人教版八年级数学下册二次根式PPT课件

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人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品课件

6
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；

16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则（ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳：化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因

新版人教版八年级下16.1二次根式课件.ppt

的正方形的边长为___S__。
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，
面积为130，则它的宽为 ___6_5__
h 3.h=5t2,则t=_____5__
3S
h 65 5
你认为所得的各式有哪些共同点？
表示一些正数的算术平方根
我们知道，一个正数有两个平方根；0的平方根是0；在实数范围内，负数没有平方根。因此，在实数范围内开平方时，被开放数只能是正数或0.
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质:
a 0, a 0（. 双重非负性）
2 a a(a 0) a (a≥ 0) a2 =∣a∣= -a (a＜0)
下列式子 2x 6 1 中字母x的 2x
取值范围是__3_____x____0
∵
2x+6≥0 -2x＞0
2
什么启示?
(a≥0)
? 一般地,二次根式有下面的性质:
a 2 a (a 0) 1149a765
a
快速判
1
2
3 __3____,2
2 7
2
2
___7___,
3
2
1 3
2
__2__1____, 3
断
2
4
2
5 ___5_____,5
2 3
_____2___. 3
3页例2
练习:用心算一算:
1 25 5 2 72 7
33
2
2
18
4
1
2
2
2 1
5 x2 2xy y2 y x (x﹤y)
已知a.b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1 求a 的值.

人教版八年级下册数学课件：16.1二次根式(2)(共15张PPT)

辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．
(1) 22 2
2
(2) 2 2
（ ×）（ ×）
2
(3) 2 2 （ √ ）
(4) 22 2 （ √ ）
能力提升： 4.(1)已知a为实数，求代数式 a 2 4 2a 的a值2 .
解：由题意得a+2≥0，-4-2a≥0， ∴a=-2，
∴ a 2 4 2a a2 22 . 2
(2)已知a为实数，求代数式 a 4 9 a 的a2值. 解：由题意得-a2≥0，又∵a2≥0， ∴a2=0，∴a=0， ∴ a 4 9 a a2 4 9 2 3 1.
1:从运算顺序来看,
2 a
先开方,后平方
a2 先平方,后开方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
a2 a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
a (a≥ 0)
a2 =∣a∣=
-a (a＜0)
代数式:用基本符号把数和表示数的字母连结起来的式子.如5,a,a+b,ab,
s , x3, 3, a(a 0) t
计算：(1) ( )2源自(2) 102练习:用心算一算:
1 25 5 2 72 7
33
2
2
18
4
1
2
2
2 1
5 x2 2xy y2 y x (x﹤y)
化简下列各式:
(1)(3 2)2 (2 3)2 (2) (5)2 ( 5)2 (3) m2 16m 64(m 8) (4) a2b2 (a 0,b 0)
的两边,你能得
到什么启示?
2
a a (a≥0)
例2：计算
(1)( 1.5)2 (2)(2 5)2 (3)(3 3)2

人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品教学课件课件

36
6
（2）
=(
7
49
),
4
16
(
);
5
25
6
36
(
);
49
7
a
a

b
b
活动探究
二次根式的除法法则：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
a
a

( a 0，b＞0)
b
b
典例精讲
例1 计算：
（2） 3
（1） 24 ；
3
解： (1)
24
2
24
3
3
3
(2)

2
1
．
18
8 2 2
1 ＝ 3 1 ＝ 3 18
＝ 27 ＝3 3
2
18
2
18
活动探究
探究二：二次根式除法法则的逆运用
把
a
b

aห้องสมุดไป่ตู้
( a 0，b＞0) 反过来，就得到
b
a
a

( a 0，b＞0)
b
b
典例精讲
例2 化简：
(1)
3
100
解：（1）
75
27
(2)
3
=
100
75
（2） =
27
3
100
=
a
a

( a 0，b＞0)
解：原式=
− × −
= ×
解：原式= − × −
= ×××
=
× ×
=
4、计算： ∙ −
原式= ∙

人教版八年级下册数学课件：16.1二次根式(1)(共19张PPT)

