八年级数学下册 17.4 一元二次方程的根与系数的关系(小册子)课件 (新版)沪科版

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《一元二次方程的根与系数的关系》一元二次方程PPT教学课件

x1+x2=-7， x1x2 = 6.
解：(2)这里 a = 2，b = -3，c = -2.
Δ =b2-4ac = (-3)2-4×2×(-2)
= 9+16 = 25 > 0，
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1，x2，那么.
x1+x2=
3 2
， x1x2 = -1.
随堂练习
1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
2. 解下列方程：（1）12x2+7x+1=0；
（2）0.8x2+x=0.3；
解：（1）a=12，b=7，c=1.
∵b²-4ac=7²-4×12×1=1.
∴x=
7 1
.
24
∴x1=
1 4
，x2=

1 3
.
（2）原方程变形为8x²+10x-3=0.
这里a=8，b=10，c=-3.
∵b²-4ac=10²-4×8×(-3)=196，
(1) x2-3x-1=0；
(2) 3x2+2x-5=0.
解：(1)这里 a = 1，b = -3，c = -1. 解：(2)这里 a = 3，b = 2，c = -5.
Δ =b2-4ac = (-3)2-4×1×(-1)
Δ =b2-4ac = 22-4×3×(-5) = 4+60 = 64＞0，
= 9+4 = 13＞0，
新课引入新课讲授随堂练习课堂小结
学习目标
01 探索一元二次方程的根与系数的关系. 02 不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
经历观察、猜想、验证一元二次方程根与系数的关系的 03 过程，体会从特殊到一般的思想.

24.3 一元二次方程根与系数的关系课件(共16张PPT)

解：设这个方程的另一个根为t，则 t＋2＝，2t＝. ∴ t＝， k＝-7. 当k＝-7时，Δ=(-7)2-4×5×(-6)=169＞0， ∴另一个根为，k的值为-7.
还有其他的做法吗？
随堂演练
1. 若x1，x2 是方程x2－2mx+m2－m－1=0 的两个根，且x1+x2=1－x1x2，则m的值为( )A. －1 或2 B. 1 或－2 C. －2 D. 1
5
6
由求根公式可知
归纳
方程的两个根 x1，x2 和系数 a，b，c 有如下关系：
注意一元二次方程的根与系数的关系存在的前提是a ≠ 0，b2-4ac ≥ 0
例1
根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积. (1) x2-3x-8=0 ； (2) 3x2+4x-7=0 .
解：(1)这里a=1，b=-3，c=-8，且b2-4ac=（-3）2-×1×（-8）=41>0，所以xΒιβλιοθήκη +x2=3, x1x2=-8.
(2)这里a=3，b=4，c=-7，且b2-4ac=42-4×3×（-7）=100>0，所以x1+x2= , x1x2= .
巩固练习
归纳
常见的关系：
3.
4.
课堂小结
根与系数的关系
内容
应用
求字母或代数式的值
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
2.一元二次方程的求根公式是什么？
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
导入新知
知识点1
一元二次方程的根与系数的关系
①
探究
1.由因式分解法可知，方程（x-2）（x-3）=0的两根为x1=2,x2=3，而方程（x-2）（x-3）=0 可化为x2-5x+6=0的形式，则x1+x2= ，x1x2= . 2.设方程2x2+3x-9=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2= ，x1x2= . 3.对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，设方程的两根分别为x1，x2，请你猜想x1+x2，x1x2与方程系数之间的关系，并利用求根公式验证你的结论.

新浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程根与系数的关系》精品课件

例1 则：
x1 x2
1. 2.
4
x1 x2
2 2
1
x
2 1
x
2பைடு நூலகம்
( x1 x2 )
另外几种常见的求值
x1 x2 1 1 1. x1 x 2 x1 x2
x1 x 2 x x 2. x1 x2 x 2 x1
2 1
2 2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2
2 2
c ＝． a
【总结发现】
如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0），的两个根分别x1、x2，那么：
c b x1 x2 ， x1 x2 a a
．
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
【例题精讲】
例求下列方程两根的和与两根的积：（1）x2＋2x－5＝0；（2）2x2＋x＝1. 需要解方程吗？
2.4一元二次方程的根与系数的关系
探究：观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关
系吗？
ax²+bx+c=0
x1
1 -1 2 -2 0
x2 x x x x 1 2 1 2
2 -2 3 -3 2 3 -3 5 -5 2 2 2 6 6 0
x²-3x+2=0 x²+3x+2=0
x²-5x+6=0
2
2
B、 D、
y －3y-5=0 y2－3y＋5=0
2
分析:设原方程两根为
新方程的两根之和为 ( x1 ) ( x2 )
3 新方程的两根之积为( x1 ) ( x2 ) 5
x1 , x 2 则: x1 x2 3, x1 x2 5

17.4一元二次方程根与系数的关系

不解方程，求：
（ 1）
x x
2 1
2 2
;
1 1 （2) ; x1 x2
(4)
(3) ( x1 1)(x2 1) ;
x1 x2
.
另外几种常见的求值:
x1 x2 1 1 1. x1 x2 x1 x2
x1 x 2 x x 2. x1 x2 x 2 x1
2 1
2 2
4.已知方程 x 2 kx k 2 0 的两个实数根 2 是 x1, x2 且 x12 x2 4 ，求k的值. 解：由根与系数的关系得 x1+x2=-k， x1x2=k+2 解得：k=4 或k=－2 2-4k-8 ∵ △ = K 又 x 1 2+ x 2 2 = 4 当k=4时， △=-8＜0 2 即(x1+ x2) -2x1x2=4 ∴k=4(舍去） 2 K - 2(k+2）=4 当k=-2时，△=4＞0 2 K -2k-8=0 ∴ k=-2
一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为韦达定理.
指出下列各方程的两根之和与两根之积：
(1) x2 - 2x - 1=0 (2) 2x2 - 3x +
1 2
x1+x2=2 =0
3 x1+x2= 2
x1x2=-1
1 x 1 x 2= 4
(3) 2x2 - 6x =0 (4) 3x2 = 4
2
-3 。的一个根，则另一个根是___ｍ=____
（还有其他解法吗？)
小结：
1、熟练掌握根与系数的关系；
2、灵活运用根与系数关系解决问题；
3、探索解题思路，归纳解题思想方法。

八年级数学下册课件-17.4 一元二次方程的根与系数的关系1-沪科版

4x k,
2
2
4x 4.
2
2
解方程组，得
x 1, 22
k 7.
答：方程的另一个根是
1 2
，k的值为7.
1、不解方程，求方程 2x2 3x 1 0的
两根的平方和、倒数和。
例2 方程2x²- 3x + 1 = 0的两个根记作x1, x2,不解方程，求x1 - x2的值.
解由韦达定理，得
3.已知一元二次方程的 x2 px 两q 0 根分别为 -2 和 1 ，则：p =__ ; q=__
3.已例知1一. 已元知二方次程方程2x的2 3kx249x的0 m一个0根是
的-一4，个求根它为的1 另，一则个方根程及的k另的一值根. 为___，
m=_解__：：设方程的另一个根是 x2 ，则
0 没有实数根
填写下表：
方程
两个根
x1 x2
x2 3x 4 0 4 1
两根之和
两根之积
a与b 之间关系
x1 x2
x1 • x2
b a
3 4 3
a与c 之间关系
c
a
4
x2 5x 6 0 2 3 5
65
6
2x2 3x 1 0
1 2
1
3 2
1
3
2
2
1 2
猜想：如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0的) 两个根
4、方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？解:(m1)24(2m1)m26m5 ①∵两根互为相反数 ∴两根之和m10,m1,且0 ∴m1时,方程的两根互为相反数. ②∵两根互为倒数 m26m5, ∴两根之积2m11 m1且0, ∴m1时,方程的两根互为倒数. ③∵方程一根为0, ∴两根之积2m10 且m0,1 ∴ 时,m方程1有一根为零. 2

