九年级数学上册1 反比例函数

九年级数学上册第一章反比例函数（一）反比例函数1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；（二）反比例函数的图象与性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义: 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（三）反比例函数的应用1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2、反比例函数与一次函数的联系．3、充分利用数形结合的思想解决问题．第二章一元二次方程（一）一元二次方程1、只含有一个未知数的整式方程（分母不含未知数），且都可以化为20ax bx c++=（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。

反比例函数y ＝k x(k <0)的图象与性质【学习目标】1．能用描点法画出反比例函数y ＝kx(k<0)的图象．2．通过观察、分析，理解和掌握反比例函数y ＝kx (k<0)的图象与性质．3．体会数形结合的思想方法，学会从函数图象中获取信息． 【学习重点】掌握画反比例函数图象的方法，理解反比例函数y ＝kx (k<0)的性质．【学习难点】运用反比例函数的性质解题. 情景导入 生成问题 回顾：1．反比例函数y ＝k x 的图象经过点(1，2)，则它的函数表达式为y ＝2x，图象在第一、三象限，函数值y 随自变量x 的增大而减小．2．反比例函数y ＝kx的图象与正比例函数y ＝－3x 的图象交于点A(1，m)，则m ＝－3，反比例函数的表达式为y＝－3x ．自学互研 生成能力知识模块一 反比例函数y ＝kx (k<0)的图象阅读教材P 8～P 9，完成下面的内容：画反比例函数图象只要列表、描点、连线三个步骤就可以了．反比例函数y ＝kx(k<0)的自变量x 的取值范围是x≠0，所以自变量x 的值可以选取绝对值相等而符号相反的对应数值，这样既可以简化计算，又便于描点．师生合作探究并归纳出反比例函数y ＝kx(k<0)的图象特征．归纳：反比例函数y ＝kx (k<0)的图象是由两支分别分布在第二、四象限的曲线组成，这两支曲线称为双曲线．【例1】 画反比例函数y ＝－2x 的图象．解：(1)列表：x … －4 －2 －1 －0.5 … 0.5 1 24 … y…0.5124…－4－2－1－0.5…(2)描点；(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到函数y ＝－2x 的图象．知识模块二 反比例函数y ＝kx (k<0)的图象与性质学完知识模块一后，完成下面的填空：师生合作共同探究并归纳出反比例函数y ＝kx(k<0)的性质．当k<0时，反比例函数y ＝k x 的图象与y ＝－k x 的图象关于x 轴对称，从而当k<0时，反比例函数y ＝kx的图象中两支曲线都与x 轴、y 轴不相交，图象在第二、四象限，在每一象限内，函数值随自变量取值的增大而增大． 【例2】 已知函数y ＝(m －2)x3－m 2为反比例函数． (1)求m 的值；(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，随着x 的增大y 如何变化？ (3)当－3≤x≤－12时，求此函数的最大值和最小值．解：(1)由反比例函数的定义可知⎩⎪⎨⎪⎧3－m 2＝－1，m －2≠0.解得，m ＝－2.(2)因为k ＝－4<0，所以反比例函数的图象在第二、四象限内，在各象限内，y 随x 的增大而增大．(3)因为在每个象限内，y 随x 的增大而增大，所以当x ＝－12时，y 最大值＝－4－12＝8；当x ＝－3时，y 最小值＝－4－3＝43.所以当－3≤x≤－12时，此函数的最大值为8，最小值为43.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 反比例函数y ＝kx(k<0)的图象知识模块二 反比例函数y ＝kx (k<0)的图象与性质检测反馈 达成目标1．当x>0时，函数y ＝－5x的图象在( A )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限2．若函数y ＝m ＋2x的图象在其所在的每一个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则m 的取值范围是( A )A ．m<－2B ．m<0C ．m>－2D ．m>03．已知A(－1，y 1)，B(2，y 2)两点在双曲线y ＝3＋2mx上，且y 1>y 2，则m 的取值范围是( D )A ．m<0B ．m>0C ．m>－32D ．m<－324．已知反比例函数y ＝kx(k 是常数，k ≠0)，在其图象所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值的增大而增大，那么这个反比例函数的表达式是__y ＝－1x (不唯一)__(只需写一个)．5．已知反比例函数的图象过点(1，－2)． (1)求这个函数的表达式；(2)若点A(－5，m)在图象上，则点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？解：(1)设：反比例函数的表达式为：y ＝kx (k≠0)．而反比例函数的图象过点(1，－2)，即当x ＝1时，y ＝－2.所以－2＝k 1，k ＝－2.∴y＝－2x(2)点A(－5，m)在反比例函数y ＝－2x 图象上．所以m ＝－2－5＝25，点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－5，25. 点A 关于x 轴的对称点⎝⎛⎭⎪⎫－5，－25不在这个图象上；点A 关于y 轴的对称点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，25不在这个图象上；点A 关于原点的对称点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－25在这个图象上.课后反思 查漏补缺1．收获：______________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。

