1.1 反比例函数

反比例函数复习课教案第一章：反比例函数的定义及性质1.1 反比例函数的定义引导学生回顾反比例函数的定义：形如y = k/x (k 为常数，k ≠0) 的函数，称为反比例函数。

强调反比例函数中x 和y 成反比例关系，即xy = k。

1.2 反比例函数的性质分析反比例函数的图像特征：反比例函数的图像是一条通过原点的曲线，称为双曲线。

探讨反比例函数的渐近线：当x 趋向于正无穷或负无穷时，y 趋向于0，x 轴和y 轴是反比例函数的渐近线。

讲解反比例函数的单调性：在第一象限和第三象限，反比例函数是减函数；在第二象限和第四象限，反比例函数是增函数。

第二章：反比例函数的图像与几何意义2.1 反比例函数的图像利用图形软件绘制反比例函数的图像，引导学生观察图像的形状和特点。

引导学生理解反比例函数图像的四个象限特点：当k > 0 时，图像位于第一象限和第三象限；当k < 0 时，图像位于第二象限和第四象限。

2.2 反比例函数的几何意义解释反比例函数表示的是点(x, y) 在坐标平面上的分布情况，且这些点满足xy = k。

引导学生思考反比例函数与面积的关系：反比例函数图像与坐标轴围成的封闭区域的面积等于k 的绝对值。

第三章：反比例函数的性质与应用3.1 反比例函数的性质引导学生利用反比例函数的性质解决问题，如判断两个函数是否为反比例函数、确定反比例函数的单调区间等。

3.2 反比例函数的应用举例说明反比例函数在实际问题中的应用，如物理学中的电流与电压的关系、化学中的浓度与体积的关系等。

引导学生运用反比例函数解决实际问题，培养学生的数学应用能力。

第四章：反比例函数的运算4.1 反比例函数的基本运算复习反比例函数的基本运算规则，如反比例函数的加减乘除、乘积和商的运算。

4.2 反比例函数的复合运算讲解反比例函数的复合运算，如反比例函数与一次函数、二次函数的复合运算。

引导学生运用反比例函数解决复合运算问题，提高学生的数学运算能力。

湘教版九年级上册教学设计：1.1反比例函数一. 教材分析湘教版九年级上册的教学内容是反比例函数。

这一部分内容是学生在学习了正比例函数和一次函数的基础上进行的，是进一步深化学生对函数概念的理解的重要环节。

反比例函数是数学中的基本函数之一，它在实际生活中有广泛的应用，如物理学中的速度与时间的关系，经济学中的成本与销售价格的关系等。

通过学习反比例函数，学生可以更好地理解变量之间的关系，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数基础，对正比例函数和一次函数有一定的了解。

但是，反比例函数的概念和性质相对复杂，学生可能难以理解和掌握。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际问题来感受反比例函数的意义，通过例题和练习来加深对反比例函数性质的理解。

三. 教学目标1.理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质。

2.能够运用反比例函数解决实际问题，提高解决问题的能力。

3.培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.反比例函数的概念和性质。

2.反比例函数在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过实际问题引导学生探究反比例函数的性质，通过例题和练习来巩固所学知识，通过小组合作和讨论来提高学生的参与度和合作能力。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，如速度与时间的关系，成本与销售价格的关系等。

2.准备反比例函数的例题和练习题。

3.准备教学PPT，包括反比例函数的定义，性质，应用等内容。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出实际问题，如“一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，行驶1小时后，汽车行驶的路程是多少？”引导学生思考，引出反比例函数的概念。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示反比例函数的定义，解释反比例函数的意义，引导学生理解反比例函数的概念。

3.操练（10分钟）通过例题和练习题，让学生动手计算，加深对反比例函数性质的理解。

例如，给出一个反比例函数的表达式，让学生求出函数的图像，并解释图像的性质。

湘教版数学九年级上册1.1《反比例函数》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册1.1《反比例函数》是本册教材的第一节新课，主要介绍了反比例函数的定义、性质及图象。

本节内容是初中学段数学知识的重要组成部分，对于学生来说，掌握反比例函数的知识，对于提高他们的数学素养，培养他们的逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对函数的概念、图象和性质有一定的了解。

但反比例函数作为一种新的函数形式，其定义、性质及图象与正比例函数和二次函数有很大的不同，需要学生进行一定的消化和理解。

同时，学生对于实际问题中反比例函数的运用还不够熟练，需要在教学中加强训练。

三. 教学目标1.理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的性质。

2.能够绘制反比例函数的图象，并能对反比例函数图象进行分析。

3.能够运用反比例函数解决实际问题，提高解决问题的能力。

四. 教学重难点1.反比例函数的定义及其性质。

2.反比例函数图象的特点及分析方法。

3.反比例函数在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主探究、合作交流来获取知识。

2.利用多媒体教学手段，展示反比例函数的图象和实际应用问题，增强学生的直观感受。

3.采用案例分析法，对实际问题进行深入剖析，提高学生的应用能力。

六. 教学准备1.多媒体教学课件。

2.反比例函数的相关案例资料。

3.反比例函数的练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾正比例函数和二次函数的相关知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件呈现反比例函数的定义和性质，让学生初步感知反比例函数的概念。

