排，两侧1-3-2型（3种）分别有1个，2个正方形2-2-2型（1种）2个正方形连排，成阶梯状3-3型（1）两行只能有1个正方形相连四、典例探究1．从不同方向看几何体【例1】桌子上放着如图所示的两个物体，我们从正面看到的图形是（）A．B．C．D．总结：1．不论是单个立体图形还是组合图形，要得到从某个方向看的平面图形，必须保证正确的视线方向，视线方向要正对几何体．2．根据看到的平面图形想象立体图形时,要充分发挥自己的空间想象能力．3．从正面看是将几何体从前向后压缩，使看到的面全部落在同一竖直平面内；从左面看是将几何体从左向右压缩，使看到的面全部落在同一竖直平面内；从上面看是把几何体从上向下压缩，使看到的面都落到同一水平平面内．练1．从三个方向看一个几何体得到如下图的3个平面图形，则该几何体是________.练2．如下图，请在正方形网格图中画出从正面看、从左面看、从上面看物体得到的平面图形.2．几何体的展开图【例2】下列第二行的哪种几何体的表面能展开成第一行的平面图形？请对应填空．①：；②：；③：；④：；⑤：．总结：1．沿多面体的棱可以将多面体剪开成平面图形,若干个平面图形也可以围成一个多面体.2．同一个多面体沿不同的棱剪开,得到的平面展开图是不一样的，也就是说，同一个立体图形可以有多种不同的展开图.3．不是所有立体图形都有平面展开图，比如球体就没有平面展开图．练3．图①是由白色纸板拼成的立体图形，将它的两个面的外表面涂上颜色，如图②，则下列图形中，是图②的表面展开图的是（）A. B. C. D. 练4．下列展开图对应的立体图形是_________________.3．正方体展开图的识别【例3】下列图形中可以作为一个正方体的展开图的是（）A. B. C. D.总结：1.正方体展开图一共有11种，4句口诀就能帮助记忆.口诀1：中间4个一连串，两边各一随便放.（有6种，如下图）口诀2：二三紧连错一个，三一相连一随便.（有3种，如下图）口诀3：两两相连各错一.（有1种，如下图）口诀4：三个两排一对齐. （有1种，如下图）2.注意：正方体展开图中不会出现“7”“田”“凹”字形状.练5．图中是正方体的展开图的个数是（）A．5个B．3个C．4个D．6个4.识别带标志的正方体的展开图【例4】如左图所示的正方体沿某些棱展开后，能得到的图形是（）A．B．C．D．总结：识别带标志的正方体的展开图时，要注意观察以下几点：（1）观察正方体中带标志的几个面是相邻还是相对；（2）观察正方体中带标志的几个面相邻（或相对）的位置关系.练6. 如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把简答沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图可以是（）A. B. C. D.5.正方体展开图找对面【例5】2015年，县委、县政府做出了“小微企业富民，大中企业强县，唱响千年文化，建设美好平定”的决策，如图是小明制作的一个正方体的表面展开图，原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是（）A．美B．好C．平D．定总结：在正方体展开图中找相对面，需要较强的空间想象能力，需要在头脑中让小正方形“动”起来.除了通过想像、动手折纸以及模型模拟之外，还有两个“绝招”来找对面.绝招1：隔空相对.展开图中，凡是有3个小正方形排成一排的，中间隔一个小正方形的两个正方形相对.如图，，B和D相对，C和E相对，剩下的A和F自然相对.绝招2：邻四对一.在一个正方体中，每个面都有四个面与之相邻，另一个面则相对，在正方体展开图中，各面的相邻关系是不会改变的.如图，，D与C、E、F相邻，与B有一个公共顶点，也相邻，则剩下的A必然与D相对. 练7．根据如图中骨骰子的三种不同状态显示的数字，请你推出“？”处的数字应为．五、课后小测一、选择题1．下列图形的主视图与其它三个不同的是（）A．B．C．D．2．下图是某长方体的展开图，其中错误的是（）A．B．C．D．3．下列图形中，不是正方体表面展开图的是（）A．B．C．D．4．在正方体的表面上画有如图所示的粗线，则其展开后正确的是（）A．B．C．D．5．一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“预祝中考成功”，把它折成正方体后，与“成”相对的字是（）A．中B．功C．考D．祝二、填空题6．如图所示的四幅平面图中，是三棱柱的表面展开图的有．（只填序号）7．右面是两个立体图形的三视图，请填出它们的名称是：和．8．如图，添加一个相同的正方形后，能构成一个正方体的平面展开图．则不同的添加方式共有种．9．如图所示，在图中再添上一个面后，折叠后才能围成一个正方体．下面是四位同学补画的情况，其中正确的是（填序号）．三、解答题10．画出图中无盖正方体纸盒的一种表面展开图．11．如图，下列图形能折叠成什么图形？（1）（2）（3）（4）．六、小结11。