16.1二次根式（1）
数的数
学四统
家则治
的运着
全算整
部则个
装可量
备以的
。看世
作界
麦克斯韦
是
，而算数
获一数得组学结公是论设一－，门－经演－过绎－逻的陈辑学省的问身推，
理从
—-
麦克斯韦，英国物理学家、数学家。经典电动力学的创始人，与牛顿齐名。普遍认为是对二十世纪最有影响力物理学家。
练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义．
（1）
3- 4 x
；（2） x
x -1
；
（3） - x 2 ；（4） x-2- 2-x ．
练习3 若 16-4n 是整数，则自然数n 的值为 ___________.
畅谈收获发表感言
通过这节课的学习，你收获了什么？
当堂测验我不怕
学案纸第2页——达标测试
陈苏省步身青，，美中籍国华科裔学数学大师， 2院0 世院纪士，伟中大国的杰数出学家，继欧的几数里学德家、，高被斯誉、为黎曼之后几数何学学王又. 一曾获里1程97碑8式的人物。年全国科学大会奖.
回忆：
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根。
当a＞0 时， a 表示a 的算术平方根，因此 a ＞0；当a =0 时， a 表示0 的算术平方根，因此 a =0；这就是说， a （a≥0）是一个非负数．
双重非负性
大显身手都能行
练习1 判断下列各式哪些是二次根式：
（1） - 1 6
× （ 3） a 2 + 1 √
（2） a+10（ a ＞ 0）√ （4） -x（x≤ 0）√

人教版八年级数学下册16.1《二次根式》课件(共23张PPT)

C. a＞-2或a≠ 0
【解析】选D.要使式子
D. a≥-2且a≠ 0
a2 a
有意义，须同时
满足a+2≥0，a≠0两个条件，解两个不等式
可得a≥-2且a≠0 。
巩固提高：
1.分别求下列二次根式中的字母的取值范围（1） (
3 2x )
2
（2） (1 x) 2
3 (1). 3 2 x 0 x (2).x为全体实数 2 (3).x 3 0且x 2 x 3且x 2
2
(5) xy (x,y 异号)， (7)
3
5
在实数范围内,负数没有平方根
1、判断下列代数式中哪些是二次根式？
⑴
⑶
1 2
2
⑵
16
x ( x 0)
a9
a 2a 2 ⑷
2
⑸ m 3
⑹
a 1 (a 3)
2．下列式子一定是二次根式的是（ A．
）
2
x 2
4. a≥0, a ≥0
( 双重非负性)
小结：
1.怎样的式子叫二次根式？
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式 .
2.怎样判断一个式子是不是二次根式？
（1）. 形式上含有二次根号
（2）.被开方数a为非负数， 3.如何确定二次根式中字母的取值范围？
从左看到右;从上看到下
看到分数线,分母不为0 看到偶次根式,被开方数大于等于0
2
2、如果 x 3，那么 x 3 ；
2
3、如果 x a(a 0) ，
2
那么 x a 。
用带有根号的式子填空，看看结果有什么特点：
1.面积为3的正方形的边长为—— 3。 2.如图所示的值表示正方形的面积，则正方形的边长是 b 3