一元二次方程的根与系数的关系ppt课件

（1）已知关于 x 的一元二次方程 x 3x 1 0 的两个实数根为 x1 、
2
-1
x2 ,则 x1 1 x2 1 的值为_________.
1 1
（2）已知 x1 , x2 是方程 2 x 6 x 3 0 的两个实数根,则的值
x1 x2
2
-2
为_____________.
A. x1 x2 2
B. x1 x2 2
C. x1 x2 3
2
D. x1 x2
3
解析：∵ x1 , x2 是方程 x 3x 2 0 的两个根,
2
∴ x1 x2 3 , x1 x2 2 ,观察四个选项,选项 A 符合题意,
故选：A.
练习 5 关于 x 的一元二次方程 x2 4 x m 0 的两实数根分别为 x1 、
7
－9
(2) x1＋x2＝－，x1 x2＝＝－3.
3
3
(3) 方程化为一般式 4x2－5x＋1＝0
5 5
1
x1＋x2＝－ = ，x1 x2＝ .
4 4
4
注意公式自身的符
号及系数的符号．
用根与系数的
关系前，一定
要化成一般式
练习 1.关于 x 的方程 2 x2 6 x 7 0 的两根分别为 x1 , x2 ,则 x1 x2
解析：
（1）根据韦达定理,得 x1 x2 3 , x1 x2 1
则 ( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1=1 3 1 1
3
（2）根据题意得 x1 x2 3 , x1 x2 ,
2
x1 x2

17.4一元二次方程根与系数的关系(2)

2
倒数，求k的值。
想看答案吗？ k 1
小结：
1、韦达定理
ax2 bx c 0
b x1 x2 a (a 0) , xx c 1 2 a
2、韦达定理的应用
应用1. 构造根满足某种条件的一元二次方程。
应用2. 利用韦达定理求字母系数的取值；
作业：P46 练习 2，习题 3 、 4 、 5、6 。
b x1 x2 a 那么： xx c 1 2 a
韦达 ( Vieta’s ) 定理
1. 一元二次方程为一般形式；
2. 方程必须要有实数根，即 0 。
x2 x1 x1 x2
构造满足某种条件的一元二次方程
练习：已知两数的和为4，积为 -5 ，求这两个数。解设这两个数为 x1 , x2 ，
17.4 一元二次方程根与系数的关系(2)
韦达定理：
2 ax bx c 0 (a 0) 的两个根是 x1 , x2 ，若方程
那么 x1 x2a
。
b b2 4ac b b2 4ac , x2 若 0, 则 x1 2a 2a
1 2
k
由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4
解得k1=0 , k2=4
经检验， k2=4不合题意，舍去。 ∴ k=0
练习：方程 x 3kx 2k 1 0的两根互为
2 2 b b b 4 ac b b 4ac x1 x2 a 2a 2a 2 2 c b b 4 ac b b 4 ac x1 x2 a 2a 2a

《一元二次方程根与系数的关系》PPT课件 (共16张PPT)

一、知识要点：
1、一元二次方程的一般形
式
ax2＋bx＋c=0 (a≠0)
。
2、若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1 、x2 c b 则x1＋x2＝，x1x2＝ a 。 a
3、用根与系数关系解题的条件是（1）a≠0 （2）△≥0 。
二、典型例题
例题1：已知方程 x1,x2，（1）（x1－x2）2
（ 3）
1 2
x2＝2x＋1的两根为
不解方程，求下列各式的值。（2）x13x2＋x1x23
x2 x1 x1 x2
提高练习
3、已知：如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD， AD⊥DC，AD=10cm， A B 以AD 为直径的⊙O切另 E 一腰于E，以AB、CD为 O 根的方程是X2-12X+m=0，求m的值。
x,则
2
答：方程的另一个根是 k根的和与两根
的积各是多少?（不解方程）
（1）x2-3x+1=0
（2）3x2-2x=2 （3）2x2+3x=0 （4）3x2=1
2、设x1.x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用
根与系数的关系，求下列各式的值。 x2 x1 （1）（ x1+1）（x2+1）（2）— + — x1 x2
一元二次方程根与系数的关系？
如果ax bx C 0(a 0)的两根分别是 b c x1 , x2 则有 x1 x2 a ; x1. x2 a
2
例题2：
（1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是－2，求它的另一个根及n的值。
（2）若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－ 2，求它的另一个根及k的值。