反比例函数-北师大版九年级数学上册教案一、教学目标通过本课的学习，学生应该能够：1.掌握反比例函数的概念和性质；2.理解反比例函数的图像特征；3.能运用反比例函数解决实际问题。

二、教学重点1.反比例函数的概念和性质；2.反比例函数的图像特征。

三、教学难点反比例函数实际应用问题的解决。

四、教学过程1. 导入新知本课学习的主要内容是反比例函数，回顾一下之前学过的正比例函数。

请同学们简单回答一下什么是正比例函数，它的图像特征是什么。

2. 概念认识引入反比例函数的定义和性质，讲解反比例函数的概念和性质。

并通过学生自主练习来巩固概念。

3. 图像探究通过计算几个反比例函数的图像，来观察图像的特征。

并通过课堂小组讨论，学生们分别汇报各自的观察结果。

最终得到反比例函数图像的特征是：经过点（1, a）并且与x轴垂直。

4. 例题演练通过实例演示，来帮助学生更好的掌握反比例函数的解法。

要求学生先自主思考解题思路，然后再与同桌讨论交流。

最后由教师进行总结和点评。

5. 创新实践让学生通过实际问题来运用反比例函数进行解题，如水桶漏水、利润分配、比例缩小等问题。

鼓励学生思考不同的解法，并形成小组或个人汇报解答思路和结果。

五、教学方法本课采用讲授、讨论、实践等方法。

通过学生自主练习、案例演示和小组讨论等活动，帮助学生更好地掌握反比例函数的概念和解法。

六、教学评价本课教学重心是帮助学生理解反比例函数的概念和性质，并能够运用反比例函数解决实际问题。

针对不同难度的反比例函数题目，采取引导和提示的方式，帮助每个学生充分思考并解答问题。

通过不同方式的评价，如课堂监测、作业和小组汇报等，来检验课程效果。

七、拓展延伸让学生在家通过复习反比例函数的相关知识并完成一定数量的习题，巩固课堂所学知识。

同时，鼓励学生通过网络教育资源自学更多知识内容，加深对反比例函数的认识。

九年级数学上册反比例函数讲解一、反比例函数的概念。

1. 定义。

- 一般地，形如y = (k)/(x)(k为常数,k≠0,x≠0)的函数叫做反比例函数。

其中x是自变量，y是函数。

- 例如，当k = 3时，函数y=(3)/(x)就是一个反比例函数。

2. 反比例函数的其他形式。

- y = kx^-1(k≠0)，这是根据负指数幂的定义x^-1=(1)/(x)得到的。

- xy = k(k≠0)，这是将y=(k)/(x)两边同时乘以x得到的形式。

二、反比例函数的图象和性质。

（一）图象。

1. 画法。

- 列表：选取一些x的值（注意x≠0），计算出对应的y值。

例如对于y=(2)/(x)，当x = 1时，y = 2；当x=-1时，y=-2；当x = 2时，y = 1；当x=-2时，y=-1等。

- 描点：根据列表中的坐标(x,y)在平面直角坐标系中描出相应的点。

- 连线：用平滑的曲线将这些点连接起来。

由于x≠0，所以图象与坐标轴没有交点。

2. 图象形状。

- 反比例函数的图象是双曲线。

当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限；当k < 0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限。

（二）性质。

1. 当k>0时。

- 在每个象限内，y随x的增大而减小。

例如对于y=(3)/(x)，当x = 1时y = 3，当x = 2时y=(3)/(2)，2>1而(3)/(2)<3。

这里要强调是在每个象限内，因为如果不限制在同一象限，当x = - 1时y=-3，-1<1但-3 < 3，如果不强调象限就会得出错误结论。

2. 当k < 0时。

- 在每个象限内，y随x的增大而增大。

例如对于y =-(2)/(x)，当x=-1时y = 2，当x=-2时y = 1，-2 < - 1而1<2。

三、反比例函数解析式的确定。

1. 方法。

- 待定系数法。

如果已知反比例函数图象上一点(x_0,y_0)，将其代入y=(k)/(x)中，得到y_0=(k)/(x_0)，从而解得k=x_0y_0。

九年级数学上册反比例函数教案一、教学目标1. 让学生理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的性质和图象特征。

2. 培养学生运用反比例函数解决实际问题的能力。

3. 培养学生的数学思维能力和团队合作精神。

二、教学内容1. 反比例函数的定义与性质2. 反比例函数的图象特征3. 反比例函数的应用三、教学重点与难点1. 重点：反比例函数的定义、性质和图象特征。

2. 难点：反比例函数在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探索反比例函数的性质和图象特征。