三视图和展开图的认识1.定义：三视图是指一个物体在三个不同方向上的投影，包括正视图、俯视图和侧视图。

2.作用：通过三视图可以全面了解物体的形状和结构，是工程制图和建筑设计中必不可少的一部分。

3.绘制方法：(1)正视图：物体正面朝向观察者，投影在水平面上。

(2)俯视图：物体上方朝向观察者，投影在垂直于水平面的竖直面上。

(3)侧视图：物体左侧或右侧朝向观察者，投影在垂直于水平面和俯视图所在平面的斜面上。

4.定义：展开图是将一个立体图形展开成平面图形，以便于观察和计算。

(1)矩形展开图：最常见的展开图类型，适用于各种矩形容器、包装盒等。

(2)圆形展开图：适用于圆形或近似圆形的物体，如圆筒、圆盘等。

(3)三角形展开图：适用于三角形的物体，如三角尺、三角形的包装盒等。

(4)其他多边形展开图：适用于各种多边形的物体，如六边形、八边形等。

5.绘制方法：(1)矩形展开图：将立体图形的侧面沿着高展开，得到一个长方形或正方形。

(2)圆形展开图：将立体图形的侧面沿着直径展开，得到一个扇形。

(3)三角形展开图：将立体图形的侧面沿着高展开，得到一个三角形。

(4)其他多边形展开图：根据立体图形的形状和结构，选择合适的方法将其展开。

三、三视图与展开图的相互关系1.展开图可以转化为三视图：通过观察展开图，可以确定物体的正视图、俯视图和侧视图。

2.三视图可以转化为展开图：根据三视图，可以绘制出物体的展开图。

3.展开图中的信息可用于三视图的绘制：展开图中的边长、角度等信息可以用于确定三视图中的尺寸和形状。

四、实际应用1.工程制图：在建筑设计、机械设计等领域，三视图和展开图是表达物体形状和结构的重要手段。

2.制造业：在制造过程中，通过三视图和展开图可以方便地切割、加工和组装物体。

3.教育：在三视图和展开图的教学中，有助于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

4.日常生活中：展开图在包装、折叠等方面有广泛应用，如纸箱、衣物等。

五、注意事项1.准确绘制：在绘制三视图和展开图时，要注意尺寸、形状和位置的准确性。

数学既研究数，又研究形，数与形是数学这棵大树上的不同分支，这两者互相结合，常常有助于问题的解决.历史上一些著名科学家，如阿基米德，牛顿，罗素，爱因斯坦，都曾被欧几里德几何迷住过，早在公元前四世纪，古希腊哲学家柏拉图曾在他设立哲学院的大门上写道：“不懂几何的人，不准进门．”今天我们将进入“几何的殿堂”，开始初步接触几何的魅力！⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎩认识几何体的特性认识立体图形几何体的截面旋转构体图形认识初步立体图形的平面展开图投影简单几何体的视图三视图 ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎩圆柱柱体棱柱：三棱柱，四棱柱，五棱柱圆锥常见几何体锥体棱锥：三棱锥，四棱锥，五棱锥球体 举例：球体：地球仪，篮球，足球；圆柱体：__________________ 正方体：__________________ 圆锥体：__________________ 长方体：__________________想一想，我们日常生活中还有哪些立体图形。

帐篷，螺母，铅笔......。

这些立体图形都是由我们熟悉的平面图形组成的。

简单几何体的视图将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓绘制出来该图形称为视图.三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果.简单点说就是：从正面看过去的投影－－主视图；从侧面看过去的投影－－左视图； 从上面（站在物体的正面从上往下）看过去的投影－－俯视图。