人教版八年级数学下册《二次根式》PPT

．
典例解析
例1 计算：
(1)( 8 3) 6; (2)(4 2 3 6) 2 2.
解：(2) (4 2 3 6) 2 2 4 22 23 62 2
多项式除以单项式法则
23 3 2
二次根式除法法则
算中思先与考乘有：除理(2，数)中后、，加实每减数一；运步算的一依样据，是在什混么合？运
例2 计算：
思考二次根式加减，分为几个步骤？
二次根式的加减主要归纳为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
探究1 由（x+y）·z=x·z+y·z=xz+yz，你能求出的值吗？你是怎样做的？
探究2 由，你能求出
的值吗？由此你有何发现？
典例解析
(1) ( 2 3)( 2 - 5) ； (2) ( 5 3)( 5 - 3)
解：(1)( 2 3)( 2 - 5) ( 2)2 3 2 5 2 15 2 2 2 15
13 2 2
思考：（1）中，每一步的依据是什么？第一步的依据是：多项式乘多项式法则；第二步的依据是：二次根式化简，合并被开方数相同的二次根式（依据是：分配律）；第三步的依据是：合并同类项．
(3)( 3 2)2 ( 3)2 2 2 3 22 7 4 3;
(4)(2 5 2)2 (2 5)2 2 2 5 2 ( 2)2 22 4 10
综合应用
(3 10)2015(3 10)2015 解： (3 10)2015(3 10)2015
(3 10)(3 10)2015 (9 10)2015
例3 计算下列各题：
练习
1.计算： (1) 2( 3 5); (3)( 5 3)( 5 2);

人教版数学八年级下册《二次根式的除法》ppt课件

不是“ a ”，而是“
a 3
a a”3刘敏说：哎呀，真抄错了，好在
不影响结果，反正a和a-3都在根号内．试问：刘敏说得对吗？
解：刘敏说得不对，结果不一样．理由如下：
按
a
a
3计算，则a≥0，a-3＞0或a≤0，a-3＜0,解得a＞3或a≤0；
而按 a 计算，则a≥0，a-3＞0,解得a＞3．
a 3
课堂小结
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1) 4 = 4 ； 99
(2) 16 = 16 ； 25 25
(3)
36 36 . 49 49
猜测你发现了什么规律？能用字母表示你所发
现的规律吗？猜测： a a bb
从上面的猜测的规律中，a，b 的取值范围有没有限制呢？
回顾上节课所讲的二次根式的乘法，我们知道
h 5
40时，此时
他看到的水平线的距离d2是多少？
解：d2 8 40 16 10.
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？
解：
d2 16 10 . d1 16 5
【思考】乘法法则是如何得出的？二次根式的除法该怎样算呢？
除法有没有类似的法则？
(3)若被开方数中含有小数,应先将小数化成分数后再进
行化简,如 0.3 3 30 30 .
10 100 10
巩固练习
在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是
最简二次根式的进行化简．
（1）
45
;
（2） 1 ;
3
（3） 5 ;
2
（4）
0.5
;（5） 1 4
5
.

人教版八年级数学下册《二次根式》PPT课件

求此三角形的周长．
3 a≥0，
解：由题意得
2a 6≥0，
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
课堂检测
拓广探索题
先阅读，后回答问题：
当x为何值时， x x 1 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
解得 m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式
x2 6x m 都有意义，求
m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
课堂检测
能力提升题
已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足b 3 a 2a 6 4，
双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
a ≥0.
探究新知
考点 1 利用二次根式的双重非负性求字母的值
若 a 3 b 2 (c 1)2 0 ，求2a -b+3c的值.
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.
初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
人教版数学八年级下册
16.1 二次根式
第1课时
导入新知
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r= Rh ，
其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、

人教版八年级数学下册课件：16.1二次根式1.1二次根式的定义(共24张PPT)

.
6.已知∣a+1∣+
＝0，则a+b＝
.
7.已知
+
＝b+8.
(1)求a的值;
(2)求a2-b2的平方根
19
知识点三：二次根式的“双重”非负性
归纳总结
二根式的双重非负性：“a≥0， a ≥0”
在解题中的应用有两种情况: 一是当一个式子有两个二根式，且被开方数互为相反
数时，通常先利用二次根式的被开方数的非负性，建立不等式组，再解不等式组确定未知数的值.
20
知识点三：二次根式的“双重”非负性
归纳总结
ニ是当一个式子含有几个非负数：“绝对值的非负性，偶次方的非负性，二次根式的非负性，即：
“∣a∣≥0， a2n≥0， a ≥ 0.”式子的和为0时，通常
先利用每个式子都为0建立方程组，再解这个方程组确定未知数的值.
21
思维导图二次根式
二次根式的定义以及二次根式有意义的条件
()
A.12 B.10 C.8 D.6
2.已知y＝
+
-3，则2xy的值为( )
A.-15 B.15 C .-
D.
3.若∣3x-2y-1∣+
＝0，则x= ,y=
.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ18
知识点三：二次根式的“双重”非负性
学以致用
4.若(x-2)2+
＝0，则xy的值为( )
A.6 B.-6 C.1 D.-1
5.若
+
＝0，则x的值为
(1)
; (2)
; (3)
;
(4)
+
; (5)
; (6) + .