3.操练（15分钟）教师引导学生通过自主探究、合作交流的方式，探讨反比例函数的性质，并通过多媒体课件展示反比例函数的图象，让学生加深对反比例函数的理解。

4.巩固（10分钟）教师通过出示一些实际问题，让学生运用反比例函数的知识进行分析，巩固所学内容。

鲁教版数学九年级上册1.1《反比例函数》教学设计1一. 教材分析《反比例函数》是鲁教版数学九年级上册第一章第一节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了函数的概念、正比例函数的知识基础上进行的。

反比例函数是初中数学中的重要内容，它在实际生活中有着广泛的应用。

本节课的内容包括反比例函数的定义、图像特点以及应用。

通过本节课的学习，学生能够了解反比例函数的概念，理解反比例函数的图像特点，并能运用反比例函数解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对正比例函数有了初步的了解。

但是，对于反比例函数的理解还需要进一步的引导和培养。

学生的思维方式还处于直观形象阶段，对于抽象的反比例函数概念和图像特点的理解可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要注重学生的直观感受，通过丰富的教学资源和方法，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的图像特点，能运用反比例函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识，使学生感受到数学与生活的紧密联系。

四. 教学重难点1.反比例函数的概念。

2.反比例函数的图像特点。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入反比例函数的概念，激发学生的学习兴趣。

2.直观教学法：利用多媒体课件、实物等资源，展示反比例函数的图像特点，帮助学生直观理解。

3.合作学习法：学生进行小组讨论、交流，培养学生的合作意识。

4.引导发现法：教师引导学生观察、操作、思考，发现反比例函数的规律。

六. 教学准备1.多媒体课件：制作反比例函数的图像、实例等课件。

2.实物：准备一些反比例函数的实际问题，如地图、广告等。

3.学生活动材料：准备一些关于反比例函数的练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一些实际问题，如地图上的距离与实际距离的关系，广告中的人数与面积的关系等，引导学生观察这些实际问题中存在的数量关系。