视线要于水平面垂直！投影和立体图形展开图。

图形认识2【例1】（1） 如下图，柱体有 个，其中 是圆柱， 是棱柱；锥体有 个，其中是圆锥， 是棱锥．（2）(06年安徽课改中考题)如右图，下列各物体中，是一样的为 （ ）A.（1）与（2）B.（1）与（3）C.（1）与（4）D.（2）与（3）<分析>： （1）柱体有2个，其中(b)是圆柱，(c)是棱柱．锥体有2个，其中(g)是圆锥，(e)是棱锥．（2）选择B【拓展】 （06年北京海淀中考题）用一块等边三角形的硬纸片（如图1）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子（边缝忽略不计，如图2），在ABC ∆的每个顶点处各需剪掉一个四边形，其中四边形AMDN 中，MDN ∠的度数为 （ ）A.100︒B.110︒C.120︒D.130︒ <分析>： 教师可拿粉笔盒，告诉学生是直四棱柱，直棱柱的侧面是长方形，所以有360909060120MDN ∠=---=【拓展】 如右图，在长方体ABCD A B C D ''''-中： （1）与棱A A '平行的棱有 ，在棱所在的直线中，与直线A A '既不平行又不相交的直线有 ；（2）与直线A A '没有公共点的面有 ，与面ABCD 平行的面有 ；（3）与面A D DA ''垂直的棱有 ，与面A ADD ''平行的棱有 ． <分析>： 本题可以根据图形，直观得到结论：（1）与棱A A '平行的棱有B B '、C C '和D D '；与直线A A '既不平行又不相交的直线有B C ''、BC 、D C ''和CD ．（2）与直线A A '没有公共点的面有B C CB ''和D C CD ''；与面ABCD 平行的面有A B C D ''''． （3）与面A D DA ''垂直的棱有AB 、A B ''、CD 和C D ''；与面A D DA ''平行的棱有BB '、BC 、CC '和B C ''．【例2】 观察并解答下列问题：（1）观察右图中的三个多面体，分别写出其顶点数、面数和棱数，并探求任意多面体中顶点数、面数和棱数之间的关系．（2）一个十二面体，有30条棱，利用（1）中得到的结论，求其顶点数．<分析>：（1）（a）是四面体，其顶点数是4，面数是4，棱数是6；（b）是五面体，其顶点数是6，面数是5，棱数是9；（c）是六面体，其顶点数是8，面数是6，棱数是12；这三个多面体的顶点数、面数和棱数之间都有如下的关系：顶点数＋面数－棱数＝2．这个结论可推广到任意多面体，就是著名的“欧拉公式”．事实上，从图中的三个多面体不难看出，每增加1个面，就会增加2个顶点和3条棱，所以随着面的增加，其顶点数＋面数－棱数的结果和四面体时的情形是一样的，即总是2．学生可通过下图所示图形进一步研究.（学生版有下图）（2）根据欧拉公式，所求十二面体的顶点数＝2＋棱数－面数＝2＋30－12＝20．【例3】讨论下列问题的解答：（1）用一个与底面平行的平面去截圆锥，截面的形状是什么?（2）用一个与底面垂直的平面去截圆柱，截面的形状是什么?其中是否存在面积最大的截面．<分析>：（1）用一个与底面平行的平面去截圆锥，截面是圆(如图(a)所示)．（2）用一个与底面垂直的平面去截圆柱，截面是长方形((b)、(c) 所示)．当截面经过两底面的直径时，截面的面积最大(如图(c)所示，这样的截面通常称为轴截面)．【巩固】（必讲的巩固，这是一个典型例题）用平面去截一个正方体，最多有几种不同的截面？<分析>：截面为三角形，四边形（正方形，长方形，梯形都归属到此类），五边形，六边形.用一个平面去截正方体，可能出现下面几种情况：(括号内的是出现的截面形状)由前面的知识我们知道“面与面相交得到线”，而用平面去截几何体，所得的截面就是这个平面与几何体每个面相交的线所围成的图形．正方体只有六个面，所以截面最多有六条边，即截面边数最多的图形是六边形．长方体、棱柱的截面与正方体的截面有相似之处．【巩固】用一个平面去截几何体，若截面总是圆，这个几何体是球体【巩固】用一个平面去截几何体，若截面是三角形，这个几何体可能是________．<分析>：符合上述条件的是正方体、长方体、棱柱、棱锥、棱台和圆锥．【巩固】一组平行平面截一个几何体，截得的截面形状依次如图所示，说出原几何体可能的形状．<分析>：可有多种不同的解答，如图所示的两种几何体都符合要求．【例4】用语言描述右图中各图形绕直线l旋转一周所成立体图形是由哪些基本图形组合而成？<分析>：(a)中的图形绕直线l旋转一周所成立体图形是底面重合的两个圆锥，如下图(a)所示；(b)中的图形绕直线l旋转一周所成立体图形的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，如下图(b)所示；(c)中的图形绕直线l旋转一周所成立体图形是一个圆锥上部去掉了一个小圆锥，称为圆台，如下图(c)所示．【前铺】填空：（1）如右图（a），长方形绕它的一边所在直线旋转一周，形成的立体图形称作；（2）如右图（b），直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周，形成的立体图形称作；（3）如右图（c），半圆绕它的直径所在直线旋转一周，形成的立体图形称作.<分析>：上述三种立体图形分别称作圆柱、圆锥、球．【拓展】一条线段AB绕直线l旋转一周后形成什么图形？<分析>：（1）形成一个圆柱；（2）形成一个圆台；（3）形成一个圆锥；（4）形成两个顶点相对的圆锥；（5）形成半径长为AC的圆；（6）形成半径长为AB的圆；（7）形成一个圆环.【例5】像右图那样，把正方体盒子剪开，铺展在平面上加以描画而成的图形叫做“展开图”.请你试试做，找到“正方体”的所有平面展开图有多少种？（一般地，展开图经过平移、旋转或翻转后所得的图形，我们都认为是同一种展开图）<分析>：同学们可以通过集体讨论得到答案，在这里我们向学生介绍正方体表面展开图的11种情况，为加深记忆，可分类来看：（注意其中变化的规律性）（1）“1+4+1”型的有6种（2）“2+3+1”型的有3种（3）“2+2+2”型的有1种（4）“3+3”型的有1种【巩固】将一个立方体纸盒沿棱剪开，使之展开成右图所示的图形，一共要剪开几条棱？<分析>：每剪开一条棱，展开图的周长就会增加2条棱长.展开图的周长是14条棱长，所以剪开了14÷2=7（条）棱. 沿棱剪，无论剪成哪种连通的展开图，都要剪开7条棱.无论哪种展开图，周长都等于14条棱长.【巩固】根据下图找出相等的线段。