第六章瞬态分析

二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统。 二阶系统瞬态响应具有典型性，动态性能指标是根据二姐系统 的瞬态响应来定义的。工程中，一定条件下，一个高阶系统 可近似为二阶系统处理。
一、 二阶系统的标准形式
n C ( s) (s) 2 R( s ) S 2 n n 2
表3-1一阶系统对典型输入信号的响应
输入信号 时域 输入信号 频域 输出响应
微 分
传递函数
(t )
1
1 S 1 S2
1 T e T
t
(t 0)
1(t) t
1 2 t 2
1 e

t T
t 0
t T
t T Te
t 0
t T
1 S3
1 2 t Tt T 2 (1 e 2
2
σ
ξ=0
ξ>1 两个不等根
jωn
图 3-9二 阶 系 统 极 点 分 布
S n n 1 2 2 S ( S n ) d ( S n ) 2 d 2
对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为
d
h(t ) 1 e 1
n t
1 C (s) TS 1
这时相同的输出称为脉冲响应记作g(t)，因为
g (t ) L1[G( s)] ,其表达式为
1 T c(t ) e T
t
t0
三、单位斜坡响应Unit-ramp Response of first-order Systems 1 1 1 T T2 1 2 2 当 R(s) S2 C ( s) ( s) R( s) TS 1 S 1 TS S S 对上式求拉氏反变换，得：

四、 单位加速度响应 1 2 1 r (t ) t R( s) 3 2 S
1 1 A B C C ( s ) ( s ) R( s ) ( ) 3 3 2 TS 1 S S S S
1 T 1 S T
1 T T2 T2 1 S3 S2 1 S S S T T D
c(t ) t T (1 e
因为 e(t ) r (t ) c(t ) T (1 e 所以一阶系统跟踪单 位斜坡信号的稳态误差为
1 t T
1 t T
) t T Te
r(t) c(t)
1 t T
)
) r(t
c(t)
e ss lim e(t ) T
) t0
1 TS 1
等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输 入信号响应的导数； 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应 的积分；积分常数由零初始条件确定。
6.2 二阶系统的时域分析
Transient-Response Analysis and Steady-State Error Analysis of Second-order Systems
左 半 平 面 ξ>0
j d d n 1
1 R( s ) S
ξ=0 jω jωn
右 半 平 面 ξ<0
－阻尼振荡频率
2
0<ξ<1
ξ=1 两个相等根
ωd=ωn β
0
n C ( s) (s) 2 R( s) S 2 n n 2
n 1 C ( s) ( s) R( s) 2 2 S 2 n S n S
S1, 2 n n 2 1
二、单位阶跃响应
Unit-Step Response of Second-Order Systems
阻尼比 是实际阻尼系数F与临界阻尼系数 FC 的比值

1 2 Tm K 1 2 JK F 1 2 J K1 F 2 F 2 JK1 F FC
_
ωn2 S(S+2ξωn)
C(s)
n

－自然频率（或无阻尼振荡频率） －阻尼比（相对阻尼系数）
图3-8 标准形式的二阶系统方块图
二阶系统的标准形式，相应的方块图如图3-8所示
二阶系统的动态特性，可以用 和 n 加以描述,二阶系统的特征方程：
S 2 2 n S n 0
2

t0
c(t)
1
0.632
63.2%
c(t)=1-e
1 T
0
T
2T
3T
4T
5T
注**：R(s)的极点形成系 统响应的稳态分量。 传递函数的极点是产生系 统响应的瞬态分量。这一个 结论不仅适用于一阶线性定 常系统，而且也适用于高阶 t 线性定常系统。
98.2%
图 3-4指 数 响 应 曲 线
86.5%
在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比
较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号， 比较它们对特定的输入信号的响应来建立。
许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对
初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试 验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存 在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。
(1) 实际系统的输入信号不可知性 (2) 典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系 (3) 电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。 突然受到恒定输入作用或突然的扰动。如果控制系统的输入量 是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。 （单位）阶跃函数（Step function）
+
r(t)
+
i(t) C
c(t)
系统称为一阶系统。图(a) 所示的RC电路，其微分方 程为
duc RC U c r (t ) T C (t ) C (t ) r (t ) dt
（ a） 电 路 图
R(s) I(s)
C(s)
其中C(t)为电路输出电压，r(t)为 电路输入电压，T=RC为时间常数。
t
t
图 3-5 一 阶 系 统 的 斜 坡 响 应

上式表明：①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。 r (t ) 1 , c(t ) 1 稳态时，输入和输出信号的变化率完全相同 t ②由于系统存在惯性，从 c(t ) 0上升到1时，对应的输出信 号在数值上要滞后于输入信号一个常量T，这就是稳态误差 产生的原因。 ③减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少 系统跟踪斜坡信号的稳态误差。
99.3%
95%
c(t)
1
0.632
63.2%
c(t)=1-e
1 响应曲线在 t 0 时的斜率为 T
，如果系统输出响应的速度恒为 ，则只要t＝T时，输出c(t) T 就能达到其终值。
t
1
98.2%
0
T
86.5%
2T
3T
4T
5T
图 3-4指 数 响 应 曲 线
由于c(t)的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。 动态性能指标：
1(t ) , t 0
t , t0 1 2 （单位）加速度函数（Acceleration function）抛物线 t , t 0 2
（单位）斜坡函数（Ramp function） 速度 （单位）脉冲函数（Impulse function）
(t ) , t 0
正弦函数（Simusoidal function）Asinut ， 当输入作用具有周期性变化时。
－临界阻尼系数，
1 时，阻尼系数
0
0 1
两个正实部的特征根
发散
1
，闭环极点为共扼复根，位于右半S平面，欠阻尼系统 ，为两个相等的根 ，两个不相等的根 ，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡
左 半 平 面 ξ>0
1
0
ξ=0 jω jω n
右 半 平 面 ξ<0
0<ξ<1
包络线 1 e nt
1 2
决定收敛速度
0 时， h(t ) 1 sin n t
t0
（3-23）
这是一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率 n 为由系统本身的结构参数确定－故称为无阻尼振荡频率
(2)临界阻尼( 1 )
r (t ) 1(t ) , R( s) 1 S
S1, 2 n j n 1
2
ξ=1 两个相等根
ωd=ωn β
0
σ
ξ=0
ξ>1 两个不等根
jω n
图 3-9二 阶 系 统 极 点 分 布
(1)欠阻尼(0 1 )二阶系统的单位阶跃响应
S1, 2 n j n 1 2
令
n
2
－衰减系数
第六章 控制系统的瞬态响应分析
第一节 一阶系统的瞬态响应
第二节
第三节 第四节 第五节 第六节
二阶系统的瞬态响应
瞬态响应指标及其与系统参数的关系 具有零点的二阶系统的瞬态响应 高阶系统的瞬态响应 瞬态响应指标与频率响应指标的关系
实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很
难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的， 可以用解析的方法或者曲线表示。例如，切削机床的自动控制的 例子。
t
0
t
图 3-5 一 阶 系 统 的 斜 坡 响 应
c(t ) t T (1 e
1 t T
) t T Te
1 t T
1 t T
r(t) c(t)
e(t ) r (t ) c(t ) T (1 e
) r(t