一元二次方程根与系数的关系课件(一)

一元二次方程根与系数的关系课件(一)一元二次方程根与系数的关系教学内容：•了解一元二次方程的定义和性质•掌握一元二次方程根与系数的关系教学准备：•教师准备：课件，黑板和粉笔•学生准备：课本、笔记本、铅笔和计算器（可选）教学目标：1.了解一元二次方程的定义和性质2.理解一元二次方程根与系数的关系3.能够通过已知方程的根或系数，求解其余未知数设计说明：•通过引入实际问题和例题，激发学生对一元二次方程的兴趣•和学生一起探讨一元二次方程的定义和基本性质•讲解一元二次方程根与系数的关系，引导学生发现规律•练习运用相关知识，巩固学习成果•提供课后练习与反思，强化学生对所学知识的理解和应用能力教学过程：1.导入：通过举例说明一元二次方程在实际生活中的应用，引起学生思考和兴趣。

2.引入：提出问题：“什么是一元二次方程？它有哪些基本性质？”让学生分享自己的观点。

3.讲解：–介绍一元二次方程的定义：ax2+bx+c=0，其中a≠0。

–探讨一元二次方程的相关性质：开方运算、两根存在性、判别式等。

–分析一元二次方程根与系数的关系。

4.实例演练：–给出一个已知一元二次方程的根的问题，让学生根据已知条件求解方程。

–给出一个已知一元二次方程的系数的问题，让学生根据已知条件求解方程。

–给出一个已知一元二次方程的部分条件的问题，让学生通过不完整的信息求解方程。

5.拓展：–让学生尝试用运算法则推导一元二次方程根与系数的关系。

–引导学生思考扩展问题，如：一元三次方程和一元四次方程的根与系数的关系。

6.总结与评价：总结一元二次方程根与系数的关系，并与学生一起回顾所学内容。

7.课后练习与反思：布置课后练习题，鼓励学生在课后思考和总结，并在下节课开始前进行讨论。

课后反思：本节课通过引入实际问题，让学生理解和掌握一元二次方程根与系数的关系。

学生的参与度较高，对于一元二次方程有了初步的了解。

通过实例演练，学生的运用能力和解决问题的能力得到了提升。

一元二次方程根与系数的关系优质课件

新方程的两根之和为 (x1) (x2 ) 3
新方程的两根之积为 (x1) (x2 ) 5
三已知两个数的和与积，求两数
题6 已知两个数的和是1，积是-2，则两
个数是 2和-1 。
解法(一):设两数分别为x,y则:
解得:{yx==－2 1 或 {ｘy=＝2 －1
{
x
x
y
y
求与方程的根有关的代数式的值时, 一般先将所求的代数式化成含两根之和, 两根之积的形式,再整体代入.
求一元二次方程的待定系数要验证判别式
4.已知方程 x2 kx k 2 0 的两个实数根
是 x1, x2
且 x12

x
2 2

4
，求k的值.
解：由根与系数的关系得
x1+x2=-k， x1x2=k+2 又 x12+ x2 2 = 4 即(x1+ x2)2 -2x1x2=4 K2- 2(k+2）=4 K2-2k-8=0
6.（2013•荆州）已知：关于x的方程
kx2－(3k－1)x+2(k－1)=0
（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x1，x2,
且│x1－x2│=2,求k的值.
小结：
1.一元二次方程根与系数的关系？
如果ax2 bx C 0(a 0)的两根分别是
求一元二次方程的待定系数要验证判别式
1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。
解：设方程的另一个根为x2,
则x2+1=
19 3
,
∴
x2=
16 3
,
又x2●1=

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