第1章反比例函数1.1反比例函数知识点1反比例函数的定义1.定义：一般地，如果两个变量y与x的关系可表示成y= k（k为常x数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数，其中x是自变量，常数k(k≠0)称为反比例函数的比例系数.2.反比例函数的三种形式:①y=kx②y= kx -1,③xy=k (其中k为常数，k≠0)三种基本形式要牢记,这是识别反比例函数的关键特别提醒：①形如y= 1+1,(x+1)y=3,y=(x+1)-1等的函数都不是y关于x的反x比例函数.②反比例函数的表达式y= k中无论变量x, y怎样变化,k的值始终x等于x与y的乘积.若k=0,则y= k=0恒成立,为常数函数,失去了x反比例函数x, y成反比例的意义,所以k≠0.知识点2 反比例关系与反比例函数的关系1.如果两个量x,y满足xy=k(k为常数，k≠0),那么x,y就成反比例关系，这里的x和y既可以代表单项式，也可以代表多项式；当x,y只代表一次单项式时，x,y这两个量才成反比例函数关系.2.成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量必成反比例关系.示例：y= k(k为不等于0的常数),y与x²成反比例，x2但y不是关于x的反比例函数.3.反比例函数中有自变量和函数的区分，而反比例关系中的两个变量没有这种区分.示例解读( k为常数,k≠0);若y+2与x - 5成反比例,则y+2=kx − 5若y与x2成反比例,则y = k( k为常数, k≠0).x2知识点3求反比例函数表达式1.确定反比例函数表达式的方法是待定系数法，由于在反比例函数y=k(k≠0)中只有一个待定系数，因此只需要一对x,y的对应值或图×象上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其表达式.2 用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤特别解读1.用待定系数法求反比例函数的表达式的实质是代入一对对应值，解一元一次方程.2.当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关（k为常数，k≠0).系”时，可直接设函数的表达式为y= kx1.2反比例函数的图象与性质知识点1 反比例函数的图象1.图象的画法(描点法):画实际问题中的反比例函数的图象时,要考虑自变量的取值范围,一般地,实际问题的图象是反比例函数图象，在第一象限内的一支或其中一部分.(1)列表：先取一些自变量的值，在原点的两边取三对或三对以上互为相反数的值，如1和-1,2和-2,3和-3等. 求y值时，只需计算原点一侧的函数值，另一侧的函数值可以随之得出.(2)描点：根据表中提供的数据，即点的坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点.(3)连线：用平滑的曲线顺次把这些点连接起来并延伸，注意双曲线的两支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交.2.图象的特点：(1)反比例函数y= k(k为常数，k≠0)的图象是双曲线.x(2)反比例函数图象的两支分别位于第一、三象限或第二、四象限.(3)双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交.(4)双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点),又是轴对称图形(对称轴是直线y=x和直线y=-x).示意图(如图1.2-1).y知识点2 反比例函数的性质反比例函数的性质主要研究它的图象的位置和函数值的增减情况，如下表所示.特别提醒在描述反比例函数的增减性时,必须指明"在每个象限内"因为当k> 0（k<0)时,整个函数不是y随x的增大而减小(增大)的,而是函数在每个象限内,y随x的增大而减小(增大).知识点3 反比例函数y= kx(k≠0)中k 的几何性质1.矩形的面积如图所示，过双曲线y= kx(k≠0)上任意一点p（x,y）分别作x轴，y轴的垂线PM，PN ,所得得矩形PMON得面积为S=PM ·PN =I y I·I x I,因为y= kx, 所以xy= k ,所以S =y=I k I，即过双曲线y= kx(k≠0)上任意一点作x轴，y轴的垂线，所得得矩形面积为I k I.2.三角形的面积：如图1.2-3, 过双曲线y= kx(k≠0)上的任意一点E作EF垂直于y轴，垂足为F,连接EO,则S▲EOF= I k I2, 即过双曲线y= kx任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为I k I 2.因为y= kx( k≠0)中只有正、负之分,所以在利用函数表达式求矩形或三角形面积时,都要加上绝对值符号.1.3反比例函数的应用知识点1 建立反比例函数模型解实际问题1.在生活与生产中，如果某些问题的两个量成反比例关系,那么可以根据这种关系建立反比例函数模型，再利用反比例函数的有关知识解决实际问题.运用反比例函数解决实际问题时常用的两种思路：(1)通过问题提供的信息，明确变量之间的函数关系，设出相应的函数表达式，再根据题目条件确定函数表达式中待定系数的值；(2)已知反比例函数模型的表达式，运用反比例函数的图象及性质解决问题.2.建立反比例函数表达式常用的两种方法：(1)待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数是反比例函数，则设函数表达式为y=k,( k为常数，k≠0),再求出k的值；x(2)列方程法：若题目所给的信息中两个变量之间的函数关系不明确，通常列出关于两个变量的方程，通过变形得到反比例函数表达式 .3.用反比例函数解决实际问题的一般步骤：(1)审：审清题意，找出题目中的常量、变量；(2)设：根据常量、变量间的关系，设出函数表达式，待定的系数用字母表示；(3)列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；(4)写：用函数的图象和性质去解决实际问题.。

湘教版数学九年级上册1.1《反比例函数》说课稿2一. 教材分析湘教版数学九年级上册1.1《反比例函数》是本册教材的第一个主题，也是初中数学的重要内容之一。

本节课的内容主要包括反比例函数的定义、性质及其图象。

通过本节课的学习，使学生掌握反比例函数的基本概念，理解反比例函数的性质，能够运用反比例函数解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数、方程等基础知识，具备了一定的数学思维能力。

但反比例函数的概念和性质较为抽象，学生可能难以理解和掌握。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过实例来感知反比例函数，逐步抽象出反比例函数的本质特征。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质，能够画出反比例函数的图象。

2.过程与方法目标：通过观察实例，培养学生的抽象思维能力，提高学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：反比例函数的概念、性质及其图象。

2.教学难点：反比例函数性质的推导和理解。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、实例分析、合作交流等教学方法，引导学生主动探究，发现反比例函数的性质。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，生动形象地展示反比例函数的图象和性质，提高学生的学习兴趣。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示实际生活中的反比例关系，引导学生关注反比例函数的应用，激发学生的学习兴趣。

2.自主探究：让学生自主观察实例，发现反比例函数的性质，培养学生独立思考的能力。

3.小组讨论：学生分组讨论，交流反比例函数的性质，培养学生的合作精神。

4.教师讲解：教师针对学生的探究结果，进行讲解和总结，使学生掌握反比例函数的基本性质。

5.练习巩固：布置适量练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

6.课堂小结：教师引导学生总结本节课所学内容，加深学生对反比例函数的理解。

鲁教版数学九年级上册1.1《反比例函数》教学设计一. 教材分析《反比例函数》是鲁教版数学九年级上册的教学内容，这部分内容是在学生已经掌握了函数的基本概念和一次函数、二次函数的基础上进行教学的。

通过学习反比例函数，让学生了解反比例函数的定义、性质及其应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对于函数的基本概念和一次函数、二次函数有一定的了解。