《最简二次根式》二次根式PPT课件

2．被开方数是分数的二次根式化简
例 2 化简 1125．分析：因为，125=5×5×5=52×5，所以，只需分子、分母同乘以 5 就可以了．
解法一： 1125＝ 513××55＝255．
3．被开方数是小数的二次根式化简
例 3 化简 1.5．
分析：被开方数是小数时，常把小数化成相应的分数，然后进行求解．
1 8x3
x
0
0.8 4 45 2 5 5 55 5
4 1 9 92 3 2 2 2 22 2
20a2b 4a2 5b c 2 a 5bc 2a 5bc
c
cc
c
c
x2
1 8x3
x2
1 2x x2 8x3 2x 4x2
2x
2x 4
1.最简二次根式的概念.
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式。
(2) 1 6x 9x2 (x 1) 3
(2)3x 1
(3) x 32 1 x2 1 x 3 (3)2
2、如果 a3 a2 a a 1，那么a的取值范围是 ( D )
A． a 0 C． a 1
B． a 1
D． 1 a 0
3.化简 1 x3 x
错解：原式 1 x x2 x
18
32
被开方数不含开得尽方的因数
a 3
b2
(b 0)
9a
3a 3
ba
(b 0)
3a
被开方数不含分母
（１）被开方数各因式的指数都为1．（２）被开方数不含分母．
被开方数满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
如：1 x2 y √
4
6m(a2 b2 ) √
1 4
x2 y x 4

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说一说
例1：当X是怎，得 x≥2 当x≥2时， √x-2 在实数范围内有意义
思考：当x是怎样的实数时，√x2 在实数范围内有意义，√x3呢？
当x取何值时，下列二次根式有意义？
（1）√x-1
(2) √-3x
(3) √4x2
（4）√1/x
(5) √1/x2
(6) √a-1/a-2
求二次根式中字母的取值范围的依据 ①被开方数大于等于零 ②若被开方数为分式，分母中含有字母时，要保证分母不为零
今天有什么收获？
1、二次根式的概念 2、二次根式有意义的条件（根号内字母的取值范围）
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
1、√3 √S 2、√2 3、√h/5
上面问题中结果分别是：√3 √S
①含有二次根号“√ ” ②被开方数都是非负数 ③表示一些数的算术平方根
√2 √h/5 它们都是
一般地，我们把形如√a (a≥0) 的式子叫做二次根式， “√” 称为二次根号
形如√a (a≥0) 的式子叫做二次根式
（1）形式上含有二次根号 “√ ” （2）表示a的算术平方根（3）a可以是数，也可以是式子（4） a≥0， √a ≥0 (双重非负性)
16.1二次根式
回忆
1、什么叫一个数的平方根。如何表示？
如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这个数叫做a的平方根 a的平方根是±√a
2、什么是一个数的算术平方根，如何表示？
正数的正平方根叫做一个数的算术平方根 a的算术平方根是 √a
3、平方根有什么性质呢？
（1）正数有两个平方根，且互为相反数（2）0的平方根是0 （3）负数没有平方根
思考
用带根号的式子填空，并看看结果有什么特点
1、面积为3的正方形的边长为____,面积为S的正方形的边长为_____
2、要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池，它的半径为______m(π取3.14)
3、一个物体从高处自由落下，落到地面所用时间为t（单位：s）与开始落下时地面的高度h（单位：m）满足关系 h=5t2,如果用含有h的式子表示t,那么t为 ______