2. 利用数形结合法，让学生直观地理解反比例函数的概念。

3. 运用实例分析法，培养学生解决实际问题的能力。

4. 采用小组合作学习法，培养学生的团队合作精神。

五、教学过程1. 导入新课：引导学生回顾正比例函数的知识，为新课的学习做好铺垫。

2. 自主学习：让学生自主探究反比例函数的定义与性质。

3. 课堂讲解：讲解反比例函数的定义、性质和图象特征，引导学生理解和掌握。

4. 实例分析：运用实例分析反比例函数在实际问题中的应用。

5. 巩固练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

6. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。

7. 总结反馈：对本节课的内容进行总结，查漏补缺。

8. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学目标1. 让学生能够识别和表达反比例函数的一般形式。

2. 培养学生利用反比例函数解决实际问题的能力。

3. 培养学生的数学逻辑思维和问题解决能力。

七、教学内容1. 反比例函数的一般形式与识别。

2. 反比例函数在实际问题中的应用。

八、教学重点与难点1. 重点：反比例函数的一般形式及其识别。

2. 难点：反比例函数在实际问题中的应用。

九、教学方法1. 采用案例分析法，通过具体实例让学生理解反比例函数的一般形式。

2. 利用互动讨论法，引导学生将反比例函数应用于实际问题中。

3. 采用小组合作学习法，鼓励学生共同探讨反比例函数的实际应用。

一、反比例函数的定义：
反比例函数是指其表达式可以表示为y=k/x（k≠0），其中k为常数，x≠0。

二、反比例函数的一般式：
1.y=k/x
2.k为比例系数，表示常数项。

三、反比例函数的图像特点：
1.垂直于y轴；
2.不过原点，但会经过x轴的正半轴和y轴的正半轴；
3.上升（k>0）或下降（k<0）。

四、反比例函数的性质：
1.定义域：x≠0，值域：y≠0
2.渐近线：x轴和y轴是反比例函数的渐近线。

3.对称性：关于y轴对称。

4.单调性：k>0时，单调递减；k<0时，单调递增。

五、反比例函数图像的平移：
1.y=k/(x-h)：左右平移h个单位；
2.y=k/(x)+v：上下平移v个单位。

六、反比例函数与直线的关系：
1. 反比例函数与直线y=kx的图像在一起；
2. 直线y=kx可以看做反比例函数的简化形式，即k=1
七、反比例函数的应用：
1.反比例函数在实际中常用于描述两个变量之间的比例关系，如一方
的量增大，另一方的量就会减小的规律。

2.可以用反比例函数解决实际问题，如物品的价格与销量之间的关系、速度与时间之间的关系等。

九年级数学上册知识点
反比例函数
一、反比例函数的概念
一般地如果两个变量x，y之间的关系可以表示的形式，那么称y是x的反比例函数。

（反比例函数的解析式也可以写成的形式。

自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

）
二、反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

三、反比例函数的性质
四、反比例函数解析式的确定
确定反比例函数解析式的方法仍是待定系数法。

由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

五、反比例函数中反比例系数的几何意义
过反比例函数图像上任一点P（x,y）作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足分别是M、N，则所得的矩形PMON的面积。

九年级上册数学反比例函数反比例函数是数学中的一种特殊函数形式，它的特点是当自变量的值增大时，函数值会减小；反之，当自变量的值减小时，函数值会增大。

在九年级上册数学课程中，学生将学习反比例函数的定义、性质以及应用。

本文将对九年级上册数学反比例函数进行详细介绍。

一、反比例函数的定义反比例函数是指一个函数，其函数表达式可以表示为 y = k/x，其中k 是一个非零常数。

在这个函数中，x 是自变量，y 是函数值，k 是比例系数。

二、反比例函数的性质1. 定义域和值域：反比例函数的定义域为除了 x = 0 之外的所有实数，值域为除了 y = 0 之外的所有实数。

2. 对称性：反比例函数关于原点对称，即当 (x, y) 是函数的一个点时，(-x, -y) 也是函数的一个点。

3. 渐近线：反比例函数的图像有两条渐近线，分别是 x 轴和 y 轴。

当 x 趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于 0；当 y 趋近于正无穷大或负无穷大时，自变量趋近于 0。

4. 变化趋势：当自变量 x 增大时，函数值 y 会减小；当自变量 x 减小时，函数值 y 会增大。

三、反比例函数的图像反比例函数的图像通常是一个双曲线，其形状与比例系数 k 的正负有关。

当 k 大于 0 时，双曲线的两支分别在第一象限和第三象限；当 k 小于 0 时，双曲线的两支分别在第二象限和第四象限。

四、反比例函数的应用反比例函数在实际生活中有许多应用，例如：1. 速度和时间的关系：当一个物体以恒定的速度行驶时，其行驶的时间和行驶的距离成反比例关系。

即行驶的时间越长，行驶的距离越短；行驶的时间越短，行驶的距离越长。

2. 工作人员数量和完成工作所需时间的关系：在某项工作中，如果工作人员的数量增加，完成工作所需的时间会减少；反之，如果工作人员的数量减少，完成工作所需的时间会增加。

3. 投资和收益的关系：在投资中，投资金额和收益之间存在反比例关系。

投资金额越大，每单位投资所获得的收益越小；投资金额越小，每单位投资所获得的收益越大。