但是，对于反比例函数的理解可能会有一定的难度，因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索反比例函数的性质，提高学生分析问题、解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握反比例函数的定义、性质，能够运用反比例函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的观察能力、动手能力、思考能力、交流能力。

3.情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极向上的学习态度，使学生感受到数学与生活息息相关，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：反比例函数的定义、性质及其应用。

2.难点：反比例函数性质的探究和应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入反比例函数，让学生感受数学与生活的紧密联系。

2.引导发现法：引导学生观察、操作、思考、交流，自主探索反比例函数的性质。

3.实践操作法：让学生通过动手实践，加深对反比例函数性质的理解。

六. 教学准备1.教学课件：制作反比例函数的教学课件，包括反比例函数的定义、性质、应用等方面的内容。

2.教学素材：准备一些与反比例函数相关的实际问题，作为课堂练习和家庭作业。

3.学具：为学生准备一些反比例函数的模型或图示，帮助学生直观地理解反比例函数。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如商场打折、比例尺等，引导学生回顾一次函数和二次函数的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）介绍反比例函数的定义，引导学生观察反比例函数的图象和性质，让学生初步认识反比例函数。

第1章 反比例函数1.1 反比例函数第1课时 反比例函数的概念1. 能表示两个变量之间的关系，加深对函数概念的理解．2. 说出反比例函数的意义，理解反比例函数的概念．3. 会求简单实际问题中的反比例函数关系式．1. y ＝k x(k ≠0)叫________函数，x 的取值范围是________．2. 反比例函数5y x =-的比例系数是 .3. 下列问题中两个变量间的函数关系式是反比例函数的是（ ）.A. 小兰1分钟可以制作3朵花，x 分钟可以制y 朵花B. 体积12 cm 3的长方体，高为h cm 时，底面积为S cm 2C. 用一根长 40 cm 的铜丝弯成一个矩形一边长为x cm 时，面积为y cm 2D. 小李接到一次检修管道的任务， 已知管道长100 m ，设每天能完成10 m ，x 天后剩下的未检修的管道长为y m4. 下列函数中，是反比例函数的是( )． A. y ＝－x 2 B. y ＝12xC. y ＝1x 3－1D. y ＝1x2 5. 设矩形面积为60，长为x ，宽为y .(1)求y 与x 的函数解析式；(2)y 关于x 的函数是不是反比例函数？如果是，请说出它的比例系数．(3)当宽为5时，长是多少？6. 已知力F 所做的功是18 J ，则力F 与物体在力的方向上通过的距离S 之间的函数关系式是________．7. 对于函数xm y 1-=，当m 时，y 是x 的反比例函数. 8、若函数y =(m +2)x |m |－2是反比例函数，则m 的值是 ( )．A. 2B. －2C. ±2 D . 以上都不对9、下列函数关系中，哪些是反比例函数？(1)已知平行四边形的面积是12 cm 2，它的一边长是a cm ，这边上的高是h cm ，a 与h 之间的函数关系；(2)压强p 一定时，压力F 与受力面积S 之间的函数关系；(3)某乡粮食总产量为m ，那么该乡每人平均拥有粮食y 与该乡人口数x 之间的函数关系．10. 我市到杭州的高速公路大约长180 km ，一辆轿车从我市出发开往杭州，轿车到达杭州的时间t (h)和行驶的平均速度v (km/h)之间有怎样的关系？v 是t 的反比例函数吗？11、小明家离学校1.5km ，小明步行上学需min x ，那么小明步行速度y (m/min)可以表示为1500y x=；水平地面上重1 500N 的物体，与地面的接触面积为2m x ，那么该物体对地面压强y (N/m 2)可以表示为1500y x =；…，函数关系式1500y x=还可以表示许多不同情境中变量之间的关系，请你再列举几．例．12. 已知反比例函数x y 1=，当x=m 时，y=n ，则化简)1)(1(nn m m +-的结果是( )． A. 2m 2 B. 2n 2 C. n 2－m 2 D. m 2－n 213. 已知变量x ，y 满足(2x －y )2=4x 2+y 2+6，则x ，y 是否成反比例，说明理由.第1章 反比例函数1．1 反比例函数第1课时1. 反比例 x ≠02. －53. B4. B5. (1)y ＝60x(2)y 关于x 的函数是反比例函数 k ＝60(3)当y ＝5时，x ＝12.6. F ＝18S7. ≠1 8. A 9. (1)a ＝12h 是 (2)F ＝pS 不是(3)y ＝m x 是10. vt ＝180；v ＝180t ，所以v 是t 的反比例函数．11. 略12. D13. ∵(2x －y )2=4x 2+y 2+6，∴4x 2+y 2－4xy =4x 2+y 2+6，即－4xy =6. ∴x y 23-=，即x ，y 是成反比例.。